Quiz sur les Systèmes d'Équations Linéaires

Correction:

Résoudre un système, c'est trouver toutes les valeurs des inconnues qui rendent vraies toutes les équations du système en même temps.

Correction:

Dans la méthode par substitution, on isole une inconnue dans l'une des équations, et on remplace cette inconnue par son expression dans l'autre équation.

Correction:

Le principe de la combinaison linéaire est d'éliminer une inconnue en additionnant ou soustrayant les équations, après les avoir éventuellement multipliées par des coefficients choisis pour que les coefficients de l'inconnue à éliminer soient opposés.

Correction:

Si un système n'a aucune solution, cela signifie que les droites associées aux équations ne se coupent jamais. Elles sont donc strictement parallèles (même coefficient directeur, mais ordonnées à l'origine différentes).

Correction:

Si un système a une infinité de solutions, cela signifie que les deux équations représentent en fait la même droite. Les droites sont donc confondues (même coefficient directeur et même ordonnée à l'origine).

Correction:

Multiplier les deux membres d'une équation par un même nombre non nul ne change pas l'ensemble des solutions. On obtient une équation équivalente.

Correction:

Une fois qu'on a trouvé la valeur d'une inconnue, on la substitue (c'est-à-dire qu'on la remplace) dans l'une des équations initiales pour trouver la valeur de l'autre inconnue.

Correction:

Chaque équation du système représente une droite. La solution du système, si elle existe et est unique, correspond aux coordonnées du point d'intersection de ces deux droites.

Correction:

Il est facile d'exprimer x en fonction de y (ou y en fonction de x) à partir de la première équation. On peut donc utiliser la méthode par substitution.

Correction:

Pour éliminer $y$, il faut que les coefficients de $y$ soient opposés. En multipliant la première équation par 3 et la deuxième par 2, on obtient respectivement -6y et +6y.

Correction:

$(2x - y) + (x + y) = 5 + 4 \Rightarrow 2x - y + x + y = 9 \Rightarrow 3x = 9$. On a éliminé $y$.

Correction:

$x - 2y = 1 \Rightarrow x = 1 + 2y$. On a simplement ajouté $2y$ aux deux membres de l'équation.

Correction:

Pour éliminer $x$, il faut que les coefficients de $x$ soient opposés. En multipliant la deuxième équation par $-4$, on obtiendra $-4x$, qui s'éliminera avec le $4x$ de la première équation.

Correction:

En additionnant les deux équations, on obtient $2x = 0$, donc $x = 0$. En remplaçant dans la première équation, on obtient $0 + y = 0$, donc $y = 0$.

Correction:

Comme les deux équations sont exprimées en fonction de $y$, on peut les égaliser : $2x - 1 = -x + 5$. En résolvant cette équation, on obtient $3x = 6$, donc $x = 2$. En remplaçant dans la première équation, on trouve $y = 2(2) - 1 = 3$.

Correction:

On remplace $x$ par $1$ et $y$ par $-2$ dans les deux équations : $1 + (-2) = -1$ (vrai) $2(1) - (-2) = 2 + 2 = 4$ (vrai) Les deux équations sont vérifiées, donc le couple (1, -2) est bien solution.

Correction:

En additionnant les deux équations, on élimine $y$ : $(2x - 3y) + (x + 3y) = 0 + 9 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3$. On remplace $x$ par $3$ dans la deuxième équation : $3 + 3y = 9 \Rightarrow 3y = 6 \Rightarrow y = 2$. La solution est donc $(3, 2)$.

Correction:

En additionnant membre à membre, on obtient : $2x = 20$ donc $x=10$.

En remplaçant dans l'une des équations, on obtient $y=0$.

Correction:

Multiplier une équation par un nombre non nul transforme le système en un système équivalent, c'est-à-dire ayant exactement les mêmes solutions. Les solutions ne changent donc pas.

Correction:

Dire que le couple (2, -3) est solution signifie qu'il vérifie les deux équations. En remplaçant $x$ par 2 et $y$ par -3, on obtient le système :

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} 2a - 3b &=& -16 \\ 2b - 3a &=& 14 \end{array} \right. $$

On peut résoudre ce système d'inconnues $a$ et $b$ La méthode par combinaison est commode ici. Multiplions la première équation par 3 et la seconde par 2 :

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} 6a - 9b &=& -48 \\ 4b - 6a &=& 28 \end{array} \right. $$

En additionnant membre à membre, on obtient $-5b = -20$, donc $b = 4$ En remplaçant dans la première équation : $$2a - 3(4) = -16 => 2a = -16 + 12 = -4 => a = -2$$

La solution est donc bien $a = -2$ et $b = 4$