Quiz : Maîtrisez la Dérivation !

Correction:

La dérivée d'une fonction constante est toujours 0. Peu importe la valeur de la constante, sa variation est nulle.

Correction:

La dérivée de $f(x) = x$ est $1$. On peut voir $x$ comme $x^1$, et en appliquant la règle de puissance : $1 \times x^{1-1} = 1 \times x^0 = 1 \times 1 = 1$.

Correction:

La dérivée de $f(x) = 3x$ est $3$. On utilise la règle $(ku)' = ku'$, donc $(3x)' = 3 \times (x)' = 3 \times 1 = 3$.

Correction:

On applique la règle de puissance : $(x^n)' = nx^{n-1}$. Ici, $n=2$, donc $(x^2)' = 2 \times x^{2-1} = 2x^1 = 2x$.

Correction:

On combine la règle de puissance et la règle $(ku)' = ku'$: $(-2x^2)' = -2 \times (x^2)' = -2 \times 2x = -4x$.

Correction:

On utilise la règle de la somme : $(u+v)' = u' + v'$. Donc, $(x^3 + x)' = (x^3)' + (x)' = 3x^2 + 1$.

Correction:

$(2t^2 - 4t)' = (2t^2)' - (4t)' = 2 \times 2t - 4 \times 1 = 4t - 4$.

Correction:

$(-x^3 + 2x - 7)' = (-x^3)' + (2x)' - (7)' = -3x^2 + 2 - 0 = -3x^2 + 2$.

Correction:

$(\frac{1}{2}x^4)' = \frac{1}{2} \times (x^4)' = \frac{1}{2} \times 4x^3 = 2x^3$.

Correction:

$(5x^3 - 2x^2 + x - 11)' = (5x^3)' - (2x^2)' + (x)' - (11)' = 5\times3x^2 - 2\times2x + 1 - 0 = 15x^2 - 4x + 1$.

Correction:

Le coefficient directeur de la tangente est donné par la valeur de la dérivée au point considéré. $f'(x) = (2x^2)' = 4x$. En $x=1$, $f'(1) = 4 \times 1 = 4$.

Correction:

D'abord, on calcule la dérivée : $f'(x) = (x^3 - 3x + 2)' = 3x^2 - 3$. Ensuite, on évalue en $x=0$: $f'(0) = 3 \times (0)^2 - 3 = -3$.

Correction:

On utilise la formule $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$. Ici, $x_0 = 2$. $f'(x) = 2x$, donc $f'(2) = 4$. $f(2) = 2^2 = 4$. Donc, $y = 4(x - 2) + 4 = 4x - 8 + 4 = 4x - 4$.

Correction:

$f'(x)=6x-6$, $f'(1)=6\times1 - 6=0$. La pente de la tangente est donc nulle. $f(1) = 3\times(1)^2 - 6\times(1) + 1 = -2$. L'équation est donc $y = 0\times(x-1) - 2 = -2$

Correction:

Une tangente horizontale a un coefficient directeur nul. On cherche donc $t$ tel que $h'(t) = 0$. $h'(t) = -2t + 5$. $-2t + 5 = 0$ implique $t = 5/2 = 2.5$.

Correction:

$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x - 4$, donc $f'(1) = 4 - 12 + 12 - 4 = 0$. On pouvait aussi remarquer que $f(x) = (x-1)^4$

Correction :

La dérivée de \( ax^2 \) est \( 2ax \) (en utilisant la règle de la puissance), la dérivée de \( bx \) est \( b \) (car \( x \) a pour dérivée 1), et la dérivée de la constante \( c \) est 0. Donc, \( f'(x) = 2ax + b \).

Correction:

\((\frac{x^3}{3} + 2x^2 - \frac{5}{2}x + 7)' = \frac{1}{3} \times 3x^2 + 2 \times 2x - \frac{5}{2} \times 1 + 0 = x^2 + 4x - \frac{5}{2} \).

Correction:

$f'(x) = \frac{3}{4} \times 4x^3 - \frac{1}{3} \times 3x^2 + \frac{1}{2} \times 2x - 1 + 0 = 3x^3 - x^2 + x - 1$.

Correction :

$f'(x) = 2(x-2)$. Au point d'abscisse $x = 3$, le coefficient directeur de la tangente est donc $f'(3) = 2(3-2)=2$

Correction:

$f'(x) = 4x^3 - 12x$, donc $f'(0) = 0$ $f(0) = 3$. L'équation est donc $y = 0\times(x-0) + 3 = 3$

Correction:

$f'(x)=5x^4 - 18x^2+7$, donc $f'(1) = 5\times(1)^4 - 18\times(1)^2 + 7 = -6$

Correction:

$f'(t) = 12t^3 - 24t^2 + 12t$, donc $f'(2) = 12\times(2)^3 - 24\times(2)^2 + 12\times(2) = 96 - 96 + 24 = 24$. Il y a eu une erreur de calcul, la bonne réponse est 24 et non 0. Je corrige l'option et la correction.

Correction:

Calculons d'abord la dérivée : \( f'(x) = x^3 - 5x^2 + 3x \). Ensuite, évaluons en \( x = 1 \) : \( f'(1) = (1)^3 - 5(1)^2 + 3(1) = 1 - 5 + 3 = -1 \).

Correction:

Une tangente horizontale a un coefficient directeur nul, donc on cherche \( x \) tel que \( f'(x) = 0 \). \( f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 \). On résout \( 6x^2 - 18x + 12 = 0 \), ce qui équivaut à \( x^2 - 3x + 2 = 0 \). Les solutions sont \( x = 1 \) et \( x = 2 \) (on peut factoriser : \( (x-1)(x-2) = 0 \)).

Correction:

On calcule d'abord la dérivée : \( g'(x) = -3x^2 + 12x - 9 \). On évalue en \( x = 1 \) : \( g'(1) = -3 + 12 - 9 = 0 \). C'est une tangente horizontale. On calcule \( g(1) = -1 + 6 - 9 + 2 = -2 \). L'équation de la tangente est donc \( y = 0(x - 1) - 2 = -2 \).

Correction :

$f'(x) = -8x^3 + 8$, et donc $f'(-1) = -8\times(-1)^3 + 8 = 8 + 8 = 16$

Correction:

Pour trouver le point où la tangente a l'équation \(y = -9x + 9\), nous devons d'abord trouver les points où la dérivée de \(f(x)\) est égale à -9 (la pente de la tangente). La dérivée de \(f(x)\) est : \[f'(x) = 3x^2 - 12x\] Nous cherchons \(x\) tel que \(f'(x) = -9\): \[3x^2 - 12x = -9\] \[3x^2 - 12x + 9 = 0\] \[x^2 - 4x + 3 = 0\] Factorisons l'équation quadratique : \[(x - 1)(x - 3) = 0\] Les solutions sont \(x = 1\) et \(x = 3\). Maintenant, vérifions lequel de ces points se trouve sur la tangente donnée. L'équation de la tangente en un point \((x_0, f(x_0))\) est donnée par : \[y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)\] Pour \(x = 1\): \[f(1) = (1)^3 - 6(1)^2 + 5 = 1 - 6 + 5 = 0\] \[f'(1) = 3(1)^2 - 12(1) = -9\] L'équation de la tangente en x=1: \[y = -9(x - 1) + 0 = -9x + 9\] Ce qui correspond à l'équation donnée. Pour \(x = 3\): \[f(3) = (3)^3 - 6(3)^2 + 5 = 27 - 54 + 5 = -22\] \[f'(3) = 3(3)^2 - 12(3) = 27-36 = -9\] L'équation de la tangente en x=3: \[y = -9(x - 3) - 22 = -9x + 27 - 22 = -9x+5\] Cela ne correspond pas à l'équation de la tangente. Donc, la tangente a pour équation \(y = -9x + 9\) en \(x = 1\).