Quiz : Suites Numériques

Correction:

On calcule les termes successifs : $u_1 = 3u_0 - 5 = 3 \times 2 - 5 = 1$. $u_2 = 3u_1 - 5 = 3 \times 1 - 5 = -2$. $u_3 = 3u_2 - 5 = 3 \times (-2) - 5 = -11$. L'erreur fréquente est de mal substituer les valeurs précédentes.

Correction:

On étudie le signe de $v_{n+1} - v_n$: $v_{n+1} - v_n = 2(n+1)^2 - 3(n+1) + 1 - (2n^2 - 3n + 1) $

Correction :

Il s'agit d'une suite arithmétique de raison 7 et de premier terme 4. La formule générale d'une suite arithmétique est $u_n = u_0 + r \times n$, où $r$ est la raison. Donc, $u_n = 4 + 7n$. L'erreur courante est de confondre avec la formule d'une suite géométrique.

Correction :

C'est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme $w_0 = 5 \times 2^0 = 5$. La forme générale d'une suite géométrique est $u_n = u_0 \times q^n$, où $q$ est la raison. Une erreur fréquente est de penser que la présence d'une multiplication implique automatiquement une suite arithmético-géométrique.

Correction:

Les points $(n, u_n)$ d'une suite arithmétique sont alignés car la différence entre deux termes consécutifs est constante. Une erreur commune est de confondre avec la représentation d'une suite géométrique (courbe exponentielle).

Correction :

$u_1 = 2u_0 + 1 = 2 \times 1 + 1 = 3$ $u_2 = 2u_1 + 1 = 2 \times 3 + 1 = 7$. Il faut bien suivre l'ordre des calculs et utiliser les valeurs intermédiaires.

Correction :

La raison est le nombre par lequel on multiplie chaque terme pour obtenir le suivant. Ici, c'est 1/2. Il ne faut pas confondre la raison avec le premier terme.

Correction :

On calcule $u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 4(n+1) + 4 - (n^2 - 4n + 4) = n^2 + 2n + 1 - 4n - 4 + 4 - n^2 + 4n - 4 = 2n - 3$. $2n - 3 < 0$ si $n < 3/2$. La suite est décroissante pour $n = 0$ et $n=1$. Une erreur courante serait de ne considérer que les entiers *strictement* inférieurs à 3/2 (et donc oublier n=1)

Correction :

On utilise la formule $u_n = u_0 + n \times r$. Donc $u_9 = -3 + 9 \times 5 = -3 + 45 = 42$. Attention à ne pas calculer $u_{10}$ par erreur !

Correction :

Calculons les premiers termes: $u_0 = 1$, $u_1 = -1 + 2 = 1$, $u_2 = -1 + 2 = 1$, etc. La suite est constante (et donc monotone), mais la présence du signe "-" peut induire en erreur et laisser penser qu'elle oscille.

Correction :

$u_{n+1} = 3(n+1) - 7 = 3n + 3 - 7 = 3n - 4$. $u_{n+1} - u_n = (3n - 4) - (3n - 7) = 3$. La différence est constante, ce qui confirme que la suite est arithmétique.

Correction :

On utilise la formule $u_n = u_0 \times q^n$. Donc $u_4 = 8 \times (1/2)^4 = 8 \times (1/16) = 1/2$. Il faut bien calculer la puissance avant de multiplier par le premier terme.

Correction :

$u_2 = 2 \times (2)^3 - 6 \times 2 = 16 - 12 = 4$. Le résultat est positif. Il ne faut pas se fier à la présence du terme "-6n" pour conclure que le résultat est négatif.

Correction :

$u_1 = u_0 + 2 \times 0 - 1 = 3 - 1 = 2$ $u_2 = u_1 + 2 \times 1 - 1 = 2 + 2 - 1 = 3$. Attention à bien remplacer *n* par sa valeur dans chaque calcul !

Correction :

Si la raison de la suite arithmétique est 0, chaque terme est égal au précédent. Si la raison de la suite géométrique est 1, chaque terme est aussi égal au précédent. Dans les deux cas, la suite est constante.

Correction :

$u_1 = \frac{1+1}{1+2} = \frac{2}{3}$. Il suffit de remplacer n par 1 dans l'expression.

Correction :

$u_5 = (-1)^5 \times 5 = -5$ $u_4 = (-1)^4 \times 4 = 4$ $u_5 - u_4 = -5 - 4 = -9$. Il faut faire attention au signe donné par $(-1)^n$.

Correction :

Comme $n$ est un entier naturel, $2n+1$ est toujours positif. Donc $u_{n+1} - u_n > 0$, ce qui signifie que la suite est croissante.

Correction :

$u_2 = u_1 + u_0 = 1 + 1 = 2$ $u_3 = u_2 + u_1 = 2 + 1 = 3$ $u_4 = u_3 + u_2 = 3 + 2 = 5$. C'est la suite de Fibonacci.

Correction :

La suite $u_n = n \times 2^n$ n'est pas géométrique car le terme multiplicatif ($n$) n'est pas constant. Les autres sont bien de la forme $u_n = u_0 \times q^n$.

Correction:

$u_1 = \sqrt{u_0 + 2} = \sqrt{0 + 2} = \sqrt{2}$ $u_2 = \sqrt{u_1 + 2} = \sqrt{\sqrt{2} + 2}$. Il faut bien imbriquer les racines carrées.

Correction:

C'est une suite arithmétique. La raison est $a$ et le terme initial est $b$. La forme générale d'une suite arithmétique est $u_n = u_0 + r \times n$.

Correction:

$u_3 = \frac{1}{3+1} = \frac{1}{4}$. Il faut bien faire attention à l'addition au dénominateur.

Correction:

$u_1 = -2 \times u_0 + 3 = -2 \times (-2) + 3 = 4 + 3 = 7$ $u_2 = -2 \times u_1 + 3 = -2 \times 7 + 3 = -14 + 3 = -11$. Attention aux signes!

Correction:

C'est une suite géométrique de raison 0.75. Comme la raison est comprise entre 0 et 1, la suite est décroissante.

Correction:

On résout l'inéquation $5 - 2n < -15$: $-2n < -20$ $n > 10$ (attention à changer le sens de l'inégalité quand on divise par un nombre négatif). Le plus petit entier supérieur à 10 est 11.

Correction:

$u_3 = u_0 + 3 \times r = 1 + 3 \times (-1/2) = 1 - 3/2 = -1/2$.

Correction:

$2^{2n} = (2^2)^n = 4^n$. On utilise la propriété des puissances : $(a^m)^n = a^{m \times n}$.

Correction:

$u_1 = u_0^2 = 2^2 = 4$ $u_2 = u_1^2 = 4^2 = 16$ $u_3 = u_2^2 = 16^2 = 256$. Il faut faire attention à bien élever au carré à chaque étape.

Correction:

Quand $n$ est très grand, le "-1" et le "+1" deviennent négligeables. On peut donc "simplifier" par $n$ et la fraction se rapproche de $\frac{2n}{n} = 2$. C'est une introduction à la notion de limite.