Quiz : Variations des Suites Numériques

Correction:

La suite est de la forme $u_n = an + b$, où $a = 3$ et $b = -5$. Puisque $a > 0$, la suite est une suite arithmétique de raison positive, donc elle est croissante.

Correction:

La suite est de la forme $v_n = an + b$, où $a = -2$ et $b = 7$. Puisque $a < 0$, la suite est une suite arithmétique de raison négative, donc elle est décroissante.

Correction:

Si $w_{n+1} - w_n > 0$, cela signifie que $w_{n+1} > w_n$ pour tout $n$. Par définition, cela indique que la suite est strictement croissante.

Correction:

$u_{n+1} = (n+1)^2 + 1 = n^2 + 2n + 1 + 1 = n^2 + 2n + 2$. Donc, $u_{n+1} - u_n = (n^2 + 2n + 2) - (n^2 + 1) = 2n + 1$.

Correction:

Pour tout $n$, $u_{n+1} = 5$ et $u_n = 5$, donc $u_{n+1} = u_n$. La suite est constante.

Correction:

Si $u_{n+1} / u_n > 1$ et $u_n > 0$, alors en multipliant les deux côtés par $u_n$, on obtient $u_{n+1} > u_n$. La suite est donc croissante.

Correction:

$u_{n+1} = (1/2)^{n+1} = (1/2) \times (1/2)^n = (1/2)u_n$. Comme $0 < 1/2 < 1$, la suite est une suite géométrique de raison comprise entre 0 et 1, donc elle est décroissante.

Correction:

C'est une suite arithmétique de raison -3 (négative), donc elle est décroissante.

Correction:

Si $f$ est croissante, alors pour tout $n$, $n+1 > n$ implique $f(n+1) \ge f(n)$, c'est-à-dire $u_{n+1} \ge u_n$. La suite est donc croissante.

Correction:

La suite alterne entre -1 et 1. Elle n'est donc ni croissante, ni décroissante, ni constante.

Correction:

$u_{n+1} - u_n = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} = \frac{n - (n+1)}{n(n+1)} = \frac{-1}{n(n+1)}$. Pour $n \geq 1$, $n(n+1)$ est positif, donc $\frac{-1}{n(n+1)}$ est négatif. Ainsi, $u_{n+1} - u_n < 0$, ce qui signifie que la suite est décroissante.

Correction:

$u_{n+1} = 2^{n+1} = 2 \cdot 2^n$. Donc $u_{n+1}/u_n = (2 \cdot 2^n) / 2^n = 2$.

Correction:

La fonction $f(x) = x^3$ est strictement croissante sur $[0; +\infty[$, donc la suite $(u_n)$ définie par $u_n = f(n)$ est strictement croissante. On peut aussi calculer $u_{n+1}-u_n = (n+1)^3 - n^3 = 3n^2 + 3n + 1 > 0$ pour tout $n$.

Correction:

Si une suite est croissante, $u_{n+1} \ge u_n$ pour tout $n$. Si elle est décroissante, $u_{n+1} \le u_n$ pour tout $n$. La seule possibilité pour que ces deux conditions soient vérifiées simultanément est que $u_{n+1} = u_n$ pour tout $n$, ce qui signifie que la suite est constante.

Correction:

$u_{n+1} - u_n = \frac{n+2}{n+1} - \frac{n+1}{n} = \frac{n(n+2) - (n+1)^2}{n(n+1)} = \frac{n^2 + 2n - (n^2 + 2n + 1)}{n(n+1)} = \frac{-1}{n(n+1)}$. Comme $n \ge 1$, $n(n+1) > 0$, donc $u_{n+1} - u_n < 0$. La suite est donc décroissante.

Correction:

$u_{n+1} - u_n = n$. Pour $n \ge 0$, $u_{n+1} - u_n \ge 0$. La suite est donc croissante (strictement croissante pour $n>0$).

Correction:

Pour déterminer le sens de variation d'une suite, on étudie le signe de la différence entre deux termes consécutifs, $u_{n+1} - u_n$. Si cette différence est positive, la suite est croissante. Si elle est négative, la suite est décroissante.

Correction:

La dérivée d'une fonction de type $ax^2 + bx + c$ est $2ax + b$. Ici : $f'(x) = -2x + 4$

Correction:

f'(x) = -2x + 4. f'(x) = 0 pour x=2. f'(x) > 0 pour x<2 et f'(x)<0 pour x>2. Donc f est croissante sur [0,2] puis décroissante. La suite suit les mêmes variations.

Correction:

Ce n'est pas une suite arithmétique car la différence $u_{n+1} - u_n = u_n + 1$ dépend de $n$. Ce n'est pas une suite géométrique car le rapport $u_{n+1}/u_n = (2u_n + 1)/u_n = 2 + 1/u_n$ dépend de $n$.

Correction:

$u_{n+1} - u_n = (2u_n + 1) - u_n = u_n + 1$.

Correction:

Comme u_0 = 1 et que la suite est définie par u_{n+1} = 2u_n + 1. On peut montrer par récurrence que tous les termes sont >0. Donc u_{n+1} - u_n = u_n + 1 > 0. La suite est croissante

Correction:

La fonction associée est simplement la fonction qui, à $x$, associe le même calcul que celui qui, à $n$, associe $u_n$. Ici, c'est $f(x) = \sqrt{x}$.

Correction:

La fonction racine carrée est croissante sur son ensemble de définition, qui est $[0; +\infty[$.

Correction:

Comme la fonction associée $f(x) = \sqrt{x}$ est croissante sur $[0; +\infty[$, la suite $(u_n)$ est croissante.

Correction:

Si $f$ est décroissante, on ne peut pas directement relier le sens de variation de $(u_n)$ à celui de $f$. Il faut utiliser d'autres méthodes, comme l'étude de $u_{n+1} - u_n$ ou un raisonnement par récurrence.

Correction:

La condition $u_{n+1} > u_n$ pour tout $n \ge N$ signifie que la suite est croissante *à partir du rang N*. Elle n'est pas nécessairement croissante dès le rang 0.

Correction:

On peut étudier la fonction associée $f(x) = 2x^2 - 8x + 1$. Sa dérivée est $f'(x) = 4x - 8$. $f'(x) = 0$ pour $x = 2$. $f'(x) < 0$ pour $x < 2$ et $f'(x) > 0$ pour $x > 2$. Donc $f$ est décroissante puis croissante. La suite $(u_n)$ suit les mêmes variations.

Correction:

On étudie le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{3^n} = \frac{3}{n+1}$. Pour $n=1$, $\frac{u_2}{u_1} = \frac{3}{2} > 1$. Pour $n=2$, $\frac{u_3}{u_2} = \frac{3}{3} = 1$. Pour $n \ge 3$, $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{3}{n+1} < 1$. La suite est donc croissante puis constante puis décroissante. On peut dire qu'elle est croissante puis décroissante.

Correction:

Par définition, une suite strictement croissante vérifie $u_{n+1} > u_n$ pour tout $n$, ce qui est équivalent à $u_{n+1} - u_n > 0$. L'option $u_{n+1}/u_n > 1$ n'est vraie que si tous les termes sont positifs.