Identités Remarquables, Puissances et Racines Carrées

Correction:

On utilise l'identité remarquable $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Ici, $a = x$ et $b = 5$.

Donc, $(x + 5)^2 = x^2 + 2 \times x \times 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25$.

Conseil : N'oubliez pas le double produit (2ab) dans l'identité remarquable.

Correction:

On utilise la règle : $a^m \times a^n = a^{m+n}$.

Donc, $2^3 \times 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32$.

On n'additionne pas les bases, seulement les exposants.

Conseil : Lorsque vous multipliez des puissances de la même base, additionnez les exposants.

Correction:

La racine carrée de 81 est 9 car $9 \times 9 = 81$.

Conseil : Apprenez les carrés parfaits pour simplifier rapidement les racines carrées.

Correction:

On utilise l'identité remarquable $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$.

Ici, $a = x$ et $b = 6$ car $36 = 6^2$.

Donc, $x^2 - 36 = (x+6)(x-6)$.

Conseil : Reconnaissez la différence de deux carrés pour factoriser facilement.

Correction:

On utilise la règle : $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

Donc, $(\frac{5}{2})^{-2} = (\frac{2}{5})^2 = \frac{2^2}{5^2} = \frac{4}{25}$.

Conseil : Un exposant négatif sur une fraction inverse la fraction.

Correction:

On cherche le plus grand carré parfait qui divise 27. C'est 9.

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = \sqrt{9} \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.

Conseil : Décomposez le nombre sous la racine pour trouver les carrés parfaits.

Correction:

On utilise l'identité remarquable $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Ici, $a = 3x$ et $b = 2$.

Donc, $(3x - 2)^2 = (3x)^2 - 2 \times 3x \times 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4$.

Conseil : Faites attention au double produit et au signe moins.

Correction:

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Donc, $10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0.01$.

Conseil : Un exposant négatif indique une fraction (l'inverse de la puissance).

Correction:

$\sqrt{4} = 2$ et $\sqrt{25} = 5$.

Donc, $\sqrt{4} \times \sqrt{25} = 2 \times 5 = 10$.

Conseil : Vous pouvez aussi utiliser $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$

Correction:

On utilise l'identité remarquable $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Ici, $a = x$ et $b = 3$.

Donc, $(x - 3)(x + 3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$.

Correction:

On utilise la règle $(a^m)^n = a^{m \times n}$.

Donc, $(5^2)^3 = 5^{2 \times 3} = 5^6$.

Conseil : Quand on élève une puissance à une autre puissance, on multiplie les exposants.

Correction:

On utilise la règle : $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.

Donc, $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5$.

Conseil : Simplifiez d'abord la fraction sous la racine carrée.

Correction:

On reconnaît l'identité remarquable $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Ici, $a = 2x$ et $b = 3$.

On vérifie : $(2x)^2 = 4x^2$, $3^2 = 9$, et $2 \times 2x \times 3 = 12x$.

Donc, $4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2$.

Conseil : Vérifiez toujours le double produit pour confirmer l'identité.

Correction:

On utilise la règle : $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Donc, $\frac{6^7}{6^5} = 6^{7-5} = 6^2 = 36$.

Conseil : Quand on divise des puissances de même base, on soustrait les exposants.

Correction:

On simplifie $\sqrt{18}$ : $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.

Donc, $\sqrt{18} + \sqrt{2} = 3\sqrt{2} + \sqrt{2} = (3+1)\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.

Conseil : On ne peut additionner des racines carrées que si elles ont le même radicande.

Correction:

On utilise l'identité remarquable $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ avec $a=3x$ et $b=4$.

Donc : $9x^2 - 16 = (3x)^2 - 4^2 = (3x-4)(3x+4)$.

Conseil: Recherchez toujours une différence de deux carrés pour factoriser.

Correction:

$(-2)^4 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = 16$.

Un nombre négatif élevé à une puissance paire devient positif.

Conseil : Attention au signe ! Une puissance paire rend un nombre négatif positif.

Correction:

On utilise la règle $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$

Donc : $\sqrt{3} \times \sqrt{12} = \sqrt{3 \times 12} = \sqrt{36} = 6$.

Conseil : Multipliez d'abord les nombres sous la racine carrée.

Correction:

Tout nombre (sauf 0) élevé à la puissance 0 est égal à 1.

Conseil : Retenez bien que n'importe quel nombre non nul à la puissance 0 vaut 1.

Correction:

On reconnait l'identité remarquable : $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

Donc, $(2x + 1)(2x - 1) = (2x)^2 - 1^2 = 4x^2 - 1$

Conseil : Mémorisez l'identité remarquable $(a+b)(a-b)= a^2 - b^2$.

Correction:

On sait que $16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4$.

Donc, $\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = 2^{-4}$.

Conseil : Apprenez les puissances de 2 pour les conversions rapides.

Correction:

On cherche le plus grand carré parfait qui divise 48. C'est 16.

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{16} \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

Conseil : Décomposez le nombre sous la racine carrée pour identifier les carrés parfaits.

Correction:

On utilise l'identité remarquable $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Ici, $a = x$ et $b=4$.

Donc, $x^2 + 8x + 16 = (x+4)^2$.

Conseil : Recherchez les carrés parfaits pour factoriser avec les identités remarquables.

Correction:

$3^2 = 9$ et $2^3 = 8$.

Donc, $3^2 \times 2^3 = 9 \times 8 = 72$.

On ne peut pas combiner des puissances de bases différentes.

Conseil : Calculez séparément les puissances avant de les multiplier.

Correction:

La racine carrée et le carré sont des opérations inverses.

Donc, $(\sqrt{11})^2 = 11$.

Conseil : La racine carrée d'un nombre, élevée au carré, redonne le nombre initial.

Correction:

On utilise la règle $(a^m)^n = a^{m \times n}$.

Donc, $(x^3)^4 = x^{3 \times 4} = x^{12}$.

Conseil: Lorsqu'une puissance est élevée à une autre puissance, on multiplie les exposants.

Correction :

On utilise l'identité remarquable $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ avec $a = 2a$ et $b = 5b$.

Donc : $(2a+5b)^2 = (2a)^2 + 2\times2a\times5b + (5b)^2 = 4a^2 + 20ab + 25b^2$.

Conseil : N'oubliez pas le double produit et appliquez correctement la règle des puissances.

Correction:

On factorise par $\sqrt{5}$ : $2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} - \sqrt{5} = (2 + 3 - 1)\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$

Conseil : Traitez les racines carrées comme des termes semblables (avec la même variable).

Correction:

On utilise l'identité remarquable : $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Donc, $(x - 2y)^2 = x^2 - 2 \times x \times 2y + (2y)^2 = x^2 - 4xy + 4y^2$.

Conseil : Faites attention au double produit et au signe moins.

Correction:

On applique la règle de division des puissances : $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ .

Donc : $\frac{9^{10}}{9^{8}} = 9^{10-8} = 9^2 = 81$.

Conseil : Soustrayez les exposants quand vous divisez des puissances de même base.