Quiz : Cercles - Approfondissement

Correction:

C'est la formule fondamentale à connaître. Elle découle directement de la définition d'un cercle comme ensemble de points équidistants du centre.

Correction :

L'équation est de la forme $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$, où $(a; b)$ est le centre et $r$ le rayon. Ici, $a = 2$, $b = -1$ et $r^2 = 9$, donc $r = 3$.

Correction :

On peut compléter les carrés pour obtenir : $(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 3 + 4 + 9$, c'est-à-dire $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$. C'est l'équation d'un cercle.

Correction :

Le centre d'un cercle de diamètre $[AB]$ est le milieu de $[AB]$. Les coordonnées du milieu sont $(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}) = (\frac{1+3}{2}; \frac{2+4}{2}) = (2; 3)$.

Correction :

Le rayon est la moitié de la longueur du diamètre $AB$. $AB = \sqrt{(3-1)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. Donc le rayon est $\frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

Correction :

Un point $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$ si et seulement si le triangle $AMB$ est rectangle en $M$. Cela équivaut à dire que les vecteurs $\overrightarrow{MA}$ et $\overrightarrow{MB}$ sont orthogonaux, donc que leur produit scalaire est nul.

Correction :

L'équation d'un cercle est de la forme $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, où $r^2$ doit être positif. Ici, $r^2 = -4$, ce qui est impossible. L'équation ne représente donc aucun point (ensemble vide).

Correction :

On substitue $y = 1$ dans l'équation du cercle : $(x-1)^2 + (1+2)^2 = 4$, ce qui donne $(x-1)^2 + 9 = 4$, soit $(x-1)^2 = -5$. Cette équation n'a pas de solution réelle, donc la droite ne coupe pas le cercle.

Erreur d'énoncé.

Correction :

On complète les carrés : $(x^2 + 6x + 9) + (y^2 - 4y + 4) = -3 + 9 + 4$, ce qui donne $(x+3)^2 + (y-2)^2 = 10$. Le centre est donc $(-3; 2)$.

Correction :

On a $y = \sqrt{9 - x^2}$, donc $y^2 = 9 - x^2$ et $y \ge 0$. On a donc $x^2 + y^2 = 9$, avec la condition $y \ge 0$. C'est l'équation d'un cercle de centre (0; 0) et de rayon 3, mais comme $y$ doit être positif, on ne garde que la partie du cercle située au-dessus de l'axe des abscisses, c'est-à-dire un demi-cercle.

Correction :

Une droite tangente à un cercle le "touche" en un seul point (point de tangence).

Correction :

En complétant les carrés, on obtient $(x + \frac{a}{2})^2 + (y + \frac{b}{2})^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} - c$.
Pour que cela représente un cercle, il faut que le rayon au carré soit strictement positif, c'est-à-dire $\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} - c > 0$, ou encore $a^2 + b^2 - 4c > 0$.

Correction :

On remplace $x$ par 3 et $y$ par -2 dans l'équation : $(3-1)^2 + (-2+2)^2 = 2^2 + 0^2 = 4$. L'égalité est vérifiée, donc le point A est sur le cercle.

Correction :

Pour qu'une droite soit tangente à un cercle, il faut qu'il y ait un seul point d'intersection. Remplaçons $x$ par 6 dans l'équation du cercle : $(6-1)^2 + (y+2)^2 = 25$, ce qui donne $5^2 + (y+2)^2 = 25$, soit $(y+2)^2 = 0$. Il y a une seule solution : $y = -2$. Il y a donc un seul point d'intersection, (6, -2), et la droite est tangente au cercle.

Correction :

$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ signifie que les vecteurs $\overrightarrow{MA}$ et $\overrightarrow{MB}$ sont orthogonaux, donc que le triangle $MAB$ est rectangle en $M$. L'ensemble des points $M$ tels que le triangle $MAB$ soit rectangle en $M$ est le cercle de diamètre $[AB]$.