Quiz sur les Fonctions Exponentielles

Correction :

Toute expression (sauf 0) élevée à la puissance 0 est égale à 1. Donc, $e^0 = 1$.

Correction:

On utilise la propriété $e^a \cdot e^b = e^{a+b}$. Donc, $e^{2x} \cdot e^{3x} = e^{2x + 3x} = e^{5x}$.

Correction:

On utilise la propriété $\frac{e^a}{e^b} = e^{a-b}$. Donc, $\frac{e^{4x}}{e^{x}} = e^{4x - x} = e^{3x}$.

Correction:

La dérivée de $e^{kx}$ est $ke^{kx}$. Ici, $k=5$, donc la dérivée de $e^{5x}$ est $5e^{5x}$.

Correction:

En utilisant la propriété $(e^a)^b = e^{ab}$, on a $(e^{-x})^2 = e^{-x \cdot 2} = e^{-2x}$.

Correction:

Lorsque $x$ tend vers $-\infty$, $e^x$ tend vers $0$.

Correction:

Lorsque $x$ tend vers $+\infty$, $e^x$ tend vers $+\infty$.

Correction:

La fonction $f(x) = e^x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Sa dérivée, $f'(x) = e^x$, est toujours positive.

Correction:

On sait que $e^0 = 1$. Donc, la solution de l'équation $e^x = 1$ est $x = 0$.

Correction:

Si $e^a = e^b$, alors $a = b$. Donc, $e^{2x-1} = e^3$ implique $2x-1 = 3$, d'où $2x = 4$ et $x = 2$.

Correction:

$e^{x+2} > 1$ est équivalent à $e^{x+2} > e^0$ (car $e^0 = 1$). Comme la fonction exponentielle est croissante, $x+2 > 0$, donc $x > -2$.

Correction:

$e^{2x} \le e^1$ implique $2x \le 1$ (car la fonction exponentielle est croissante), donc $x \le \frac{1}{2}$.

Correction:

$f(0) = e^{0^2 - 1} = e^{-1} = \dfrac{1}{e}$.

Correction:

$e^{2x} \times (e^{-x})^3 = e^{2x} \times e^{-3x} = e^{2x + (-3x)} = e^{-x}$.

Correction:

$\dfrac{1}{e^{-5}} = e^{-(-5)} = e^{5}$.

Correction:

La dérivée de $e^{ax+b}$ est $ae^{ax+b}$. Ici, $a = -2$ et $b = 3$, donc $f'(x) = -2e^{-2x + 3}$.

Correction:

On sait que $e^0 = 1$, donc $e^{3x-1} = 1$ implique $3x-1 = 0$, d'où $x = \frac{1}{3}$.

Correction:

Comme la fonction exponentielle est strictement croissante, $e^{-x} > e^2$ implique $-x > 2$, donc $x < -2$.

Correction :

On a $e^{3x} \cdot (e^{-x})^4 = e^{3x} \cdot e^{-4x} = e^{3x - 4x} = e^{-x}$.
Donc, $\frac{e^{3x} \cdot (e^{-x})^4}{e^{-2x}} = \frac{e^{-x}}{e^{-2x}} = e^{-x - (-2x)} = e^{-x + 2x} = e^{x}$.

Correction :

En posant $X = e^x$, l'équation devient $3X^2 + 2X - 1 = 0$. C'est une équation du second degré. On calcule le discriminant $\Delta = 2^2 - 4(3)(-1) = 4 + 12 = 16$. Les solutions pour $X$ sont : $X_1 = \frac{-2 - 4}{6} = -1$ et $X_2 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{1}{3}$.
Comme $X = e^x$ et que $e^x > 0$ pour tout $x$, $X = -1$ n'est pas possible.
Pour $X = \frac{1}{3}$, on a $e^x = \frac{1}{3}$, donc $x = \ln\left(\frac{1}{3}\right)$.
La solution est $x = \ln\left(\frac{1}{3}\right)$.