Quiz : Dérivation et Nombre Dérivé

Correction:

Le nombre dérivé est la limite du taux d'accroissement lorsque $h$ tend vers 0. La bonne formule est donc :

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

Correction:

Si $f'(a) > 0$, cela signifie que la pente de la tangente à la courbe de $f$ en $a$ est positive. Donc, $f$ est croissante au voisinage de $a$.

Correction:

Si $f'(a) = 0$, le coefficient directeur de la tangente est nul. Donc, la tangente est horizontale.

Correction:

La formule générale de l'équation de la tangente est : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$

Correction:

Un théorème important affirme que si une fonction est dérivable en un point, alors elle est continue en ce point. La réciproque est fausse.

Correction:

La fonction valeur absolue a un "pic" en $x=0$. Le taux d'accroissement a une limite à gauche différente de la limite à droite. Elle n'est donc pas dérivable en 0.

Correction:

$f(x)$ est une fonction affine. Sa dérivée est constante et égale au coefficient directeur, qui est 2. Donc, $f'(3) = 2$.

Correction:

On peut calculer le taux d'accroissement : $\frac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h} = 2a + h$.

En prenant la limite quand $h$ tend vers 0, on trouve $f'(a) = 2a$.

Correction:

On calcule le taux d'accroissement : $\frac{\frac{1}{-1+h} - \frac{1}{-1}}{h} = \frac{\frac{1 - (-1+h)}{-1+h}}{h} = \frac{\frac{h}{-1+h}}{h} = \frac{1}{-1+h}$

Quand h tend vers 0, cette expression tend vers -1. Donc, $f'(-1) = -1$.

Correction:

Le taux d'accroissement est $\frac{\sqrt{4+h} - \sqrt{4}}{h}$.

En multipliant par la quantité conjuguée, on obtient : $\frac{\sqrt{4+h} - 2}{h} \times \frac{\sqrt{4+h} + 2}{\sqrt{4+h} + 2} = \frac{(4+h) - 4}{h(\sqrt{4+h} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{4+h} + 2}$

Quand h tend vers 0, on trouve 1/4. Donc $f'(4) = 1/4$.

Correction :

En appliquant la formule de dérivation des puissances, la dérivée de $x^n$ est $nx^{n-1}$.

Donc, la dérivée de $x^3$ est $3x^{3-1} = 3x^2$.

Correction :

Une fonction constante a une représentation graphique qui est une droite horizontale. La pente de cette droite est toujours 0.

Donc, la dérivée d'une fonction constante est toujours 0.

Correction:

On dérive terme à terme :

La dérivée de $5x^2$ est $5 \times 2x = 10x$.

La dérivée de $-3x$ est $-3$.

La dérivée de $7$ est $0$.

Donc, $f'(x) = 10x - 3$.

Correction:

C'est la définition même du nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$.

Correction:

Une tangente horizontale a un coefficient directeur nul. Le coefficient directeur de la tangente en $x=2$ est $f'(2)$. Donc $f'(2) = 0$.

Correction :

On peut écrire $f(x) = x^{-2}$.

En appliquant la règle de dérivation des puissances : $f'(x) = -2x^{-2-1} = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.

Correction:

On commence par dériver : $f'(x) = 4(3x^2) - 2(2x) + 1 - 0 = 12x^2 - 4x + 1$.

Puis on calcule $f'(1) = 12(1)^2 - 4(1) + 1 = 12 - 4 + 1 = 9$.

Correction :

Oui, la fonction $f(x) = x^2$ est dérivable en tout point, y compris en $x=0$. On peut le vérifier en calculant la limite du taux d'accroissement, qui existe et vaut 0 en x=0.

Correction :

C'est une dérivée usuelle à connaître. On peut la retrouver en utilisant la quantité conjuguée dans le taux d'accroissement.

Correction :

Si la tangente est horizontale, son coefficient directeur est nul. Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$ est $f'(a)$. Donc, $f'(a) = 0$.

Correction :

On calcule d'abord $f'(x) = -2x + 4$.

Donc, $f'(1) = -2(1) + 4 = 2$.

On calcule aussi $f(1) = -(1)^2 + 4(1) - 1 = -1 + 4 - 1 = 2$.

L'équation de la tangente est $y = f'(1)(x-1) + f(1) = 2(x-1) + 2 = 2x - 2 + 2 = 2x$.

Correction :

La dérivabilité implique la continuité, mais la réciproque est fausse. Contre-exemple classique : la fonction valeur absolue est continue en 0, mais pas dérivable en 0.

Correction :

Le nombre dérivé $f'(a)$ est, par définition, le coefficient directeur (la pente) de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$.

Correction :

On dérive terme à terme.

La dérivée de $\frac{2}{x} = 2 \times \frac{1}{x}$ est $2 \times (-\frac{1}{x^2}) = -\frac{2}{x^2}$.

La dérivée de $3x$ est $3$.

La dérivée de $-1$ est $0$.

Donc, $f'(x) = -\frac{2}{x^2} + 3$.

Correction :

La limite $\lim_{h \to 0} \frac{f(a) - f(a-h)}{h}$ est égale à $f'(a)$ (on peut le voir en posant $h' = -h$). Les deux premières expressions sont des définitions équivalentes du nombre dérivé, et la dernière est son interprétation graphique. Seule la troisième est fausse

Correction :

Une tangente horizontale correspond à un nombre dérivé nul.

On calcule $f'(x) = -3x^2 + 12x$.

On résout $f'(x) = 0$, ce qui donne $-3x^2 + 12x = 0 \Rightarrow -3x(x - 4) = 0$.

Les solutions sont $x=0$ et $x=4$.

Correction :

f(x)=0 est une fonction constante . Sa dérivée est donc 0.

Correction :

La fonction $f(x) = ax + b$ est une fonction affine (ou linéaire si $b=0$).

Sa dérivée est le coefficient directeur de la droite, qui est constant et égal à $a$.

Correction :

f(x)=1 est une fonction constante. Sa dérivée est 0.

Correction :

$f'(x) = 10x^9$. Donc $f'(2) = 10 \times 2^9$.