Quiz sur les Nombres Complexes et Trigonométrie

Correction:

Utilisons la formule d'addition des cosinus : \(\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)\). Avec \(a = x\) et \(b = \frac{\pi}{2}\), nous avons \(\cos(x + \frac{\pi}{2}) = \cos(x)\cos(\frac{\pi}{2}) - \sin(x)\sin(\frac{\pi}{2})\). Comme \(\cos(\frac{\pi}{2}) = 0\) et \(\sin(\frac{\pi}{2}) = 1\), cela se simplifie en \(-\sin(x)\).

Correction:

Appliquons la formule d'addition des sinus : \(\sin(a+b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)\). Avec \(a = x\) et \(b = \frac{\pi}{2}\), nous obtenons \(\sin(x + \frac{\pi}{2}) = \sin(x)\cos(\frac{\pi}{2}) + \cos(x)\sin(\frac{\pi}{2})\). Comme \(\cos(\frac{\pi}{2}) = 0\) et \(\sin(\frac{\pi}{2}) = 1\), cela se simplifie en \(\cos(x)\).

Correction:

Utilisons la formule d'addition des cosinus : \(\cos(a-b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)\). Avec \(a = \frac{\pi}{2}\) et \(b = x\), nous avons \(\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \cos(\frac{\pi}{2})\cos(x) + \sin(\frac{\pi}{2})\sin(x)\). Comme \(\cos(\frac{\pi}{2}) = 0\) et \(\sin(\frac{\pi}{2}) = 1\), cela se simplifie en \(\sin(x)\).

Correction:

Appliquons la formule de soustraction des sinus : \(\sin(a-b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b)\). Avec \(a = \frac{\pi}{2}\) et \(b = x\), nous obtenons \(\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(\frac{\pi}{2})\cos(x) - \cos(\frac{\pi}{2})\sin(x)\). Comme \(\cos(\frac{\pi}{2}) = 0\) et \(\sin(\frac{\pi}{2}) = 1\), cela se simplifie en \(\cos(x)\).

Correction:

En utilisant la formule d'addition des cosinus : \(\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)\). Avec \(a = x\) et \(b = \pi\), nous avons \(\cos(x + \pi) = \cos(x)\cos(\pi) - \sin(x)\sin(\pi)\). Comme \(\cos(\pi) = -1\) et \(\sin(\pi) = 0\), cela se simplifie en \(-\cos(x)\).

Correction:

En utilisant la formule d'addition des sinus : \(\sin(a+b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)\). Avec \(a = x\) et \(b = \pi\), nous obtenons \(\sin(x + \pi) = \sin(x)\cos(\pi) + \cos(x)\sin(\pi)\). Comme \(\cos(\pi) = -1\) et \(\sin(\pi) = 0\), cela se simplifie en \(-\sin(x)\).

Correction:

Utilisons la formule de soustraction des cosinus : \(\cos(a-b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)\). Avec \(a = \pi\) et \(b = x\), nous avons \(\cos(\pi - x) = \cos(\pi)\cos(x) + \sin(\pi)\sin(x)\). Comme \(\cos(\pi) = -1\) et \(\sin(\pi) = 0\), cela se simplifie en \(-\cos(x)\).

Correction:

Appliquons la formule de soustraction des sinus : \(\sin(a-b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b)\). Avec \(a = \pi\) et \(b = x\), nous avons \(\sin(\pi - x) = \sin(\pi)\cos(x) - \cos(\pi)\sin(x)\). Comme \(\cos(\pi) = -1\) et \(\sin(\pi) = 0\), cela se simplifie en \(\sin(x)\).

Correction:

En utilisant la formule du cosinus de l'angle double, \(\cos(2a) = 2\cos^2(a) - 1\), nous avons \(\cos(\frac{\pi}{6}) = 2\cos^2(\frac{\pi}{12}) - 1\). Sachant que \(\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), nous obtenons l'équation \(\frac{\sqrt{3}}{2} = 2\cos^2(\frac{\pi}{12}) - 1\). Après résolution, nous trouvons \(\cos(\frac{\pi}{12}) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}\), ce qui est équivalent à \(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}\) après simplification.

Correction:

Pour exprimer \(\frac{7\pi}{12}\), remarquez que \(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}\).

Correction:

Puisque \(\frac{7\pi}{12} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}\), nous utilisons la formule \(\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)\). Donc, \(\cos(\frac{7\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{3})\cos(\frac{\pi}{4}) - \sin(\frac{\pi}{3})\sin(\frac{\pi}{4}) = (\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2}) - (\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}\).

Correction:

Comme \(\frac{7\pi}{12} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}\), nous utilisons \(\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)\). Donc, \(\sin(\frac{7\pi}{12}) = \sin(\frac{\pi}{3})\cos(\frac{\pi}{4}) + \cos(\frac{\pi}{3})\sin(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2}) + (\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\).

Correction:

Le module d'un nombre complexe \(z = a + bi\) est donné par \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\). Pour \(z_1 = 3\), nous avons \(a = 3\) et \(b = 0\). Donc, \(|z_1| = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3\).

Correction:

Un argument d'un nombre complexe \(z = a + bi\) est l'angle \(\theta\) tel que \(z = |z|(\cos(\theta) + i\sin(\theta))\). Pour \(z_2 = -4\), nous avons \(a = -4\) et \(b = 0\). Cela correspond à un point sur l'axe réel négatif, donc un argument est \(\pi\).

Correction:

Pour \(z_3 = i\), nous avons \(a = 0\) et \(b = 1\). Donc, \(|z_3| = \sqrt{0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1\).

Correction:

Pour \(z_4 = -3i\), nous avons \(a = 0\) et \(b = -3\). Cela correspond à un point sur l'axe imaginaire négatif, donc un argument est \(-\frac{\pi}{2}\).

Correction:

Pour \(z_5 = 2 + 2i\), nous avons \(a = 2\) et \(b = 2\). Donc, \(|z_5| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\).

Correction:

Pour \(z_6 = 2 - 2i\), nous avons \(a = 2\) et \(b = -2\). L'argument est donc \(-\frac{\pi}{4}\).

Correction:

Pour \(z_7 = -\sqrt{3} + 3i\), nous avons \(a = -\sqrt{3}\) et \(b = 3\). Donc, \(|z_7| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{3 + 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\).

Correction:

Pour \(z_7 = -\sqrt{3} + 3i\), nous avons \(a = -\sqrt{3}\) et \(b = 3\). L'argument est donc \(\frac{2\pi}{3}\).

Correction:

Un argument de \(z_1\) est \(\frac{\pi}{4}\), et un argument de \(z_2\) est \(\frac{5\pi}{6}\). L'argument de \(z_1 \times z_2\) est la somme des arguments, donc \(\frac{\pi}{4} + \frac{5\pi}{6} = \frac{3\pi}{12} + \frac{10\pi}{12} = \frac{13\pi}{12}\), qui est équivalent à \(\frac{7\pi}{12}\) dans \(]-\pi, \pi]\).

Correction:

L'argument de \(\frac{z_1}{z_2}\) est la différence des arguments, donc \(\frac{\pi}{4} - \frac{5\pi}{6} = \frac{3\pi}{12} - \frac{10\pi}{12} = -\frac{7\pi}{12}\).

Correction:

L'argument de \(z_1^3\) est \(3 \times \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}\). L'argument de \(z_1^3 \times z_2\) est la somme des arguments, donc \(\frac{3\pi}{4} + \frac{5\pi}{6} = \frac{9\pi}{12} + \frac{10\pi}{12} = \frac{19\pi}{12}\), qui est équivalent à \(\frac{23\pi}{12}\) ou encore \(\frac{-\pi}{12}\).

Correction:

L'argument de \(z_2^4\) est \(4 \times \frac{5\pi}{6} = \frac{20\pi}{6} = \frac{10\pi}{3}\), qui est équivalent à \(\frac{4\pi}{3}\) dans \(]-\pi, \pi]\). Multiplier par 3 ne change pas l'argument.

Correction:

Commençons par exprimer \(z_1\) et \(z_2\) sous forme exponentielle. \(z_1 = \sqrt{3} - i\) a pour module 2 et pour argument \(-\frac{\pi}{6}\), soit \(2e^{-i\frac{\pi}{6}}\). \(z_2 = 1 - i\) a pour module \(\sqrt{2}\) et pour argument \(-\frac{\pi}{4}\), soit \(\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}\). Alors, \(Z = \frac{2e^{-i\frac{\pi}{6}}}{\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}} = \sqrt{2}e^{i(-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4})} = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{12}}\).

Correction:

Pour trouver la forme algébrique de \(Z = \frac{z_1}{z_2}\), nous multiplions le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur : \(Z = \frac{\sqrt{3} - i}{1 - i} = \frac{(\sqrt{3} - i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{\sqrt{3} + i\sqrt{3} - i + 1}{1 + 1} = \frac{\sqrt{3} + 1 + i(\sqrt{3} - 1)}{2}\). Ce qui donne \(Z = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} + i\frac{\sqrt{3} - 1}{2}\). En utilisant \(\sqrt{3} + 1 = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\) et \(\sqrt{3} - 1 = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}\), nous obtenons \(Z = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} + i\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \times 2\) d'ou \(Z = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\).

Correction:

Exprimons \(z_1\) et \(z_2\) sous forme exponentielle. \(z_1 = -1 - i\) a pour module \(\sqrt{2}\) et pour argument \(-\frac{3\pi}{4}\), soit \(\sqrt{2}e^{-i\frac{3\pi}{4}}\). \(z_2 = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\) a pour module 1 et pour argument \(-\frac{\pi}{3}\), soit \(e^{-i\frac{\pi}{3}}\). Alors, \(Z = (\sqrt{2}e^{-i\frac{3\pi}{4}})(e^{-i\frac{\pi}{3}}) = \sqrt{2}e^{i(-\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{3})} = \sqrt{2}e^{-i\frac{13\pi}{12}}\), qui est équivalent à \(\sqrt{2}e^{i\frac{11\pi}{12}}\) dans \(]-\pi, \pi]\) ou encore \(\sqrt{2}e^{i\frac{7\pi}{12}}\) dans \(]0, 2\pi[\)

Correction:

Calculons le produit : \(Z = (-1 - i)(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i - \frac{1}{2}i - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2} + i\frac{\sqrt{3} - 1}{2}\)

Correction:

Utilisons la formule d'Euler : \(e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)\). Nous avons \((\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2})e^{ix} = (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2})(\cos(x) + i\sin(x))\). Développons: \(= \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(x) + i\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x) - \frac{i}{2}\cos(x) + \frac{1}{2}\sin(x)\) \(= \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(x) + \frac{1}{2}\sin(x) + i(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x) - \frac{1}{2}\cos(x))\).

Correction:

\(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\) a pour module 1 et pour argument \(-\frac{\pi}{6}\), donc sa forme exponentielle est \(e^{-i\frac{\pi}{6}}\). Alors, \((\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2})e^{ix} = e^{-i\frac{\pi}{6}}e^{ix} = e^{i(x - \frac{\pi}{6})}\).

Correction:

Transformons l'équation : \(\sqrt{3}\cos(x) + \sin(x) = \sqrt{2}\) en \(2(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(x) + \frac{1}{2}\sin(x)) = \sqrt{2}\), ce qui donne \(2\cos(x - \frac{\pi}{6}) = \sqrt{2}\), donc \(\cos(x - \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Cela implique que \(x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi\) ou \(x - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi\). Donc \(x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{5\pi}{12} + 2k\pi\) ou \(x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + 2k\pi = -\frac{\pi}{12} + 2k\pi\). Dans l'intervalle \(]-\pi, \pi[\), les solutions sont \(\frac{\pi}{12}\) et \(\frac{7\pi}{12}\).

Correction:

Pour factoriser \(e^{2x}\) dans la somme \(e^x + e^{3x}\), nous divisons chaque terme par \(e^{2x}\) et le mettons en facteur: On obtient \(e^x + e^{3x} = e^{2x}(e^{-x} + e^{x})\).

Correction:

Utilisons la formule de factorisation : \(\cos(a) + \cos(b) = 2\cos(\frac{a+b}{2})\cos(\frac{a-b}{2})\). Nous avons \(\cos(x) + \cos(3x) = 2\cos(2x)\cos(-x) = 2\cos(2x)\cos(x) = 0\). Donc \(\cos(2x) = 0\) ou \(\cos(x) = 0\). Les solutions de \(\cos(2x) = 0\) sont données par \(2x = \frac{\pi}{2} + k\pi\) ou \(x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}\). Les solutions de \(\cos(x) = 0\) sont données par \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\). Dans l'intervalle \(]-\pi, \pi]\), les solutions sont \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{3\pi}{4}\), \(-\frac{\pi}{2}\) et \(0\).

Correction:

Utilisons la formule de factorisation: \(\sin(a) + \sin(b) = 2\sin(\frac{a+b}{2})\cos(\frac{a-b}{2})\). Nous obtenons \(\sin(2x) + \sin(6x) = 2\sin(4x)\cos(-2x) = 2\sin(4x)\cos(2x) = 0\). Donc \(\sin(4x) = 0\) ou \(\cos(2x) = 0\). Les solutions de \(\sin(4x) = 0\) sont données par \(4x = k\pi\) ou \(x = \frac{k\pi}{4}\). Les solutions de \(\cos(2x) = 0\) sont données par \(2x = \frac{\pi}{2} + k\pi\) ou \(x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}\). Dans l'intervalle \(]-\pi, \pi]\), les solutions sont \(0\), \(\frac{\pi}{2}\), \(-\frac{\pi}{2}\), \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{3\pi}{4}\), \(-\frac{\pi}{4}\) et \(-\frac{3\pi}{4}\).

Correction:

On utilise la forme trigonométrique \(z_1 = |z_1|(\cos(\arg(z_1)) + i\sin(\arg(z_1)))\). Alors, \(z_1 = 2(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})) = 2(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} + i\sqrt{2}\).

Correction:

Utilisons la forme trigonométrique \(z_2 = |z_2|(\cos(\arg(z_2)) + i\sin(\arg(z_2)))\). Alors, \(z_2 = 5(\cos(-\frac{2\pi}{3}) + i\sin(-\frac{2\pi}{3})) = 5(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{5}{2} - i\frac{5\sqrt{3}}{2}\).

Correction:

Utilisons la forme trigonométrique \(z_3 = |z_3|(\cos(\arg(z_3)) + i\sin(\arg(z_3)))\). Alors, \(z_3 = \sqrt{3}(\cos(\frac{5\pi}{6}) + i\sin(\frac{5\pi}{6})) = \sqrt{3}(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = -\frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Correction:

Utilisons la formule de Moivre : \(e^{i\theta}e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')}\). En utilisant les formules d'Euler, \((\cos(\theta) + i\sin(\theta))(\cos(\theta') + i\sin(\theta')) = \cos(\theta + \theta') + i\sin(\theta + \theta')\). En développant le produit du membre de gauche, nous trouvons : \(\cos(\theta)\cos(\theta') + i\cos(\theta)\sin(\theta') + i\sin(\theta)\cos(\theta') - \sin(\theta)\sin(\theta') = \cos(\theta + \theta') + i\sin(\theta + \theta')\). En égalisant les parties réelles, nous obtenons \(\cos(\theta + \theta') = \cos(\theta)\cos(\theta') - \sin(\theta)\sin(\theta')\).

Correction:

Utilisons la formule de Moivre : \(e^{i\theta}e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')}\). En utilisant les formules d'Euler, \((\cos(\theta) + i\sin(\theta))(\cos(\theta') + i\sin(\theta')) = \cos(\theta + \theta') + i\sin(\theta + \theta')\). En développant le produit du membre de gauche, nous trouvons : \(\cos(\theta)\cos(\theta') + i\cos(\theta)\sin(\theta') + i\sin(\theta)\cos(\theta') - \sin(\theta)\sin(\theta') = \cos(\theta + \theta') + i\sin(\theta + \theta')\). En égalisant les parties imaginaires, nous obtenons \(\sin(\theta + \theta') = \sin(\theta)\cos(\theta') + \cos(\theta)\sin(\theta')\).

Correction:

Appliquons la formule d'addition des sinus avec des angles égaux : \(\sin(\theta + \theta') = \sin(\theta)\cos(\theta') + \cos(\theta)\sin(\theta')\). En posant \(\theta' = \theta\), on obtient \(sin(2\theta) = sin(\theta)cos(\theta) + cos(\theta)sin(\theta) = 2sin(\theta)cos(\theta)\)

Correction:

Utilisons la formule d'addition des cosinus avec des angles égaux : \(\cos(\theta + \theta') = \cos(\theta)\cos(\theta') - \sin(\theta)\sin(\theta')\). En posant \(\theta' = \theta\), on obtient \(cos(2\theta) = cos(\theta)cos(\theta) - sin(\theta)sin(\theta) = cos^2(\theta) - sin^2(\theta)\).

Correction:

En utilisant la formule du binôme de Newton, nous avons \((1+i)^3 = \binom{3}{0}1^3i^0 + \binom{3}{1}1^2i^1 + \binom{3}{2}1^1i^2 + \binom{3}{3}1^0i^3 = 1 + 3i - 3 - i = -2 + 2i\).

Correction:

Appliquons la formule du binôme de Newton: \((2+i)^4 = \binom{4}{0}2^4i^0 + \binom{4}{1}2^3i^1 + \binom{4}{2}2^2i^2 + \binom{4}{3}2^1i^3 + \binom{4}{4}2^0i^4 = 16 + 32i - 24 - 8i + 1 = -7 + 24i\).

Correction:

Utilisons la formule du binôme : \((i-3)^3 = \binom{3}{0}i^3(-3)^0 + \binom{3}{1}i^2(-3)^1 + \binom{3}{2}i^1(-3)^2 + \binom{3}{3}i^0(-3)^3 = i - 3(-3) - 3i(9) - 27 = -27 + 27i + 9 -i\).

Correction:

Appliquons la formule du binôme de Newton: \((4+i)^3 = \binom{3}{0}4^3i^0 + \binom{3}{1}4^2i^1 + \binom{3}{2}4^1i^2 + \binom{3}{3}4^0i^3 = 64 + 48i - 12 - i = 52 + 47i\).

Correction:

Dans le développement de \((x+2)^9\), le terme en \(x^5\) est donné par \(\binom{9}{5}x^52^4\). Le coefficient est donc \(\binom{9}{5}2^4 = 126 \times 16 = 2016\)

Correction:

Dans le développement de \((x-1)^5\), le terme en \(x^2\) est donné par \(\binom{5}{2}x^2(-1)^3\). Le coefficient est donc \(\binom{5}{2}(-1)^3 = 10 \times -1 = -10\).

Correction:

Développons \((\alpha - i)^3 = \binom{3}{0}\alpha^3(-i)^0 + \binom{3}{1}\alpha^2(-i)^1 + \binom{3}{2}\alpha^1(-i)^2 + \binom{3}{3}\alpha^0(-i)^3 = \alpha^3 - 3\alpha^2i - 3\alpha + i = \alpha^3 - 3\alpha + i(-3\alpha^2 + 1)\). Pour que ce nombre soit réel, sa partie imaginaire doit être nulle, donc \(-3\alpha^2 + 1 = 0\), ce qui donne \(\alpha^2 = \frac{1}{3}\), donc \(\alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}\) or \(-3\alpha^2 + 1 = 0\), si \(\alpha=0\), l'expression devient \(-i^3=i\) qui n'est pas un reel donc l'equation est egal à 0 pour \(\alpha = 0\) ou \(\alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}\).

Correction :

Utilisons les formules d'Euler : \(\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\). Alors, \(\cos^2(x) = \left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}(e^{2ix} + 2 + e^{-2ix}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\left(\frac{e^{2ix} + e^{-2ix}}{2}\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2x)\).

Correction :

Utilisons les formules d'Euler : \(\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}\). Alors, \(\sin^2(x) = \left(\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}\right)^2 = -\frac{1}{4}(e^{2ix} - 2 + e^{-2ix}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\left(\frac{e^{2ix} + e^{-2ix}}{2}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x)\).

Correction :

Utilisons les formules d'Euler : \(\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\). Alors, \(\cos^3(x) = \left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}(e^{3ix} + 3e^{ix} + 3e^{-ix} + e^{-3ix}) = \frac{3}{4}\left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right) + \frac{1}{4}\left(\frac{e^{3ix} + e^{-3ix}}{2}\right) = \frac{3}{4}\cos(x) + \frac{1}{4}\cos(3x)\).

Correction :

Utilisons les formules d'Euler : \(\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}\). Alors, \(\sin^4(x) = \left(\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}\right)^4 = \frac{1}{16}(e^{4ix} - 4e^{2ix} + 6 - 4e^{-2ix} + e^{-4ix}) = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\left(\frac{e^{2ix} + e^{-2ix}}{2}\right) + \frac{1}{8}\left(\frac{e^{4ix} + e^{-4ix}}{2}\right) = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x)\).

Correction :

Oui, Lina a raison. Utilisons la formule de duplication de l'angle : \(\cos(x) = 2\cos^2(\frac{x}{2}) - 1\). Réarrangeons cette formule, on obtient : \(\cos(x) - 2\cos^2(\frac{x}{2}) + 1 = 0\). Donc, l'affirmation de Lina est correcte pour tout réel \(x\).

Correction :

La somme \(S\) est une somme géométrique de raison \(q = e^{i \frac{2\pi}{5}} \neq 1\) et de premier terme \(1\), avec 5 termes. On utilise la formule de la somme des termes d'une suite géométrique : \(S = \frac{1 - q^n}{1 - q} = \frac{1 - (e^{i \frac{2\pi}{5}})^5}{1 - e^{i \frac{2\pi}{5}}} = \frac{1 - e^{i 2\pi}}{1 - e^{i \frac{2\pi}{5}}} = \frac{1 - 1}{1 - e^{i \frac{2\pi}{5}}} = 0\). Donc, \(S = 0\).

Correction :

Utilisons la formule de Moivre : \((\cos(\theta) + i\sin(\theta))^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\). \(z_1 = (\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))^4 = \cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Correction :

Utilisons la formule de Moivre : \((\cos(\theta) + i\sin(\theta))^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\). \(z_2 = (\cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6}))^3 = \cos(\frac{3\pi}{6}) + i\sin(\frac{3\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}) = i\).

Correction :

Utilisons la formule de Moivre : \((\cos(\theta) + i\sin(\theta))^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\). \(z_3 = (\cos(\frac{\pi}{8}) + i\sin(\frac{\pi}{8}))^6 = \cos(\frac{6\pi}{8}) + i\sin(\frac{6\pi}{8}) = \cos(\frac{3\pi}{4}) + i\sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Correction :

Utilisons la formule de Moivre : \((\cos(\theta) + i\sin(\theta))^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\). \(z_4 = (\cos(\frac{\pi}{27}) + i\sin(\frac{\pi}{27}))^9 = \cos(\frac{9\pi}{27}) + i\sin(\frac{9\pi}{27}) = \cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}\).

Correction :

Vrai. Exprimons \(1+i\) et \(1-i\) sous forme exponentielle. \(1+i = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\) et \(1-i = \sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}\). Alors, \(S_n = (\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}})^n + (\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}})^n = (\sqrt{2})^n e^{i\frac{n\pi}{4}} + (\sqrt{2})^n e^{-i\frac{n\pi}{4}} = (\sqrt{2})^n (e^{i\frac{n\pi}{4}} + e^{-i\frac{n\pi}{4}}) = 2(\sqrt{2})^n \cos(\frac{n\pi}{4})\) en utilisant la formule d'Euler.

Correction :

Vrai. Comme \(\cos(\frac{n\pi}{4})\) est un nombre réel pour tout entier \(n\), et \(2(\sqrt{2})^n\) est aussi un réel, alors leur produit \(S_n = 2(\sqrt{2})^n \cos(\frac{n\pi}{4})\) est un nombre réel.

Correction :

Vrai. Les solutions sont \(z=1\) et les solutions de \(z^2-8z+25=0\). Discriminant \(\Delta = 64-100 = -36 = (6i)^2\). Racines \(z = \frac{8 \pm 6i}{2} = 4 \pm 3i\). Soient \(A(1)\), \(B(4+3i)\), \(C(4-3i)\). \(AB^2 = |4+3i-1|^2 = |3+3i|^2 = 18\). \(AC^2 = |4-3i-1|^2 = |3-3i|^2 = 18\). \(BC^2 = |4+3i-(4-3i)|^2 = |6i|^2 = 36\). \(AB^2 + AC^2 = BC^2\). Triangle rectangle isocèle en A.

Correction :

Faux. \((5-6i)^n\) et \((5+6i)^n\) sont conjugués. Leur somme est donc réelle. Si elle était nulle, cela impliquerait que \((5-6i)^n = 0\), ce qui est impossible car \(5-6i \neq 0\).

Correction :

Vrai. Nous avons linéarisé \(\sin^4(x)\) à la question 54. Linéarisons \(\cos^4(x)\) de même manière. \(\cos^4(x) = (\cos^2(x))^2 = (\frac{1 + \cos(2x)}{2})^2 = \frac{1}{4}(1 + 2\cos(2x) + \cos^2(2x)) = \frac{1}{4}(1 + 2\cos(2x) +\frac{1 + \cos(4x)}{2}) = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x)\). Il y a une erreur dans l'énoncé, le bon résultat est \(\cos^4(x) = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x)\). L'affirmation est donc fausse.

Correction :

Vrai. Calculons \((1+i)^4 = (2i)^2 = -4\). Alors, \((1+i)^{4n} = ((1+i)^4)^n = (-4)^n\).

Correction :

Faux. Les solutions sont \(z=4\) et les solutions de \(z^2-4z+8=0\). Discriminant \(\Delta = 16-32 = -16 = (4i)^2\). Racines \(z = \frac{4 \pm 4i}{2} = 2 \pm 2i\). Soient \(A(4)\), \(B(2+2i)\), \(C(2-2i)\). Hauteur du triangle depuis A est la partie imaginaire de B (ou C) soit 2. Base du triangle est la distance BC = \(|2+2i-(2-2i)| = |4i| = 4\). Aire du triangle est \(\frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4 \neq 8\).

Correction :

Vrai. Factorisons par l'angle moitié : \(1 + e^{2i\alpha} = e^{i\alpha}(e^{-i\alpha} + e^{i\alpha}) = e^{i\alpha} (2\cos(\alpha)) = 2e^{i\alpha}\cos(\alpha)\).

Correction :

Vrai. Si \(n-1\) est divisible par 4, alors \(n = 4k + 1\). \((z_A)^n = (z_A)^{4k+1} = ((z_A)^4)^k \times z_A\). Calculons \((z_A)^4 = (\frac{1}{2}(1+i))^4 = (\frac{1}{2})^4 (1+i)^4 = \frac{1}{16} (-4) = -\frac{1}{4}\). Donc \((z_A)^n = (-\frac{1}{4})^k \times z_A\). \(M_n\) est colinéaire à \(A\) car \((z_A)^n = \lambda z_A\) avec \(\lambda = (-\frac{1}{4})^k \in R\). Donc \(O\), \(A\) et \(M_n\) sont alignés.

Correction :

Vrai. Si \(j\) est une racine cubique de l'unité différente de 1, alors \(1 + j + j^2 = 0\). \(j = e^{i\frac{2\pi}{3}}\) est une racine cubique de l'unité car \(j^3 = e^{i2\pi} = 1\) et \(j \neq 1\). Donc, \(1 + j + j^2 = 0\).