Quiz : Sommes de Suites

Correction:

Il s'agit de la somme des termes d'une suite arithmétique de raison 1, de premier terme 1 et de dernier terme $n$. La formule générale est : (nombre de termes) $\times$(premier terme + dernier terme) / 2. Ici, il y a $n$ termes, le premier terme est 1, et le dernier terme est $n$. Donc la somme est $n(1+n)/2$.

Correction:

La formule générale pour la somme des $n$ premiers termes d'une suite arithmétique est : (nombre de termes) $\times$ (premier terme + dernier terme) / 2. Ici le nombre de termes est $n$, le premier terme est $u_0$ et le dernier terme est $u_{n-1}$.

Correction:

C'est la formule du cours pour la somme des termes d'une suite géométrique, lorsque la raison $q$ est différente de 1.

Correction:

Si $q=1$, tous les termes de la suite sont égaux à $u_0$. La somme de $n$ termes égaux à $u_0$ est $n \times u_0$.

Correction:

C'est la somme des 10 premiers entiers. On utilise la formule : $$n(n+1)/2 = 10\times (10+1)/2 = 10\times 11/2 = 55$$

Correction:

On applique la formule $n(n+1)/2$ avec $n = 20$ : $$ 20 \times (20+1) / 2 = 20 \times 21 / 2 = 10 \times 21 = 210$$.

Correction:

C'est la somme des nombres pairs de 2 à 100. On peut factoriser par 2 : $S = 2(1 + 2 + 3 + ... + 50)$. Il s'agit de la somme des 50 premiers entiers, multipliée par 2. On utilise la formule $n(n+1)/2$ avec $n=50$ : $$S = 2 \times (50 \times 51)/2= 50 \times 51 = 2550$$.

Correction:

C'est la somme des nombres impairs de 1 à 99. On peut remarquer que le $k$-ième nombre impair est $2k-1$. On cherche $n$ tel que $2n - 1 = 99$, donc $2n = 100$ et $n = 50$. Il y a donc 50 termes dans la somme. La suite des nombres impairs est une suite arithmétique de raison 2, de premier terme 1, et de 50-ième terme 99. La somme est donc : (nombre de termes) $\times$ (premier terme + dernier terme) /2

Correction:

On a $u_n = u_0 + n \times r = 5 + 3n$. Donc $u_{10} = 5 + 3 \times 10 = 35$. On a 11 termes de $u_0$ à $u_{10}$. La somme est donc : $$ 11\times (5 + 35)/2 = 11\times 40/2 = 11\times 20 = 220$$.

Correction:

C'est la somme des puissances de 2, de $2^0$ à $2^{10}$. C'est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 1. Il y a 11 termes. La somme est donc : $1 \times \dfrac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = \dfrac{1 - 2048}{-1} = 2047$.

Correction:

On utilise la formule de la somme des termes d'une suite géométrique : $S = u_0 \times \dfrac{1 - q^n}{1 - q}$, où $n$ est le nombre de termes. Ici, $n = 6$ (de 0 à 5, il y a 6 termes), $u_0 = 3$ et $q = 2$. Donc $S = 3 \times \dfrac{1 - 2^6}{1 - 2} = 3 \times \dfrac{1 - 64}{-1} = 3 \times 63 = 189$.

Correction:

$u_0 = 5 \times (-1)^0 = 5$, $u_1= 5 \times (-1)^1=-5$, $u_2 = 5$, $u_3 = -5$, $u_4 = 5$. Donc $u_0+u_1+u_2+u_3+u_4 = 5 -5 + 5 -5 + 5 = 5$.

Correction:

On somme la constante 5 dix fois (de k=1 à k=10), donc le résultat est 10 \times 5 = 50.

Correction:

$u_k = 2k+1$ est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme $u_0 = 1$. Le dernier terme est $u_5 = 2\times 5+1=11$. Il y a 6 termes dans la somme (de k=0 à k=5). La somme vaut donc 6\times (1+11)/2 = 6\times 12/2 = 36.

Correction:

C'est une suite géométrique de premier terme $u_0 = 3 \times 2^0 = 3$ et de raison 2. Il y a 5 termes (de k=0 à k=4). Donc la somme est $3 \times \dfrac{1-2^5}{1-2} = 3 \times \dfrac{1-32}{-1} = 3 \times 31 = 93$

Correction:

C'est une suite arithmétique de raison 1. Le premier terme est 2-1=1. Le dernier terme est 5-1=4. Il y a 5 - 2 + 1 = 4 termes. La somme est $$4\times (1+4)/2 = 10.$$

Correction:

C'est une suite géométrique de raison -1 et de premier terme 1. Il y a 4 termes. La somme est $1 \times \dfrac{1-(-1)^4}{1-(-1)} = \dfrac{1-1}{2} = 0$. On peut aussi calculer directement : 1 - 1 + 1 - 1 = 0.

Correction:

On applique la formule : $S = u_0 \times \dfrac{1 - q^n}{1 - q}$, avec $u_0 = 5$, $q = 2$ et $n = 10$. Donc $S = 5 \times \dfrac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = 5 \times \dfrac{1 - 1024}{-1} = 5 \times 1023 = 5115$.

Correction:

C'est la somme des 5 premiers nombres impairs. La suite $u_n = 2n - 1$ est arithmétique de raison 2, premier terme $u_1 = 2(1) - 1 = 1$, et dernier terme $u_5 = 2(5) - 1 = 9$. Il y a 5 termes. La somme est $5 \times (1 + 9)/2 = 5 \times 10 / 2 = 25$.

Correction:

Suite géométrique, raison 0.5, premier terme $2 \times (0.5)^0 = 2$. 4 termes. $S = 2 \times \frac{1 - (0.5)^4}{1 - 0.5} = 2 \times \frac{1 - 0.0625}{0.5} = 4 \times 0.9375 = 3.75$

Correction:

$\displaystyle\sum_{i=1}^{6} 2i = 2\displaystyle\sum_{i=1}^{6} i = 2 \times \dfrac{6(6+1)}{2} = 2 \times 21 = 42$

Correction:

C'est une suite géométrique de raison -1 et de premier terme 1. Il y a 5 termes. La somme est $1 \times \dfrac{1 - (-1)^5}{1 - (-1)} = \dfrac{1 - (-1)}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$. On peut aussi développer : 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 1

Correction:

$\sum_{j=1}^5 (j^2 - j) = \sum_{j=1}^5 j^2 - \sum_{j=1}^5 j$. Il faudrait connaître la formule de la somme des carrés. Le plus simple est de calculer terme à terme : (1-1) + (4-2) + (9-3) + (16-4) + (25-5) = 0 + 2 + 6 + 12 + 20 = 40

Correction:

$u_n = u_1 + (n-1)r$, donc $u_{20} = 2 + (20-1)3 = 2 + 19 \cdot 3 = 2 + 57 = 59$. Il y a 20 termes dans la somme. La somme vaut : 20 $\times (2 + 59)/2$ = $10 \times 61 = 610$

Correction:

C'est une suite géométrique de raison 2. Le premier terme de la somme est $u_3 = 5 \times 2^3 = 40$. Il y a 8 - 3 + 1 = 6 termes. La somme est $40 \times \dfrac{1-2^6}{1-2} = 40 \times \dfrac{1-64}{-1} = 40 \times 63 = 2520$.

Correction:

Il y a 10 - 5 + 1 = 6 termes dans la somme. La somme est donc $$6 \times \dfrac{v_5 + v_{10}}{2} = 6 \times \dfrac{10 + 25}{2} = 3 \times 35 = 105.$$

Correction:

C'est la somme des termes d'une suite géométrique de raison 1/2, et de premier terme 1. Il y a 6 termes. La somme est $$1 \times \dfrac{1 - (1/2)^6}{1 - 1/2} = \dfrac{1 - 1/64}{1/2} = 2(1 - 1/64) = 2(63/64) = 63/32.$$

Correction:

C'est une suite géométrique de raison -1. Il y a 7 termes. Le premier est 5. La somme est $5 \times \frac{1-(-1)^7}{1-(-1)} = 5 \times \frac{2}{2} = 5$

Correction:

On peut calculer terme à terme : $(1^2-1) + (2^2-1) + (3^2-1) + (4^2-1) = 0 + 3 + 8 + 15 = 26$.

Correction:

$2+4+6+...+200 = 2(1+2+3+...+100) = 2 \times \frac{100 \times 101}{2} = 100 \times 101 = 10100$