Quiz - Probabilités conditionnelles et loi binomiale

Question 1

Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair en lançant un dé équilibré à six faces ?

Question 2

Un sac contient 4 billes rouges, 3 billes bleues et 2 billes vertes. Quelle est la probabilité de tirer une bille bleue ?

Question 3

Si un événement est certain de se produire, quelle est sa probabilité ?

Question 4

Quelle est la probabilité de tirer un as dans un jeu de 52 cartes ?

Question 5

Si deux événements A et B sont mutuellement exclusifs, que vaut $P(A \cup B)$ ?

Question 6

On lance deux dés équilibrés. Quelle est la probabilité que la somme des deux dés soit égale à 7 ?

Question 7

Si $P(A) = 0.6$ et $P(B) = 0.4$, et que A et B sont des événements disjoints, que vaut $P(A \cap B)$ ?

Question 8

Quelle est la probabilité de ne pas tirer un roi dans un jeu de 52 cartes ?

Question 9

Une pièce est lancée trois fois. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une fois face ?

Question 10

Si on tire une carte d'un jeu de 52 cartes, quelle est la probabilité que ce soit un cœur ou un roi ?

Question 11

Soient A et B deux événements tels que $P(A) = 0.5$, $P(B) = 0.4$, et $P(A \cap B) = 0.2$. Calculez $P(A|B)$.

Question 12

Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules bleues. On tire successivement et sans remise 2 boules. Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge au deuxième tirage sachant qu'on a tiré une boule bleue au premier tirage ?

Question 13

On lance un dé équilibré deux fois. Quelle est la probabilité d'obtenir un 6 au deuxième lancer sachant qu'on a obtenu un 6 au premier lancer ?

Question 14

Dans une classe, 60% des élèves sont des filles. Parmi les filles, 70% font du sport. Quelle est la probabilité qu'un élève choisi au hasard soit une fille qui fait du sport ?

Question 15

Si $P(A|B) = 0.8$, $P(A) = 0.6$ et $P(B) = 0.5$, que vaut $P(B|A)$ ?

Question 16

Une boîte contient 3 dés rouges et 2 dés verts. On tire un dé, on note sa couleur, puis on le remet dans la boîte. On tire ensuite un deuxième dé. Quelle est la probabilité que le deuxième dé soit rouge sachant que le premier était rouge ?

Question 17

On tire deux cartes d'un jeu de 52 cartes sans remise. Quelle est la probabilité de tirer un roi au deuxième tirage sachant qu'on a tiré un as au premier tirage ?

Question 18

Une urne contient 5 boules blanches et 3 boules noires. On tire une boule, on note sa couleur et on ne la remet pas. On tire une deuxième boule. Quelle est la probabilité que la deuxième boule soit blanche sachant que la première était noire ?

Question 19

Si $P(A \cap B) = 0.3$ et $P(B) = 0.6$, que vaut $P(A|B)$ ?

Question 20

Deux machines produisent des pièces. La machine A produit 40% des pièces et la machine B 60%. 5% des pièces produites par A sont défectueuses, et 2% de celles produites par B sont défectueuses. Quelle est la probabilité qu'une pièce choisie au hasard soit défectueuse et provienne de la machine A ?

Question 21

Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si :

Question 22

Si A et B sont indépendants, que peut-on dire de $P(A|B)$ ?

Question 23

On lance un dé équilibré deux fois. Les résultats des deux lancers sont-ils des événements indépendants ?

Question 24

On tire une carte d'un jeu de 52 cartes, on la remet, puis on en tire une deuxième. Les deux tirages sont-ils indépendants ?

Question 25

Si $P(A) = 0.3$, $P(B) = 0.5$ et $P(A \cap B) = 0.15$, A et B sont-ils indépendants ?

Question 26

Si $P(A) = 0.4$, $P(B) = 0.6$ et $P(A \cup B) = 0.76$, A et B sont-ils indépendants ?

Question 27

Si A et B sont indépendants et $P(A) = 0.2$, $P(B) = 0.7$, que vaut $P(A \cup B)$ ?

Question 28

Si A et B sont deux événements quelconques, est-il toujours vrai que $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ ?

Question 29

On tire une carte d'un jeu de 52 cartes. Soit A l'événement "tirer un roi" et B l'événement "tirer un cœur". A et B sont-ils indépendants ?

Question 30

Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules bleues. On tire deux boules sans remise. Soit A l'événement "tirer une boule rouge au premier tirage" et B l'événement "tirer une boule rouge au deuxième tirage". A et B sont-ils indépendants ?

Question 31

Quelle loi de probabilité modélise le nombre de succès dans une suite d'épreuves de Bernoulli indépendantes et de même probabilité de succès ?

Question 32

Quels sont les paramètres d'une loi binomiale ?

Question 33

Si X suit une loi binomiale de paramètres n=10 et p=0.4, que vaut E(X) ?

Question 34

Si X suit une loi binomiale de paramètres n=10 et p=0.4, que vaut Var(X) ?

Question 35

On lance une pièce équilibrée 5 fois. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 3 fois pile ?

Question 36

Une urne contient 6 boules rouges et 4 boules bleues. On tire avec remise 4 boules. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge ?

Question 37

Un tireur à l'arc atteint la cible avec une probabilité de 0.8 à chaque tir. S'il tire 3 fois, quelle est la probabilité qu'il rate la cible exactement une fois ?

Question 38

Un QCM comporte 10 questions, chacune avec 4 réponses possibles dont une seule est correcte. Un étudiant répond au hasard à toutes les questions. Quelle est la probabilité qu'il ait exactement 5 bonnes réponses ?

Question 39

Un joueur de basket réussit ses lancers francs avec une probabilité de 0.7. S'il effectue 8 lancers francs, quelle est la probabilité qu'il en réussisse au moins 6 ?

Question 40

Une usine produit des ampoules. La probabilité qu'une ampoule soit défectueuse est de 0.01. On prélève un échantillon de 100 ampoules. Quelle est la probabilité qu'il y ait au plus 2 ampoules défectueuses dans l'échantillon ?

Question 41

Si X suit une loi binomiale de paramètres n et p, et que Y = n - X, quelle loi suit Y ?

Question 42

Peut-on toujours utiliser l'approximation de la loi binomiale par la loi normale ?

Question 43

Si X suit une loi binomiale de paramètres n=50 et p=0.2, par quelle loi normale peut-on l'approcher ?

Question 44

On considère une loi binomiale de paramètres n=100 et p=0.1. Quelle est la probabilité d'obtenir entre 8 et 12 succès (inclus) en utilisant l'approximation normale ?

Question 45

Quand le nombre d'essais n dans une loi binomiale tend vers l'infini et que la probabilité de succès p tend vers 0, tout en maintenant np constant, vers quelle loi tend la loi binomiale ?

Question 46

Une urne contient 5 boules rouges, 3 boules vertes et 2 boules bleues. On tire successivement et avec remise 3 boules de l'urne. On note les événements suivants :
- $R_i$ : "Tirer une boule rouge au i-ème tirage"
- $V_i$ : "Tirer une boule verte au i-ème tirage"
- $B_i$ : "Tirer une boule bleue au i-ème tirage"

1. Calculez les probabilités $P(R_1)$, $P(V_1)$, et $P(B_1)$.
2. Calculez la probabilité de tirer 3 boules rouges, notée $P(R_1 \cap R_2 \cap R_3)$.
3. Calculez la probabilité de tirer une boule rouge au premier tirage, une boule verte au deuxième tirage et une boule bleue au troisième tirage, notée $P(R_1 \cap V_2 \cap B_3)$.
4. Les événements $R_1$, $R_2$, et $R_3$ sont-ils indépendants ? Justifiez votre réponse.
5. On répète l'expérience 5 fois de suite dans les mêmes conditions (tirage avec remise). Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 2 fois trois boules de couleurs différentes ?

Question 47

Une entreprise fabrique des composants électroniques. La probabilité qu'un composant soit défectueux est de 0.02. Les composants sont testés indépendamment les uns des autres.

1. On prélève un échantillon de 10 composants. Quelle est la probabilité qu'aucun composant ne soit défectueux ?
2. Quelle est la probabilité qu'exactement un composant soit défectueux dans l'échantillon ?
3. Quelle est la probabilité qu'au moins deux composants soient défectueux dans l'échantillon ?
4. On prélève maintenant un échantillon de 150 composants. Quelle est la probabilité qu'au plus 3 composants soient défectueux ? (Utilisez une approximation appropriée).

Question 48

Un jeu de hasard consiste à lancer un dé équilibré à 6 faces. Si le résultat est 6, le joueur gagne 10 euros. Sinon, il perd 2 euros. On note X la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur.

1. Déterminez la loi de probabilité de X.
2. Calculez l'espérance de X, notée E(X).
3. Le jeu est-il favorable au joueur ? Justifiez votre réponse.
4. On modifie la règle du jeu : si le résultat est 6, le joueur gagne 10 euros ; si le résultat est 5, il gagne 5 euros ; sinon, il perd 2 euros. On note Y la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur avec cette nouvelle règle. Quelle est l'espérance de Y ?
5. Le joueur a le choix entre les deux règles. Laquelle doit-il choisir pour maximiser son gain espéré ?

Question 49

Une urne contient n boules blanches et 4 boules noires (n est un entier naturel non nul). On tire successivement et avec remise deux boules de l'urne.

1. Quelle est la probabilité de tirer deux boules blanches ?
2. Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche et une boule noire (dans n'importe quel ordre) ?
3. Pour quelles valeurs de n la probabilité de tirer deux boules de la même couleur est-elle supérieure ou égale à 0.52 ?
4. On suppose maintenant que n=6. On effectue 5 tirages successifs avec remise. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 3 fois deux boules de couleurs différentes ?

Question 50

Une variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p. On sait que E(X) = 4.5 et Var(X) = 3.15.

1. Déterminer les valeurs de n et p.
2. Calculer $P(X=3)$.
3. Calculer $P(X \geq 2)$.
4. On pose $Y = 2X + 3$. Déterminer l'espérance et la variance de Y.
5. On approche la loi de X par une loi normale. Quelle est la probabilité d'obtenir une valeur de X comprise entre 3 et 6 inclus ?

Sujet de type bac 1

Une urne contient 4 boules rouges et 2 boules vertes. On effectue des tirages successifs d'une boule avec remise jusqu'à ce qu'on obtienne une boule verte.
On note X la variable aléatoire égale au rang d'apparition de la première boule verte.

1. Déterminer la loi de probabilité de X.
2. Calculer la probabilité que la première boule verte apparaisse au troisième tirage, c'est-à-dire P(X=3).
3. Calculer la probabilité que la première boule verte apparaisse après le quatrième tirage, c'est-à-dire P(X>4).
4. Montrer que pour tout entier naturel non nul n, $P(X>n) = (\frac{2}{3})^n$.
5. On effectue maintenant 5 tirages successifs avec remise. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une boule verte parmi ces 5 tirages ?
6. Combien de tirages successifs avec remise faut-il effectuer en moyenne pour obtenir une boule verte ?

Sujet de type bac 2 (avec suites)

Une urne contient initialement une boule blanche et une boule noire. On effectue une suite de tirages aléatoires dans cette urne. À chaque tirage, si la boule tirée est blanche, on la remet dans l'urne en ajoutant une boule blanche supplémentaire. Si la boule tirée est noire, on la remet dans l'urne en ajoutant une boule noire supplémentaire.
On note $X_n$ la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches dans l'urne après n tirages. On note $p_n = P(X_n = n+1)$ la probabilité que l'urne contienne n+1 boules blanches après n tirages (c'est-à-dire que l'on ait tiré que des boules blanches lors des n premiers tirages).

1. Déterminer $X_0$, $X_1$, $X_2$ et les probabilités $p_0$, $p_1$, $p_2$.
2. Montrer que pour tout entier naturel n, $p_{n+1} = \frac{n+1}{n+2} p_n$.
3. On pose $u_n = (n+1)p_n$ pour tout entier naturel n. Montrer que la suite $(u_n)$ est constante.
4. En déduire l'expression de $p_n$ en fonction de n.
5. Calculer la probabilité que l'urne contienne 10 boules blanches après 9 tirages, c'est-à-dire $P(X_9 = 10)$.
6. Soit $Y_n$ la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches tirées lors des n premiers tirages. Déterminer l'espérance de $Y_n$.

Correction :

1. Initialement, il y a une boule blanche, donc $X_0 = 1$. Après un tirage, il y a soit 2 boules blanches (si on a tiré une blanche), soit 1 boule blanche (si on a tiré une noire). Donc $X_1$ peut prendre les valeurs 1 ou 2. Après deux tirages, $X_2$ peut prendre les valeurs 1, 2 ou 3. $p_0 = P(X_0 = 1) = 1$ (car il y a initialement une boule blanche). $p_1 = P(X_1 = 2) = \frac{1}{2}$ (probabilité de tirer une boule blanche au premier tirage). $p_2 = P(X_2 = 3) = P(\text{tirer une blanche au 1er tirage}) \times P(\text{tirer une blanche au 2e tirage sachant qu'on a tiré une blanche au 1er}) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
2. Si l'urne contient n+1 boules blanches après n tirages, cela signifie qu'on a tiré une boule blanche à chacun des n premiers tirages. Pour que l'urne contienne n+2 boules blanches après n+1 tirages, il faut tirer une boule blanche au (n+1)-ème tirage. Or, sachant qu'il y a n+1 boules blanches après n tirages, la probabilité de tirer une boule blanche au (n+1)-ème tirage est $\frac{n+1}{n+2}$ (car il y a n+1 boules blanches et une boule noire, soit n+2 boules au total). Donc, $p_{n+1} = P(X_{n+1} = n+2) = P(X_n = n+1) \times \frac{n+1}{n+2} = \frac{n+1}{n+2} p_n$.
3. On a $u_{n+1} = (n+2)p_{n+1} = (n+2) \times \frac{n+1}{n+2} p_n = (n+1)p_n = u_n$. Donc la suite $(u_n)$ est constante. Comme $u_0 = 1 \times p_0 = 1$, on a $u_n = 1$ pour tout n.
4. Comme $u_n = (n+1)p_n = 1$, on a $p_n = \frac{1}{n+1}$ pour tout entier naturel n.
5. $P(X_9 = 10) = p_9 = \frac{1}{9+1} = \frac{1}{10}$.
6. $Y_n$ suit une loi uniforme sur $\{0, 1, ..., n\}$. En effet, pour $0 \leq k \leq n$, $P(Y_n = k) = P(X_n = k+1)$. Or $P(X_n=k+1)$ correspond à la probabilité d'avoir tiré k fois une boule blanche lors des n premiers tirages et d'avoir commencé par une boule noire si k

Quiz : Probabilités Conditionnelles, Indépendance et Loi Binomiale

Section 1 : Probabilités de base