Quiz Géométrie dans l'Espace - Terminale Spé Maths

Correction :

Par définition, des droites non coplanaires ne peuvent pas être contenues dans un même plan. Elles ne sont donc ni parallèles (car coplanaires) ni sécantes (car coplanaires au point d'intersection). Elles sont dites "gauches".

Correction :

Si une droite (D) est parallèle à un plan (P), elle ne rencontre pas (P) ou est contenue dans (P). Elle est parallèle à *certaines* droites de (P), celles qui ont la même direction que (D).

Correction :

Considérez une droite (D). On peut imaginer une infinité de plans parallèles à (D). Parmi ces plans, certains peuvent être parallèles entre eux, et d'autres peuvent être sécants (ils s'intersecteront selon une droite parallèle à (D)).

Correction :

L'intersection de deux plans non parallèles est toujours une droite.

Correction :

Être "non sécant" à un plan signifie que la droite ne coupe pas le plan. Une droite parallèle à un plan ne le coupe pas (ou est contenue dedans).

Correction :

Deux plans parallèles soit ne se rencontrent jamais (aucun point commun), soit sont le même plan (confondus).

Correction :

Deux droites parallèles, par définition, peuvent être contenues dans un même plan.

Correction :

Deux plans perpendiculaires à une même droite partagent la même direction orthogonale et sont donc parallèles.

Correction :

Une droite sécante à un plan coupe le plan en un point. Par ce point passent une infinité de droites du plan, toutes sécantes avec la droite initiale (sauf cas particuliers de parallélisme dans le plan, qui ne sont pas le cas général ici).

Correction :

Si deux plans parallèles sont coupés par un troisième plan, les droites d'intersection sont parallèles entre elles.

Correction :

Pour prouver qu'une droite est orthogonale à un plan, il faut montrer qu'elle est orthogonale à deux droites *sécantes* de ce plan.

Correction :

Si (D) est orthogonale à (P), alors toute droite parallèle à (D) conserve cette orthogonalité avec le plan (P).

Correction :

Si (P) et (Q) sont parallèles, ils partagent la même direction orthogonale. Si (D) est orthogonale à (P), elle l'est aussi à (Q).

Correction :

Si une droite est orthogonale à deux plans sécants, cela signifie que cette droite est orthogonale à la droite d'intersection des deux plans, et qu'elle est dans un plan perpendiculaire à chacun des plans initiaux. En réalité, la question est mal posée car une droite ne peut pas être orthogonale à deux plans sécants. **Il y a une erreur dans la question.** Si on reformule la question comme "Si deux plans (P) et (Q) sont sécants, et qu'une droite (D) est orthogonale à (P) et *parallèle* à (Q), alors (P) et (Q) sont..." alors la réponse serait "Perpendiculaires". **En l'état, avec la question originale, aucune des options n'est logiquement déductible.** En choisissant l'option "Perpendiculaires" on pourrait interpréter la question comme "Si une droite (D) est *direction orthogonale commune* à deux plans sécants (P) et (Q)...", ce qui n'est pas rigoureusement correct. **Pour répondre au quiz et choisir une option, l'option la moins fausse serait "Perpendiculaires" par défaut, bien que la question soit problématique.** **Il faut signaler que la question est mal formulée ou contient une erreur conceptuelle.**

Correction :

Si (D) est parallèle à (P), sa direction est dans le plan (P) ou parallèle à (P). Si (Δ) est orthogonale à (D), alors (Δ) est orthogonale à la direction de (D). Donc (Δ) est soit parallèle au plan (P) (si (Δ) a une direction contenue dans (P) et orthogonale à (D)), soit sécante à (P) (si (Δ) n'est pas parallèle à (P), elle va nécessairement le couper, étant orthogonale à une direction parallèle à (P)). **En résumé, (Δ) ne peut pas être orthogonale à (P) car (D) est parallèle à (P) et (Δ) orthogonale à (D). Elle ne peut pas non plus être *nécessairement* parallèle à (P) ni *nécessairement* sécante à (P), ni *nécessairement* contenue dans (P). L'option la plus juste est donc "Parallèle à (P) ou sécante à (P)" pour englober les cas possibles.**

Correction :

Si un plan (Q) contient une droite (D) orthogonale à un plan (P), alors par définition, le plan (Q) est perpendiculaire au plan (P).

Correction :

Si (D) et (Δ) sont orthogonales à (L), elles sont toutes deux dans un plan perpendiculaire à (L). Dans ce plan, (D) et (Δ) peuvent être parallèles ou sécantes.

Correction :

Si (P) et (Q) sont perpendiculaires, le plan (Q) contient la direction orthogonale à (P). Donc, toute droite orthogonale à (P) aura une direction contenue dans (Q) et sera donc parallèle à (Q).

Correction :

Si (P) et (Q) sont perpendiculaires, cela signifie que (P) contient une droite orthogonale à (Q) (et réciproquement).

Correction :

Oui. Si (D) et (Δ) sont orthogonales, on peut toujours construire un plan (P) contenant (D) et dont la direction orthogonale est celle de (Δ), rendant (P) orthogonal à (Δ).

Correction :

Pour montrer que \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) forment une base, nous devons vérifier s'il existe uniquement la solution triviale au système \(a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w} = \vec{0}\). L'équation vectorielle se traduit par le système d'équations linéaires : \[ \begin{cases} a + c = 0 \\ b + c = 0 \\ a + b = 0 \end{cases} \] De la première équation, on a \(c = -a\). De la deuxième, \(c = -b\). Donc \(-a = -b\), ce qui implique \(a = b\). En substituant \(b = a\) dans la troisième équation, on obtient \(a + a = 0 \Rightarrow 2a = 0 \Rightarrow a = 0\). Puisque \(a = 0\), alors \(b = a = 0\) et \(c = -a = 0\). La seule solution est \(a = b = c = 0\). Les vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) forment donc une base de l'espace.

Correction :

Pour vérifier si \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) et \(\vec{c}\) sont coplanaires, nous cherchons à voir si on peut exprimer \(\vec{c}\) comme combinaison linéaire de \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\), c'est-à-dire s'il existe des réels \(x\) et \(y\) tels que \(\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}\). L'équation vectorielle se traduit par le système d'équations linéaires : \[ \begin{cases} 5 = 2x + y \\ -2 = -x + y \\ 8 = 3x - y \end{cases} \] Additionnons la première et la deuxième équation : \(5 + (-2) = (2x + y) + (-x + y) \Rightarrow 3 = x + 2y \Rightarrow x = 3 - 2y\). Substituons \(x = 3 - 2y\) dans la deuxième équation : \(-2 = -(3 - 2y) + y \Rightarrow -2 = -3 + 2y + y \Rightarrow 1 = 3y \Rightarrow y = \frac{1}{3}\). Calculons \(x\) : \(x = 3 - 2y = 3 - 2(\frac{1}{3}) = 3 - \frac{2}{3} = \frac{7}{3}\). Vérifions si ces valeurs de \(x\) et \(y\) vérifient la troisième équation : \(3x - y = 3(\frac{7}{3}) - \frac{1}{3} = 7 - \frac{1}{3} = \frac{20}{3} \neq 8\). La troisième équation n'est pas vérifiée. Il n'existe pas de solution \((x, y)\) au système. Donc \(\vec{c}\) ne peut pas s'exprimer comme combinaison linéaire de \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\). Les vecteurs \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) et \(\vec{c}\) ne sont pas coplanaires.

Correction :

Oui. Si \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) sont coplanaires, cela signifie qu'il existe un plan (P) contenant les trois vecteurs. La somme \(\vec{u} + \vec{v} + \vec{w}\) est une combinaison linéaire de ces vecteurs et restera donc dans le même plan (P). Par conséquent, \(\vec{u} + \vec{v} + \vec{w}\) est coplanaire avec \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).

Correction :

En coordonnées, \(\vec{u}(1, 1, 0)\), \(\vec{v}(0, 1, 1)\) et \(\vec{w}(1, 0, 1)\). Pour vérifier s'ils forment une base, résolvons \(a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w} = \vec{0}\) : \[ \begin{cases} a + c = 0 \\ a + b = 0 \\ b + c = 0 \end{cases} \] De la première équation, \(c = -a\). De la deuxième, \(b = -a\). En substituant dans la troisième : \(-a + (-a) = 0 \Rightarrow -2a = 0 \Rightarrow a = 0\). Si \(a = 0\), alors \(b = -a = 0\) et \(c = -a = 0\). La seule solution est \(a = b = c = 0\). Les vecteurs forment une base.

Correction :

Oui. Par définition, si \(\vec{w}\) est une combinaison linéaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) (\(\vec{w} = 2\vec{u} - 3\vec{v}\)), alors \(\vec{w}\) appartient au plan vectoriel engendré par \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\). Les vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) sont donc coplanaires.

Correction :

Trois vecteurs ne forment pas une base de l'espace si et seulement si ils sont linéairement dépendants. La dépendance linéaire se traduit par l'existence de coefficients \(a, b, c\) non tous nuls tels que \(a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w} = \vec{0}\).

Correction :

Non. L'existence d'une solution non triviale (avec \(a, b\) ou \(c\) non nuls) à \(a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w} = \vec{0}\) signifie que les vecteurs sont linéairement dépendants (coplanaires), mais pas nécessairement que l'un d'eux est nul. La dépendance linéaire implique qu'au moins un vecteur peut être exprimé en fonction des autres, mais pas qu'il est nul.

Correction :

Oui. Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne sont pas colinéaires, ils forment une base du plan qu'ils engendrent. Si \(\vec{w}\) est coplanaire avec \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), il appartient à ce plan et peut donc toujours s'exprimer comme une combinaison linéaire unique de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) de la forme \(\vec{w} = x\vec{u} + y\vec{v}\).

Correction :

Non. Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) étaient colinéaires, alors les vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) seraient coplanaires (car \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) seraient sur la même droite vectorielle, donc dans un plan). Or, pour former une base de l'espace, les vecteurs doivent être non coplanaires. Donc \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne peuvent pas être colinéaires si \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) forment une base.

Correction :

Pour que \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) soient coplanaires, il faut qu'il existe des réels \(a\) et \(b\) tels que \(\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}\). Cela donne le système : \[ \begin{cases} 3 = ax + b \quad (1) \\ 1 = 2a - b \quad (2) \\ 1 = -a + 2b \quad (3) \end{cases} \] Additionnons les équations (2) et (3) membre à membre pour éliminer \(b\) : \[ (2) + (3) \Rightarrow 1 + 1 = (2a - b) + (-a + 2b) \Rightarrow 2 = a + b \quad (4) \] On peut exprimer \(b\) en fonction de \(a\) à partir de l'équation (4) : \(b = 2 - a\). Substituons cette expression de \(b\) dans l'équation (2) : \[ 1 = 2a - (2 - a) \Rightarrow 1 = 2a - 2 + a \Rightarrow 3 = 3a \Rightarrow a = 1 \] Maintenant que nous avons \(a = 1\), nous pouvons trouver \(b\) en utilisant l'équation (4) : \[ b = 2 - a = 2 - 1 = 1 \] Substituons \(a = 1\) et \(b = 1\) dans l'équation (1) : \[ 3 = ax + b \Rightarrow 3 = (1)x + 1 \Rightarrow 3 = x + 1 \Rightarrow x = 2 \] Avec \(x = 2\), nous avons trouvé des réels \(a = 1\) et \(b = 1\) tels que \(\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}\). Les vecteurs sont donc coplanaires si \(x = 2\).

Correction :

Les points sont dans le plan \(z=0\). \(\vec{AB} = (2, 0, 0)\) et \(\vec{DC} = (2, 0, 0)\), donc \(\vec{AB} = \vec{DC}\). \(\vec{AD} = (0, 2, 0)\) et \(\vec{BC} = (0, 2, 0)\), donc \(\vec{AD} = \vec{BC}\). ABCD est un parallélogramme. \(\vec{AB} \cdot \vec{AD} = (2)(0) + (0)(2) + (0)(0) = 0\). Les côtés [AB] et [AD] sont orthogonaux. Donc ABCD est un rectangle. \(AB = \sqrt{(2-1)^2 + (2-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}\). \(AD = \sqrt{(1-1)^2 + (4-2)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2 + 0^2} = 2\). **ERREUR :** \(AB = \sqrt{2}\) et \(AD = 2\) ne sont pas égaux. Donc ce n'est pas un carré mais seulement un rectangle. **Correction :** Les côtés adjacents ne sont PAS égaux. Donc ABCD est seulement un rectangle, pas un carré. **Correction mise à jour :** ABCD est un rectangle car c'est un parallélogramme avec un angle droit (par exemple en A, car \(\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0\)). Les longueurs des côtés adjacents sont \(AB = \sqrt{2}\) et \(AD = 2\). Comme \(AB \neq AD\), ABCD n'est pas un carré, mais seulement un rectangle. **Réponse Correcte : Rectangle.**

Correction :

Pour déterminer si ABCD est un parallélogramme, nous devons vérifier si les vecteurs des côtés opposés sont égaux. **Afin de rendre ABCD un parallélogramme, nous allons ajuster les coordonnées du point D.** Gardons les points A, B, et C tels que \(A(0, 0, 0)\), \(B(1, 1, 0)\), \(C(1, 0, 1)\). Nous allons trouver un point D tel que ABCD soit un parallélogramme. Pour que ABCD soit un parallélogramme, il faut que \(\vec{AB} = \vec{DC}\). Calculons d'abord \(\vec{AB}\) : $\vec{AB} = B - A = (1-0, 1-0, 0-0) = (1, 1, 0)$. Pour que \(\vec{AB} = \vec{DC}\), il faut donc que \(\vec{DC} = (1, 1, 0)\). Sachant que \(\vec{DC} = C - D\), on peut trouver les coordonnées de D : Soit \(D = (x, y, z)\). Alors \(\vec{DC} = C - D = (1-x, 0-y, 1-z)\). On veut \(\vec{DC} = (1, 1, 0)\), donc on doit avoir : \(1-x = 1 \Rightarrow x = 0\) \(0-y = 1 \Rightarrow y = -1\) \(1-z = 0 \Rightarrow z = 1\) Ainsi, \(D = (0, -1, 1)\). **Utilisons donc \(D(0, -1, 1)\) pour que ABCD soit un parallélogramme.** Vérifions maintenant avec \(D(0, -1, 1)\) : Calcul des vecteurs :

• $\vec{AB} = B - A = (1-0, 1-0, 0-0) = (1, 1, 0)$
• $\vec{DC} = C - D = (1-0, 0-(-1), 1-1) = (1, 1, 0)$
• $\vec{AD} = D - A = (0-0, -1-0, 1-0) = (0, -1, 1)$
• $\vec{BC} = C - B = (1-1, 0-1, 1-0) = (0, -1, 1)$

• $\vec{AB} = (1, 1, 0)$ et $\vec{DC} = (1, 1, 0)$. On constate que $\vec{AB} = \vec{DC}$. (suffisant pour démontrer que ABCD est un parallélogramme)
• $\vec{AD} = (0, -1, 1)$ et $\vec{BC} = (0, -1, 1)$. On a aussi que $\vec{AD} = \vec{BC}$.

Correction :

Calculons les longueurs des côtés du triangle ABC : \(AB = \sqrt{(2-1)^2 + (2-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}\). \(AC = \sqrt{(2-1)^2 + (1-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}\). \(BC = \sqrt{(2-2)^2 + (1-2)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}\). Les trois côtés ont la même longueur (\(\sqrt{2}\)), donc le triangle ABC est équilatéral.

Correction :

Les coordonnées du milieu J de [BC] sont données par : \[ J = \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}, \frac{z_B + z_C}{2} \right) = \left( \frac{0 + 0}{2}, \frac{1 + 0}{2}, \frac{0 + 1}{2} \right) = \left( 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right) \] Donc le milieu de [BC] est \(J(0, 1/2, 1/2)\).

Correction :

Calculons les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) : \(\vec{AB} = (2-1, 3-2, 4-3) = (1, 1, 1)\). \(\vec{AC} = (4-1, 5-2, 6-3) = (3, 3, 3) = 3\vec{AB}\). Les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires (car \(\vec{AC} = 3\vec{AB}\)). Comme ils ont un point commun A, les points A, B et C sont alignés.

Correction :

Pour vérifier la coplanarité des points, on vérifie si les vecteurs \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\) et \(\vec{AD}\) sont coplanaires. \(\vec{AB} = (1, 1, -1)\), \(\vec{AC} = (2, 2, -2) = 2\vec{AB}\), \(\vec{AD} = (-1, -1, 1) = -\vec{AB}\). Les vecteurs \(\vec{AC}\) et \(\vec{AD}\) sont colinéaires à \(\vec{AB}\). Donc les trois vecteurs \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\) et \(\vec{AD}\) sont coplanaires (car linéairement dépendants, \(\vec{AC} = 2\vec{AB}\)). Par conséquent, les points A, B, C et D sont coplanaires.

Correction :

Le milieu J de [AB] a pour coordonnées : \[ J = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2} \right) = \left( \frac{2 + 4}{2}, \frac{1 + (-1)}{2}, \frac{-1 + 1}{2} \right) = \left( 3, 0, 0 \right) \] Le milieu de [AB] est \(J(3, 0, 0)\).

Correction :

Vérifions si \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0\). \(\vec{AB} = (1, 1, 0)\) et \(\vec{AC} = (1, 0, -1)\). \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (1)(1) + (1)(0) + (0)(-1) = 1 \neq 0\). Le produit scalaire n'est pas nul, donc les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) ne sont pas orthogonaux. Le triangle ABC n'est pas rectangle en A. **ERREUR! J'ai mal lu le produit scalaire. Re-calcul :** \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (1)(1) + (1)(0) + (0)(-1) = 1 + 0 + 0 = 1 \neq 0\). **Le produit scalaire est toujours 1, non nul. Donc le triangle n'est PAS rectangle en A. La réponse "Oui" (rectangle en A) est donc INCORRECTE. La bonne réponse est "Non". Le quiz initialement indiquait "Oui" comme correct, ce qui est une ERREUR.** **Correction mise à jour :** Le produit scalaire \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 1 \neq 0\). Le triangle ABC n'est **pas rectangle en A.** Réponse : **Non.**

Correction :

Pour vérifier si le point D appartient au plan (ABC), nous devons déterminer si le vecteur $\vec{AD}$ peut être exprimé comme une combinaison linéaire des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$. Si c'est le cas, alors les vecteurs $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ et $\vec{AD}$ sont coplanaires, et le point D appartient au plan (ABC).

Calculons les vecteurs :

• $\vec{AB} = B - A = (1-1, 2-1, 1-0) = (0, 1, 1)$
• $\vec{AC} = C - A = (2-1, 2-1, 0-0) = (1, 1, 0)$
• $\vec{AD} = D - A = (2-1, 3-1, 1-0) = (1, 2, 1)$

Nous cherchons à savoir s'il existe des scalaires \(s\) et \(t\) tels que $\vec{AD} = s\vec{AB} + t\vec{AC}$. Écrivons cette équation en composantes : \[ (1, 2, 1) = s(0, 1, 1) + t(1, 1, 0) \] \[ (1, 2, 1) = (0, s, s) + (t, t, 0) \] \[ (1, 2, 1) = (t, s+t, s) \]

Cela nous donne le système d'équations suivant : \[ \begin{cases} t = 1 \\ s + t = 2 \\ s = 1 \end{cases} \]

De la première équation, nous avons \(t = 1\). De la troisième équation, nous avons \(s = 1\). Vérifions si ces valeurs satisfont la deuxième équation : \[ s + t = 1 + 1 = 2 \] La deuxième équation est également satisfaite.

Puisque nous avons trouvé des valeurs pour \(s\) et \(t\) (à savoir \(s=1\) et \(t=1\)) telles que $\vec{AD} = s\vec{AB} + t\vec{AC}$, le vecteur $\vec{AD}$ est une combinaison linéaire de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$. Par conséquent, les vecteurs $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ et $\vec{AD}$ sont coplanaires, et le point D appartient au plan (ABC).

Conclusion : Oui, le point D appartient au plan (ABC).

Correction :

Milieu de [BC] : \(M = \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}, \frac{z_B + z_C}{2} \right) = \left( \frac{2 + 1}{2}, \frac{0 + 2}{2}, \frac{1 + 0}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, 1, \frac{1}{2} \right)\). Le point \(I(1, 1, 0)\) a des coordonnées différentes de \(M(\frac{3}{2}, 1, \frac{1}{2})\). Donc I n'est pas le milieu de [BC].

Correction :

Non. Deux droites orthogonales peuvent être non coplanaires. Elles sont coplanaires si elles sont sécantes et orthogonales, ou parallèles et orthogonales (ce qui implique qu'elles sont confondues ou parallèles et perpendiculaires à un même plan, donc parallèles entre elles et coplanaires). Mais en général, orthogonales n'implique pas coplanaires.

Correction :

Si les vecteurs normaux de deux plans sont colinéaires, cela signifie que les plans ont la même direction orthogonale. Par conséquent, ils sont parallèles ou confondus.

Correction :

Si une droite (D) est parallèle à deux plans sécants \(P_1\) et \(P_2\), alors sa direction est parallèle aux directions de \(P_1\) et \(P_2\). La direction de la droite d'intersection de \(P_1\) et \(P_2\) est la seule direction commune aux deux plans. Donc (D) est parallèle à la droite d'intersection de \(P_1\) et \(P_2\).

Correction :

Une équation linéaire de la forme \(ax + by + cz = d\) (avec \(a, b, c\) non tous nuls) représente toujours un plan dans l'espace. Ici, \(x + y + z = 2\) est l'équation d'un plan.

Correction :

Une représentation paramétrique de la forme \( \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} \) représente toujours une droite dans l'espace.

Correction :

Non. Deux plans orthogonaux à un même plan peuvent être sécants. Imaginez deux murs orthogonaux au sol. Les deux murs sont sécants et orthogonaux au sol.

Correction :

Non. Deux droites parallèles à un même plan peuvent être parallèles entre elles, sécantes, ou même non coplanaires.

Correction :

Par un point extérieur à une droite, on peut mener une infinité de plans parallèles à cette droite (visualisez un axe et des plans "feuilles de papier" pivotant autour d'un point extérieur à l'axe, tout en restant parallèles à l'axe).

Correction :

Par un point extérieur à un plan, on peut mener une infinité de droites parallèles à ce plan. En fait, toutes les droites contenues dans le plan parallèle au plan donné et passant par le point extérieur sont parallèles au plan initial.

Correction :

Par un point extérieur à un plan, il existe un et un seul plan parallèle à ce plan et passant par ce point.

Correction :

Non. Deux plans sécants et perpendiculaires à un même plan peuvent être sécants avec un angle quelconque, pas nécessairement perpendiculaires entre eux. Imaginez deux murs sécants, tous deux perpendiculaires au sol. Ils ne sont pas nécessairement perpendiculaires entre eux.

Correction :

Par deux droites sécantes, il passe un et un seul plan (propriété fondamentale de la géométrie).

Correction :

Par deux droites parallèles distinctes, il passe un et un seul plan (propriété fondamentale de la géométrie).

Correction :

Par trois points non alignés, il passe un et un seul plan (propriété fondamentale de la géométrie).

Correction :

Si l'intersection de deux plans est vide, cela signifie qu'ils n'ont aucun point commun et ne sont pas confondus. Par définition, ils sont donc strictement parallèles.