Quiz Dérivation

Correction:

La dérivée de $x^n$ est $nx^{n-1}$. Donc, la dérivée de $x^3$ est $3x^{3-1} = 3x^2$.

Correction:

On dérive terme à terme : la dérivée de $5x^2$ est $10x$, la dérivée de $2x$ est $2$, et la dérivée de $-7$ est $0$. Donc, $f'(x) = 10x + 2$.

Correction:

On peut écrire $f(x) = x^{-1}$. La dérivée de $x^n$ est $nx^{n-1}$, donc la dérivée de $x^{-1}$ est $-1 \times x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

Correction:

On peut écrire $f(x) = x^{\frac{1}{2}}$. La dérivée de $x^n$ est $nx^{n-1}$, donc la dérivée de $x^{\frac{1}{2}}$ est $\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Correction:

On utilise la règle de dérivation d'un produit : $(uv)' = u'v + uv'$. Ici, $u(x) = 2x+1$ et $v(x) = x-3$. Donc, $u'(x) = 2$ et $v'(x) = 1$. Ainsi, $f'(x) = 2(x-3) + (2x+1)(1) = 2x - 6 + 2x + 1 = 4x - 5$.

Correction:

On utilise la règle de dérivation d'un quotient : $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Ici, $u(x) = x+1$ et $v(x) = x-1$. Donc, $u'(x) = 1$ et $v'(x) = 1$. Ainsi, $f'(x) = \frac{1(x-1) - (x+1)(1)}{(x-1)^2} = \frac{x-1-x-1}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}$.

Correction:

On utilise la règle de dérivation en chaîne : $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. Ici, $f(u) = \sqrt{u}$ et $g(x) = x^2 + 1$. Donc, $f'(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}}$ et $g'(x) = 2x$. Alors $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$. Donc, $f'(0) = \frac{0}{\sqrt{0^2+1}} = 0$.

Correction:

On dérive terme à terme : la dérivée de $3x^4$ est $12x^3$, la dérivée de $-2x^2$ est $-4x$, la dérivée de $x$ est $1$ et la dérivée de $-5$ est $0$. Donc $f'(x) = 12x^3 - 4x + 1$.

Correction:

On utilise la règle de dérivation d'un quotient : $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Ici, $u(x) = 2x-3$ et $v(x) = x^2+1$. Donc $u'(x) = 2$ et $v'(x) = 2x$. Alors, $f'(x) = \frac{2(x^2+1) - (2x-3)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^2+2 - 4x^2+6x}{(x^2+1)^2} = \frac{-2x^2 + 6x + 2}{(x^2+1)^2}$. Donc, $f'(1) = \frac{-2 + 6 + 2}{(1+1)^2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$. Il y a une erreur dans les options, la réponse correcte après calcul est 3/2.

Correction:

On utilise la règle de dérivation d'un produit : $(uv)' = u'v + uv'$. Ici $u(x) = x$ et $v(x) = g(x)$. Donc, $u'(x) = 1$ et $v'(x) = g'(x)$. Ainsi, $f'(x) = 1 \cdot g(x) + x \cdot g'(x) = g(x) + x \cdot g'(x)$. Donc, $f'(2) = g(2) + 2 \cdot g'(2) = 3 + 2(-1) = 3 - 2 = 1$.

Correction:

La dérivée d'une fonction constante est toujours 0.

Correction:

La dérivée de $4x$ est $4$. La dérivée de $-\frac{2}{x} = -2x^{-1}$ est $-2(-1)x^{-2} = 2x^{-2} = \frac{2}{x^2}$. Donc la dérivée de $y$ est $4 + \frac{2}{x^2}$.

Correction:

On utilise la règle de la chaîne: $h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. On a $f'(u) = 3u^2$ et $g'(x) = 2$. Donc $h'(x) = 3(g(x))^2 \cdot 2 = 3(2x-1)^2 \cdot 2 = 6(2x-1)^2$.

Correction:

On peut voir $f(x)$ comme la composée $f(g(x))$ avec $g(x) = x^2+1$ et $f(u) = \frac{1}{u} = u^{-1}$. Alors $g'(x) = 2x$ et $f'(u) = -u^{-2} = -\frac{1}{u^2}$. Par la règle de la chaîne, $f'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = -\frac{1}{(x^2+1)^2} \cdot 2x = \frac{-2x}{(x^2+1)^2}$. Donc $f'(-1) = \frac{-2(-1)}{((-1)^2 + 1)^2} = \frac{2}{(1+1)^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Correction:

On utilise la règle de la chaîne: $f(x) = g(h(x))$, avec $g(u) = u^3$ et $h(x) = x^2-1$. Alors $g'(u) = 3u^2$ et $h'(x) = 2x$. Donc, $f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = 3(x^2-1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2-1)^2$.

Correction:

C'est la règle de base de la dérivation des puissances : la dérivée de $x^n$ est $nx^{n-1}$.

Correction:

On applique la règle du quotient $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ avec $u(x) = g(x)$ et $v(x) = x$. Donc $u'(x) = g'(x)$ et $v'(x) = 1$. Alors $f'(x) = \frac{g'(x) \cdot x - g(x) \cdot 1}{x^2} = \frac{xg'(x) - g(x)}{x^2}$. Donc, $f'(1) = \frac{1 \cdot g'(1) - g(1)}{1^2} = \frac{3 - 2}{1} = 1$.

Correction:

On peut utiliser la règle du produit $(uv)' = u'v + uv'$ avec $u(x) = 2x$ et $v(x) = x^2 + 1$. Alors $u'(x) = 2$ et $v'(x) = 2x$. Donc, $f'(x) = 2(x^2+1) + 2x(2x) = 2x^2 + 2 + 4x^2 = 6x^2 + 2$.

Correction:

C'est la dérivée d'une fonction de la forme $\frac{1}{u(x)}$ avec $u(x) = 2x - 5$. La dérivée de $\frac{1}{u}$ est $\frac{-u'}{u^2}$. Ici $u'(x) = 2$. Donc la dérivée est $\frac{-2}{(2x - 5)^2}$.

Correction:

On utilise la règle de la chaîne : $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$. On a $\frac{dy}{du} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$ et $\frac{du}{dx} = 2x + 2$. Donc, $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 2x}} \cdot (2x + 2) = \frac{2(x+1)}{2\sqrt{x^2 + 2x}} = \frac{x+1}{\sqrt{x^2 + 2x}}$.

Correction:

La dérivée d'une somme est la somme des dérivées : $(u+v)' = u' + v'$.

Correction:

On dérive $x^3$ qui donne $3x^2$, puis on multiplie par la constante $5$ pour obtenir $15x^2$.

Correction:

$f(x) = x^{1/3}$. La dérivée est donc $\frac{1}{3}x^{(1/3) - 1} = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3x^{2/3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

Correction:

$f'(x) = 2x - \frac{1}{x^2}$. Donc, $f'(2) = 2(2) - \frac{1}{2^2} = 4 - \frac{1}{4} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$.

Correction:

$f(x) = 2x^{-3}$, donc $f'(x) = 2(-3)x^{-4} = -6x^{-4} = \frac{-6}{x^4}$. Ainsi, $f'(-1) = \frac{-6}{(-1)^4} = \frac{-6}{1} = -6$. Il semble qu'il y ai une erreur dans les réponses proposées car -6 est une réponse possible

Correction:

$f(x) = ax^{-1} + b$. Donc $f'(x) = a(-1)x^{-2} + 0 = -ax^{-2} = -\frac{a}{x^2}$.

Correction:

On utilise la règle de la chaîne : $f'(x) = 2(ax+b) \cdot a = 2a(ax+b)$ .

Correction:

On applique la règle du quotient: $f'(x) = \frac{a(cx+d) - c(ax+b)}{(cx+d)^2} = \frac{acx + ad - acx - bc}{(cx+d)^2} = \frac{ad-bc}{(cx+d)^2}$.

Correction:

On utilise la règle de la chaîne avec $g(x)=ax+b$ et $f(u) = \sqrt{u}$. Alors, $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{ax+b}} \cdot a = \frac{a}{2\sqrt{ax+b}}$.

Correction:

On applique la règle de la chaîne : $f'(x) = n(g(x))^{n-1} \cdot g'(x)$.