Correction:

Lorsqu'on multiplie (ou divise) les deux membres d'une inégalité par un nombre *négatif*, il faut *changer* le sens de l'inégalité.

Correction:

$x \le 5$ signifie que $x$ peut prendre toutes les valeurs inférieures ou égales à 5. Cela correspond à l'intervalle $]-\infty; 5]$.

Correction:

$-3x + 6 > 0 \Rightarrow -3x > -6$. On divise par -3, un nombre négatif, donc on *change* le sens de l'inégalité : $x < \frac{-6}{-3} \Rightarrow x < 2$.

Correction:

$2(x - 1) \leq 4x + 5 \Rightarrow 2x - 2 \leq 4x + 5 \Rightarrow -2 - 5 \leq 4x - 2x \Rightarrow -7 \leq 2x \Rightarrow -\frac{7}{2} \leq x$, ou encore $x \geq -\frac{7}{2}$.

Correction:

Le crochet "[" indique que la borne -2 est *incluse*. Le crochet "[" indique que la borne 5 est *exclue*. L'intervalle correspond donc à $-2 \leq x < 5$.

Correction:

On cherche tous les nombres *strictement supérieurs* à -3. L'intervalle est ouvert en -3 et s'étend jusqu'à l'infini : $]-3; +\infty[$.

Correction:

$-2x + 1 \geq 5 \Rightarrow -2x \geq 4 \Rightarrow x \leq -2$ (changement de sens car division par -2). La solution est donc l'intervalle $]-\infty; -2]$.

Correction:

$5x - 3 \le 5x + 2 \Rightarrow -3 \le 2$. Cette inégalité est *toujours vraie*, quel que soit $x$. L'ensemble des solutions est donc $\mathbb{R}$ (tous les nombres réels).

Correction:

$2x - 1 > 2x + 5 \Rightarrow -1 > 5$. Cette inégalité est *toujours fausse*. Il n'y a donc aucune solution. L'ensemble des solutions est l'ensemble vide, noté $\emptyset$.

Correction:

Pour étudier le signe d'un quotient, il faut faire un *tableau de signes*, en étudiant le signe du numérateur et du dénominateur, puis en appliquant la règle des signes pour le quotient. On ne peut pas multiplier par $x+3$ directement, car on ne connaît pas son signe.

Correction:

On fait un tableau de signes. Attention, -1 est une valeur interdite (double barre) :

L'ensemble des solutions est $]-\infty; -1[ \cup [2; +\infty[$.

Correction:

On fait un tableau de signes :

L'ensemble des solutions est $S=]-3; \frac{1}{2}[$.

Correction:

$x^2 \le 4 \iff x^2 - 4 \le 0 \iff (x-2)(x+2)\le0 $.

On fait un tableau de signes :

La solution est donc $x \in [-2 ; 2]$.

Correction:

$x^2 > 9 \iff x^2 - 9 > 0 \iff (x-3)(x+3) > 0$

On dresse le tableau de signes :

On prend les intervalles où le produit est strictement positif : $x \in ]-\infty; -3[ \cup ]3; +\infty[$.

Correction:

On fait un tableau de signes. Attention, -1 est une valeur interdite :

L'ensemble des solutions est $]-1; 3]$.

Correction:

Il faut se ramener à un quotient et faire un tableau de signes. On ne peut pas multiplier par $x$ directement, car on ne connaît pas son signe ! $\dfrac{1}{x} < 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} - 1 < 0 \Leftrightarrow \dfrac{1-x}{x} < 0$.

On fait un tableau de signes :
On prend les intervalles où le quotient est strictement négatif : $]-\infty; 0[ \cup ]1; +\infty[$.

Correction:

On fait un tableau de signes (attention, 1 est une valeur interdite) :

L'ensemble de solutions est $]1;2]$.

Correction:

Attention à ne pas faire de produit en croix directement, car on ne connait pas le signe de $2-x$ ! Il faut se ramener à l'étude du signe d'un quotient. $\dfrac{-x+1}{2-x} \leq 2 \Leftrightarrow \dfrac{-x+1}{2-x} - 2 \leq 0 \Leftrightarrow \dfrac{-x+1 - 2(2-x)}{2-x} \leq 0 \Leftrightarrow \dfrac{-x+1-4+2x}{2-x} \leq 0 \Leftrightarrow \dfrac{x-3}{2-x} \leq 0$

On fait un tableau de signes (attention : $2$ est une valeur interdite !) :

L'ensemble des solutions est donc $]-\infty; 2[ \cup [3; +\infty[$.

Correction:

On factorise :
$(2x-1)(x+5)-(2x-1)(3x+1)\geqslant 0$
$(2x-1)[(x+5)-(3x+1)] \geqslant 0$
$(2x-1)(x+5-3x-1)\geqslant 0$
$(2x-1)(-2x+4) \geqslant 0$.

Tableau de signes :

On cherche les intervalles où le produit est positif ou nul : $\left[\frac{1}{2};2\right]$.

Correction:

Il faut se ramener à une étude de signe d'un quotient :

$\dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{3} \leqslant 0 \Leftrightarrow \dfrac{3-x}{3x} \leqslant 0$

Tableau de signes (attention, 0 est une valeur interdite):