Quiz : Nombres Complexes et Géométrie

Correction:

Le module d'un nombre complexe $z = a + bi$ est donné par $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. Ici, $a = 3$ et $b = -4$, donc $|z| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. Il ne faut pas oublier de prendre la racine carrée du résultat de $a^2+b^2$

Correction:

On a $z = -1 + i\sqrt{3}$. Le module de $z$ est $|z| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$. On peut donc écrire $z = 2(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})$. On reconnaît alors $z = 2(\cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3}))$, donc l'argument est $\frac{2\pi}{3}$. Il faut faire attention au signe de la partie réelle et imaginaire pour déterminer le bon quadrant.

Correction:

On effectue le produit : $(2 + i)(1 - 3i) = 2 \times 1 + 2 \times (-3i) + i \times 1 + i \times (-3i) = 2 - 6i + i - 3i^2$. Comme $i^2 = -1$, on a $2 - 6i + i + 3 = 5 - 5i$. Il est crucial de bien distribuer et de se souvenir que $i^2 = -1$.

Correction:

On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué de $i$, qui est $-i$ : $\frac{1}{i} = \frac{1 \times (-i)}{i \times (-i)} = \frac{-i}{-i^2} = \frac{-i}{-(-1)} = \frac{-i}{1} = -i$. Une erreur courante est d'oublier de multiplier par le conjugué.

Correction:

On peut calculer $z^2 = (1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$. Puis, $z^4 = (z^2)^2 = (2i)^2 = 4i^2 = 4(-1) = -4$. Il est plus facile de calculer $z^2$ puis $(z^2)^2$ que de calculer directement $z^4$.

Correction:

Le conjugué d'un nombre complexe $a + bi$ est $a - bi$. Donc, le conjugué de $-2 - 5i$ est $-2 + 5i$. Il ne faut pas changer le signe de la partie réelle, seulement celui de la partie imaginaire.

Correction:

$|z - 2| = 3$ représente la distance entre le point d'affixe $z$ et le point d'affixe 2 (qui a pour coordonnées (2, 0)). L'ensemble des points à une distance de 3 du point (2, 0) est le cercle de centre (2, 0) et de rayon 3. Il faut bien interpréter $|z - a|$ comme une distance.

Correction:

L'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est $z_B - z_A = (3 - 2i) - (1 + i) = 3 - 2i - 1 - i = 2 - 3i$. Il faut se souvenir que c'est toujours "affixe de l'extrémité" moins "affixe de l'origine".

Correction:

$|z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$. On a donc $z = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i)$. On reconnaît $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Donc, $z = 2e^{i\frac{\pi}{6}}$. Il est utile de connaître les valeurs trigonométriques des angles remarquables.

Correction:

$z = (2 - i)(3 + 2i) = 2 \times 3 + 2 \times 2i - i \times 3 - i \times 2i = 6 + 4i - 3i - 2i^2 = 6 + i + 2 = 8 + i$. La partie réelle est donc 8. Attention à ne pas se tromper dans les calculs.

Correction :

Pour trouver l'inverse, on effectue $\frac{1}{2i}$. On multiplie ensuite par le conjugué du dénominateur : $\frac{1}{2i}=\frac{1 \times (-2i)}{2i \times (-2i)} = \frac{-2i}{-4i^2}=\frac{-2i}{4} = - \frac{i}{2}$

Correction :

L'équation est équivalente à $z^2 = -4$. On peut l'écrire comme $z^2 = 4i^2$. Donc, $z^2 - (2i)^2 = 0$, ce qui se factorise en $(z - 2i)(z + 2i) = 0$. Les solutions sont donc $z = 2i$ et $z = -2i$. Une erreur commune serait d'oublier le $i$.

Correction :

On a $z = 2(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}))$. On sait que $\cos(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Donc, $z = 2(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} + i\sqrt{2}$. Les coordonnées sont donc $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$. Il faut revoir ses formules trigonométriques et le passage de la forme exponentielle à la forme algébrique.

Correction :

On a $z_{\overrightarrow{BA}} = z_A - z_B = 2 - i$ et $z_{\overrightarrow{BC}} = z_C - z_B = (2+i) - i = 2$. On calcule les modules : $|z_{\overrightarrow{BA}}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}$ et $|z_{\overrightarrow{BC}}| = 2$. De plus le quotient $\frac{z_{\overrightarrow{BC}}}{z_{\overrightarrow{BA}}} = \frac{2}{2 - i} = \frac{2(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\frac{2(2+i)}{5} = \frac{4}{5} + \frac{2}{5}i$ n'est pas réel. Le triangle n'est donc pas isocèle en B. Comme ce quotient n'est pas imaginaire pur, le triangle n'est pas rectangle en B. En revanche, $\frac{z_{\overrightarrow{BA}}}{z_{\overrightarrow{BC}}} = \frac{2 - i}{2} = 1 - \frac{1}{2}i$ est imaginaire pur, donc le triangle est rectangle en B.

Correction:

C'est la formule de Moivre : $(\cos(\theta) + i\sin(\theta))^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$. On peut aussi l'écrire avec la notation exponentielle : $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$. C'est une formule fondamentale à connaître.

Correction:

On peut développer : $(1+i)^3=(1+i)^2(1+i) = (1+2i+i^2)(1+i) = (1+2i-1)(1+i) = 2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2 = -2+2i$.

Correction:

Par définition, $i^2 = -1$. Donc $i$ est une racine carrée de $-1$.

Correction:

Multiplier un nombre complexe $z$ par $i$ revient à effectuer une rotation de centre O et d'angle $\frac{\pi}{2}$ (90 degrés) dans le sens direct. En effet, $i = e^{i\frac{\pi}{2}}$.

Correction:

Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. Cela se traduit par le fait que le quotient de leurs affixes, $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$, est un nombre réel.

Correction:

Pour tout nombre complexe $z$, on a $|z| = |\overline{z}|$. Donc, *tous* les points du plan complexe vérifient cette égalité.

Correction:

Le module de $1 - i$ est $|1 - i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$. On peut écrire $1 - i = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i) = \sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i)$. On reconnaît $\cos(-\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Donc, la forme trigonométrique est $\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$. Il faut faire attention au signe de la partie imaginaire pour déterminer l'argument.

Correction:

On a $z^3 = (2e^{i\frac{\pi}{3}})^3 = 2^3 (e^{i\frac{\pi}{3}})^3 = 8e^{i\pi}$. Le module de $z^3$ est donc $|z^3| = |8e^{i\pi}| = 8$. On utilise la propriété $|ab| = |a||b|$ et le fait que le module d'un nombre complexe de la forme $e^{i\theta}$ est toujours 1. De manière générale $|z^n|=|z|^n$.

Correction:

Le nombre complexe est $z = 4(\cos(\frac{5\pi}{6}) + i\sin(\frac{5\pi}{6}))$. On a $\cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin(\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Donc, $z = 4(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = -2\sqrt{3} + 2i$. Il est important de bien connaître les valeurs du cosinus et du sinus pour les angles usuels.

Correction:

L'argument d'un produit est la somme des arguments (modulo $2\pi$). C'est une propriété fondamentale à retenir. On peut le voir en utilisant la forme exponentielle : si $z_1 = r_1e^{i\theta_1}$ et $z_2 = r_2e^{i\theta_2}$, alors $z_1z_2 = r_1r_2e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$.

Correction:

Si $z = a + bi$, alors $\overline{z} = a - bi$. Donc $z \times \overline{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 - b^2i^2 = a^2 + b^2 = |z|^2$. C'est une propriété très importante.

Correction:

Si $z = re^{i\theta}$, alors $\frac{1}{z} = \frac{1}{r}e^{-i\theta}$. Donc, $\arg(\frac{1}{z}) = -\theta = -\arg(z)$ (modulo $2\pi$). L'argument de l'inverse est l'opposé de l'argument.

Correction:

$|z - 1|$ représente la distance de $M$ au point $A$ d'affixe $1$ (donc de coordonnées (1, 0)). $|z + i| = |z - (-i)|$ représente la distance de $M$ au point $B$ d'affixe $-i$ (donc de coordonnées (0, -1)). L'ensemble des points équidistants de $A$ et $B$ est la médiatrice du segment $[AB]$. Il faut bien savoir interpréter géométriquement les modules de différences.

Correction:

$z^2 = (x + iy)^2 = x^2 + 2ixy + (iy)^2 = x^2 + 2ixy - y^2 = (x^2 - y^2) + 2ixy$. La partie imaginaire est donc $2xy$. Il faut développer correctement et ne pas oublier le double produit.

Correction :

$-1 = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = e^{i\pi}$. Le module de $-1$ est 1, et un argument est $\pi$. Il faut savoir placer les nombres complexes simples sur le cercle trigonométrique.

Correction :

Ce sont les racines cubiques de l'unité. Elles sont au nombre de 3 et s'écrivent $e^{i\frac{2k\pi}{3}}$ pour $k = 0, 1, 2$. Cela donne $1$, $e^{i\frac{2\pi}{3}}$ et $e^{i\frac{4\pi}{3}}$. Il ne faut pas oublier qu'une équation de degré $n$ a $n$ solutions dans $\mathbb{C}$.

Correction:

$|z - 2 + i| = |z - (2 - i)|$ représente la distance entre le point $M$ d'affixe $z$ et le point d'affixe $2 - i$, c'est-à-dire le point de coordonnées $(2, -1)$. L'ensemble des points $M$ situés à une distance de 3 de ce point est le cercle de centre $(2, -1)$ et de rayon 3.

Correction:

On pose $z = x + iy$, avec $x$ et $y$ réels. Alors $\overline{z} = x - iy$. L'équation devient $x + iy + x - iy = 4$, soit $2x = 4$, donc $x = 2$. L'ensemble des points $M$ est donc la droite verticale d'équation $x = 2$. Il faut penser à poser $z=x+iy$ pour se ramener à une équation cartésienne.

Correction :

On sait que $z\overline{z} = |z|^2$. Donc l'équation est équivalente à $|z|^2=9$, soit $|z|=3$ (car un module est toujours positif). L'ensemble cherché est donc l'ensemble des points à une distance de 3 de l'origine, c'est à dire le cercle de centre O et de rayon 3.

Correction :

Posons $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels. Alors $\overline{z} = x-iy$. L'équation s'écrit alors : $x+iy-(x-iy)=2i$, soit $2iy=2i$, d'où $y=1$. L'ensemble est donc la droite horizontale d'équation $y=1$.

Correction :

$|z-1|$ est la distance entre $M$ et le point $A$ d'affixe 1 (donc de coordonnées (1,0)). $|z+3|=|z-(-3)|$ est la distance entre $M$ et le point $B$ d'affixe -3 (donc de coordonnées (-3,0)). On cherche donc l'ensemble des points équidistants de $A$ et $B$ : il s'agit de la médiatrice du segment [AB].

Correction:

On pose $z = x + iy$, avec $x$ et $y$ réels. On suppose $z \neq -1$.

Alors $\frac{z-2}{z+1} = \frac{x-2+iy}{x+1+iy} = \frac{(x-2+iy)(x+1-iy)}{(x+1+iy)(x+1-iy)} = \frac{(x-2)(x+1) + y^2 + i(...)}{(x+1)^2 + y^2}$.

Pour que ce quotient soit imaginaire pur, il faut (et il suffit) que sa partie réelle soit nulle. Donc :

$(x-2)(x+1) + y^2 = 0$, soit $x^2 - x - 2 + y^2 = 0$.

On complète le carré : $(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} - 2 + y^2 = 0$, soit $(x - \frac{1}{2})^2 + y^2 = \frac{9}{4}$.

C'est l'équation d'un cercle de centre $(\frac{1}{2}, 0)$ et de rayon $\frac{3}{2}$. Ce cercle passe par les points $(2, 0)$ et $(-1, 0)$.

Attention : $z$ doit être différent de $-1$, donc le point $(-1, 0)$ est exclu de l'ensemble. C'est le cercle de diamètre [AB] avec A(2,0) et B(-1,0), privé du point B.

Correction:

$|z - 1 - i| = |z - (1 + i)|$ est la distance entre $M$ et le point $A$ d'affixe $1 + i$ (donc de coordonnées (1, 1)). $|z + 2| = |z - (-2)|$ est la distance entre $M$ et le point $B$ d'affixe $-2$ (donc de coordonnées (-2, 0)). On cherche donc l'ensemble des points équidistants de $A$ et $B$, qui est la médiatrice du segment $[AB]$.

Correction :

Posons $z=x+iy$, avec $x,y$ réels et $z \neq i$. On a alors :

$\frac{z+i}{z-i} = \frac{x+i(y+1)}{x+i(y-1)} = \frac{(x+i(y+1))(x-i(y-1))}{(x+i(y-1))(x-i(y-1))} = \frac{x^2+(y+1)(y-1) + i(...)}{x^2+(y-1)^2} = \frac{x^2+y^2-1+i(...)}{x^2+(y-1)^2}$.

Pour que ce quotient soit réel, il faut et il suffit que sa partie imaginaire soit nulle. On calcule la partie imaginaire :

$x(-(y-1)) - x(y+1) = -xy + x -xy - x = -2xy$.

On doit donc avoir $-2xy = 0$, soit $x=0$ ou $y=0$.

L'ensemble cherché est donc la réunion des axes des abscisses et des ordonnées. Mais il faut enlever le point d'affixe $i$ (c'est à dire de coordonnées (0,1)) car $z\neq i$.

Or l'axe des abscisses correspond à $Im(z)=0$ donc $y=0$, et l'axe des ordonnées privé du point (0,1) correspond aux point M d'affixe $z=x+iy$ tel que $z \neq i$ et $Re(z)=0$ c'est à dire $x=0$.

Comme l'axe des ordonnées à pour équation $x=0$ et l'axe des abscisses à pour équation $y=0$ on a $y=-x$

Correction :

On pose $z = x+iy$ avec $x$ et $y$ réels, et $z \neq -1$. On a $Z = \frac{x+iy-2i}{x+iy+1} = \frac{x+i(y-2)}{x+1+iy} = \frac{(x+i(y-2))(x+1-iy)}{(x+1+iy)(x+1-iy)} = \frac{x(x+1)+y(y-2) + i(...)}{(x+1)^2+y^2}$

$Z$ est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle. Calculons cette partie imaginaire :

$ (y-2)(x+1)-xy = xy -2x +y -2 -xy = -2x+y-2$.

L'ensemble cherché vérifie donc $-2x+y-2 = 0$, soit $y=2x+2$. C'est l'équation d'une droite.

Le point $B(-1,0)$ d'affixe $-1$ est à exclure car on doit avoir $z \neq -1$. Cette droite passe par le point $A(0,2)$ et le point $B(-1,0)$ est exclu.

Correction :

On pose $z = x+iy$ avec $x$ et $y$ réels et $z \neq -2i$. $Z = \frac{x+iy-3}{x+iy+2i} = \frac{x-3+iy}{x+i(y+2)} = \frac{(x-3+iy)(x-i(y+2))}{(x+i(y+2))(x-i(y+2))} = \frac{(x-3)x+y(y+2)+i(...)}{x^2+(y+2)^2}$.

On complète les carrés : $(x-\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + (y+1)^2 - 1 = 0$.

$(x-\frac{3}{2})^2 + (y+1)^2 = \frac{13}{4}$.

C'est l'équation d'un cercle de centre $(\frac{3}{2}, -1)$ et de rayon $\frac{\sqrt{13}}{2}$. Il faut exclure le point d'affixe $-2i$ (c'est-à-dire de coordonnées $(0, -2)$) car on a supposé $z \neq -2i$.