Quiz : Polynômes du Second Degré

Correction:

Un polynôme du second degré a un terme en $x^2$ comme terme de plus haut degré. La forme générale est $ax^2 + bx + c$, où $a$, $b$, et $c$ sont des constantes, et surtout, $a$ doit être différent de zéro (sinon ce serait un polynôme du premier degré ou une constante).

Correction:

La courbe représentative d'un polynôme du second degré est toujours une parabole.

Correction:

Si $a > 0$, la parabole est tournée vers le haut (elle a un minimum). Si $a < 0$, la parabole est tournée vers le bas (elle a un maximum).

Correction:

La forme canonique est $a(x - \alpha)^2 + \beta$, où $(\alpha; \beta)$ sont les coordonnées du sommet de la parabole.

Correction:

Le point $(\alpha; \beta)$ est le sommet de la parabole. C'est le point où la fonction atteint son minimum (si $a > 0$) ou son maximum (si $a < 0$).

Correction:

On utilise la formule $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$. Ici, $a = 2$ et $b = -8$. Donc $\alpha = -\dfrac{-8}{2 \times 2} = -\dfrac{-8}{4} = 2$.

Correction:

On calcule d'abord $\alpha = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{6}{2 \times (-1)} = 3$. Puis $\beta = f(\alpha) = f(3) = -(3)^2 + 6(3) - 1 = -9 + 18 - 1 = 8$.

Correction:

$a = 3 > 0$, donc la parabole est tournée vers le haut. Le sommet est en $x = 2$. La fonction est donc décroissante avant le sommet (sur $]-\infty; 2]$) et croissante après (sur $[2; +\infty[$).

Correction:

$a = -1 < 0$, donc la parabole est tournée vers le bas. Le sommet est en $x = -1$. La fonction est donc croissante avant le sommet (sur $]-\infty; -1]$) et décroissante après (sur $[-1; +\infty[$).

Correction:

$\alpha = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{8}{2(-2)} = -\dfrac{8}{-4} = 2$. $\beta = f(2) = -2(2)^2 + 8(2) - 3 = -8 + 16 - 3 = 5$. Le sommet est donc $(2 ; 5)$.

Correction:

$\alpha = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-4}{2(1)} = 2$. $\beta = f(2) = (2)^2 - 4(2) + 1 = 4 - 8 + 1 = -3$. Donc $f(x) = (x-2)^2 - 3$. On peut aussi utiliser la complétion du carré : $x^2 - 4x + 1 = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 1 = (x-2)^2 - 3$.

Correction:

$\alpha = -b/2a = -(-6)/(-2) = -3$. $\beta=f(-3) = -(-3)^2-6(-3)+2 = -9+18+2=11.$ Donc la forme canonique : $f(x) = -(x+3)^2+11$

Correction:

$h(t)$ est un polynôme du second degré avec $a = -5 < 0$. La hauteur maximale correspond donc à l'ordonnée du sommet de la parabole. $\alpha = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{20}{2(-5)} = 2$. $\beta = h(2) = -5(2)^2 + 20(2) + 2 = -20 + 40 + 2 = 22$. La hauteur maximale est de 22 mètres.

Correction:

$C(x)$ est un polynôme du second degré avec $a = 2 > 0$, donc il y a un minimum. L'abscisse du sommet (qui correspond au minimum) est $\alpha = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-80}{2(2)} = \dfrac{80}{4} = 20$. Le coût est donc minimal pour une production de 20 objets.

Correction:

L'axe de symétrie est une droite verticale qui passe par le sommet. Son équation est donc $x = \alpha$, où $\alpha$ est l'abscisse du sommet.

Correction:

Si les dimensions initiales sont $L$ et $l$, l'aire est $A = L \times l$. Si on double les dimensions, elles deviennent $2L$ et $2l$, et l'aire devient $A' = (2L) \times (2l) = 4Ll = 4A$. L'aire est multipliée par 4.

Correction:

La parabole est symétrique par rapport à son axe de symétrie (vertical) passant par le sommet. Si $f(3) = f(7)$, cela signifie que les points d'abscisses 3 et 7 ont la même ordonnée, et donc que l'axe de symétrie (et donc le sommet) est au milieu de ces deux abscisses. L'abscisse du sommet est donc la moyenne de 3 et 7 : $\alpha = \dfrac{3+7}{2} = \dfrac{10}{2} = 5$.

Correction:

$a = -1 < 0$, donc il y a un maximum. $\alpha = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{6}{2(-1)} = 3$. Le maximum est $\beta = f(3) = -(3)^2 + 6(3) + 4 = -9 + 18 + 4 = 13$.

Correction:

La forme canonique est $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$. Ici on a déjà la forme canonique : $f(x) = 7(x - (-5))^2 + (-13)$. Donc $\beta = -13$.

Correction:

La forme canonique est $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$. Ici on a déjà la forme canonique : $f(x) = 12(x - 4)^2 + 5$. Donc $\alpha = 4$

Correction:

Ici, il faut calculer $\alpha = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-14}{2(7)} = 1$. Puis $\beta = f(\alpha) = f(1) = 7(1)^2 - 14(1) + 2 = 7 - 14 + 2 = -5$.

Correction:

L'axe de symétrie est une droite verticale d'équation $x = \alpha$. On calcule $\alpha = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{6}{2(-3)} = 1$. Donc l'équation de l'axe de symétrie est $x = 1$.

Correction:

La fonction est sous forme canonique. Comme $a = -2 < 0$, il y a un maximum. Ce maximum est $\beta$, qui vaut 8.

Correction:

On a $\alpha = -b/(2a) = -12/4 = -3$ $\beta = f(-3) = 2*9 + 12*(-3) - 3 = 18-36-3 = -21$

Correction:

$a=-2$, $\alpha = -8/-4 = 2$, $\beta = f(2) = -8+16 = 8$ Comme a<0, la parabole est tournée vers le bas, et on a un maximum en x = 2. f est croissante sur ]-inf, 2] et décroissante sur [2, +inf[

Correction:

Le coût moyen est le coût total divisé par le nombre d'objets : $C_M(x) = \dfrac{C(x)}{x} = \dfrac{x^2 + 50x + 100}{x} = \dfrac{x^2}{x} + \dfrac{50x}{x} + \dfrac{100}{x} = x + 50 + \dfrac{100}{x}$.

Correction:

$C_M(x) = x + 50 + 100/x$. $C_M'(x) = 1 - 100/x^2 = (x^2 - 100)/x^2 = (x-10)(x+10)/x^2$. Sur ]0; 60], $C_M'(x)$ est du signe de $x-10$. $C_M'(x) = 0$ pour $x = 10$. $C_M'(x) < 0$ pour $0 < x < 10$ et $C_M'(x) > 0$ pour $x > 10$. Donc le coût moyen a un minimum pour $x=10$ objets.

Correction:

Dans la méthode de complétion du carré, on factorise toujours par le coefficient $a$ de $x^2$ (ici, $a = -3$) les termes en $x^2$ et $x$.

Correction:

$f(x) = -3x^2 + 12x - 5 = -3\left(x^2 + \dfrac{12}{-3}x\right) - 5 = -3(x^2 - 4x) - 5$.

Correction:

$(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$. Donc $x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4$.