Quiz sur les Fonctions de Référence

Correction:

La fonction carré est définie par $f(x) = x^2$. L'image de $-2$ est donc $(-2)^2 = (-2) \times (-2) = 4$.

Correction:

On cherche un nombre dont le cube est -8. $(-2) \times (-2) \times (-2) = -8$. Donc, $x = -2$.

Correction:

La fonction racine carrée est définie par $f(x) = \sqrt{x}$. L'image de $9$ est $\sqrt{9} = 3$. La racine carrée d'un nombre positif est toujours positive.

Correction:

La fonction inverse est définie par $f(x) = \frac{1}{x}$. On ne peut pas diviser par zéro, donc $x$ doit être différent de 0. L'ensemble de définition est donc l'ensemble des réels non nuls, noté $\mathbb{R}^*$ ou $]-\infty; 0[ \cup ]0; +\infty[$.

Correction:

Non, la fonction carré n'est pas croissante sur $\mathbb{R}$. Elle est décroissante sur $]-\infty; 0]$ et croissante sur $[0; +\infty[$.

Correction:

Non, la fonction cube est impaire. Une fonction $f$ est paire si $f(-x) = f(x)$ pour tout $x$ dans son domaine de définition. Une fonction est impaire si $f(-x) = -f(x)$. Pour la fonction cube, $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$.

Correction:

La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole.

Correction:

La racine carrée d'un nombre réel est toujours positive ou nulle. Il n'existe donc aucun nombre réel $x$ tel que $\sqrt{x} = -2$.

Correction:

La fonction inverse est décroissante sur $]0; +\infty[$. Si $0 < a < b$, alors l'ordre est inversé lorsqu'on prend les inverses : $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$.

Correction:

La fonction carré est décroissante sur $]-\infty; 0]$. Si $a < b < 0$, alors l'ordre est inversé lorsqu'on prend les carrés : $a^2 > b^2$.

Correction:

Oui, la fonction cube est strictement croissante sur tout $\mathbb{R}$.

Correction:

Si $4 \leqslant x \leqslant 9$, alors $\sqrt 4 \leqslant \sqrt x \leqslant \sqrt 9$ car la fonction racine carrée est croissante sur son ensemble de définition. On a donc bien $2 \leqslant \sqrt x \leqslant 3$.

Correction:

$\dfrac{1}{x} = -5$ est équivalent à $-5x = 1$ en multipliant par $x$ (qui est non nul). On divise par $-5$ des deux cotés pour obtenir : $x = -\dfrac{1}{5}$

Correction:

La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Si $2 < x < 3$, alors $2^3 < x^3 < 3^3$, c'est-à-dire $8 < x^3 < 27$.

Correction:

Non, la fonction inverse n'est pas définie pour $x=0$ car on ne peut pas diviser par zéro. 0 est une valeur interdite.

Correction:

Non. La fonction racine carrée est définie seulement pour les nombres positifs ou nuls ($x \geq 0$).

Correction:

La fonction inverse est décroissante sur $]0; +\infty[$. Si $a$ et $b$ sont strictement positifs et $\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b}$, alors l'ordre est inversé : $a > b$.

Correction:

Si $a$ et $b$ sont négatifs, alors $a^2 > b^2$ implique que $a$ est *plus petit* que $b$ (car la fonction carrée inverse l'ordre sur les négatifs). Par exemple, $(-3)^2 = 9$ et $(-2)^2 = 4$, mais $-3 < -2$. Comme l'énoncé indique $a^2 < b^2$, alors $a>b$.

Correction:

La fonction racine carrée est strictement croissante sur son domaine de définition, qui est $[0; +\infty[$.

Correction:

Comme la fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty[$, si $\sqrt{a} < \sqrt{b}$, alors $a < b$.

Correction:

$(-3,14)^{3} = (-3,14) \times (-3,14) \times (-3,14)$. Un produit d'un nombre impair de facteurs négatifs est négatif.

Correction:

La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty; 0[$. Donc, si $x \in [-3;-2]$, on inverse l'ordre : $\dfrac{1}{-2} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{-3}$, c'est à dire $-\dfrac{1}{2} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant -\dfrac{1}{3}$

Correction:

La fonction carré inverse l'ordre sur $]-\infty; 0]$. Donc si $-2 < x < -1$ alors $(-1)^2 < x^2 < (-2)^2$, c'est-à-dire $1 < x^2 < 4$.

Correction:

L'équation $x^3 = 125$ a pour solution $x = \sqrt[3]{125} = 5$.

Correction:

Si $x \in [2; 5]$, alors comme la fonction carrée est croissante sur $[0; +\infty[$, $2^2 \leqslant x^2 \leqslant 5^2$, c'est à dire $4 \leqslant x^2 \leqslant 25$. En multipliant par -1, on change le sens de l'inégalité : $-25 \leqslant -x^2 \leqslant -4$. Enfin, en ajoutant 1 à chaque membre, on obtient : $-25 + 1 \leqslant -x^2 + 1 \leqslant -4 + 1$, soit $-24 \leqslant -x^2 + 1 \leqslant -3$.

Correction:

$x^2 \leqslant 16$ est équivalent à $x^2 - 16 \leqslant 0$, soit $(x-4)(x+4) \leqslant 0$. En faisant un tableau de signes, ou en utilisant les propriétés de la fonction carré, on trouve que $-4 \leqslant x \leqslant 4$.

Correction:

Si $x$ est négatif, $x^2$ est positif et $x^3$ est négatif. Un nombre négatif est toujours plus petit qu'un nombre positif. Donc $x^3 < x^2$.

Correction:

Puisque la fonction cube est croissante, si $1 < x < 2$ alors $1^3 < x^3 < 2^3$ c'est à dire $1 < x^3 < 8$.

Correction:

Comme la fonction inverse est décroissante sur $]0; +\infty[$, $4 \dfrac{1}{x}$

Correction:

Si $\dfrac{1}{x} = -4$, alors en multipliant par x (qui est forcément non nul) : $1 = -4x$. En divisant par $-4$ on obtient: $x = -\dfrac{1}{4}$.