Quiz sur les Équations de Droites

Correction:

Oui, c'est une équation cartésienne de droite. Elle est de la forme $ax + by + c = 0$ avec $a = 2$, $b = -3$, et $c = 6$. $a$ et $b$ ne sont pas simultanément nuls.

Correction:

La forme générale d'une équation cartésienne de droite est $ax + by + c = 0$, où $a$ et $b$ ne sont pas simultanément nuls.

Correction:

Pour une équation cartésienne de la forme $ax + by + c = 0$, un vecteur directeur est donné par $\vec{u} = \begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$. Ici, $a = 2$ et $b = -5$, donc un vecteur directeur est $\vec{u} = \begin{pmatrix} -(-5) \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$.

Correction:

Dans l'équation réduite $y = mx + p$, $m$ représente le coefficient directeur de la droite, c'est-à-dire sa pente.

Correction:

On calcule le coefficient directeur $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{5 - 3}{1 - 0} = \frac{2}{1} = 2$. L'équation est de la forme $y = 2x + p$. Comme le point $A(0, 3)$ appartient à la droite, on a $3 = 2(0) + p$, donc $p = 3$. L'équation réduite est $y = 2x + 3$.

Correction:

Deux droites ayant le même coefficient directeur ont la même "pente". Elles sont donc parallèles. Elles peuvent être strictement parallèles (distinctes) ou confondues (si elles ont aussi la même ordonnée à l'origine).

Correction:

Une équation de la forme $x = c$ (où $c$ est une constante) représente une droite verticale. Tous les points de cette droite ont la même abscisse, $c$.

Correction:

Une équation de la forme $y = c$ (où $c$ est une constante) représente une droite horizontale. Tous les points de cette droite ont la même ordonnée, $c$.

Correction:

Dans l'équation réduite $y = mx + p$, $p$ représente l'ordonnée à l'origine. Ici, $p = -2$.

Correction:

Le a de l'équation cartésienne $ax+by+c=0$ correspond bien à l'abscisse

Correction:

On remplace $x$ par 2 et $y$ par -1 dans l'équation : $2 + 2(-1) = 2 - 2 = 0$. L'égalité est vérifiée, donc le point $A$ appartient à la droite.

Correction:

Dans l'équation réduite $y = mx + p$, $p$ est l'ordonnée à l'origine. Ici, $p = 3$.

Correction:

Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur. Ici, les coefficients directeurs sont 2 et -1, qui sont différents. Les droites ne sont donc pas parallèles (elles sont sécantes).

Correction:

On cherche une équation de type $y= mx + p$. On sait que $m=-1$. Le point $(0;5)$ appartient à la droite, son ordonnée qui vaut 5 correspond à l'ordonnée à l'origine. Donc $\boxed{y=-x+5}$

Correction:

Le coefficient directeur est donné par $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$. On a A(0;2) et B(4;0). En remplaçant on obtient:

$m = \dfrac{0-2}{4-0} = \dfrac{-2}{4} = -\dfrac{1}{2}$.

$y = -\dfrac{1}{2}x+2$.

Correction:

Les coefficients directeurs des droites sont respectivement $2$ et $3$. Comme ces coefficients sont différents, les droites sont sécantes.

Correction:

On détermine l'équation réduite de la première droite : $4x-6y+3=0 \Leftrightarrow -6y = -4x-3 \Leftrightarrow y = \dfrac{-4}{-6}x-\dfrac{3}{6} \Leftrightarrow y=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{2}$

Les deux droites ont pour coefficient directeur $\dfrac{2}{3}$.

Les droites sont donc parallèles.

Correction:

L'équation réduite est de la forme $y=mx+p$. On sait que $m=3$, on a donc $y=3x+p$. De plus, la droite passe par $A(-2;1)$, donc les coordonnées de $A$ vérifient l'équation de la droite, on a donc $1 = 3 \times (-2)+p$. Donc $p = 1+6=7$. L'équation cherchée est donc $y = 3x+7$.

Correction:

Ces deux droites ont le même coefficient directeur 2, elles sont donc parallèles.

Comme elles n'ont pas la même ordonnée à l'origine, elle ne sont pas confondues.

Correction:

Les coefficients directeurs de ces deux droites sont différents, elles sont donc sécantes.

Correction:

Une équation cartésienne de cette droite est $2x-y-3=0$. Un vecteur directeur est donc $\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

Correction:

Une équation cartésienne de la droite est $3x + y - 2 = 0$. Un vecteur directeur est donc $\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$. On peut aussi remarquer que $\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix} = -1 \times \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$.

Correction:

La forme générale de l'équation réduite est \( y = mx + p \).

Calculons le coefficient directeur (\( m \)) : \( m = \frac{9 - 5}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2 \).

Utilisons le point \( A(2, 5) \) pour trouver \( p \) : \( 5 = 2 \cdot 2 + p \Rightarrow p = 5 - 4 = 1 \).

L'équation réduite est donc \( y = 2x + 1 \).

Correction:

L'équation réduite d'une droite est de la forme \( y = mx + p \), où \( m \) est le coefficient directeur et \( p \) est l'ordonnée à l'origine.

On nous donne \( m = -3 \) et le point \( (0, 4) \), qui nous indique que l'ordonnée à l'origine est \( p = 4 \).

L'équation est donc \( y = -3x + 4 \).

Correction:

Une équation cartésienne est de la forme $ax+by+c=0$ avec $\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$. Donc $a=-1$ et $b=-2$. L'équation est de la forme $-x-2y+c=0$.

De plus, la droite passe par le point $(3;1)$ donc $-3-2\times 1+c=0$ donc $-5+c=0$ donc $c=5$.

Une équation cartésienne de la droite est donc $-x-2y+5=0$ ou encore $\boxed{x+2y-5=0}$

Correction:

On calcule le coefficient directeur $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{3-1}{2-(-2)}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$.
L'équation cherchée est donc de la forme $y=\dfrac{1}{2}x+p$.
De plus, $A$ appartient à la droite, donc $y_A=\dfrac{1}{2}x_A+p$, c'est à dire $1=\dfrac{1}{2}\times (-2)+p$.

$1=-1+p$, donc $p=2$.

L'équation réduite est donc $\boxed{y=\dfrac{1}{2}x+2}$.

Correction:

Le coefficient directeur est $m = \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} = \dfrac{4-(-2)}{3-1} = \dfrac{6}{2} = 3$. L'équation est de la forme $y = 3x + p$.
De plus, le point $A(1;-2)$ appartient à la droite, donc $-2 = 3 \times 1 + p$, donc $p = -5$.

L'équation est donc $\boxed{y = 3x - 5}$.

Correction:

Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur. La droite cherchée a donc pour coefficient directeur $m = 3$.

L'équation réduite de la droite cherchée est donc de la forme $y = 3x + p$.

La droite passe par le point $A(1;2)$, donc $2 = 3 \times 1 + p$, d'où $p = -1$.

L'équation réduite est donc $y = 3x - 1$, ce qui donne l'équation cartésienne $\boxed{3x - y - 1 = 0}$.

Correction:

L'équation est de la forme $y=-2x+p$.

Le point A appartient à la droite, donc l'équation est vérifiée par les coordonnées de A :

$-3 = -2 \times 4 + p$ donc $-3 = -8 + p$ donc $p = 5$

L'équation est donc $\boxed{y=-2x+5}$.

Correction:

Le point d'intersection avec l'axe des abscisses a pour ordonnée $0$. Donc en remplaçant $y$ par $0$ dans l'équation, on obtient $2x-6=0$ donc $x=3$.

Le point A a pour coordonnées $(3;0)$.

Le point d'intersection avec l'axe des ordonnées a pour abscisse $0$. Donc en remplaçant $x$ par $0$ dans l'équation, on obtient $3y-6=0$ donc $y=2$.

Le point B a pour coordonnées $(0;2)$.