Quiz : Suites Arithmétiques - Approfondissement

Correction:

C'est la définition même d'une suite arithmétique. Ce nombre constant qu'on ajoute est appelé la raison de la suite.

Correction :

On ajoute toujours -3 pour passer d'un terme au suivant. C'est donc une suite arithmétique de raison -3.

Correction :

On peut calculer les termes successifs : $u_1 = u_0 + r = -2 + 5 = 3$, $u_2 = u_1 + r = 3 + 5 = 8$, $u_3 = u_2 + r = 8 + 5 = 13$.

Ou bien utiliser la formule du terme général : $u_n = u_0 + nr$, donc $u_3 = -2 + 3(5) = -2 + 15 = 13$.

Correction :

Attention ! Le premier terme donné est $u_1$, pas $u_0$.

On utilise la formule $u_n = u_1 + (n-1)r$. Donc $u_5 = u_1 + (5-1)r = 4 + 4(-1) = 4 - 4 = 0$.

Correction :

On a $u_5 = u_2 + (5-2)r$, donc $16 = 7 + 3r$. D'où $3r = 16 - 7 = 9$, et donc $r = 3$.

Correction :

Par définition d'une suite arithmétique, la différence entre deux termes consécutifs est constante et égale à la raison $r$.

Correction :

C'est la somme des 100 premiers termes d'une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 1.

$S = 100 \times \frac{1 + 100}{2} = 100 \times \frac{101}{2} = 50 \times 101 = 5050$.

Correction :

On utilise la formule générale : $u_n = u_p + (n-p)r$. Ici, $u_{15} = u_8 + (15-8)r = u_8 + 7r$.

Correction :

Pour qu'une suite soit arithmétique, la *différence* entre deux termes consécutifs doit être *constante*. Ici, $u_{n+1} - u_n = 2n + 1$, qui dépend de $n$. La suite n'est donc *pas* arithmétique.

Correction :

Si la raison est positive, on ajoute un nombre positif à chaque étape, donc les termes augmentent : la suite est croissante.

Correction :

C'est la formule générale qui permet d'exprimer un terme en fonction d'un autre terme quelconque (pas forcément le premier terme) et de la raison.

Correction :

L'expression est de la forme $u_n = u_0 + nr$, avec $u_0 = 5$ et $r = -2$. C'est donc une suite arithmétique de premier terme 5 et de raison -2.

Correction :

C'est une somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison 3. Le premier terme est 2 et le dernier terme est 32.

Si on note $u_0 = 2$, alors $u_n = 2 + 3n$. On cherche $n$ tel que $u_n = 32$, c'est-à-dire $2 + 3n = 32$.

$3n = 30$, donc $n = 10$. Comme on commence à $u_0$, il y a $10 + 1 = 11$ termes.

Correction :

Les nombres impairs forment une suite arithmétique de raison 2. Le premier terme est 101. On cherche le nombre de termes jusqu'à 299.

Si on note le premier terme impair $u_0=101$, alors les impairs sont $u_n = 101 + 2n$.

On cherche $n$ tel que $u_n=299$, c'est à dire $101 + 2n = 299 \Leftrightarrow 2n = 299-101 = 198 \Leftrightarrow n= \frac{198}{2} = 99$.

On a donc 99+1 = 100 termes.

Correction :

C'est la somme des termes d'une suite arithmétique de raison 4 et de premier terme 5.

Déterminons d'abord le nombre de termes. Si $u_0 = 5$, alors $u_n = 5 + 4n$.

On cherche $n$ tel que $u_n = 401$, donc $5 + 4n = 401 \Leftrightarrow 4n = 396 \Leftrightarrow n = 99$.

Il y a donc $99 + 1 = 100$ termes.

La somme est $S = 100 \times \frac{5 + 401}{2} = 100 \times \frac{406}{2} = 100 \times 203 = 20300$.

Correction :

Si la suite est arithmétique, la différence entre deux termes consécutifs est constante.

Donc, $(2x+1) - x = (4x-3) - (2x+1)$

$x + 1 = 2x - 4 \Leftrightarrow 5=x$

Correction :

La production annuelle forme une suite arithmétique de premier terme $u_1 = 1000$ (ou $u_0=1000$ suivant la convention) et de raison $r = 50$.

On cherche la somme des 20 premiers termes (en comptant la production de la première année comme $u_1$ et la production de la 20ème année comme $u_{20}$). Si l'on prend $u_0=1000$, alors $u_{19}$ est le 20e terme. Prenons la convention $u_1=1000$.

Le 20ème terme est $u_{20} = u_1 + (20-1)r = 1000 + 19 \times 50 = 1000 + 950 = 1950$.

La production totale est $S = 20 \times \frac{1000 + 1950}{2} = 20 \times \frac{2950}{2} = 10 \times 2950 = 29500$.

Correction :

Soient $a$, $b$, et $c$ les trois nombres. Comme ils sont en progression arithmétique, on peut les écrire comme $a = b - r$, $b$, et $c = b + r$, où $r$ est la raison.

Leur somme est $(b - r) + b + (b + r) = 3b = 27$, donc $b = 9$.

Leur produit est $(9 - r) \times 9 \times (9 + r) = 9(81 - r^2) = 770$. Donc $81 - r^2 = \frac{770}{9}$

Ce qui donne $r^2=81-\frac{770}{9}=\frac{729-770}{9}=\frac{-41}{9}$. Impossible car $r^2$ ne peut pas être négatif.

Revenons à l'écriture des nombres en progression arithmétique. Notons les nombres $u_0$, $u_1$ et $u_2$.

On a $u_0+u_1+u_2=27$ et $u_0u_1u_2=770$.

$u_0+u_1+u_2=3u_1=27$ donc $u_1=9$.
$u_1=u_0+r$ et $u_2=u_0+2r=u_1+r$
Donc $u_0 \times u_1 \times u_2 = 770$
$(9-r)9(9+r)=770$
$9(81-r^2)=770$
$729-9r^2=770$
$9r^2=729-770=-41$
$r^2=\frac{-41}{9}$ impossible Si on pose u_0, u_0 +r et u_0+2r, on a 3u_0 +3r=27 et donc u_0 +r= 9 et u_1 =9 et u_2=u_1 + r = 9 + r.
u_0 x 9 x u_2 = 770
(9-r) x 9 x (9+r)=770
9(81 - r²) = 770
729 - 9r² = 770
9r² = -41 impossible.

Il y a une erreur dans l'énoncé les valeurs ne sont pas bonnes.

Correction :

Montrons d'abord que $(v_n)$ est géométrique : $v_{n+1} = u_{n+1} - 1 = (2u_n - 1) - 1 = 2u_n - 2$.

On sait que $v_n = u_n - 1$, donc $u_n = v_n + 1$. On remplace : $v_{n+1} = 2(v_n + 1) - 2 = 2v_n + 2 - 2 = 2v_n$.

Donc $(v_n)$ est géométrique de raison 2. Son premier terme est $v_0 = u_0 - 1 = 3 - 1 = 2$.

Donc $v_n = v_0 \times q^n = 2 \times 2^n = 2^{n+1}$.

Comme $u_n = v_n + 1$, on a $u_n = 2^{n+1} + 1$.

Correction :

Les nombres pairs forment une suite arithmétique de premier terme 2 et de raison 2. Le 50ème nombre pair est $2 \times 50 = 100$.

La somme est $S = 50 \times \frac{2 + 100}{2} = 50 \times 51 = 2550$.

Correction :

$u_1 = u_0 + 0 + 1 = 1 + 0 + 1 = 2$.
$u_2 = u_1 + 1 + 1 = 2 + 1 + 1 = 4$.
$u_3 = u_2 + 2 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7$.
$u_4 = u_3 + 3 + 1 = 7 + 3 + 1 = 11$.

Correction :

$u_5 = u_6 - r$ et $u_7 = u_6 + r$.

Donc $u_5 + u_6 + u_7 = (u_6 - r) + u_6 + (u_6 + r) = 3u_6 = 60$. D'où $u_6 = 20$.

Correction :

C'est la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison 3 et de premier terme $u_0 = -7$.

Il y a $50 - 20 + 1 = 31$ termes.

$u_{20} = 3(20) - 7 = 60 - 7 = 53$.

$u_{50} = 3(50) - 7 = 150 - 7 = 143$.

$S = 31 \times \frac{53 + 143}{2} = 31 \times \frac{196}{2} = 31 \times 98 = 3038$.

Correction :

On a $u_0 = 3$ et $u_{16} = 51$ (car il y a 17 termes, donc le dernier est $u_{16}$ si le premier est $u_0$).

On a $u_{16} = u_0 + 16r$, donc $51 = 3 + 16r$.

D'où $16r = 48$, et $r = 3$.

Correction :

Calculons les premiers termes : $u_0 = 1$, $u_1 = 2$, $u_2 = 5$, $u_3 = 10$.

$u_1 - u_0 = 1$, $u_2 - u_1 = 3$, $u_3 - u_2 = 5$. La différence entre deux termes consécutifs n'est pas constante, donc la suite n'est pas arithmétique.

Correction :

On calcule $v_{n+1} = u_{n+1} + a = (3u_n - 1) + a = 3u_n - 1 + a$.

On veut que $(v_n)$ soit géométrique, donc on cherche une relation de la forme $v_{n+1} = qv_n$.

Comme $v_n = u_n + a$, on a $u_n = v_n - a$. On remplace : $v_{n+1} = 3(v_n - a) - 1 + a = 3v_n - 3a - 1 + a = 3v_n - 2a - 1$.

Pour que $(v_n)$ soit géométrique, il faut que $-2a - 1 = 0$, donc $-2a = 1$, d'où $a = -\frac{1}{2} = -0.5$.

Correction :

$u_n = n^2$ n'est pas arithmétique, car les différences entre termes consécutifs ne sont pas constantes : (n+1)² - n² = 2n + 1, qui dépend de n. Les autres sont de la forme $u_n = u_0 + nr$, donc arithmétiques.

Correction :

La suite est arithmétique, car c'est la *différence* (et non le rapport) entre deux termes consécutifs qui est constante. Cette différence est la raison, qui vaut -4 ici.

Correction :

VRAI. Si on connaît $u_n$ et $u_m$ (avec $n \neq m$), on a $u_n = u_0 + nr$ et $u_m = u_0 + mr$. Cela forme un système de deux équations à deux inconnues ($u_0$ et $r$) que l'on peut résoudre.

Correction :

On demande $1 + 2 + 3 + ... + 20$. C'est la somme des 20 premiers termes d'une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 1.

Donc $S = 20 \times \frac{1 + 20}{2} = 20 \times \frac{21}{2} = 10 \times 21 = 210$.