Quiz Signe du Trinôme et Inéquations

Correction:

Le discriminant est $\Delta = b^2 - 4ac$. Ici, $a=2$, $b=-5$, et $c=3$. Donc $\Delta = (-5)^2 - 4(2)(3) = 25 - 24 = 1$.

Correction:

Si le discriminant est négatif, le trinôme n'a aucune racine réelle.

Correction:

Si le discriminant est nul, la racine double est donnée par $x_0 = \frac{-b}{2a}$.

Correction:

Si le discriminant est positif, le trinôme est du signe opposé de $a$ entre les racines.

Correction:

Le discriminant est $\Delta = (-4)^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4$. Les racines sont $x_1 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = 1$ et $x_2 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = 3$.
Puisque $a = 1 > 0$, le trinôme est positif à l'extérieur des racines. Donc, la solution est $x \in ]-\infty; 1[ \cup ]3; +\infty[$.

Correction:

Le discriminant est $\Delta = (1)^2 - 4(-2)(1) = 1 + 8 = 9$. Les racines sont $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{-4} = 1$ et $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{-4} = -\frac{1}{2}$.
Puisque $a = -2 < 0$, le trinôme est négatif ou nul à l'extérieur des racines. Donc, la solution est $x \in ]-\infty; -\frac{1}{2}] \cup [1; +\infty[$.

Correction:

On remarque que $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$. Donc, l'expression est nulle si et seulement si $x-3=0$, c'est-à-dire $x=3$.

Correction:

Le discriminant est $\Delta = (5)^2 - 4(-1)(-7) = 25 - 28 = -3$. Comme $\Delta < 0$ et $a = -1 < 0$, le trinôme est toujours négatif.

Correction:

$x^2$ est toujours positif ou nul, donc $x^2 + 1$ est toujours supérieur ou égal à 1, et donc strictement positif. L'inéquation $x^2 + 1 < 0$ n'a donc aucune solution réelle.

Correction:

Si le discriminant est nul, le trinôme a une racine double, donc la courbe touche l'axe des abscisses en un seul point (le sommet de la parabole).

Correction:

Il a une racine double si le discriminant est nul. $\Delta = m^2 - 4(1)(9) = m^2 - 36$. On veut $\Delta = 0$, donc $m^2 - 36 = 0$, ce qui donne $m^2 = 36$, soit $m = \pm 6$.

Correction:

On reconnaît l'identité remarquable $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Ici, $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$.

Correction:

$x^2 < 9 \Leftrightarrow x^2 - 9 < 0 \Leftrightarrow (x-3)(x+3) < 0$. On fait un tableau de signe : le trinôme est négatif entre les racines -3 et 3. Donc $S = ]-3; 3[$.

Correction:

Un carré est toujours positif ou nul. Il ne peut pas être inférieur ou égal à un nombre négatif. L'inéquation n'a aucune solution.

Correction:

$x^2$ est toujours positif ou nul, donc $x^2+4$ est toujours supérieur ou égal à 4, donc strictement positif. L'inéquation est vraie pour tout $x$ réel.

Correction:

Si $\Delta=0$, le trinôme a une racine double.

Correction:

Si $a<0$, le trinôme est du signe de $a$ (donc négatif) à l'extérieur des racines, et positif entre les racines.

Correction:

Le trinôme est du signe opposé à celui du coefficient de $x^2$ (c'est-à-dire de $a$) entre les racines.

Correction:

On a $\Delta = 4^2 - 4(-2)(-2) = 16-16=0$. Il y a une racine double $x_0 = \frac{-4}{2(-2)} = 1$. Comme $a=-2 < 0$, le trinôme est toujours négatif, sauf en $x_0=1$ où il est nul. Donc $-2x^2+4x-2 \le 0$ pour tout $x$ réel.

Correction:

On a $\Delta = (1)^2 - 4(5)(1) = 1-20=-19 < 0$. Il n'y a pas de racines réelles, et comme $a=5 > 0$, le trinôme est toujours positif.