Quiz : Applications de la Dérivation

Correction:

C'est une propriété fondamentale : si la dérivée est positive sur un intervalle, la fonction est croissante sur cet intervalle.

Correction:

Si la dérivée est nulle sur tout un intervalle, la fonction est constante sur cet intervalle.

Correction:

En un extremum local (maximum ou minimum), la dérivée est nulle (si elle existe). Attention, la réciproque n'est pas toujours vraie : $f'(a) = 0$ n'implique pas toujours un extremum.

Correction:

$f'(x) = 3x^2 - 3$. $f'(1) = 3(1)^2 - 3 = 0$. Il faut étudier le signe de $f'(x)$ autour de $x=1$. $f'(x) = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$. Pour $x$ proche de 1 et $x < 1$, $f'(x) < 0$. Pour $x$ proche de 1 et $x > 1$, $f'(x) > 0$. $f'$ change de signe de $-$ à $+$ en $x=1$, donc il y a un minimum local en $x=1$.

Correction:

Si la dérivée s'annule *sans* changer de signe, il n'y a pas d'extremum local. Il peut s'agir d'un point où la tangente est horizontale, mais la fonction continue de croître (ou de décroître) de part et d'autre de ce point.

Correction:

Si la dérivée passe de positive à négative, la fonction passe de croissante à décroissante. C'est la définition d'un maximum local.

Correction:

$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$. Pour $x > 0$, $f'(x) < 0$. La fonction est donc décroissante sur $]0; +\infty[$.

Correction:

On utilise la formule de la dérivée de $\sqrt{u}$: $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$. Ici, $u(x) = 2x+3$, donc $u'(x)=2$. Donc $f'(x) = \frac{2}{2\sqrt{2x+3}} = \frac{1}{\sqrt{2x+3}}$.

Correction:

Si une fonction est croissante sur un intervalle, l'image de la borne inférieure est la plus petite valeur, et l'image de la borne supérieure est la plus grande.

Correction:

Si une fonction est décroissante, l'ordre des images est inversé. L'image de la borne inférieure est la plus grande valeur et l'image de la borne supérieure est la plus petite.

Correction:

La fonction carré est décroissante sur $[-1; 0]$ et croissante sur $[0; 2]$. Le minimum est $f(0) = 0$. Le maximum est atteint en $x=2$, et $f(2) = 4$. L'encadrement correct est $0 \le f(x) \le 4$. Il faut faire attention aux fonctions qui ne sont pas monotones sur l'intervalle considéré.

Correction:

$f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x-1)(x+1)$. $f'(x) = 0$ pour $x = -1$, $x = 0$, et $x = 1$. En étudiant le signe de $f'(x)$, on trouve qu'elle est négative sur $]-\infty; -1[$, positive sur $]-1; 0[$, négative sur $]0; 1[$, et positive sur $]1; +\infty[$. Donc $f$ a un minimum local en $x=-1$, un maximum local en $x=0$, et un minimum local en $x=1$.

Correction:

On utilise la règle de dérivation d'un quotient : $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Ici, $u(x) = x$ et $v(x) = x^2 + 1$, donc $u'(x) = 1$ et $v'(x) = 2x$. $f'(x) = \frac{1(x^2 + 1) - x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$.

Correction:

$f'(x) = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{(1-x)(1+x)}{(x^2 + 1)^2}$. Le dénominateur est toujours positif. $f'(x) = 0$ pour $x = -1$ et $x = 1$. $f'(x) > 0$ sur $]-1; 1[$ et $f'(x) < 0$ ailleurs. Donc, $f$ a un minimum en $x=-1$ et un maximum en $x=1$.

Correction:

Le coût marginal est la dérivée du coût total. $C'(x) = (x^3 - 75x^2 + 1800x)' = 3x^2 - 150x + 1800$.

Correction:

$C'(x) = 3x^2 - 150x + 1800 = 3(x^2 - 50x + 600) = 3(x-20)(x-30)$. $C'(x) = 0$ pour $x=20$ et $x=30$.

Correction:

$C'(x) = 3x^2 - 150x + 1800$. Pour trouver le minimum de $C'(x)$, on calcule sa dérivée (qui est la dérivée seconde de $C(x)$) : $C''(x) = 6x - 150$. $C''(x) = 0$ pour $x = 25$. $C''(x) < 0$ pour $x < 25$ et $C''(x) > 0$ pour $x > 25$. Donc $C'(x)$ a un minimum en $x=25$.

Correction:

Si $x$ est la largeur et $y$ la longueur, le périmètre est $2x + 2y = 20$, donc $y = 10 - x$. L'aire est $A(x) = x \cdot y = x(10 - x) = 10x - x^2$.

Correction:

$A(x) = 10x - x^2$. $A'(x) = 10 - 2x$. $A'(x) = 0$ pour $x = 5$. $A'(x) > 0$ pour $x < 5$ et $A'(x) < 0$ pour $x > 5$. Donc l'aire est maximale pour $x=5$ cm (c'est un carré).

Correction:

Si $x$ et $y$ sont les dimensions, le périmètre est $2x+2y = 1$ donc $y = \frac{1}{2} - x$. L'aire est $A(x) = x \cdot y = x \cdot (\frac{1}{2} - x) = \frac{1}{2}x - x^2$ A'(x) = 1/2 - 2x, s'annule pour x=1/4. L'aire est donc un maximum pour x = 1/4 et A(1/4) = 1/16.

Correction:

On utilise la règle de dérivation des fonctions composées : $(u^n)' = n u' u^{n-1}$. Ici, $u(x) = 3x + 2$, donc $u'(x) = 3$, et $n=4$. Donc $f'(x) = 4 \cdot 3 \cdot (3x+2)^{4-1} = 12(3x+2)^3$.

Correction:

On utilise la formule de la dérivée de $\frac{1}{u}$: $(\frac{1}{u})' = -\frac{u'}{u^2}$. Ici, $u(x) = 2x - 5$, donc $u'(x) = 2$. Donc $f'(x) = -\frac{2}{(2x-5)^2}$.

Correction:

On utilise la règle de dérivation des fonctions composées : $(u^n)' = nu'u^{n-1}$. Ici, $u(x) = x^2 + 1$, donc $u'(x) = 2x$, et $n = 3$. Donc $f'(x) = 3(2x)(x^2 + 1)^2 = 6x(x^2 + 1)^2$.

Correction:

On utilise la règle de la dérivée de fonctions composées: $(g(h(x)))' = g'(h(x))\cdot h'(x)$. Ici, $g(u) = \sin(u)$ et $h(x)=3x+\pi$. On a donc $g'(u) = \cos(u)$ et $h'(x) = 3$. Donc, $f'(x) = \cos(3x+\pi) \cdot 3 = 3\cos(3x+\pi)$.

Correction:

$(\cos(u))' = -u'\sin(u)$. Ici $u(x) = \frac{x}{2}$, donc $u'(x) = \frac{1}{2}$. $f'(x) = -\frac{1}{2}\sin(\frac{x}{2})$.

Correction:

On utilise la règle : $(e^u)' = u'e^u$. Ici, $u(x) = 5x - 2$, donc $u'(x) = 5$. Donc $f'(x) = 5e^{5x-2}$.

Correction:

$(e^u)' = u'e^u$. Ici $u(x) = -4x + 1$, donc $u'(x) = -4$. $f'(x) = -4e^{-4x+1}$.

Correction:

$f'(x) = 2e^{2x+1}$. Comme l'exponentielle est toujours positive, $f'(x) > 0$ pour tout $x$. Donc $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$.

Correction:

$f'(x) = -e^{-x+3}$. Comme l'exponentielle est toujours positive, $f'(x) < 0$ pour tout $x$. Donc $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}$.

Correction:

On utilise la formule de la dérivée d'un produit : $(uv)' = u'v+uv'$. Ici : $u(x) = 3x+1$ donc $u'(x) = 3$ et $v(x) = e^{2x}$ donc $v'(x) = 2e^{2x}$ Donc $f'(x) = 3e^{2x} + 2(3x+1)e^{2x} = (3+6x+2)e^{2x} = (6x+5)e^{2x}$