Quiz : Inverse d'une Matrice

Correction :

La bonne réponse est : Une matrice ${\rm A}^{-1}$ telle que ${\rm A} \times {\rm A}^{-1} = {\rm A}^{-1} \times {\rm A} = {\rm I}$, où ${\rm I}$ est la matrice identité. C'est la définition même de la matrice inverse. Multiplier une matrice par son inverse (dans les deux sens) donne la matrice identité.

Correction :

Si le déterminant d'une matrice est nul, la matrice n'est pas inversible. C'est une condition nécessaire et suffisante : une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.

Correction :

L'inverse de la matrice identité ${\rm I}$ est la matrice identité ${\rm I}$ elle-même. En effet, ${\rm I} \times {\rm I} = {\rm I}$. La matrice identité est son propre inverse.

Correction :

Pour ${\rm A} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$, $ad - bc = (2 \times 4) - (1 \times 3) = 8 - 3 = 5$. Ce calcul correspond au déterminant de la matrice 2x2.

Correction :

L'inverse du produit de deux matrices inversibles est le produit des inverses dans l'ordre inverse: $({\rm AB})^{-1} = {\rm B}^{-1}{\rm A}^{-1}$. C'est une propriété fondamentale de l'inversion matricielle.

Correction :

L'inverse de l'inverse d'une matrice est la matrice originale elle-même : $({\rm A}^{-1})^{-1} = {\rm A}$.

Correction :

Pour ${\rm A} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 7 & 3 \end{pmatrix}$, $ad - bc = (5 \times 3) - (2 \times 7) = 15 - 14 = 1$. Comme le déterminant est 1, l'inverse est ${\rm A}^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = \dfrac{1}{1}\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -7 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -7 & 5 \end{pmatrix}$.

Correction :

Oui, si une matrice est inversible, son inverse est unique. C'est une propriété importante des matrices inverses.

Correction :

Si ${\rm A}^2 = {\rm A} \times {\rm A} = {\rm I}$, alors ${\rm A}$ est sa propre inverse. Donc ${\rm A}^{-1} = {\rm A}$.

Correction :

Une matrice non-inversible est appelée matrice singulière. Son déterminant est nul.

Correction :

Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est différent de zéro. C'est la condition fondamentale pour l'inversibilité.

Correction :

Pour une matrice diagonale, l'inverse s'obtient en prenant l'inverse de chaque élément diagonal. Ici, $ad-bc = 1\times2 - 0\times0 = 2$, donc ${\rm A}^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix}$.

Correction :

Non, seules les matrices carrées peuvent avoir un inverse (au sens classique de l'inverse, tel que ${\rm A} \times {\rm A}^{-1} = {\rm A}^{-1} \times {\rm A} = {\rm I}$). Il existe des notions de pseudo-inverse pour les matrices non carrées, mais ce n'est pas la même chose.

Correction :

La transposée de l'inverse est égale à l'inverse de la transposée : $({\rm A}^{-1})^T = ({\rm A}^T)^{-1}$. C'est une propriété importante reliant la transposition et l'inversion.

Correction :

Si ${\rm B} = k{\rm A}$, alors ${\rm B}^{-1} = \frac{1}{k}{\rm A}^{-1}$. On divise bien l'inverse de la matrice originale par $k$.

Correction :

$ad - bc = (0 \times 0) - (1 \times 1) = -1$. Donc, $A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. La matrice est sa propre inverse.

Correction :

Partant de $A^3 - 2A^2 + A - I = 0$, on isole $I$: $I = A^3 - 2A^2 + A$. On factorise par $A$ : $I = A(A^2 - 2A + I)$. Donc $A^{-1} = A^2 - 2A + I$.

Correction :

Si $A$ est symétrique, $A = A^T$. Si $A$ est orthogonale, $A^{-1} = A^T$. Donc, si $A$ est à la fois symétrique et orthogonale, $A = A^T = A^{-1}$. La matrice est sa propre inverse.

Correction :

On sait que $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$. Donc si $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$, on a $ 1 = \frac{d}{ad-bc}, 2= \frac{-b}{ad-bc}, 3= \frac{-c}{ad-bc}, 4 = \frac{a}{ad-bc} $. En regardant la première équation, $1 = \frac{d}{ad-bc}$, on voit que le déterminant doit diviser $d$. De même, il doit diviser $a, b,$ et $c$. De plus, $4 \times 1 - 2 \times 3 = \frac{ad -bc}{(ad-bc)^2} = \frac{1}{ad-bc} = -2 $. Donc, $ad-bc = -1/2$.

Correction :

Faux. Si une matrice a une ligne ou une colonne de zéros, son déterminant est nul, et elle n'est donc pas inversible.

Correction :

Oui, c'est suffisant. Si $A$ et $B$ sont des matrices carrées et $AB=I$, alors $BA=I$ est automatiquement vérifié. La vérification dans un seul sens est donc suffisante pour conclure que $A$ et $B$ sont inverses l'une de l'autre.

Correction :

Si une matrice a deux lignes (ou colonnes) identiques, son déterminant est nul. Par conséquent, elle n'est pas inversible.

Correction :

Non, jamais. Si $A$ était inversible, on pourrait multiplier l'équation $A^2 = 0$ par $A^{-1}$ à gauche : $A^{-1}A^2 = A^{-1}0 \Rightarrow A = 0$. Or, la matrice nulle n'est pas inversible (car il n'existe aucune matrice $B$ telle que $0 \times B = I$).

Correction :

On sait que $A \times A^{-1} = I$. Le déterminant d'un produit est le produit des déterminants : $det(A \times A^{-1}) = det(A) \times det(A^{-1}) = det(I) = 1$. Donc, $det(A^{-1}) = 1/det(A)$.

Correction :

Si $A$ est une matrice $n \times n$ et $k$ est un scalaire, alors $det(kA) = k^n det(A)$. Ici, $n=3$ et $k=2$, donc $det(2A) = 2^3 det(A) = 8 \times 2 = 16$.

Correction :

Non, pas nécessairement. Par exemple, si $A$ est inversible et $B = -A$, alors $B$ est aussi inversible, mais $A + B = 0$, qui n'est pas inversible.

Correction :

Oui, toujours. De plus, $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$. Le déterminant de la transposée est égal au déterminant de la matrice originale, donc si $det(A) \neq 0$, alors $det(A^T) \neq 0$.

Correction :

Par définition, si $A$ est orthogonale, $A^T A = I$. Donc, par définition de l'inverse, $A^{-1} = A^T$.

Correction :

Oui. Pour les matrices carrées, si $AB = I$, alors $BA = I$ est automatiquement vérifié.

Correction :

Non, pas nécessairement. Une matrice orthogonale doit vérifier $A^T A = I$, ce qui est plus restrictif que d'avoir simplement un déterminant de 1. Par exemple, $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ a un déterminant de 1, mais n'est pas orthogonale.