Quiz sur les Probabilités

Correction:

La probabilité de l'événement contraire est donnée par la formule $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$. Donc, $P(\overline{A}) = 1 - 0.6 = 0.4$.

Correction:

Deux événements sont incompatibles (ou disjoints) si leur intersection est vide : $A \cap B = \emptyset$. La probabilité de l'ensemble vide est toujours 0. Donc, $P(A \cap B) = 0$.

Correction:

On utilise la formule de la probabilité de l'union : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. Donc, $P(A \cup B) = 0.3 + 0.5 - 0.2 = 0.6$.

Correction:

Les nombres pairs sur un dé à 6 faces sont 2, 4, et 6. Il y a 3 issues favorables sur 6 issues possibles. Comme le dé est équilibré, chaque face a une probabilité de $\frac{1}{6}$. Donc, $P(\text{nombre pair}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Correction:

Il y a 4 as dans un jeu de 52 cartes (un pour chaque couleur : cœur, carreau, pique, trèfle). Donc, la probabilité de tirer un as est $\frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.

Correction:

Il y a 4 issues possibles : (Pile, Pile), (Pile, Face), (Face, Pile), (Face, Face). Une seule de ces issues correspond à deux fois "pile". Chaque issue a une probabilité de $\frac{1}{4}$ car les pièces sont équilibrées. Donc, la probabilité est $\frac{1}{4}$.

Correction:

Un événement certain est un événement qui se produit toujours. Sa probabilité est donc de 1 (ou 100%).

Correction:

Il y a un total de $3 + 2 + 5 = 10$ boules. Il y a 2 boules bleues. Donc, la probabilité de tirer une boule bleue est $\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Correction:

Si $A$ et $B$ sont incompatibles, alors $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$. On a donc $0.7 = 0.4 + P(B)$, d'où $P(B) = 0.7 - 0.4 = 0.3$.

Correction:

$A \cap \overline{B}$ représente l'intersection de $A$ et du complémentaire de $B$. Cela signifie les éléments qui sont dans $A$ et qui ne sont pas dans $B$. C'est la partie de $A$ qui n'est pas recouverte par $B$.

Correction:

On sait que $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. Si $P(A) = 0$, alors $P(A \cap B) = 0$ (car $P(A \cap B)$ est toujours inférieure ou égale à $P(A)$ et $P(B)$). Donc, $P(A \cup B) = 0 + P(B) - 0 = P(B)$.

Correction:

Pour le premier tirage, la probabilité de tirer une boule rouge est $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$. Si on tire une boule rouge au premier tirage, il reste 4 boules rouges et un total de 9 boules. Donc, la probabilité de tirer une boule rouge au second tirage, sachant qu'on a tiré une boule rouge au premier tirage, est $\frac{4}{9}$. La probabilité de tirer deux boules rouges est donc $\frac{1}{2} \times \frac{4}{9} = \frac{2}{9}$.

Correction:

Puisqu'on remet la boule après chaque tirage, les tirages sont indépendants. La probabilité de tirer une boule rouge au premier tirage est $\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$. La probabilité de tirer une boule rouge au second tirage est aussi $\frac{1}{2}$. Donc la probabilité de tirer deux boules rouges est $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

Correction:

L'affirmation $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ n'est vraie que si A et B sont indépendants. L'affirmation $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ n'est vraie que si A et B sont incompatibles. L'affirmation $P(A \cup B) \leq P(A)$ est fausse (sauf si $P(B) = 0$). En revanche, $P(A \cap B)$ est toujours inférieure ou égale à $P(A)$ (et aussi à $P(B)$), car l'intersection de deux ensembles ne peut pas avoir une probabilité supérieure à celle de chacun des ensembles.

Correction:

La probabilité de l'intersection, $P(A \cap B)$, est toujours inférieure ou égale à la plus petite des probabilités $P(A)$ et $P(B)$. La plus grande valeur possible est atteinte lorsque $A$ est inclus dans $B$ ($A \subset B$): dans ce cas $A \cap B = A$, et donc $P(A \cap B) = P(A) = 0.4$.

Correction:

Il est plus facile de calculer la probabilité de l'événement contraire : ne jamais obtenir de 6. La probabilité de ne pas obtenir 6 sur un lancer est $\frac{5}{6}$. La probabilité de ne pas obtenir 6 sur deux lancers est $\frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$. Donc, la probabilité d'obtenir au moins un 6 est $1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$.

Correction:

Pour que le premier Pile apparaisse au troisième lancer, il faut obtenir Face au premier lancer (probabilité $\frac{1}{2}$), Face au deuxième lancer (probabilité $\frac{1}{2}$), et Pile au troisième lancer (probabilité $\frac{1}{2}$). Les lancers étant indépendants, la probabilité est $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.

Correction:

Par définition, deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

Correction:

L'événement "obtenir un 6" (au dé) et l'événement "obtenir Pile" (à la pièce) sont indépendants. La probabilité d'obtenir un 6 est $\frac{1}{6}$, et la probabilité d'obtenir Pile est $\frac{1}{2}$. Donc, la probabilité d'obtenir un 6 et Pile est $\frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12}$.

Correction:

C'est une application directe des lois de De Morgan : $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$. Donc, $P(\overline{A \cup B}) = P(\overline{A} \cap \overline{B})$.

Correction:

Les nombres premiers entre 1 et 10 sont 2, 3, 5, et 7. Il y a 4 nombres premiers. Il y a 10 nombres possibles au total. Donc, la probabilité de choisir un nombre premier est $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

Correction:

Il y a $6 \times 6 \times 6 = 216$ résultats possibles au total. Les résultats où les trois dés sont identiques sont (1,1,1), (2,2,2), (3,3,3), (4,4,4), (5,5,5) et (6,6,6). Il y a 6 issues favorables. Donc la probabilité est $\frac{6}{216} = \frac{1}{36}$.

Correction:

Il y a 4 rois dans un jeu de 32 cartes. La probabilité de tirer un roi au premier tirage est $\frac{4}{32} = \frac{1}{8}$. S'il reste 3 rois et 31 cartes au total, la probabilité de tirer un roi au second tirage, sachant qu'on a tiré un roi au premier tirage est $\frac{3}{31}$. La probabilité de tirer deux rois est donc $\frac{1}{8} \times \frac{3}{31} = \frac{3}{248}$.

Correction:

On utilise la formule : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. Donc $0.9 = 0.7 + 0.5 - P(A \cap B)$. D'où $P(A \cap B) = 0.7 + 0.5 - 0.9 = 0.3$.

Correction:

On a P(A) = 1 - P($\overline{A}$) = 1 - 0.3 = 0.7 et P(B) = 1 - P($\overline{B}$) = 1- 0.6 = 0.4. Puisque les événements A et B sont incompatibles on a $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ Donc P($A \cup B$) = 0.7 + 0.4 = 1.1. FAUX P($A \cup B$) = 0.7 + 0.4 - P($A \cap B$) = 0.7 + 0.4 - 0 = 1.1

Correction:

Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. On calcule d'abord $P(A \cap B)$ grâce à la formule $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. On a donc $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0.7 + 0.5 - 0.9 = 0.3$. D'autre part, $P(A) \times P(B) = 0.7 \times 0.5 = 0.35$. Comme $P(A \cap B) \neq P(A) \times P(B)$, les événements ne sont pas indépendants.

Correction:

Oui. L'intersection est commutative : $A \cap B$ et $B \cap A$ représentent le même événement (les issues qui sont à la fois dans $A$ et dans $B$). Donc, leurs probabilités sont égales.

Correction:

Oui. L'union est commutative : $A \cup B$ et $B \cup A$ représentent le même événement (les issues qui sont dans $A$ ou dans $B$, ou dans les deux). Donc leurs probabilités sont égales.

Correction:

Oui. $\Omega$ représente l'univers, c'est-à-dire l'ensemble de toutes les issues possibles de l'expérience aléatoire. L'événement $\Omega$ est donc l'événement certain, et sa probabilité est toujours 1.

Correction:

Un événement impossible ne se réalise jamais. Sa probabilité est donc 0.