Quiz : Probabilités Conditionnelles, Indépendance, Probabilités Totales

Correction:

Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si $P(A \cap B) = P(A)P(B)$.

Ici, $P(A)P(B) = 0.6 \times 0.4 = 0.24$.

Comme $P(A \cap B) = 0.24$, on a bien $P(A \cap B) = P(A)P(B)$.

Donc, les événements A et B sont indépendants.

Correction:

La probabilité conditionnelle de B sachant A est définie par: $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.

Donc, $P(A \cap B) = P(B|A) \times P(A) = 0.5 \times 0.3 = 0.15$.

Correction:

Si A et B sont incompatibles, cela signifie que $P(A \cap B) = 0$.

La formule générale pour l'union est $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Comme $P(A \cap B) = 0$, on a $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Correction:

Un événement certain se produit toujours. Par définition, sa probabilité est donc de 1 (ou 100%).

Correction:

Les nombres pairs sur un dé à six faces sont 2, 4, et 6. Il y a donc 3 résultats favorables.

Il y a 6 résultats possibles au total (1, 2, 3, 4, 5, 6).

La probabilité est donc de 3/6 = 1/2.

Correction:

Il y a 4 as dans un jeu de 52 cartes (un de chaque couleur : cœur, carreau, pique, trèfle).

La probabilité est donc de 4/52, ce qui se simplifie en 1/13.

Correction:

La formule de Bayes permet de calculer la probabilité conditionnelle $P(A|B)$ en fonction de $P(B|A)$, $P(A)$, et $P(B)$.

La formule correcte est : $P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$

Correction:

La somme de la probabilité d'un événement et de la probabilité de son événement contraire est toujours égale à 1.

Donc, $P(A) + P(\overline{A}) = 1$, d'où $P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - 0.3 = 0.7$.

Correction:

Il y a 3 boules rouges, et un total de 3 + 2 = 5 boules.

La probabilité de tirer une boule rouge est donc le nombre de boules rouges divisé par le nombre total de boules: 3/5.

Correction:

On utilise la définition de la probabilité conditionnelle : $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.

Donc $P(A \cap B) = P(A|B) \times P(B) = 0.4 \times 0.5 = 0.2$.

Correction :

Au premier tirage, la probabilité de tirer une boule blanche est de $\frac{6}{10}$.

Comme le tirage est sans remise, il reste 5 boules blanches et un total de 9 boules pour le second tirage.

La probabilité de tirer une boule blanche au second tirage, sachant qu'une boule blanche a été tirée au premier, est de $\frac{5}{9}$.

La probabilité de tirer deux boules blanches est donc $\frac{6}{10} \times \frac{5}{9} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}$.

Correction :

On utilise la formule : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

On cherche $P(A \cap B)$, donc on réarrange la formule : $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$.

$P(A \cap B) = 0.5 + 0.6 - 0.8 = 0.3$.

Correction :

Soit M l'événement "être malade" et T l'événement "test positif". On cherche $P(M|T)$.

On utilise la formule de Bayes : $P(M|T) = \frac{P(T|M)P(M)}{P(T)}$

$P(T|M) = 0.9$ (sensibilité)

$P(M) = 0.01$ (prévalence)

Pour calculer $P(T)$, on utilise la formule des probabilités totales : $P(T) = P(T|M)P(M) + P(T|\overline{M})P(\overline{M})$

$P(T|\overline{M}) = 1 - 0.95 = 0.05$ (1 - spécificité)

$P(\overline{M}) = 1 - P(M) = 1 - 0.01 = 0.99$

$P(T) = (0.9 \times 0.01) + (0.05 \times 0.99) = 0.009 + 0.0495 = 0.0585$

Donc, $P(M|T) = \frac{0.9 \times 0.01}{0.0585} \approx 0.1538$, soit environ 15.3%.

Correction:

Il y a 36 résultats possibles quand on lance deux dés (6 résultats pour le premier dé multiplié par 6 résultats pour le second).

Les combinaisons qui donnent une somme de 7 sont : (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). Il y a donc 6 combinaisons favorables.

La probabilité est donc 6/36 = 1/6.

Correction :

Il y a $2^3 = 8$ résultats possibles au total (chaque lancer a 2 issues possibles, pile ou face).

Les résultats favorables (avec exactement deux piles) sont : (Pile, Pile, Face), (Pile, Face, Pile), (Face, Pile, Pile). Il y a 3 résultats favorables.

La probabilité est donc 3/8.

Correction :

Comme A et B sont indépendants, $P(A \cap B) = P(A)P(B) = 0.2 \times 0.7 = 0.14$.

On utilise ensuite la formule : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

$P(A \cup B) = 0.2 + 0.7 - 0.14 = 0.76$.

Correction:

On utilise la formule des probabilités totales : $P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|\overline{B})P(\overline{B})$.

On a $P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0.4 = 0.6$.

Donc, $P(A) = (0.6 \times 0.4) + (0.3 \times 0.6) = 0.24 + 0.18 = 0.42$.

Correction :

Soit F l'événement "être une femme", H l'événement "être un homme", et B l'événement "avoir les yeux bleus". On cherche $P(B)$.

On utilise la formule des probabilités totales : $P(B) = P(B|F)P(F) + P(B|H)P(H)$

$P(F) = 0.6$

$P(H) = 1 - P(F) = 0.4$

$P(B|F) = 0.2$

$P(B|H) = 0.3$

$P(B) = (0.2 \times 0.6) + (0.3 \times 0.4) = 0.12 + 0.12 = 0.24$

Correction:

Deux événements sont mutuellement exclusifs (ou incompatibles) s'ils ne peuvent pas se produire en même temps. Leur intersection est donc vide.

La probabilité de l'ensemble vide est toujours 0. Donc, $P(A \cap B) = 0$.

Correction:

La probabilité de tirer un roi en premier est de 4/52 (car il y a 4 rois).

Comme on ne remet pas la carte, il reste 51 cartes. La probabilité de tirer un as ensuite est de 4/51 (car il y a 4 as).

La probabilité de tirer un roi puis un as est donc $\frac{4}{52} \times \frac{4}{51}$.

Correction :

Si A et B sont indépendants, alors P(A|B) = P(A).

Ici, P(A|B) = 0.3 et P(A) = 0.4. Ces valeurs sont différentes.

Donc, A et B ne sont pas indépendants.

Correction :

La somme des probabilités d'un événement et de son contraire est toujours 1 : $P(A) + P(\overline{A}) = 1$.

Donc, $P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.7 = 0.3$.

Correction :

Si deux événements A et B sont indépendants, la probabilité qu'ils se produisent tous les deux est le produit de leurs probabilités individuelles : $P(A \cap B) = P(A)P(B)$.

Ici, $P(\text{pluie et vent}) = P(\text{pluie}) \times P(\text{vent}) = 0.4 \times 0.6 = 0.24$.

Correction :

Il y a un total de 5 + 3 + 2 = 10 boules.

Il y a 5 boules qui ne sont pas rouges (3 bleues + 2 vertes).

La probabilité de ne pas tirer une boule rouge est donc 5/10 = 1/2.

Correction :

La probabilité d'obtenir un 6 au premier lancer est de 1/6.

La probabilité d'obtenir un nombre impair au second lancer est de 3/6 = 1/2 (car il y a trois nombres impairs : 1, 3, et 5).

Comme les deux lancers sont indépendants, la probabilité d'obtenir un 6 puis un nombre impair est le produit des probabilités : (1/6) (1/2) = 1/12.

Correction :

On utilise la formule : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Soit A l'événement "étudier l'anglais" et B l'événement "étudier l'espagnol".

Alors $P(A) = 0.7$, $P(B) = 0.5$, et $P(A \cap B) = 0.3$.

$P(A \cup B) = 0.7 + 0.5 - 0.3 = 0.9$.

Correction:

Soit D l'événement "la pièce est défectueuse". On cherche P(D).

On utilise la formule des probabilités totales : $P(D) = P(D|M1)P(M1) + P(D|M2)P(M2) + P(D|M3)P(M3)$

$P(M1) = 0.5$, $P(M2) = 0.3$, $P(M3) = 0.2$

$P(D|M1) = 0.03$, $P(D|M2) = 0.04$, $P(D|M3) = 0.05$

$P(D) = (0.03 \times 0.5) + (0.04 \times 0.3) + (0.05 \times 0.2) = 0.015 + 0.012 + 0.01 = 0.037$, soit 3.7%.

Correction :

On sait que $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Comme $P(A \cup B)$ est une probabilité, elle est toujours inférieure ou égale à 1.

Donc, $P(A) + P(B) - P(A \cap B) \le 1$, ce qui donne $0.6 + 0.5 - P(A \cap B) \le 1$.

Donc, $1.1 - P(A \cap B) \le 1$, d'où $P(A \cap B) \ge 0.1$. La plus petite valeur possible est donc 0.1.

Correction:

La définition de l'indépendance de deux événements A et B est que la probabilité de leur intersection est égale au produit de leurs probabilités individuelles : $P(A \cap B) = P(A)P(B)$.

Les autres affirmations ne sont pas toujours vraies pour des événements indépendants.

Correction:

On commence par rappeler une loi de De Morgan : $\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}$.

Donc, $P(\overline{A} \cup \overline{B}) = P(\overline{A \cap B}) = 1 - P(A \cap B)$.

Comme A et B sont indépendants, $P(A \cap B) = P(A)P(B) = 0.8 \times 0.1 = 0.08$.

Donc, $P(\overline{A} \cup \overline{B}) = 1 - 0.08 = 0.92$