Quiz : Position Relative de Courbes - Approfondissement

Correction:

C'est la méthode fondamentale. Si $f(x) - g(x) > 0$, alors $f(x) > g(x)$ et $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de $\mathscr{C}_g$. Si $f(x) - g(x) < 0$, alors $f(x) < g(x)$ et $\mathscr{C}_f$ est en-dessous de $\mathscr{C}_g$.

Correction:

Si $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de $\mathscr{C}_g$, cela signifie que pour un $x$ donné, l'ordonnée du point de $\mathscr{C}_f$ (c'est-à-dire $f(x)$) est plus grande que l'ordonnée du point de $\mathscr{C}_g$ (c'est-à-dire $g(x)$).

Correction :

Si $f(x) - g(x) = 0$, alors $f(x) = g(x)$. Cela signifie que les ordonnées des deux courbes sont égales en $x=a$, donc les courbes se coupent en ce point.

Correction :

Les courbes se coupent lorsque f(x)=g(x), donc on résout : $2x-1=x+1$

En regroupant les x on obtient x=2.

Correction:

On étudie le signe de $f(x) - g(x) = x^2 - x = x(x-1)$. Les racines sont 0 et 1.

Un tableau de signes montre que $x(x-1)$ est positif sur $]-\infty ; 0[ \cup ]1 ; +\infty[$, donc $f(x) > g(x)$ sur ces intervalles.

Correction :

L'axe des abscisses a pour équation y=0. Etudier la position de $\mathscr{C}_f$ revient à étudier le signe de f(x)-0=f(x).
On remarque que $f(x)=x^2-4x+4=(x-2)^2$. Un carré est toujours positif, donc $\mathscr{C}_f$ est au dessus de l'axe des abscisses. De plus $f(x) =0 \iff x=2$.
$\mathscr{C}_f$ est donc toujours au dessus de l'axe des abscisses et le touche en un point d'abscisse 2, elle y est tangente.

Correction :

On étudie le signe de $f(x) - g(x) = x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x-1)(x+1)$.

Les racines sont -1, 0 et 1. Un tableau de signes montre que $x^3 - x$ est négatif sur $]-\infty ; -1[ \cup ]0 ; 1[$.

Donc, $\mathscr{C}_f$ est en-dessous de $\mathscr{C}_g$ sur $]-\infty ; -1[ \cup ]0 ; 1[$.

Attention, l'énoncé demande les intervalles où f est strictement en dessous de g, donc on doit exclure -1,0 et 1 de la réponse, car ce sont les points où les courbes se coupent

Correction :

FAUX. Pour vérifier, il suffit de prendre un contre-exemple.
En x=1 on a f(1)=3 et g(1)=1, donc f(1)>g(1). $\mathscr{C}_f$ est donc au-dessus de $\mathscr{C}_g$ en x=1.

Correction :

$f(-1) = \frac{1}{-1} = -1$ et $g(-1) = -1$. Donc $f(-1) = g(-1)$. Les courbes se coupent en $x=-1$.

Correction :

On fait un tableau de signes. Les racines sont -3 et 2. $(x-2)(x+3)$ est un trinôme avec $a=1>0$, donc il est négatif entre les racines, c'est-à-dire sur $]-3 ; 2[$.

Sur cet intervalle, $f(x) - g(x) < 0$, donc $f(x) < g(x)$ et $\mathscr{C}_f$ est en-dessous de $\mathscr{C}_g$.

Correction :

Si la position relative change en $x=5$, cela signifie que les courbes se coupent en ce point (à condition que $f$ et $g$ soient définies en 5).

Correction :

FAUX. On peut trouver un contre-exemple. Par exemple, en $x = 0$, $f(0) = 1$ et $g(0) = 0$. Donc $f(0) > g(0)$ et $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de $\mathscr{C}_g$ en $x=0$.

On pourrait aussi étudier le signe de $f(x)-g(x)= 2x+1-x^2=-(x^2-2x-1)$.

Correction :

Les courbes se coupent lorsque $f(x) = g(x)$, donc on résout $x^3 = x^2$.

$x^3 - x^2 = 0 \Leftrightarrow x^2(x-1) = 0$. Les solutions sont $x=0$ et $x=1$.

Correction :

On étudie le signe de $f(x) - g(x) = \frac{1}{x} - \sqrt{x} = \frac{1 - x\sqrt{x}}{x}$.

Comme $x>0$, le signe de cette expression est le signe de $1 - x\sqrt{x}$.

On cherche quand $1 - x\sqrt{x} > 0$, c'est-à-dire $1 > x\sqrt{x} \Leftrightarrow 1 > x^{3/2}$.

En élevant au carré (les deux membres sont positifs) : $1 > x^3$. Donc $x < 1$.

Comme on travaille sur $x>0$, on a $\mathscr{C}_f$ au-dessus de $\mathscr{C}_g$ sur $]0 ; 1[$.

Correction :

On étudie le signe de $f(x)-g(x)$ :
$f(x)-g(x)=2x+5-(4x+1)=2x+5-4x-1=-2x+4$.
$-2x+4 =0 \iff x= 2$

Correction :

La courbe de f(x)-g(x) donne une vision directe. Lorsque f(x) - g(x) > 0, la courbe de f(x) - g(x) est au-dessus de l'axe des abscisses, ce qui signifie que f(x) > g(x).

Correction :

On cherche les points où $f(x) = g(x)$, donc on résout $x^2 - 3x + 2 = -x^2 + 5x - 4$.

$2x^2 - 8x + 6 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 4x + 3 = 0$.

On peut factoriser : $(x-1)(x-3) = 0$. Les solutions sont $x=1$ et $x=3$.

Calculons les ordonnées :
$f(1) = 1^2 - 3(1) + 2 = 0$.
$f(3) = 3^2 - 3(3) + 2 = 2$

Les points d'intersection sont $(1 ; 0)$ et $(3; 2)$.

Correction :

L'axe des abscisses a pour équation $y = 0$. Étudier la position relative de $\mathscr{C}_f$ et de l'axe des abscisses revient à étudier le signe de $f(x) - 0 = f(x) = x^2 + x - 1$.

C'est un trinôme du second degré. Calculons le discriminant : $\Delta = 1^2 - 4(1)(-1) = 1 + 4 = 5 > 0$. Il y a deux racines réelles :

$x_1 = \dfrac{-1 - \sqrt{5}}{2}$ et $x_2 = \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}$.

Comme le coefficient de $x^2$ est positif ($a=1>0$), la parabole est tournée vers le haut ("en U"). Donc, $f(x)$ est positif à l'extérieur des racines et négatif entre les racines. La courbe coupe l'axe des abscisses en deux points, est au-dessus à l'extérieur des racines, et en-dessous entre les racines.

Correction :

On étudie le signe de $f(x)-g(x)=2x-1-\frac{1}{x}=\frac{2x^2-x-1}{x}$
On étudie le signe du numérateur qui est un polynome du second degré. $\Delta=(-1)^2-4\times2\times(-1)=1+8=9$.
$x_1=\frac{1-3}{4}=\frac{-1}{2}$
$x_2=\frac{1+3}{4}=1$

Correction :

On remarque que $g(x) = -f(x)$. Cela signifie que pour un $x$ donné, les ordonnées des points des deux courbes sont opposées. Les courbes sont donc symétriques par rapport à l'axe des abscisses.

Correction :

On cherche $x$ tel que $f(x) = g(x)$, donc $2x + 3 = 5x - 6$.

$3x = 9$, donc $x = 3$.

L'ordonnée du point d'intersection est $f(3) = 2(3) + 3 = 9$ (ou $g(3) = 5(3) - 6 = 9$).

Le point d'intersection est $(3; 9)$.

Correction :

On remarque que $g(x) = -(x^2 - 4x + 4) = -f(x)$. Les deux courbes sont donc symétriques par rapport à l'axe des abscisses.

Correction :

On étudie le signe de $f(x) - g(x) = \frac{2x-4}{x+1} - 2 = \frac{2x-4-2(x+1)}{x+1} = \frac{2x-4-2x-2}{x+1} = \frac{-6}{x+1}$

Le signe de $f(x) - g(x)$ est le même que celui de $x+1$ mais opposé, car le numérateur est négatif (-6) et constant.

Donc, $f(x) - g(x) > 0$ si $x < -1$, et $f(x) - g(x) < 0$ si $x > -1$. $\mathscr C_f$ est au-dessus de $\mathscr D$ sur $]-\infty; -1[$ et en-dessous sur $]-1; +\infty[$.

Correction :

On cherche $x$ tel que $f(x) = g(x)$, c'est-à-dire $2x^2 - 5x + 3 = -x^2 + x + 3$.

$3x^2 - 6x = 0 \Leftrightarrow 3x(x - 2) = 0$. Les solutions sont $x = 0$ et $x = 2$.

Pour $x=0$, $f(0) = 3$ et $g(0) = 3$. Point d'intersection : $(0; 3)$.
Pour $x=2$, $f(2) = 2(4)-5(2)+3=1$ et $g(2) = -4+2+3 = 1$. Point d'intersection : $(2; 1)$.

Correction :

On étudie le signe de $f(x)-g(x)=x^2-(2x-1)=x^2-2x+1=(x-1)^2$
Un carré est toujours positif, donc la courbe de f est toujours au-dessus de celle de g. De plus $f(x)-g(x)=0$ lorsque x=1, donc les courbes se touchent en 1 point.

Correction :

$f(x)-g(x) = 4x-1-(-x+7)=4x-1+x-7=5x-8$.
$5x-8=0 \iff x=\frac{8}{5}$
On a donc le tableau suivant :

Correction :

$f(x)-g(x) =x^2+2x-1 -(-x^2-x-2)=x^2+2x-1+x^2+x+2=2x^2+3x+1$
On a $\Delta= 3^2-4\times2\times1=9-8=1$

$x_1=\frac{-3-1}{4}=-1$
$x_2=\frac{-3+1}{4}=\frac{-1}{2}$

Correction :

Vrai, si $f(x) \leq g(x)$ pour tout $x$, alors la courbe de $f$ est toujours en dessous (ou égale) à celle de $g$.

Correction :

Vrai. Les courbes se coupent lorsque $f(x) = g(x)$, ce qui équivaut à $f(x) - g(x) = 0$.

Correction :

On étudie le signe de $f(x) - g(x) = (2x + 3) - (2x - 1) = 2x + 3 - 2x + 1 = 4$.

Comme $4 > 0$, on a $f(x) - g(x) > 0$ pour tout $x$, donc $f(x) > g(x)$ et $\mathscr{C}_f$ est toujours au-dessus de $\mathscr{C}_g$.