Quiz Vecteurs Directeurs et Normaux

Correction:

Pour une équation cartésienne de la forme $ax + by + c = 0$, un vecteur normal est donné par $\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$. Ici, $a=2$ et $b=-3$, donc un vecteur normal est $\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$.

Correction:

Pour une équation réduite de la forme $y = mx + p$, un vecteur directeur est donné par $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix}$. Ici, $m=4$, donc un vecteur directeur est $\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$.

Correction:

Si $\vec{u} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur, alors un vecteur normal est $\vec{n} = \begin{pmatrix} y \\ -x \end{pmatrix}$ ou $\vec{n} = \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix}$. Ici, avec $\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$, un vecteur normal peut être $\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \end{pmatrix}$ ou $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$.

Correction:

Si $\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ est un vecteur normal, alors l'équation cartésienne est de la forme $ax + by + c = 0$. Ici, avec $\vec{n} = \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix}$, l'équation est $-3x + 5y + c = 0$, où $c$ est une constante qui dépend d'un point de la droite.

Correction:

Deux vecteurs sont colinéaires si l'un est un multiple scalaire de l'autre. Ici, on voit que $\vec{u} = -2\vec{v}$. Donc, ils sont colinéaires.

Correction:

Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul. $\vec{n} \cdot \vec{u} = (3)(-2) + (2)(3) = -6 + 6 = 0$. Donc, ils sont orthogonaux.

Correction:

Un vecteur directeur est donné par $\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 5 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}$.

Correction:

Si $\vec{u} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur, alors un vecteur normal est $\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ (ou $\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \end{pmatrix}$). L'équation cartésienne est donc de la forme $x + 2y + c = 0$, où $c$ est une constante.

Correction:

Un vecteur directeur de la première droite est $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$. Un vecteur normal de la seconde droite est $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$. Le produit scalaire de ces deux vecteurs est $(1)(2) + (-2)(1) = 0$, donc les vecteurs sont orthogonaux, et les droites sont perpendiculaires. Erreur dans les choix de réponse la réponse est oui

Correction:

Un vecteur normal de la droite $ax+by+c =0$ est $\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ et donc un vecteur directeur de la droite $ax+by+c =0$ est $\vec{u} = \begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$

Correction:

On réécrit l'équation sous forme cartésienne : $3x + y - 2 = 0$. Un vecteur normal est alors $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$.

Correction:

Des vecteurs normaux à ces droites sont respectivement $\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \end{pmatrix}$. On remarque que le second vecteur est -2 fois le premier. Les vecteurs normaux sont colinéaires, donc les droites sont parallèles.

Correction:

Un vecteur normal à (d) est $\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$. Une droite perpendiculaire à (d) aura un vecteur directeur colinéaire à $\vec{n}$. Une droite perpendiculaire aura donc une équation de la forme $-2x - y + c = 0$, ou $2x+y+c = 0$ ce qui correspond à $y=-2x+c$.

Correction:

Un vecteur normal à la droite est $\vec{n} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix}$. Un vecteur directeur $\vec{u}$ est orthogonal à $\vec{n}$, on peut donc prendre $\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}$.

Correction:

Si la droite a pour équation réduite $y=mx+p$, alors $m$ est le coefficient directeur, et un vecteur directeur est $\begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix}$. Par conséquent, si $\vec{u} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur, alors le coefficient directeur est $m = \frac{b}{a}$ (si $a \neq 0$). Si $a=0$, la droite est horizontale, de coefficient directeur 0.

Correction:

Si un vecteur directeur de $(d')$ est orthogonal à un vecteur normal de $(d)$, cela signifie que $(d')$ est perpendiculaire à $(d)$.

Correction:

L'équation est de la forme $2(x - 1) + 3(y - 1) = 0$, ce qui donne $2x + 3y - 5 = 0$.

Correction:

Un vecteur normal est $\vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$. L'équation est donc de la forme $3x + y + c = 0$.

Correction:

Un vecteur normal est orthogonal à tout vecteur directeur de la droite, par définition.

Correction:

La formule de la distance d'un point à une droite est $\frac{|ax_M + by_M + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.