Quiz : Opérations sur les Matrices

Correction:

Pour additionner deux matrices, on additionne simplement les coefficients correspondants :

$A + B = \begin{pmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}$.

Correction:

Pour soustraire deux matrices, on soustrait les coefficients correspondants :

$A - B = \begin{pmatrix} 1-5 & 2-6 \\ 3-7 & 4-8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & -4 \\ -4 & -4 \end{pmatrix}$.

Correction:

Pour multiplier une matrice par un scalaire, on multiplie chaque coefficient par ce scalaire:

$3A = \begin{pmatrix} 3 \times 1 & 3 \times 2 \\ 3 \times 3 & 3 \times 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 9 & 12 \end{pmatrix}$.

Correction:

On effectue le produit matriciel :

$A \times B = \begin{pmatrix} 1 \times 4 + 0 \times 0 & 1 \times 1 + 0 \times 2 \\ 2 \times 4 + 3 \times 0 & 2 \times 1 + 3 \times 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 8 & 8 \end{pmatrix}$.

Correction:

Le produit matriciel n'est généralement pas commutatif. L'ordre dans lequel on multiplie les matrices est important. Il existe des cas particuliers où $A \times B = B \times A$, mais ce n'est pas la règle générale.

Correction:

Pour additionner (ou soustraire) deux matrices, il faut qu'elles aient exactement les mêmes dimensions, c'est-à-dire le même nombre de lignes et le même nombre de colonnes.

Correction:

On calcule d'abord \( 2A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} \).

Puis, on soustrait la matrice identité :

\( \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-1 & -2-0 \\ 0-0 & 6-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \)

Correction:

Si \( A \) est de dimension \( m \times n \) et \( B \) est de dimension \( n \times p \), alors \( AB \) est de dimension \( m \times p \). Le nombre de colonnes de \( A \) doit être égal au nombre de lignes de \( B \). Ici, \( 3 \times 2 \) multiplié par \( 2 \times 4 \) donne \( 3 \times 4 \).

Correction:

$2A = 2 \times \begin{pmatrix} 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \end{pmatrix}$.

$3B = 3 \times \begin{pmatrix} 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \end{pmatrix}$.

$2A - 3B = \begin{pmatrix} 10 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \end{pmatrix}$.

Correction:

\( A \) est une matrice \( 1 \times 3 \) et \( B \) est une matrice \( 3 \times 1 \). Le produit \( AB \) est donc possible et sera une matrice \( 1 \times 1 \).

$ AB = (1 \times 4 + 2 \times 5 + 3 \times 6) = (4 + 10 + 18) = (32) = \begin{pmatrix} 32 \end{pmatrix} $.

Correction:

Ajouter une matrice à elle-même plusieurs fois revient à la multiplier par un scalaire. A + A + A = 3A (on additionne les coefficients de A trois fois). A^3 représenterait A multipliée par elle-même trois fois (produit matriciel).

Correction:

La matrice identité \( I \) est l'élément neutre pour la multiplication matricielle. Multiplier n'importe quelle matrice (compatible) par la matrice identité donne la matrice elle-même.

Correction:

$B$ est la matrice identité d'ordre 2. La multiplier par n'importe quelle matrice $2 \times 2$ ne change pas cette matrice.

$A \times B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\times1 + 0\times0 & 2\times0 + 0\times1 \\ 0\times1 + (-3)\times0 & 0\times0 + (-3)\times1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} = A$.

Correction:

La transposée d'une matrice est obtenue en échangeant ses lignes et ses colonnes. La première ligne de A devient la première colonne de ${}^tA$, et la deuxième ligne de A devient la deuxième colonne de ${}^tA$.

Correction:

$B$ est une matrice $2 \times 1$ et $A$ est une matrice $1 \times 2$. Le nombre de colonnes de $B$ (1) est égal au nombre de lignes de $A$ (1), donc le produit $B \times A$ est possible. Le résultat sera une matrice $2 \times 2$.

Correction:

Pour obtenir la transposée, on échange les lignes et les colonnes :

${}^tA = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$.

Correction:

$ AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} $.

$ BA = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} $.

$ AB - BA = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & -3 \\ -3 & 5 \end{pmatrix} $.

Correction:

$A \times B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = (2 \times 3 + (-1) \times 1) = (6 - 1) = (5)$. $A \times B$ est une matrice $1 \times 1$.

$B \times A = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \times 2 & 3 \times (-1) \\ 1 \times 2 & 1 \times (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$. $B \times A$ est une matrice $2 \times 2$.

Correction:

Transposer une matrice deux fois de suite revient à la matrice de départ. La transposée de la transposée de A est A.

Correction:

Pour calculer la première ligne de \( A \times B \), on multiplie la première ligne de \( A \) par chaque colonne de \( B \) :

Première ligne de $ A \times B = (a \quad b) \times \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} = (ae + bg \quad af + bh) $.

Correction:

La matrice identité a des 1 sur sa diagonale principale (du haut à gauche vers le bas à droite) et des 0 partout ailleurs.

Correction:

$2A = \begin{pmatrix} 8 & 2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$. Ensuite, on transpose : ${}^t(2A) = \begin{pmatrix} 8 & 0 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$. On peut aussi utiliser la propriété ${}^t(kA) = k{}^tA$.

Correction:

Si \( A \) est de dimension \( m \times n \), alors \( {}^tA \) est de dimension \( n \times m \) (on échange les lignes et les colonnes).

Correction:

Oui, la transposée d'une somme de matrices est égale à la somme des transposées de ces matrices. C'est une propriété fondamentale de la transposition.

Correction:

Non, il faut inverser l'ordre des matrices dans le produit lors de la transposition : ${}^t(A \times B) = {}^tB \times {}^tA$. C'est une erreur très courante.

Correction:

Même si la matrice est réduite à un seul élément, la transposition s'applique : on échange les lignes et les colonnes. Ici, il n'y a qu'un seul élément, donc la transposée est la matrice elle-même.

Correction:

On calcule d'abord $AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1\\1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$.

Puis, on transpose : ${}^t(AB) = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$. On aurait pu aussi calculer ${}^tB \times {}^tA$, mais c'est plus long ici.

Correction:

Pour que la somme de deux matrices soit la matrice nulle, il faut que B soit l'opposée de A : chaque coefficient de B doit être l'opposé du coefficient correspondant de A. Donc, $B = -A = \begin{pmatrix} -2 & -4 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}$.

Correction:

Pour additionner deux matrices, elles doivent avoir exactement les mêmes dimensions. Ici, A est $4 \times 3$ et B est $2 \times 3$ : elles n'ont pas le même nombre de lignes, donc l'addition est impossible. Transposer ne changerait rien au problème.

Correction:

Si \( A \) est \( m \times n \) et \( AB \) est \( m \times p \), alors \( B \) doit être \( n \times p \). Ici, A est \( 3 \times 2 \), et AB est \( 3 \times 5 \), donc B doit être \( 2 \times 5 \).

Correction:

Cette question nécessite implicitement de savoir qu'il faut multiplier à gauche par l'inverse de A. Ici, il faut faire le calcul "à la main".

Posons $X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$. Alors $AX = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+2c & b+2d \\ c & d \end{pmatrix}$.

On veut que $AX = B$, donc $\begin{pmatrix} a+2c & b+2d \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$.

On identifie les coefficients : $c = 1$, $d = 3$, $a + 2c = 2 \Rightarrow a + 2 = 2 \Rightarrow a = 0$, $b + 2d = 0 \Rightarrow b + 6 = 0 \Rightarrow b = -6$.

Donc, $X = \begin{pmatrix} 0 & -6 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$.

Correction:

$M{}^tM = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2+b^2 & ac+bd \\ ac+bd & c^2+d^2 \end{pmatrix}$.

${}^tMM = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2+c^2 & ab+cd \\ ab+cd & b^2+d^2 \end{pmatrix}$.

Pour que ces deux matrices soient égales, il faut : $a^2 + b^2 = a^2 + c^2 \Rightarrow b^2 = c^2$, $c^2 + d^2 = b^2 + d^2 \Rightarrow c^2 = b^2$, $ac + bd = ab + cd$.

La condition est $b^2 = c^2$, ce qui implique $b=c$ ou $b=-c$. La condition $ac+bd = ab+cd$ n'est pas suffisante, et il n'y a pas de restriction directe sur $a$ et $d$. Une matrice telle que $M {}^tM = {}^tM M$ est dite normale. Si de plus, $b=c$, la matrice M est symétrique. Si M est symétrique, alors ${}^tM=M$, donc M est normale. La bonne reponse et la matrice symétrique.

Correction:

On calcule \( A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \).

Dès que \( A^2 \) est la matrice nulle, toutes les puissances supérieures seront aussi la matrice nulle, car on multipliera toujours par la matrice nulle.

Correction:

On a \( A^5 = A^3 \times A^2 = 2A \times A^2 = 2A^3 = 2 \times (2A) = 4A \). Puis, \( A^5= A^3 \times A^2 = (2A) \times A^2= 2 \times A^3= 2 \times 2A = 4A\), et finalement \(A^5 = A^2 \times A^3 = A^2 \times (2A) = 2A^3 = 2 \times (2A) = 4A\). Puis \(A^5=4A \times A=8A\).

Correction:

On a \( A^5 = A^2 \times A^3 \). Comme \( A^3 = 2A \), on a \( A^5 = A^2 \times (2A) = 2A^3 \). Puis on remplace encore \(A^3\) par \(2A\).

\( A^5 = 2 \times (2A) = 4A \). Ensuite, \( A^5 = A \times A^4 = A \times (A \times A^3) = A \times (A \times 2A) = A \times (2A^2) = 2 A^3 = 2 \times (2A) = 4A\).

\( A^5 = A^3 \times A^2 = 2A \times A^2 = 2A^3= 2 \times 2A= 4A \). Puis, on multiplie encore une fois par \(A\), \(4A \times A= 4A^2\). Or \(A^3=A \times A^2=2A\), donc, \(A^2=2A \times A^{-1}\) (en supposant A inversible). On remplace et trouve que \(4A^2= 8A\).

Correction:

On calcule les premières puissances : \( A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = 2A \), \( A^3 = A^2 \times A = 2A \times A = 2A^2 = 2(2A) = 4A \), \( A^4 = A^3 \times A = 4A \times A = 4A^2 = 4(2A) = 8A \).

On conjecture que \( A^n = 2^{n-1}A \) pour tout \( n \geq 1 \). On le montre par récurrence :

Initialisation : Pour \( n=1 \), \( A^1 = A = 2^{1-1}A = 2^0 A = 1 \times A = A \). C'est vrai.

Hérédité : Supposons que \( A^k = 2^{k-1}A \) pour un certain \( k \geq 1 \). Alors \( A^{k+1} = A^k \times A = (2^{k-1}A) \times A = 2^{k-1}A^2 = 2^{k-1}(2A) = 2^k A \). La formule est donc vraie pour \( k+1 \).

Conclusion : Par récurrence, \( A^n = 2^{n-1}A \) pour tout \( n \geq 1 \).

Correction:

\((A+B)^2 = (A+B)(A+B) = A(A+B) + B(A+B) = A^2 + AB + BA + B^2\). Si \(AB = BA\), alors \( (A+B)^2 = A^2 + AB + AB + B^2 = A^2 + 2AB + B^2 \). C'est la formule habituelle, mais seulement parce que A et B commutent.

Correction:

Une matrice égale à sa transposée est dite symétrique. Les coefficients sont symétriques par rapport à la diagonale principale.

Correction:

Une matrice A telle que \(A = -{}^tA\) est appelée une matrice antisymétrique. Les coefficients sont opposés par rapport à la diagonale principale, et les éléments diagonaux sont nuls.

Correction:

Si \( A \) et \( B \) sont symétriques, \( {}^tA = A \) et \( {}^tB = B \). On a alors \( {}^t(AB) = {}^tB {}^tA = BA \). Pour que \( AB \) soit symétrique, il faut que \( {}^t(AB) = AB \), donc que \( BA = AB \): \( AB \) est symétrique si et seulement si \( A \) et \( B \) commutent. Ce n'est pas toujours le cas.

Correction:

Pour montrer qu'une matrice est symétrique, il faut montrer qu'elle est égale à sa propre transposée.

Calculons \({}^t(M + {}^tM)\). On a :

\( {}^t(M + {}^tM) = {}^tM + {}^t({}^tM) = {}^tM + M = M + {}^tM\). (La transposée d'une somme est la somme des transposées, et la transposée de la transposée est la matrice de départ).

Donc, \( {}^t(M + {}^tM) = M + {}^tM \), ce qui prouve que \( M + {}^tM \) est symétrique, quelle que soit la matrice \( M \) (carrée).