Quiz sur les Équations et Inéquations

Correction:

La forme générale d'une équation du premier degré à une inconnue est $ax + b = 0$, où $a$ et $b$ sont des constantes, et $a \neq 0$.

Correction:

Lorsqu'on multiplie (ou divise) les deux membres d'une inégalité par un nombre négatif, il faut *inverser* le sens de l'inégalité. C'est une règle fondamentale pour les inéquations.

Correction:

C'est la règle fondamentale pour résoudre les équations produits : un produit de facteurs est nul si et seulement si *au moins un* des facteurs est nul.

Correction:

Un quotient est nul si et seulement si son *numérateur* est nul, *et* son dénominateur est non nul (pour éviter la division par zéro, qui est interdite).

Correction:

Une double barre verticale dans un tableau de signes indique une *valeur interdite*, c'est-à-dire une valeur pour laquelle l'expression étudiée n'est pas définie (typiquement, une valeur qui annule un dénominateur).

Correction:

Il faut se rappeler que $x^2 = a$ a *deux* solutions si $a > 0$ : $x = \sqrt{a}$ et $x = -\sqrt{a}$. Ici, les solutions sont $x = 3$ et $x = -3$.

Correction:

On dresse le tableau de signes de $(x-2)(x+1)$ : On cherche les intervalles où le produit est strictement positif. La solution est donc $]-\infty; -1[ \cup ]2; +\infty[$.

Correction:

Un quotient est nul si et seulement si son *numérateur* est nul, et son *dénominateur* est non nul. Ici, $x-1 = 0$ donne $x = 1$. Il faut vérifier que cette valeur n'annule pas le dénominateur : $1 + 2 = 3 \neq 0$. Donc la solution est bien $x = 1$.

Correction:

Attention, on ne peut pas simplement multiplier par $x$ car on ne connait pas son signe. Il faut se ramener à l'étude du signe d'un quotient :

$\dfrac{1}{x} < 2 \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} - 2 < 0 \Leftrightarrow \dfrac{1-2x}{x} < 0$

On fait un tableau de signes :

La solution est donc $]-\infty; 0[ \cup ]\frac{1}{2}; +\infty[$.

Correction:

Il faut exclure la valeur qui annule le *dénominateur*, car la division par zéro est impossible. On cherche donc $x$ tel que $2x - 4 = 0$, ce qui donne $x = 2$.

Correction:

$-2x + 5 \leq 11 \Leftrightarrow -2x \leq 6 \Leftrightarrow x \geq -3$. Attention à changer le sens de l'inégalité quand on divise par un nombre négatif.

Correction:

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. Donc, soit $x-4=0$, soit $2x+6=0$. On a donc $x=4$ ou $x=-3$.

Correction:

Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul (et son dénominateur non nul). Ici, il faut $3x - 1 = 0$, ce qui donne $x = \frac{1}{3}$. Il faut aussi vérifier que cette valeur n'annule pas le dénominateur : $\frac{1}{3} + 2 \neq 0$. Donc la solution est bien $x=\frac{1}{3}$.

Correction:

On peut factoriser : $x^2-9 = (x-3)(x+3) = 0$. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. Donc $x-3=0$ ou $x+3=0$. On obtient $x=3$ ou $x=-3$. On peut aussi dire que $x^2 = 9$, et donc $x = \sqrt{9} = 3$ ou $x = -\sqrt{9} = -3$.

Correction:

$4x - (2x + 1) = 5(x - 2) \Rightarrow 4x - 2x - 1 = 5x - 10 \Rightarrow 2x - 1 = 5x - 10 \Rightarrow 9 = 3x \Rightarrow x = 3$.

Correction:

$2(3x-4)+5 = 6x-3 \Rightarrow 6x - 8 + 5 = 6x -3 \Rightarrow 6x - 3 = 6x - 3$. Cette égalité est vraie pour *toutes* les valeurs de $x$. Il y a donc une infinité de solutions.

Correction:

$7x - 2 < 4x + 1 \Rightarrow 7x - 4x < 1 + 2 \Rightarrow 3x < 3 \Rightarrow x < 1$.

Correction:

$4 - 2(x + 1) \geq 3x \Rightarrow 4 - 2x - 2 \geq 3x \Rightarrow 2 - 2x \geq 3x \Rightarrow 2 \geq 5x \Rightarrow \frac{2}{5} \geq x$, ou encore $x \leqslant \frac{2}{5}$.

Correction:

Multiplions par 2 pour éliminer la fraction (2 est positif, donc on ne change pas le sens de l'inégalité) :

$\dfrac{x}{2} - 1 > 3x \Rightarrow x - 2 > 6x \Rightarrow -2 > 5x \Rightarrow -\dfrac{2}{5} > x$. Donc $x < -\dfrac{2}{5}$.

Correction:

On dresse un tableau de signes :
On cherche les intervalles où le produit est négatif ou nul. La solution est donc $]-\infty; -2] \cup [3; +\infty[$.

Correction:

On dresse un tableau de signes : On cherche les intervalles où le quotient est positif ou nul. Attention, $3$ est une valeur interdite (double barre). La solution est donc $]-\infty; -2] \cup ]3; +\infty[$.

Correction:

On dresse un tableau de signes. Attention, $-4$ est une valeur interdite :
La solution est donc $]-4; \frac{1}{2}]$.

Correction:

On fait un produit en croix, sans oublier de préciser que $x \neq -2$ (valeur interdite): $\dfrac{x+1}{x+2} = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow 4(x+1)=x+2 \Leftrightarrow 4x+4 = x+2 \Leftrightarrow 3x=-2 \Leftrightarrow x=-\dfrac{2}{3}$.

Correction:

$-2x \leqslant 8 \Leftrightarrow x \geqslant \dfrac{8}{-2} \Leftrightarrow x \geqslant -4$. Attention au changement de sens de l'inégalité lors de la division par -2 (négatif).

Correction:

$(3x-2)^2=9 \Leftrightarrow (3x-2)^2 - 3^2=0$
$(3x-2-3)(3x-2+3)=0$
$(3x-5)(3x+1)=0$

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul. Donc : $3x-5=0$ ou $3x+1=0$, soit $x=\dfrac{5}{3}$ ou $x=-\dfrac{1}{3}$.

Correction:

On reconnait une identité remarquable : $x^2+10x+25=x^2+2\times 5 \times x +5^2=(x+5)^2$. L'équation s'écrit donc $(x+5)^2=0$. Un carré est nul si et seulement si la base est nulle : $x+5=0 \Leftrightarrow x=-5$.

Correction:

Attention : 2 est une valeur interdite !

$\dfrac{x+2}{x-2} = 2 \Leftrightarrow x+2 = 2(x-2) \Leftrightarrow x+2 = 2x-4 \Leftrightarrow -x = -6 \Leftrightarrow x=6$. La solution est bien différente de la valeur interdite, donc elle est acceptable.

Correction:

$(2x+1)(x-3)=(1-x)(2x+1) \Leftrightarrow (2x+1)(x-3)-(1-x)(2x+1)=0$

On factorise : $(2x+1)[(x-3)-(1-x)] = 0 \Leftrightarrow (2x+1)(x-3-1+x)=0 \Leftrightarrow (2x+1)(2x-4)=0$

Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul, donc $2x+1=0$ ou $2x-4=0$ , c'est-à-dire $x=-\dfrac{1}{2}$ ou $x=2$

Correction:

Attention, $x$ doit être différent de $0$ (valeur interdite). On a donc $x = \dfrac{4}{x} \Leftrightarrow x^2 = 4$. Les solutions sont donc $2$ et $-2$.

Correction:

Attention : $x \neq -2$. En faisant le produit en croix : $4 = 3(x+2) \Rightarrow 4 = 3x + 6 \Rightarrow -2 = 3x \Rightarrow x = -\dfrac{2}{3}$.