Testez vos connaissances sur les chaînes de Markov et les matrices de transition.
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Qu'est-ce qu'une matrice de transition dans le contexte des chaînes de Markov ?
Soit une chaîne de Markov à deux états A et B. Si la probabilité de passer de A à B est 0.3, quelle est la probabilité de rester en A ?
Si $P_n$ est la matrice d'état à l'étape $n$ et $T$ est la matrice de transition, quelle est la relation entre $P_{n+1}$ et $P_n$ ?
Qu'est-ce qu'un état absorbant dans une chaîne de Markov ?
Qu'est-ce qu'un état stable (ou distribution stationnaire) d'une chaîne de Markov ?
Si $P_0$ est la matrice d'état initial et $T$ est la matrice de transition, comment calculer la matrice d'état $P_n$ après $n$ étapes ?
Soit la matrice de transition $T = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.2 \\ 0.4 & 0.6 \end{pmatrix}$. Quelle est la probabilité de passer de l'état 2 à l'état 1 ?
Une chaîne de Markov est dite irréductible si :
Si la matrice de transition d'une chaîne de Markov est $T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0.5 & 0.5 \end{pmatrix}$, quel est l'état absorbant ?
Dans un graphe probabiliste, la somme des poids des arcs sortant d'un sommet donné est toujours égale à :
Soit $T$ une matrice de transition stochastique (c'est-à-dire dont la somme des éléments de chaque ligne vaut 1). Que peut-on dire de la valeur propre 1 pour $T$ ?
Soit un graphe probabiliste à 3 états. Quelle est la taille de la matrice de transition associée ?
Une chaîne de Markov est dite apériodique si...
Le théorème de Perron-Frobenius, appliqué aux matrices de transition de chaînes de Markov irréductibles et apériodiques, garantit :
Soit $T = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 \\ 0.5 & 0.5 \end{pmatrix}$. Quel est l'état stable de cette chaîne de Markov ?
Si une chaîne de Markov a plusieurs états absorbants, la distribution limite...
On considère une chaîne de Markov dont la matrice de transition $T$ est telle que $T^2 = T$. Que peut-on dire de cette chaîne ?
Que représente le coefficient $p_{ii}$ dans une matrice de transition ?
Si une matrice de transition a une ligne entière de zéros, que cela signifie-t-il ?
Comment vérifier rapidement si une matrice donnée pourrait être une matrice de transition ?
Soit $T = \begin{pmatrix} 0.9 & 0.1 \\ 0.2 & 0.8 \end{pmatrix}$. Si l'état initial est $P_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$, quel est l'état $P_1$ ?
Si une chaîne de Markov a un état stable unique, est-elle forcément irréductible ?
Soit $T$ une matrice de transition. Que peut-on dire de la somme des éléments d'une colonne de $T$ ?
Si on vous donne une matrice $A$ et qu'on vous demande si elle peut être une matrice de transition après un certain nombre d'étapes, que vérifiez-vous en premier ?
Dans une chaîne de Markov à 3 états, la matrice d'état est de la forme :
Que se passe-t-il si l'on multiplie une matrice de transition $T$ par elle-même plusieurs fois (c'est-à-dire, si l'on calcule $T^n$ pour $n$ grand) dans le cas d'une chaîne de Markov irréductible et apériodique ?
Soit $T$ une matrice de transition. Si $v$ est un vecteur propre de $T$ associé à la valeur propre 1, que représente $v$ (après normalisation) ?
Pourquoi est-il important, dans de nombreuses applications, qu'une chaîne de Markov soit à la fois irréductible et apériodique ?
Un graphe probabiliste peut-il avoir des boucles (c'est-à-dire des arcs d'un sommet vers lui-même) ?
Soit une chaîne de Markov avec la matrice de transition $T = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. Que se passe-t-il avec cette chaîne ?