Quiz : Produit Scalaire

Correction:

La propriété fondamentale de l'orthogonalité est que le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est nul.

Correction:

C'est la réciproque de la propriété vue à la question 1. Si le produit scalaire est nul (et que les vecteurs sont non nuls), alors les vecteurs sont orthogonaux.

Correction:

C'est la formule du produit scalaire en coordonnées dans un repère orthonormé.

Correction:

Le produit scalaire est commutatif (ou symétrique): l'ordre des vecteurs n'a pas d'importance.

Correction:

Le carré scalaire d'un vecteur est égal au carré de sa norme : $\overrightarrow{u}^2 = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} = \lVert \overrightarrow{u} \rVert^2$

Correction:

Dans l'expression $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos(\theta)$, $\theta$ représente l'angle géométrique entre les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, c'est-à-dire l'angle $\widehat{BAC}$.

Correction:

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = (2)(1) + (-3)(4) = 2 - 12 = -10$.

Correction:

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = (0)(-2) + (5)(0) = 0$. On remarque que les vecteurs sont orthogonaux (l'un est vertical, l'autre horizontal).

Correction:

On utilise la formule $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \lVert \overrightarrow{u} \rVert \times \lVert \overrightarrow{v} \rVert \times \cos(\theta)$. On a donc $-6 = 3 \times 4 \times \cos(\theta)$, d'où $\cos(\theta) = \dfrac{-6}{12} = - \dfrac{1}{2}$.

Correction:

Calculons le produit scalaire : $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = (1)(1) + (-1)(1) = 1-1 = 0$. Le produit scalaire est nul, donc les vecteurs sont orthogonaux.

Correction:

Dans un carré, les côtés adjacents sont perpendiculaires. $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ sont donc orthogonaux, d'où un produit scalaire de 0.

Correction:

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = \lVert\overrightarrow{AB}\rVert^2 = AB^2 = 4^2 = 16$.

Correction:

C'est une identité remarquable du produit scalaire : $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - \frac{1}{4}AB^2$.

Correction:

Comme $ABCD$ est un rectangle, $B$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$. Donc, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = AB^2 = 5^2 = 25$.

Correction:

L'angle entre $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ est 60 degrés (angle d'un triangle équilatéral). Donc $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos(60^{\circ}) = a \times a \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}a^2$.

Correction:

Dans un repère orthonormé, les vecteurs de base sont orthogonaux. Donc leur produit scalaire est nul.

Correction:

$\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{i} = ||\overrightarrow{i}||^2$. Comme $\overrightarrow{i}$ est un vecteur unitaire (de norme 1), son carré scalaire est 1.

Correction:

$\vec{u}\cdot\vec{v}=||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot cos(120^\circ)$ Or $cos(120) = cos(180-60) = -cos(60) = -1/2$ D'où $\vec{u}\cdot\vec{v} = 5 \times 2 \times (-1/2) = -5$

Correction:

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = AB \times AD \times \cos(\widehat{BAD}) = 6 \times 6 \times \cos(60^\circ) = 36 \times \frac{1}{2} = 18$.

Correction:

Les diagonales d'un carré sont perpendiculaires. Donc les vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BD}$ sont orthogonaux, et leur produit scalaire est 0.

Correction:

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = (5 \times -4) + (2 \times 10) = -20 + 20 = 0$

Correction:

Comme on a $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=||\overrightarrow{a}|| \times ||\overrightarrow{b}||$ et $\vec{u} \cdot \vec{v} = \lVert\vec{u}\rVert \times \lVert\vec{v}\rVert \times \cos(\theta)$. alors cos (angle entre $\overrightarrow{a}$ et $\overrightarrow{b}$)=1. Donc l'angle vaut $0°$, donc les vecteurs sont colinéaires de même sens

Correction:

On calcule les vecteurs : $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$, et $\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \end{pmatrix}$. On vérifie les produits scalaires : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (1)(-1) + (1)(1) = -1 + 1 = 0$. Puisque $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$, l'angle en A est droit, et le triangle est rectangle en A.

Correction:

Puisque H est le projeté orthogonal de C sur (AB), on a $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}$. De plus, comme H est sur (AB), $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ sont colinéaires et de même sens (car ABCD est un rectangle), donc $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH} = AB \times AH$. On a donc $5 \times AH = 50$, d'où $AH = 10$.

Correction:

Comme $A$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$, on a $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BA}$. Les vecteurs $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BA}$ sont colinéaires et de sens opposé avec $\overrightarrow{AB}$. Donc, $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BA} = -AB^2 = -36$.

Correction:

Si les vecteurs sont colinéaires de même sens, l'angle entre eux est de 0 degré, et $\cos(0) = 1$. Donc $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \lVert \overrightarrow{u} \rVert \times \lVert \overrightarrow{v} \rVert \times \cos(0) = \lVert \overrightarrow{u} \rVert \times \lVert \overrightarrow{v} \rVert$.

Correction:

Si les vecteurs sont colinéaires de sens opposés, l'angle entre eux est de 180 degrés (ou $\pi$ radians), et $\cos(180^{\circ}) = -1$. Donc $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \lVert \overrightarrow{u} \rVert \times \lVert \overrightarrow{v} \rVert \times \cos(180^{\circ}) = - \lVert \overrightarrow{u} \rVert \times \lVert \overrightarrow{v} \rVert$.

Correction:

$\overrightarrow{u} \cdot (2\overrightarrow{v}) = 2 (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}) = 2 \times 5 = 10$.

Correction:

$\overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} = 4 + (-3) = 1$.

Correction:

$(3\vec{u}) \cdot (-5\vec{v}) = 3(-5)(\vec{u} \cdot \vec{v}) = -15 \times (-2) = 30$.