Quiz Trigonométrie

Correction:

La valeur exacte de $\cos(\frac{\pi}{3})$ est $\frac{1}{2}$. C'est une valeur remarquable à connaître par cœur.

Correction:

La valeur exacte de $\sin(\frac{\pi}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$. C'est une autre valeur remarquable importante.

Correction:

Dans le troisième quadrant, le cosinus est négatif. On utilise l'identité $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$. Donc, $\cos^2(x) = 1 - (-\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$. Puisque $\cos(x)$ est négatif, $\cos(x) = -\sqrt{\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Correction:

La période de $\sin(bx)$ est $\frac{2\pi}{|b|}$. Ici, $b = 2$, donc la période est $\frac{2\pi}{2} = \pi$.

Correction:

La fonction cosinus est paire car $\cos(-x) = \cos(x)$ pour tout $x$.

Correction:

En utilisant les formules d'angles supplémentaires, $\cos(\pi - x) = -\cos(x)$.

Correction:

$\tan(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sin(\frac{\pi}{4})}{\cos(\frac{\pi}{4})} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$.

Correction:

$\sin(x) = 0$ lorsque $x = k\pi$, où $k$ est un entier. La solution principale (dans l'intervalle $[0, 2\pi[$) est $x = 0$.

Correction:

L'amplitude de $A\sin(x)$ est $|A|$. Ici, l'amplitude est $|3| = 3$.

Correction:

La fonction tangente, $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$, a des asymptotes verticales lorsque $\cos(x) = 0$, c'est-à-dire en $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, où $k$ est un entier.

Correction:

La fonction sinus est impaire, donc $\sin(-x) = -\sin(x)$.

Correction:

$\cos(0) = 1$. C'est une valeur fondamentale.

Correction:

$\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos(x)$. C'est une identité trigonométrique importante (angle complémentaire).

Correction:

La période de $\cos(bx)$ est $\frac{2\pi}{|b|}$. Ici, $b=4$, donc la période est $\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Correction:

Dans le quatrième quadrant, le sinus est négatif. On utilise l'identité $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$. Donc, $\sin^2(x) = 1 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Puisque $\sin(x)$ est négatif, $\sin(x) = -\sqrt{\frac{1}{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Correction:

$\sin(\pi) = 0$. C'est une valeur importante à retenir.

Correction:

En utilisant les formules d'addition, $\cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin(x)$.

Correction:

$\cos(\pi/6)=\sqrt{3}/2$ (valeur remarquable).

Correction:

L'identité fondamentale de la trigonométrie est $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$.

Correction:

La fonction tangente est définie comme $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$. Elle n'est pas définie lorsque $\cos(x) = 0$, c'est-à-dire pour $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, où $k$ est un entier. Le domaine de définition est donc tous les réels sauf ces valeurs.

Correction:

La dérivée de $\sin(x)$ est $\cos(x)$.

Correction:

La dérivée de $\cos(x)$ est $-\sin(x)$.

Correction:

La dérivée de $\tan(x)$ est $1 + \tan^2(x)$, ce qui est équivalent à $\frac{1}{\cos^2(x)}$ (ou $\sec^2(x)$).

Correction:

$\cos(x) = 1$ lorsque $x = 2k\pi$, où k est un entier.

Correction:

$\sin(x) = -1$ lorsque $x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$, où $k$ est un entier.

Correction:

On sait que $\tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$. Puisque $x$ est dans le premier quadrant, $x = \frac{\pi}{3}$.

Correction:

$\sin(\pi + x) = -\sin(x)$. C'est une formule d'angle supplémentaire décalé de $\pi$.

Correction:

La fonction $\cos(x)$ est strictement décroissante sur l'intervalle $[0, \pi]$.

Correction:

La fonction $\sin(x)$ est strictement croissante sur l'intervalle $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Correction:

$\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$. C'est une valeur importante à connaître, correspondant à un angle sur le cercle trigonométrique.