Quiz sur les Ensembles de Nombres

Correction:

$-5$ est un entier négatif. Le plus petit ensemble contenant les entiers négatifs est l'ensemble des entiers relatifs, noté $\mathbb{Z}$. $\mathbb{N}$ ne contient que les entiers positifs et zéro. $\mathbb{D}$ et $\mathbb{Q}$ contiennent $\mathbb{Z}$, mais ne sont pas les plus petits.

Correction:

Un nombre décimal peut s'écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$, où $a$ est un entier et $n$ un entier naturel. $\frac{2}{3}$ ne peut pas s'écrire sous cette forme, car son développement décimal est infini et périodique ($0,666...$). Donc, $\frac{2}{3}$ n'est pas un nombre décimal.

Correction:

Un nombre irrationnel ne peut pas s'écrire sous forme de fraction $\frac{p}{q}$ où $p$ et $q$ sont des entiers. $\pi$ est un nombre irrationnel célèbre, avec un développement décimal infini et non périodique. $3,14$ est une approximation décimale de $\pi$, $\frac{22}{7}$ est une approximation rationnelle, et $\sqrt{9} = 3$ est un entier.

Correction:

L'intersection de deux ensembles contient les éléments qui appartiennent aux deux ensembles. Comme tous les entiers naturels ($\mathbb{N}$) sont aussi des entiers relatifs ($\mathbb{Z}$), l'intersection de $\mathbb{N}$ et $\mathbb{Z}$ est $\mathbb{N}$. On dit que $\mathbb{N}$ est inclus dans $\mathbb{Z}$ ($\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$).

Correction:

L'affirmation est fausse. $\mathbb{Q}$ représente l'ensemble des nombres rationnels, et $\mathbb{D}$ l'ensemble des nombres décimaux. Tous les nombres décimaux sont rationnels ($\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$), mais tous les nombres rationnels ne sont pas décimaux (par exemple, $\frac{1}{3}$). C'est donc l'inclusion inverse qui est vraie.

Correction:

La notation $\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 0\}$ se lit "l'ensemble des $x$ appartenant à $\mathbb{R}$ tels que $x$ est supérieur ou égal à 0". Cela décrit précisément l'ensemble des nombres réels positifs ou nuls, souvent noté $\mathbb{R}_+$.

Correction:

$\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel. Il ne peut pas être exprimé comme une fraction de deux entiers. Par conséquent, il n'appartient *pas* à l'ensemble des nombres rationnels, $\mathbb{Q}$. La démonstration de l'irrationalité de $\sqrt{2}$ est un résultat classique.

Correction:

L'union ($\cup$) de deux intervalles prend tous les éléments qui sont dans l'un *ou* l'autre intervalle (ou les deux). Ici, on a des intervalles qui se chevauchent. En les combinant, on obtient l'intervalle $]-1; 5[$. Le $-1$ est exclu (car il n'est pas dans le premier intervalle), et le $5$ est exclu (car il n'est pas dans le second).

Correction:

L'intersection ($\cap$) de deux intervalles prend les éléments qui sont *dans les deux* intervalles. Ici, la partie commune aux deux intervalles est $[2; 4]$. Les deux bornes, $2$ et $4$, sont incluses car elles appartiennent aux deux intervalles.

Correction:

Oui, $0$ est un entier naturel. L'ensemble des entiers naturels, $\mathbb{N}$, est défini comme $\{0, 1, 2, 3, ...\}$. Il *inclut* zéro.

Correction:

Oui. Tout entier relatif $n$ peut s'écrire sous la forme d'une fraction $\frac{n}{1}$. Comme un nombre rationnel est défini comme un nombre pouvant s'écrire sous la forme d'une fraction de deux entiers, tout entier relatif est un nombre rationnel. On a donc $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$.

Correction:

Non, $\mathbb{R}$ n'est pas dénombrable. Un ensemble est dénombrable s'il peut être mis en bijection avec $\mathbb{N}$. L'argument de la diagonale de Cantor montre que $\mathbb{R}$ ne peut pas être mis en bijection avec $\mathbb{N}$, et est donc *non dénombrable*.

Correction:

Le symbole $\emptyset$ (ou, de manière équivalente, $\{\}$) représente l'ensemble vide, c'est-à-dire l'ensemble qui ne contient aucun élément. $\{0\}$ est l'ensemble contenant l'élément zéro, qui n'est *pas* vide.

Correction:

Oui, $0,999... = 1$. Il existe plusieurs façons de le démontrer. Une méthode courante est de poser $x = 0,999...$, puis de calculer $10x = 9,999...$. En soustrayant, on obtient $9x = 9$, donc $x = 1$. C'est une source fréquente de confusion, mais ces deux écritures représentent le même nombre réel.

Correction:

Si $A$ est inclus dans $B$ ($A \subset B$), cela signifie que *tous* les éléments de $A$ sont aussi des éléments de $B$. Donc, l'intersection de $A$ et $B$ (les éléments qui sont à la fois dans $A$ et dans $B$) est simplement l'ensemble $A$.

Correction:

La notation standard pour l'ensemble des nombres décimaux est $\mathbb{D}$.

Correction:

Oui, $\frac{7}{4}$ appartient à $\mathbb{D}$. On a $\frac{7}{4} = 1,75$ qui a une écriture décimale finie. C'est donc un nombre décimal.

Correction:

Oui, 0,25 appartient à $\mathbb{Q}$ car il peut être exprimé sous la forme d'une fraction : $0.25 = \frac{1}{4}$.

Correction:

Oui, tout nombre réel est soit rationnel, soit irrationnel. L'ensemble des nombres réels, $\mathbb{R}$, est l'union de l'ensemble des nombres rationnels, $\mathbb{Q}$, et de l'ensemble des nombres irrationnels, $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$.

Correction:

Non. $\mathbb{Z}$ contient des nombres négatifs, qui ne sont pas dans $\mathbb{N}$. C'est $\mathbb{N}$ qui est inclus dans $\mathbb{Z}$.

Correction:

$\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ représente l'ensemble des nombres réels qui ne sont *pas* des nombres rationnels. C'est la définition de l'ensemble des nombres *irrationnels*.

Correction:

Oui. La somme de deux nombres décimaux est toujours un nombre décimal. Si $x = \frac{a}{10^m}$ et $y = \frac{b}{10^n}$ sont deux décimaux, leur somme $x + y$ peut s'écrire sous la forme $\frac{a \times 10^n + b \times 10^m}{10^{m+n}}$, qui est bien un nombre décimal.

Correction:

Oui. Si $x = \frac{a}{b}$ et $y = \frac{c}{d}$ sont deux nombres rationnels, avec $y \neq 0$ (donc $c \neq 0$), alors leur quotient $\frac{x}{y} = \frac{a/b}{c/d} = \frac{a \times d}{b \times c}$ est aussi un nombre rationnel (car $b \times c \neq 0$).

Correction:

Il y a une infinité de nombres réels entre deux nombres rationnels distincts. C'est une conséquence de la *densité* de $\mathbb{Q}$ et de $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$. Entre deux rationnels, il y a à la fois une infinité de rationnels et une infinité d'irrationnels.

Correction:

Non. La somme de deux nombres irrationnels peut être rationnelle. Par exemple, $\sqrt{2}$ et $-\sqrt{2}$ sont irrationnels, mais leur somme, $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$, est rationnelle (et même entière).

Correction:

L'ensemble des nombres réels, $\mathbb{R}$, est le plus grand ensemble de cette liste. Il contient tous les autres : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.

Correction:

Non. Par définition, un nombre décimal peut s'écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$, où $a$ est un entier et $n$ un entier naturel. Cette expression est une fraction, donc tout nombre décimal est un nombre rationnel. On a $\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$.

Correction:

Non. La racine carrée d'un entier naturel n'est un entier naturel que si cet entier est un *carré parfait* (comme 0, 1, 4, 9, 16, etc.). Sinon, la racine carrée est un nombre irrationnel (par exemple, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, etc.). L'option "Seulement pour les carrés parfaits" est une reformulation correcte, mais la réponse directe à la question est "Non".

Correction:

C'est l'ensemble vide. Le carré d'un nombre réel est *toujours* positif ou nul ($x^2 \geq 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$). Il n'existe donc aucun nombre réel dont le carré soit strictement négatif.

Correction:

Oui. Comme $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ (tout entier naturel est un entier relatif), l'union de $\mathbb{N}$ et $\mathbb{Z}$ est simplement $\mathbb{Z}$. L'union prend tous les éléments qui sont dans au moins l'un des deux ensembles, et ici, tous les éléments de $\mathbb{N}$ sont déjà dans $\mathbb{Z}$.