Quiz : Nombres Dérivés et Équations de Tangentes

Correction:

Le taux de variation entre $x=a$ et $x=b$ est donné par la formule : $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$. C'est la pente de la droite qui relie les points $(a, f(a))$ et $(b, f(b))$ sur la courbe.

Ici, on a $a=1$ et $b=2$. Calculons d'abord $f(1)$ et $f(2)$:

• $f(1) = 2(1)^2 - 3(1) + 1 = 2 - 3 + 1 = 0$
• $f(2) = 2(2)^2 - 3(2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3$

Appliquons maintenant la formule du taux de variation : $\dfrac{f(2) - f(1)}{2 - 1} = \dfrac{3 - 0}{1} = 3$.

Conseil : Prenez le temps de bien calculer $f(a)$ et $f(b)$ séparément pour éviter les erreurs de signe.

Correction:

Le nombre dérivé $f'(a)$ représente la pente de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$. On peut l'obtenir en considérant le taux de variation entre $a$ et $a+h$, et en imaginant que $h$ devient de plus en plus petit, presque égal à zéro.

Ici, $T(h) = 2h + 3$. Si $h$ est très proche de 0, alors $2h$ est aussi très proche de 0. Donc, $T(h)$ se rapproche de $2 \times 0 + 3 = 3$.

C'est pourquoi $f'(a) = 3$.

Conseil : Le nombre dérivé est ce vers quoi "tend" le taux de variation quand l'écart $h$ entre les deux points devient infiniment petit.

Correction:

L'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ est donnée par la formule : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.

On nous donne $f'(2) = 5$ (la pente de la tangente) et $f(2) = -1$ (l'ordonnée du point de tangence). On a aussi $a = 2$.

Remplaçons dans la formule : $y = 5(x - 2) - 1 = 5x - 10 - 1 = 5x - 11$.

Conseil : Mémorisez bien la formule de l'équation de la tangente. Identifiez clairement $f'(a)$, $f(a)$ et $a$ avant de remplacer.

Correction:

La fonction valeur absolue, $f(x) = |x|$, n'est pas dérivable en $x = 0$. Si vous tracez la courbe, vous verrez qu'elle forme un "pic" ou un "point anguleux" en $x=0$. En un tel point, il n'est pas possible de tracer une tangente unique.

Conseil : Visualisez toujours la courbe de la fonction. Un point anguleux indique une non-dérivabilité.

Correction:

Si une fonction est dérivable en $a$, cela signifie que sa courbe représentative admet une tangente non verticale en ce point. La courbe est "lisse" en ce point. La dérivabilité implique aussi que la fonction est continue en $a$ (mais l'inverse n'est pas toujours vrai).

Conseil : Dérivabilité signifie "courbe lisse" et "tangente non verticale".

Correction:

Pour trouver $f'(2)$, on peut calculer le taux de variation entre 2 et $2+h$, puis voir ce qui se passe quand $h$ devient très petit.

$T(h) = \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} = \dfrac{\frac{1}{2+h} - \frac{1}{2}}{h}$

Mettons au même dénominateur : $T(h) = \dfrac{\frac{2 - (2+h)}{2(2+h)}}{h} = \dfrac{\frac{-h}{2(2+h)}}{h} = \dfrac{-h}{2(2+h)} \times \dfrac{1}{h} = \dfrac{-1}{2(2+h)}$

Quand $h$ est très proche de 0, $T(h)$ est très proche de $\dfrac{-1}{2(2+0)} = -\dfrac{1}{4}$. Donc, $f'(2) = -\dfrac{1}{4}$.

Conseil : La manipulation des fractions peut être délicate. Prenez votre temps pour mettre au même dénominateur.

Correction:

Calculons le taux de variation entre 4 et $4+h$ : $T(h) = \dfrac{f(4+h) - f(4)}{h} = \dfrac{\sqrt{4+h} - \sqrt{4}}{h} = \dfrac{\sqrt{4+h} - 2}{h}$.

Pour simplifier, multiplions par le conjugué : $T(h) = \dfrac{\sqrt{4+h} - 2}{h} \times \dfrac{\sqrt{4+h} + 2}{\sqrt{4+h} + 2} = \dfrac{(4+h) - 4}{h(\sqrt{4+h} + 2)} = \dfrac{h}{h(\sqrt{4+h} + 2)} = \dfrac{1}{\sqrt{4+h} + 2}$

Quand $h$ devient très petit (proche de 0), $T(h)$ se rapproche de $\dfrac{1}{\sqrt{4+0} + 2} = \dfrac{1}{\sqrt{4} + 2} = \dfrac{1}{2 + 2} = \dfrac{1}{4}$. Donc, $f'(4) = \dfrac{1}{4}$.

Conseil : Quand il y a des racines carrées, pensez à utiliser l'expression conjuguée pour simplifier.

Correction:

Le nombre dérivé $f'(a)$ est, par définition, le coefficient directeur (la pente) de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$. C'est le nombre qui indique comment la fonction "varie" au voisinage de $a$.

Conseil : Associez toujours le nombre dérivé à la pente de la tangente.

Correction:

Une droite horizontale a un coefficient directeur (une pente) égal à zéro. La tangente étant horizontale, son coefficient directeur, qui est $f'(3)$, est donc égal à 0.

Conseil : Une tangente horizontale signifie une dérivée nulle.

Correction:

Le taux de variation est $T(h) = \dfrac{f(0+h) - f(0)}{h} = \dfrac{f(h) - f(0)}{h}$. C'est la pente de la droite qui relie les points $(0, f(0))$ et $(h, f(h))$.

Calculons :

• $f(h) = h^3$
• $f(0) = 0^3 = 0$

Donc $T(h) = \dfrac{h^3 - 0}{h} = \dfrac{h^3}{h} = h^2$ (on peut simplifier par $h$ car $h \neq 0$).

Conseil : N'oubliez pas de simplifier la fraction quand c'est possible.

Correction:

Le nombre dérivé en 1 est la valeur vers laquelle se rapproche le taux de variation lorsque $h$ devient extrêmement petit, presque zéro.

Si $h$ est proche de zéro, $h^2$ est encore plus proche de zéro ($0^2 = 0$).

Donc, $T(h) = h^2 + 4$ se rapproche de $0 + 4 = 4$. Le nombre dérivé en 1 est donc 4.

Conseil : Remplacez $h$ par 0 dans l'expression simplifiée du taux de variation pour trouver le nombre dérivé.

Correction:

Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$ est égal au nombre dérivé $f'(a)$. L'équation de la tangente est donnée sous la forme $y = mx + p$, où $m$ est le coefficient directeur (la pente).

Ici, l'équation est $y = -3x + 11$. Le coefficient directeur est donc -3. Par conséquent, $f'(2) = -3$.

Conseil : Dans l'équation d'une droite, le coefficient directeur est le nombre qui multiplie $x$.

Correction:

Le point $A(2; 5)$ est le point de tangence. Il appartient à la fois à la tangente et à la courbe de $f$. L'ordonnée de $A$, qui est 5, est donc la valeur de $f(2)$.

Conseil : Le point de tangence appartient toujours à la courbe de la fonction.

Correction:

Calculons le taux de variation entre 0 et $0+h$ (c'est-à-dire entre 0 et $h$) : $T(h) = \dfrac{f(0+h) - f(0)}{h} = \dfrac{f(h) - f(0)}{h}$.

• $f(h) = (h+1)^2 = h^2 + 2h + 1$
• $f(0) = (0+1)^2 = 1^2 = 1$

Donc, $T(h) = \dfrac{h^2 + 2h + 1 - 1}{h} = \dfrac{h^2 + 2h}{h} = \dfrac{h(h+2)}{h} = h + 2$ (on simplifie par $h$ car $h \neq 0$).

Quand $h$ est très proche de 0, $T(h) = h + 2$ est très proche de $0 + 2 = 2$. Donc $f'(0) = 2$.

Conseil : Développez toujours les expressions avant de simplifier le taux de variation.

Correction:

La fonction $f(x) = x^3$ est une fonction polynomiale. Les fonctions polynomiales (comme $x^2$, $x^3$, $5x^4 - 2x + 1$, etc.) sont dérivables sur tout $\mathbb{R}$. Leur courbe est toujours "lisse", sans points anguleux ni tangentes verticales.

Conseil : Retenez que les fonctions polynomiales sont toujours dérivables.

Correction :

Pour trouver l'équation de la tangente, il nous faut le coefficient directeur (la pente) et un point.

Le point est donné par l'abscisse 9. Son ordonnée est $f(9) = \sqrt{9} = 3$. Le point de tangence est donc (9, 3).

Le coefficient directeur est donné par le nombre dérivé en 9, c'est à dire f'(9)

Calculons le taux de variation entre 9 et 9+h: $T(h) = \dfrac{\sqrt{9+h} - \sqrt{9}}{h} = \dfrac{\sqrt{9+h} - 3}{h}$.

Multiplions par le conjugué pour simplifier : $T(h) = \dfrac{\sqrt{9+h} - 3}{h} \times \dfrac{\sqrt{9+h} + 3}{\sqrt{9+h} + 3}= \dfrac{9+h - 9}{h(\sqrt{9+h}+3)}= \dfrac{1}{\sqrt{9+h}+3}$.

Quand $h$ est très proche de 0, $T(h)$ est très proche de $\dfrac{1}{\sqrt{9+0} + 3} = \dfrac{1}{6}$. Donc, $f'(9) = \frac{1}{6}$.

L'équation de la tangente est : $y = f'(9)(x-9) + f(9) = \frac{1}{6}(x-9) + 3 = \frac{1}{6}x - \frac{9}{6} + 3 = \frac{1}{6}x - \frac{3}{2} + \frac{6}{2} = \frac{1}{6}x + \frac{3}{2}$.

Conseil : N'oubliez pas de calculer l'ordonnée du point de tangence en utilisant la fonction de départ ($f(x)$), pas l'équation de la tangente !

Correction:

Une tangente verticale indique une pente qui n'est pas un nombre réel (on pourrait dire qu'elle est "infinie"). Le nombre dérivé, s'il existe, doit être un nombre réel. Donc, si la tangente est verticale, la fonction n'est pas dérivable en ce point.

Conseil : Tangente verticale = pas de nombre dérivé.

Correction:

Le taux de variation est $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Calculons $f(b)$ et $f(a)$ :

• $f(b) = 2b + 1$
• $f(a) = 2a + 1$

Donc, le taux de variation est $\dfrac{(2b + 1) - (2a + 1)}{b - a} = \dfrac{2b + 1 - 2a - 1}{b - a} = \dfrac{2b - 2a}{b - a} = \dfrac{2(b - a)}{b - a} = 2$ (car $a \neq b$).

Conseil : Pour une fonction affine ($f(x) = mx + p$), le taux de variation est toujours égal au coefficient directeur ($m$).

Correction:

Calculons le taux de variation entre 1 et $1+h$ : $T(h) = \dfrac{f(1+h) - f(1)}{h}$.

• $f(1+h) = -(1+h)^2 + 4(1+h) = -(1 + 2h + h^2) + 4 + 4h = -1 - 2h - h^2 + 4 + 4h = -h^2 + 2h + 3$
• $f(1) = -(1)^2 + 4(1) = -1 + 4 = 3$

$T(h) = \dfrac{-h^2 + 2h + 3 - 3}{h} = \dfrac{-h^2 + 2h}{h} = \dfrac{h(-h + 2)}{h} = -h + 2$ (en simplifiant par $h$).

Quand $h$ devient très proche de 0, $T(h)$ se rapproche de $-0 + 2 = 2$. Donc $f'(1) = 2$.

Conseil : Soyez très attentifs aux signes, surtout quand il y a des carrés et des termes négatifs.

Correction:

Calculons le taux de variation entre -1 et $-1+h$ : $T(h) = \dfrac{f(-1+h) - f(-1)}{h}$.

• $f(-1+h) = (-1+h)^2 = 1 - 2h + h^2$
• $f(-1) = (-1)^2 = 1$

$T(h) = \dfrac{1 - 2h + h^2 - 1}{h} = \dfrac{-2h + h^2}{h} = \dfrac{h(-2 + h)}{h} = -2 + h$.

Quand $h$ est très proche de 0, $T(h)$ est très proche de $-2 + 0 = -2$, donc $f'(-1) = -2$.

L'équation de la tangente est $y = f'(-1)(x - (-1)) + f(-1) = -2(x + 1) + 1 = -2x - 2 + 1 = -2x - 1$.

Conseil : N'oubliez pas que $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, et pas $a^2 - b^2$.

Correction:

L'équation de la tangente nous donne le coefficient directeur, qui est $f'(a) = 4$. C'est la pente de la tangente.

Cependant, on ne peut pas trouver la valeur de $f(a)$ (c'est-à-dire l'ordonnée du point sur la courbe) uniquement avec l'équation de la tangente. Il faudrait connaître les coordonnées d'un point qui appartient à la fois à la courbe et à la tangente.

Conseil : Ne confondez pas l'équation de la tangente avec l'équation de la fonction elle-même.

Correction:

Le taux de variation est \( T(h) = \frac{f(2+h) - f(2)}{h} \). Remplaçons : $T(h) = \dfrac{\frac{1}{2+h} - \frac{1}{2}}{h}$.

Pour simplifier, mettons les fractions au même dénominateur : $T(h) = \dfrac{\frac{2}{2(2+h)} - \frac{2+h}{2(2+h)}}{h} = \dfrac{\frac{2 - (2+h)}{2(2+h)}}{h} = \dfrac{\frac{-h}{2(2+h)}}{h}$.

Diviser par $h$, c'est multiplier par $\frac{1}{h}$ : $T(h) = \dfrac{-h}{2(2+h)} \times \dfrac{1}{h} = \dfrac{-1}{2(2+h)}$ (en simplifiant par $h$).

Conseil : Rappelez-vous que diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse.

Correction:

D'après la question 22, le taux de variation entre 2 et $2+h$ est \( T(h) = \frac{-1}{2(2+h)} \).

Si $h$ devient extrêmement petit (proche de 0), alors $2+h$ est très proche de $2+0=2$.

Donc, $T(h)$ se rapproche de $\dfrac{-1}{2 \times 2} = -\dfrac{1}{4}$. Ce qui signifie que $f'(2) = -\dfrac{1}{4}$.

Conseil : Pour trouver le nombre dérivé, remplacez $h$ par 0 dans l'expression simplifiée du taux de variation.

Correction:

On nous donne $f(3) = 7$. Le point de tangence est donc (3, 7).

Le taux de variation entre 3 et $3+h$ est $T(h) = 5 - 2h$. Le nombre dérivé en 3, $f'(3)$, est la valeur vers laquelle se rapproche $T(h)$ quand $h$ devient très petit.

Si $h$ est proche de 0, alors $T(h) = 5 - 2h$ est proche de $5 - 2 \times 0 = 5$. Donc, $f'(3) = 5$.

L'équation de la tangente est : $y = f'(3)(x-3)+f(3) = 5(x-3)+7 = 5x -15 +7 = 5x-8$.

Conseil : On a toujours besoin de $f(a)$ et $f'(a)$ pour trouver l'équation de la tangente en $a$.

Correction:

L'équation de la tangente en $x=1$ est de la forme $y = f'(1)(x-1) + f(1)$. On nous donne $y = 2x-1$.

Le coefficient directeur de la tangente est $f'(1)$. Ici, il vaut 2. Donc, $f'(1) = 2$.

De plus, le point de tangence (d'abscisse 1) appartient à la fois à la tangente et à la courbe. Donc, pour $x=1$, l'ordonnée de la tangente est égale à $f(1)$.

Remplaçons $x$ par 1 dans l'équation de la tangente : $y = 2(1) - 1 = 1$. Donc, $f(1) = 1$.

Conseil : Le point de tangence a toujours la même ordonnée sur la tangente et sur la courbe.

Correction:

Le point de tangence a pour abscisse -2. En ce point, la tangente et la courbe se touchent, donc elles ont la même ordonnée.

Calculons l'ordonnée du point de la tangente d'abscisse -2 : $y = -(-2) + 3 = 2 + 3 = 5$.

Donc le point de tangence a pour coordonnées (-2; 5). Ce point appartient à la courbe de $f$. Comme le point A a les mêmes coordonnées, il appartient aussi à la courbe.

Conseil : Pour trouver l'ordonnée du point de tangence, utilisez l'équation de la tangente et remplacez $x$ par l'abscisse du point.

Correction:

$g'(4)$ est le coefficient directeur (la pente) de la tangente à la courbe de $g$ au point d'abscisse 4. L'équation de la tangente est donnée : $y = -0.5x - 1$.

Le coefficient directeur est le nombre qui multiplie $x$, c'est-à-dire -0.5. Donc, $g'(4) = -0.5$.

Conseil : Identifiez bien le coefficient directeur dans l'équation de la tangente.

Correction:

Le taux de variation est, par définition, $T(h) = \dfrac{f(1+h) - f(1)}{h}$.

Ici, $f(x) = \sqrt{x}$, donc :

- $f(1+h) = \sqrt{1+h}$

- $f(1) = \sqrt{1} = 1$

En remplaçant, on obtient $T(h) = \dfrac{\sqrt{1+h} - 1}{h}$.

Conseil : Écrivez toujours la formule générale du taux de variation avant de remplacer par les expressions de la fonction.

Correction:

Si le taux de variation devient de plus en plus grand en valeur absolue, mais négatif, cela signifie que la pente de la sécante (la droite qui relie les points $(2, f(2))$ et $(2+h, f(2+h))$) devient de plus en plus raide et descendante.

Quand $h$ se rapproche de zéro, la sécante se rapproche de la tangente. Une pente qui "tend vers l'infini" (en positif ou en négatif) correspond à une tangente verticale.

Une fonction n'est pas dérivable en un point où sa courbe admet une tangente verticale.

Conseil : Visualisez une droite dont la pente devient de plus en plus grande (positivement ou négativement) : elle se rapproche de la verticale.

Correction:

Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur (la même pente). La droite $y = x$ a pour coefficient directeur 1 (car $y = 1 \times x + 0$).

La tangente au point d'abscisse $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$. On cherche donc la valeur de $a$ pour laquelle $f'(a) = 1$.

Calculons le taux de variation entre $a$ et $a+h$ : $T(h) = \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.

- $f(a+h) = (a+h)^2 + 3(a+h) = a^2 + 2ah + h^2 + 3a + 3h$

- $f(a) = a^2 + 3a$

$T(h) = \dfrac{a^2 + 2ah + h^2 + 3a + 3h - (a^2+3a)}{h} = \dfrac{2ah+h^2+3h}{h} = \dfrac{h(2a+h+3)}{h} = 2a+h+3$.

Quand $h$ est très proche de 0, $T(h)$ est très proche de $2a + 0 + 3 = 2a + 3$. Donc, $f'(a) = 2a + 3$.

On veut que la tangente soit parallèle à $y=x$, donc on veut $f'(a) = 1$. Il faut résoudre : $2a + 3 = 1$, ce qui donne $2a = -2$, et donc $a = -1$.

Conseil : Reliez bien le parallélisme des droites à l'égalité de leurs coefficients directeurs.