Quiz Géométrie dans l'Espace (partie 2) - Terminale Spé Maths

Correction :

Pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs donnés par leurs coordonnées, on multiplie les coordonnées de même indice et on additionne les résultats. Ici :

Le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$ est donc égal à -9.

Correction :

Deux vecteurs sont orthogonaux si, et seulement si, leur produit scalaire est nul. Calculons donc le produit scalaire de $\vec{a}$ et $\vec{b}$ :

Puisque le produit scalaire est 0, nous pouvons conclure que oui, les vecteurs $\vec{a}$ et $\vec{b}$ sont orthogonaux.

Correction :

Pour trouver l'angle entre deux vecteurs, nous utilisons la formule du produit scalaire : $\vec{p} \cdot \vec{q} = ||\vec{p}|| \cdot ||\vec{q}|| \cdot \cos(\theta)$. Calculons d'abord le produit scalaire et les normes :

Maintenant, substituons dans la formule :

Enfin, nous trouvons l'angle $\theta$ tel que $\cos(\theta) = \frac{1}{2}$, ce qui donne $\theta = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ$. L'angle entre les vecteurs est donc de 60 degrés.

Correction :

Une représentation paramétrique d'une droite passant par un point A$(x_A, y_A, z_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u} = \begin{pmatrix} x_u \\ y_u \\ z_u \end{pmatrix}$ est donnée par : $\begin{cases} x = x_A + t x_u \\ y = y_A + t y_u \\ z = z_A + t z_u \end{cases}, t \in \mathbb{R}$.

Avec A(-1, 2, 0) et $\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$, nous obtenons la représentation paramétrique :

Correction :

L'équation cartésienne d'un plan passant par un point A$(x_A, y_A, z_A)$ et de vecteur normal $\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ est donnée par : $a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0$.

En utilisant A(2, 1, -1) et $\vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}$, on remplace et on développe :

L'équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est donc $3x + 2y - 4z - 12 = 0$.

Correction :

La distance d'un point $B(x_B, y_B, z_B)$ à un plan $\mathcal{Q} : ax + by + cz + d = 0$ est donnée par la formule :

Pour B(0, 0, 0) et $\mathcal{Q} : 4x - 3y + 12z - 26 = 0$, nous substituons les coordonnées de B et les coefficients de $\mathcal{Q}$ :

La distance du point B au plan $\mathcal{Q}$ est donc 2.

Correction :

$(2 - t) - 2(1 + t) + (-1 + 2t) + 4 = 0 \implies 2 - t - 2 - 2t - 1 + 2t + 4 = 0 \implies -t + 3 = 0 \implies t = 3$. Point: $x = 2 - 3 = -1, y = 1 + 3 = 4, z = -1 + 2(3) = 5$. Point (-1, 4, 5).

Correction :

$\vec{v} \cdot \vec{n} = (3 \times 1) + (1 \times 2) + (-2 \times 2) = 3 + 2 - 4 = 1 \neq 0$. Sécante.

Correction :

$\vec{n_1} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}$, $\vec{n_2} = \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} = -2\vec{n_1}$. Vecteurs normaux colinéaires, plans parallèles.

Correction :

Droite $(MH) : \begin{cases} x = 3 + t \\ y = -2t \\ z = 2 + t \end{cases}$. Intersection avec $\mathcal{T}$.

Correction :

$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}, \vec{AC} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$. $\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$. $||\vec{AB} \times \vec{AC}|| = \sqrt{5}$. Aire $= \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Correction :

$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ . $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ =0

$\vec{AC} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ . $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ =0

Correction :

Vecteur directeur $\vec{n} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$. Droite par O(0, 0, 0): $\begin{cases} x = 5t \\ y = 2t \\ z = -t \end{cases}, t \in \mathbb{R}$.

Correction :

$\vec{n_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \vec{n_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$. $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1$, $||\vec{n_1}|| = \sqrt{2}, ||\vec{n_2}|| = \sqrt{2}$. $\cos(\theta) = \frac{1}{2} \implies \theta = 60^\circ$.

Correction :

Point sur $\mathcal{D}$: O(0, 0, 0), $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$. $\vec{OA} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$. $\vec{OA} \times \vec{u} = \vec{0}$ (colinéaires). Distance = 0 (A est sur la droite).

Correction :

Équation de $\mathcal{P}_2 = 2 \times$ équation de $\mathcal{P}_1$. Les deux équations représentent le même plan. Intersection est le plan $\mathcal{P}_1$ (ou $\mathcal{P}_2$).

Correction :

$2(1) - (2) + (3) - 3 = 2 - 2 + 3 - 3 = 0$. Oui, B appartient au plan.

Correction :

$\vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$. Vecteurs directeurs non colinéaires. Non parallèles.

Correction :

Pour trouver un vecteur directeur de la droite d'intersection des plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$, nous partons du système d'équations formé par les équations de ces plans : \[ \begin{cases} x + y + z = 1 \quad \\ x - y = 0 \quad \end{cases} \] Pour obtenir une représentation paramétrique de la droite d'intersection, nous allons choisir une des variables comme paramètre. Posons, par exemple, \(x = t\), où \(t\) est un nombre réel quelconque. Nous allons maintenant exprimer les autres variables, \(y\) et \(z\), en fonction de ce paramètre \(t\).

Utilisons l'équation de $\mathcal{P}_2 : x - y = 0$. Puisque nous avons posé \(x = t\), cette équation devient : \[ t - y = 0 \] Ce qui nous donne directement l'expression de \(y\) en fonction de \(t\) : \[ y = t \] Maintenant, utilisons l'équation de $\mathcal{P}_1 : x + y + z = 1$. Substituons les expressions de \(x\) et \(y\) en fonction de \(t\) (c'est-à-dire \(x = t\) et \(y = t\)) dans cette équation : \[ t + t + z = 1 \] \[ 2t + z = 1 \] Ce qui nous permet d'exprimer \(z\) en fonction de \(t\) : \[ z = 1 - 2t \] Nous avons maintenant exprimé \(x\), \(y\) et \(z\) en fonction du paramètre \(t\) : \[ \begin{cases} x = t \\ y = t \\ z = 1 - 2t \end{cases} \] Ceci est une représentation paramétrique de la droite d'intersection. Un vecteur directeur de cette droite est donné par les coefficients de \(t\) dans cette représentation paramétrique. En lisant ces coefficients, nous obtenons le vecteur directeur $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$.

Conclusion : Un vecteur directeur de la droite d'intersection des plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ est $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$.

Correction :

$\vec{w} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix}$. $||\vec{w}|| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.

Correction :

Plan (Oxy), équation $z = 0$.

Correction :

$\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, \vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$. $\vec{u} \cdot \vec{v} = (3 \times -1) + (1 \times 2) + (-2 \times 1) = -3 + 2 - 2 = -3$.

Correction :

$z = -1$ pour tout point de $\mathcal{D}$. Plan $\mathcal{P}$ est $z = 2$. Pas d'intersection, droite et plan parallèles.

Correction :

$\vec{v} = -\frac{1}{2} \vec{u}$. Oui, colinéaires.

Correction :

$\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = 1$, $||\vec{v}_1|| = \sqrt{2}, ||\vec{v}_2|| = \sqrt{2}$. $\cos(\theta) = \frac{1}{2} \implies \theta = 60^\circ$.

Correction :

$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, \vec{AC} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$. $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$. $-3(x-1) + (y-0) + 0(z-1) = 0 \implies -3x + 3 + y = 0 \implies -3x + y + 3 = 0$ ou $3x - y - 3 = 0$.

Correction :

Point sur $\mathcal{D}$: A(1, 0, 3), $\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$. $\vec{AC} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$. $\vec{AC} \times \vec{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}$. $||\vec{AC} \times \vec{u}|| = \sqrt{9} = 3$. $||\vec{u}|| = \sqrt{5}$. Distance $= \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$.

Correction :

Équation est de la forme $ax + by + cz = 0$. Oui, il passe par l'origine.

Correction :

$z = 0$. $y = 2 - x$. Poser $x = t$. $\begin{cases} x = t \\ y = 2 - t \\ z = 0 \end{cases}, t \in \mathbb{R}$.

Correction :

$\text{proj}_{\vec{v}} \vec{u} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{v}||^2} \vec{v}$. $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3$, $||\vec{v}||^2 = 2$. $\text{proj}_{\vec{v}} \vec{u} = \frac{3}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3/2 \\ -3/2 \\ 0 \end{pmatrix}$.

Correction :

Plan parallèle a même vecteur normal $\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$. $(x-1) - (y-1) + (z-2) = 0 \implies x - y + z - 2 = 0$.

Correction :

$\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$. $\vec{u} \cdot \vec{v} = (0 \times 1) + (2 \times 1) + (-5 \times 1) = 0 + 2 - 5 = -3$.

Correction :

Pour tout point de $\mathcal{D}$, $x = 2$. Donc, tous les points de $\mathcal{D}$ vérifient l'équation de $\mathcal{P}$. Droite $\mathcal{D}$ est incluse dans le plan $\mathcal{P}$.

Correction :

Réécrire: $3x - y - 2z + 1 = 0$. Vecteur normal $\vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}$.

Correction :

Axe (Ox) a vecteur directeur $\vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$. $\vec{u} \cdot \vec{i} = 1$, $||\vec{u}|| = \sqrt{3}, ||\vec{i}|| = 1$. $\cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies \theta \approx 55^\circ$.

Correction :

$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \vec{k}$. Droite parallèle à l'axe (Oz) passant par A(2, -1, 0): $\begin{cases} x = 2 \\ y = -1 \\ z = t \end{cases}, t \in \mathbb{R}$.

Correction :

$d(O, \mathcal{P}) = \frac{|2(0) - 3(0) + 4(0) + 5|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 4^2}} = \frac{5}{\sqrt{29}} = \frac{5\sqrt{29}}{29}$.

Correction :

$\vec{n_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}, \vec{n_2} = \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} = -2\vec{n_1}$. Vecteurs normaux colinéaires, plans parallèles. Vérifier s'ils sont confondus: Non, car $-2 \times 1 \neq 3$. Plans strictement parallèles.

Correction :

Projeté sur (Oz) a x et y coordonnés nulles. H(0, 0, 3).

Correction :

$\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos(120^\circ) = 2 \times 3 \times (-\frac{1}{2}) = -3$.

Correction :

Milieu I(1, 0, 0). Vecteur $\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \vec{i}$ est normal au plan médiateur. Plan passant par I(1, 0, 0) et normal à $\vec{i}$: $1(x-1) + 0(y-0) + 0(z-0) = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1$.

Correction :

Vecteur directeur $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$, vecteur normal $\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}$. $\vec{v}$ et $\vec{n}$ non colinéaires. Droite non orthogonale au plan.

Correction :

Droite parallèle à (Oy) a vecteur directeur $\vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$.

Correction :

Prendre un point de $\mathcal{P}_1$, par exemple A(1, 0, 0). Distance de A à $\mathcal{P}_2$: $d(A, \mathcal{P}_2) = \frac{|1 + 0 + 0 - 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|-3|}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.

Correction :

Plan médiateur du segment [AB]. Milieu I(1/2, 1/2, 0). $\vec{AB} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$. Équation: $-(x - \frac{1}{2}) + (y - \frac{1}{2}) + 0(z - 0) = 0 \implies -x + \frac{1}{2} + y - \frac{1}{2} = 0 \implies -x + y = 0 \implies y = x$.

Correction :

Plan (Oxz), équation $y = 0$.

Correction :

$\vec{v} = 3\vec{BA} = -3\vec{AB}$. $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot (-3\vec{u}) = -3 ||\vec{u}||^2 = -3 ||2\vec{AB}||^2 = -3 \times 4 ||\vec{AB}||^2 = -12 ||\vec{AB}||^2$. On ne peut pas donner de valeur numérique sans connaitre $\vec{AB}$. Si la question attendait une expression en fonction de $||\vec{AB}||^2$, alors la réponse est $-12 ||\vec{AB}||^2$. Si la question attendait 0, alors il faudrait supposer que $\vec{AB} = \vec{0}$, ce qui est peu probable dans un contexte de géométrie.

Assuming the question expects an expression in terms of $||\vec{AB}||^2$: $-12 ||\vec{AB}||^2$.

Correction :

Plan (Oxy) a équation $z = 0$. Droite $\mathcal{D}$ est parallèle à (Oz) et x et y coordonnées constantes. Droite $\mathcal{D}$ est sécante au plan (Oxy).

Correction :

Abscisse = ordonnée: $x = y \implies 2 + t = -1 - t \implies 2t = -3 \implies t = -\frac{3}{2}$. Point: $x = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}, y = -1 + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}, z = 3 \times (-\frac{3}{2}) = -\frac{9}{2}$. Point $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{9}{2})$.

Correction :

Projeté orthogonal de A sur (Oz) est H(0, 0, 1). Distance AH = $\sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{2}$.

Correction :

Pour trouver l'intersection, nous allons substituer les équations paramétriques de la droite dans l'équation cartésienne du plan. Remplaçons $x, y, z$ de la droite dans l'équation de $\mathcal{P}$ :

Développons et simplifions :

Nous arrivons à une égalité impossible $11 = 5$. Cela signifie qu'il n'existe aucune valeur de $t$ qui satisfasse l'équation, et donc, la droite et le plan n'ont aucun point commun.

Conclusion : La droite $\mathcal{D}$ et le plan $\mathcal{P}$ sont parallèles et ne se coupent pas. Il n'y a pas de point d'intersection.

Correction :

Encore une fois, nous allons substituer les expressions paramétriques de la droite dans l'équation du plan. Substituons $x = 1 - t$, $y = 2 + 2t$, $z = -t$ dans l'équation de $\mathcal{P} : x + y + z = 3$ :

Simplifions l'équation :

Nous obtenons l'égalité $3 = 3$, qui est toujours vraie, quelle que soit la valeur de $t$. Cela signifie que *toute* valeur de $t$ satisfait l'équation, et donc *tout* point de la droite $\mathcal{D}$ appartient au plan $\mathcal{P}$.

Conclusion : La droite $\mathcal{D}$ est incluse dans le plan $\mathcal{P}$. L'intersection est la droite $\mathcal{D}$ elle-même (ou on peut dire qu'il y a une infinité de points d'intersection, qui sont tous les points de la droite).

Correction :

Substituons les équations paramétriques de la droite dans l'équation du plan :

Développons et simplifions :

Nous avons trouvé une valeur unique pour $t$, donc il y a un point d'intersection. Substituons $t = \frac{9}{10}$ dans la représentation paramétrique de $\mathcal{D}$ :

Le point d'intersection a pour coordonnées $\left(\frac{7}{10}, 4, \frac{1}{10}\right)$.

Correction :

Pour déterminer la nature du quadrilatère ABCD, nous allons procéder par étapes :

1. Vérification si ABCD est un parallélogramme : Nous allons vérifier si les vecteurs représentant les côtés opposés sont égaux. Calculons les vecteurs : \[ \vec{AB} = \begin{pmatrix} 3-1 \\ 2-2 \\ 0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \quad et \quad \vec{DC} = \begin{pmatrix} 3-1 \\ 4-4 \\ 0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \] \[ \vec{AD} = \begin{pmatrix} 1-1 \\ 4-2 \\ 0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \quad et \quad \vec{BC} = \begin{pmatrix} 3-3 \\ 4-2 \\ 0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \] Nous constatons que $\vec{AB} = \vec{DC}$ et $\vec{AD} = \vec{BC}$. Donc, ABCD est un parallélogramme.
2. Vérification si ABCD est un rectangle : Nous allons vérifier si l'angle en A est droit, en calculant le produit scalaire des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AD}$. Si le produit scalaire est nul, alors l'angle est droit. \[ \vec{AB} \cdot \vec{AD} = (2 \times 0) + (0 \times 2) + (0 \times 0) = 0 \] Puisque $\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0$, les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AD}$ sont orthogonaux, et l'angle en A est droit. Donc, ABCD est un rectangle.
3. Vérification si ABCD est un carré : Pour qu'un rectangle soit un carré, il faut que ses côtés adjacents aient la même longueur. Calculons les longueurs des côtés AB et AD : \[ AB = ||\vec{AB}|| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2 \] \[ AD = ||\vec{AD}|| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2 \] Nous constatons que \(AB = AD = 2\). Les côtés adjacents ont la même longueur.

Conclusion : Puisque ABCD est un rectangle et a des côtés adjacents de même longueur, ABCD est un **carré**. La réponse correcte est donc **Carré.

Correction :

Pour déterminer la nature du quadrilatère ABCD, nous allons calculer les vecteurs de ses côtés.

• $\vec{AB} = B - A = (1-0, 1-0, 0-0) = (1, 1, 0)$
• $\vec{BC} = C - B = (1-1, 0-1, 1-0) = (0, -1, 1)$
• $\vec{CD} = D - C = (2-1, 1-0, 1-1) = (1, 1, 0)$
• $\vec{DA} = A - D = (0-2, 0-1, 0-1) = (-2, -1, -1)$

• $\vec{AB} = (1, 1, 0)$ et $\vec{CD} = (1, 1, 0)$. On constate que $\vec{AB} = \vec{CD}$. Cela signifie que les côtés [AB] et [CD] sont parallèles et de même longueur.
• $\vec{BC} = (0, -1, 1)$ et $\vec{DA} = (-2, -1, -1)$. On constate que $\vec{BC} \neq \vec{DA}$. Vérifions plutôt $\vec{AD} = - \vec{DA} = (2, 1, 1)$. Comparons avec $\vec{BC} = (0, -1, 1)$. On a bien $\vec{BC} \neq \vec{AD}$. Par contre, vérifions si $\vec{AD}$ est parallèle à $\vec{BC}$. Ils ne sont pas proportionnels, donc non parallèles. En fait, pour qu'un quadrilatère soit un parallélogramme, il suffit qu'une paire de côtés opposés soient parallèles et de même longueur. Ici, nous avons montré que $\vec{AB} = \vec{CD}$, ce qui est incorrect pour un parallélogramme ABCD. Pour un parallélogramme ABCD, nous devons avoir $\vec{AB} = \vec{DC}$ et $\vec{AD} = \vec{BC}$. Recalculons $\vec{DC} = C - D = (1-2, 0-1, 1-1) = (-1, -1, 0)$. Donc, comparons $\vec{AB}$ et $\vec{DC}$: $\vec{AB} = (1, 1, 0)$ et $\vec{DC} = (-1, -1, 0) = -\vec{AB}$. Ce qui signifie que $\vec{AB} = - \vec{DC}$ ou $\vec{AB} + \vec{DC} = \vec{0}$. Cela implique que AB et DC sont parallèles et de même longueur, mais de directions opposées. Ceci n'implique pas directement que ABCD est un parallélogramme dans l'ordre A, B, C, D. Reconsidérons l'égalité $\vec{AB} = \vec{CD}$. Si $\vec{AB} = \vec{CD}$, alors ABCD est un trapèze au minimum, et pourrait être un parallélogramme si l'autre paire de côtés est aussi parallèle et égale. En fait, si on a $\vec{AB} = \vec{CD}$, cela veut dire que AB est parallèle à CD et la longueur de AB est égale à la longueur de CD. Pour que ABCD soit un parallélogramme, on a besoin de $\vec{AB} = \vec{DC}$ ou $\vec{BA} = \vec{CD}$. Ici, nous avons $\vec{AB} = \vec{CD}$. Ceci signifie que si on considère le quadrilatère ACDB, alors ACDB est un parallélogramme car $\vec{AC} = C-A = (1, 0, 1)$ et $\vec{BD} = D-B = (1, 0, 1)$, donc $\vec{AC} = \vec{BD}$. Revenons à ABCD et vérifions si $\vec{AD} = \vec{BC}$. $\vec{AD} = (2, 1, 1)$ et $\vec{BC} = (0, -1, 1)$. $\vec{AD} \neq \vec{BC}$. Cependant, nous avons trouvé $\vec{AB} = \vec{CD}$. Cela implique que les côtés AB et CD sont parallèles et de même longueur. Par définition, si deux côtés opposés d'un quadrilatère sont parallèles et de même longueur, alors le quadrilatère est un parallélogramme. Donc ABCD est un parallélogramme. Vérifions si c'est un losange. Pour cela, il faut que tous les côtés soient de même longueur. $|AB| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$ $|BC| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ $|CD| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$ $|DA| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}$ Puisque $|DA| \neq |AB|$, ce n'est pas un losange. Vérifions si c'est un rectangle. Pour cela, il faut que ce soit un parallélogramme avec un angle droit. Vérifions l'angle entre $\vec{AB}$ et $\vec{BC}$. $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = (1)(0) + (1)(-1) + (0)(1) = -1 \neq 0$. L'angle n'est pas droit, donc ce n'est pas un rectangle. Puisque ce n'est ni un losange, ni un rectangle, ni un carré, et que c'est un parallélogramme, la réponse est bien "Parallélogramme".

Correction :

Calculons les longueurs des côtés du triangle ABC : \(AB = \sqrt{(2-1)^2 + (2-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}\). \(AC = \sqrt{(2-1)^2 + (1-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}\). \(BC = \sqrt{(2-2)^2 + (1-2)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}\). Les trois côtés ont la même longueur (\(\sqrt{2}\)), donc le triangle ABC est équilatéral.

Correction :

Les coordonnées du milieu J de [BC] sont données par : \[ J = \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}, \frac{z_B + z_C}{2} \right) = \left( \frac{0 + 0}{2}, \frac{1 + 0}{2}, \frac{0 + 1}{2} \right) = \left( 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right) \] Donc le milieu de [BC] est \(J(0, 1/2, 1/2)\).

Correction :

Calculons les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) : \(\vec{AB} = (2-1, 3-2, 4-3) = (1, 1, 1)\). \(\vec{AC} = (4-1, 5-2, 6-3) = (3, 3, 3) = 3\vec{AB}\). Les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires (car \(\vec{AC} = 3\vec{AB}\)). Comme ils ont un point commun A, les points A, B et C sont alignés.

Correction :

Pour vérifier la coplanarité des points, on vérifie si les vecteurs \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\) et \(\vec{AD}\) sont coplanaires. \(\vec{AB} = (1, 1, -1)\), \(\vec{AC} = (2, 2, -2) = 2\vec{AB}\), \(\vec{AD} = (-1, -1, 1) = -\vec{AB}\). Les vecteurs \(\vec{AC}\) et \(\vec{AD}\) sont colinéaires à \(\vec{AB}\). Donc les trois vecteurs \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\) et \(\vec{AD}\) sont coplanaires (car linéairement dépendants, \(\vec{AC} = 2\vec{AB}\)). Par conséquent, les points A, B, C et D sont coplanaires.

Correction :

Le milieu J de [AB] a pour coordonnées : \[ J = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2} \right) = \left( \frac{2 + 4}{2}, \frac{1 + (-1)}{2}, \frac{-1 + 1}{2} \right) = \left( 3, 0, 0 \right) \] Le milieu de [AB] est \(J(3, 0, 0)\).

Correction :

Vérifions si \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0\). \(\vec{AB} = (1, 1, 0)\) et \(\vec{AC} = (1, 0, -1)\). \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (1)(1) + (1)(0) + (0)(-1) = 1 \neq 0\). Le produit scalaire n'est pas nul, donc les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) ne sont pas orthogonaux. Le triangle ABC n'est pas rectangle en A.

Correction :

Pour vérifier si le point D appartient au plan (ABC), nous devons déterminer si le vecteur $\vec{AD}$ peut être exprimé comme une combinaison linéaire des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$. Si c'est le cas, alors les vecteurs $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ et $\vec{AD}$ sont coplanaires, et le point D appartient au plan (ABC).

Calculons les vecteurs :

• $\vec{AB} = B - A = (1-1, 2-1, 1-0) = (0, 1, 1)$
• $\vec{AC} = C - A = (2-1, 2-1, 0-0) = (1, 1, 0)$
• $\vec{AD} = D - A = (2-1, 3-1, 1-0) = (1, 2, 1)$

Nous cherchons à savoir s'il existe des scalaires \(s\) et \(t\) tels que $\vec{AD} = s\vec{AB} + t\vec{AC}$. Écrivons cette équation en composantes : \[ (1, 2, 1) = s(0, 1, 1) + t(1, 1, 0) \] \[ (1, 2, 1) = (0, s, s) + (t, t, 0) \] \[ (1, 2, 1) = (t, s+t, s) \]

Cela nous donne le système d'équations suivant : \[ \begin{cases} t = 1 \\ s + t = 2 \\ s = 1 \end{cases} \]

De la première équation, nous avons \(t = 1\). De la troisième équation, nous avons \(s = 1\). Vérifions si ces valeurs satisfont la deuxième équation : \[ s + t = 1 + 1 = 2 \] La deuxième équation est également satisfaite.

Puisque nous avons trouvé des valeurs pour \(s\) et \(t\) (à savoir \(s=1\) et \(t=1\)) telles que $\vec{AD} = s\vec{AB} + t\vec{AC}$, le vecteur $\vec{AD}$ est une combinaison linéaire de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$. Par conséquent, les vecteurs $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ et $\vec{AD}$ sont coplanaires, et le point D appartient au plan (ABC).

Conclusion : Oui, le point D appartient au plan (ABC).

Correction :

Milieu de [BC] : \(M = \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}, \frac{z_B + z_C}{2} \right) = \left( \frac{2 + 1}{2}, \frac{0 + 2}{2}, \frac{1 + 0}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, 1, \frac{1}{2} \right)\). Le point \(I(1, 1, 0)\) a des coordonnées différentes de \(M(\frac{3}{2}, 1, \frac{1}{2})\). Donc I n'est pas le milieu de [BC].

Correction :

Non. Deux droites orthogonales peuvent être non coplanaires (droites gauches orthogonales). Elles sont coplanaires si elles sont sécantes et orthogonales, ou parallèles et orthogonales (ce qui implique qu'elles sont confondues ou parallèles et perpendiculaires à un même plan, donc parallèles entre elles et coplanaires). Mais en général, orthogonales n'implique pas coplanaires.

Correction :

Si les vecteurs normaux de deux plans sont colinéaires, cela signifie que les plans ont la même direction orthogonale. Par conséquent, ils sont parallèles ou confondus.

Correction :

Si une droite (D) est parallèle à deux plans sécants \(P_1\) et \(P_2\), alors sa direction est parallèle aux directions de \(P_1\) et \(P_2\). La direction de la droite d'intersection de \(P_1\) et \(P_2\) est la seule direction commune aux deux plans. Donc (D) est parallèle à la droite d'intersection de \(P_1\) et \(P_2\).

Correction :

Une équation linéaire de la forme \(ax + by + cz = d\) (avec \(a, b, c\) non tous nuls) représente toujours un plan dans l'espace. Ici, \(x + y + z = 2\) est l'équation d'un plan.

Correction :

Une représentation paramétrique de la forme \( \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} \) représente toujours une droite dans l'espace.

Correction :

Non. Deux plans orthogonaux à un même plan peuvent être sécants. Imaginez deux murs orthogonaux au sol. Les deux murs sont sécants et orthogonaux au sol.

Correction :

Non. Deux droites parallèles à un même plan peuvent être parallèles entre elles, sécantes, ou même non coplanaires (gauches).

Correction :

Par un point extérieur à une droite, on peut mener une infinité de plans parallèles à cette droite (visualisez un axe et des plans "feuilles de papier" pivotant autour d'un point extérieur à l'axe, tout en restant parallèles à l'axe).

Correction :

Par un point extérieur à un plan, on peut mener une infinité de droites parallèles à ce plan. En fait, toutes les droites contenues dans le plan parallèle au plan donné et passant par le point extérieur sont parallèles au plan initial.

Correction :

Par un point extérieur à un plan, il existe un et un seul plan parallèle à ce plan et passant par ce point.

Correction :

Non. Deux plans orthogonaux à un même plan peuvent être sécants. Imaginez deux murs sécants, tous deux perpendiculaires au sol. Ils ne sont pas nécessairement perpendiculaires entre eux.

Correction :

Par deux droites sécantes, il passe un et un seul plan (propriété fondamentale de la géométrie).

Correction :

Par deux droites parallèles distinctes, il passe un et un seul plan (propriété fondamentale de la géométrie).

Correction :

Par trois points non alignés, il passe un et un seul plan (propriété fondamentale de la géométrie).

Correction :

Si l'intersection de deux plans est vide, cela signifie qu'ils n'ont aucun point commun et ne sont pas confondus. Par définition, ils sont donc strictement parallèles.