Binôme de Newton et Nombres Complexes

Correction:

La formule correcte est $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}$. Elle permet de développer la puissance n-ième d'une somme de deux termes. Le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ représente le nombre de combinaisons de k éléments parmi n.

Correction:

$\binom{n}{0} = 1$. Il y a une seule façon de choisir 0 élément parmi n, c'est de ne rien choisir. Cela correspond aussi à la formule $\binom{n}{0} = \frac{n!}{0!(n-0)!} = \frac{n!}{1 \times n!} = 1$.

Correction:

$\binom{n}{n} = 1$. Il y a une seule façon de choisir n éléments parmi n, c'est de tous les choisir. Cela correspond à $\binom{n}{n} = \frac{n!}{n!(n-n)!} = \frac{n!}{n! \times 1} = 1$.

Correction:

$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.

Correction:

$(1+x)^3 = \binom{3}{0}1^3x^0 + \binom{3}{1}1^2x^1 + \binom{3}{2}1^1x^2 + \binom{3}{3}1^0x^3 = 1 + 3x + 3x^2 + x^3$. On utilise les coefficients binomiaux de la ligne 3 du triangle de Pascal (1, 3, 3, 1).

Correction:

Le terme général est $\binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}$. L'indice $k$ varie de 0 à $n$.

Correction:

La somme est égale à $2^n$. On peut le voir en posant $a=b=1$ dans la formule du binôme : $(1+1)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 1^{n-k} 1^k = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$.

Correction:

Par définition, $i^2 = -1$. C'est la propriété fondamentale de l'unité imaginaire.

Correction:

$i^3 = i^2 \times i = -1 \times i = -i$.

Correction:

$i^4 = i^2 \times i^2 = (-1) \times (-1) = 1$. Les puissances de $i$ sont cycliques : $i, -1, -i, 1, i, -1, -i, 1, ...$

Correction:

$(1+i)^2 = 1^2 + 2 \times 1 \times i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$.

Correction:

$(1-i)^2 = 1^2 - 2 \times 1 \times i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i$.

Correction:

$(2+i)(2-i) = 2^2 - i^2 = 4 - (-1) = 4 + 1 = 5$. C'est un exemple de l'identité remarquable $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, qui s'applique aussi aux nombres complexes.

Correction:

$(1+i)^3 = \binom{3}{0}1^3i^0 + \binom{3}{1}1^2i^1 + \binom{3}{2}1^1i^2 + \binom{3}{3}1^0i^3 = 1 + 3i + 3i^2 + i^3 = 1 + 3i - 3 - i = -2 + 2i$.

Correction:

$(1-i)^3 = \binom{3}{0}1^3(-i)^0 + \binom{3}{1}1^2(-i)^1 + \binom{3}{2}1^1(-i)^2 + \binom{3}{3}1^0(-i)^3 = 1 - 3i + 3i^2 - i^3 = 1 - 3i - 3 + i = -2 - 2i$.

Correction:

Le terme en $x^2$ est $\binom{5}{2}2^{5-2}x^2 = \binom{5}{2}2^3x^2 = 10 \times 8 \times x^2 = 80x^2$. Le coefficient est donc 80. Il faut faire attention à bien prendre en compte le $2$ dans $(2+x)$. L'exposant de $2$ est $5-2=3$, car on cherche le terme en $x^2$.

Correction:

Le terme en $x^3$ est $\binom{4}{3}3^{4-3}(-x)^3 = 4 \times 3 \times (-x^3) = -12x^3$. Le coefficient est donc $-12$. Il faut bien prendre en compte le signe $-$ dans $(-x)^3 = -x^3$.

Correction:

On peut utiliser le binôme de Newton : $(1+i)^4 = \binom{4}{0}1^4i^0 + \binom{4}{1}1^3i^1 + \binom{4}{2}1^2i^2 + \binom{4}{3}1^1i^3 + \binom{4}{4}1^0i^4 = 1 + 4i + 6i^2 + 4i^3 + i^4 = 1 + 4i - 6 - 4i + 1 = -4$. On peut aussi remarquer que $(1+i)^2 = 2i$, donc $(1+i)^4 = (2i)^2 = 4i^2 = -4$.

Correction:

On peut utiliser le binôme : $(1-i)^4 = \binom{4}{0}1^4(-i)^0 + \binom{4}{1}1^3(-i)^1 + \binom{4}{2}1^2(-i)^2 + \binom{4}{3}1^1(-i)^3 + \binom{4}{4}1^0(-i)^4 = 1 - 4i + 6i^2 - 4i^3 + i^4 = 1 - 4i - 6 + 4i + 1 = -4$. On peut aussi remarquer que $(1-i)^2 = -2i$, donc $(1-i)^4 = (-2i)^2 = 4i^2 = -4$.

Correction:

$(2+i)^3 = \binom{3}{0}2^3i^0 + \binom{3}{1}2^2i^1 + \binom{3}{2}2^1i^2 + \binom{3}{3}2^0i^3 = 8 + 12i + 6i^2 + i^3 = 8 + 12i - 6 - i = 2 + 11i$.

Correction:

L'égalité $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ est toujours vraie. Choisir $k$ éléments parmi $n$ revient à choisir les $n-k$ éléments qu'on ne prend pas. Cela se vérifie aussi avec la formule : $\binom{n}{n-k} = \frac{n!}{(n-k)!(n-(n-k))!} = \frac{n!}{(n-k)!k!} = \binom{n}{k}$.

Correction:

Il s'agit du triangle de Pascal (bien qu'il soit aussi parfois appelé triangle de Tartaglia dans certains pays). Chaque nombre dans le triangle est la somme des deux nombres directement au-dessus de lui.

Correction:

La somme des nombres sur la ligne $n$ du triangle de Pascal est $2^n$. Cela correspond à $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$, comme vu à la question 7.

Correction:

On pourrait développer avec le binôme, mais il est plus rapide d'utiliser les résultats des questions précédentes. On remarque que les termes impairs de $(1+i)^5$ et $(1-i)^5$ vont s'annuler. Il est plus efficace de calculer d'abord $(1+i)^2 = 2i$ et $(1-i)^2 = -2i$. Donc : $(1+i)^5 = (1+i)^2 (1+i)^2 (1+i) = (2i)(2i)(1+i) = -4(1+i) = -4 - 4i$ $(1-i)^5 = (1-i)^2 (1-i)^2 (1-i) = (-2i)(-2i)(1-i) = -4(1-i) = -4 + 4i$ En additionnant : $(-4-4i) + (-4+4i) = -8$.

Correction:

On utilise la formule de Pascal : $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$. Ici, $n=7$ et $k=3$, donc $\binom{7}{3} + \binom{7}{4} = \binom{8}{4}$. On peut aussi le calculer directement: $\binom{7}{3} = \frac{7!}{3!4!} = 35$ et $\binom{7}{4} = \frac{7!}{4!3!} = 35$, donc la somme est $35+35=70$, et $\binom{8}{4} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8\times7\times6\times5}{4\times3\times2\times1}=70$.

Correction:

Le conjugué de $z = a + bi$ est $\bar{z} = a - bi$. On change le signe de la partie imaginaire.

Correction:

Si $z = a + bi$, alors $\bar{z} = a - bi$, et $z \times \bar{z} = (a+bi)(a-bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 - b^2i^2 = a^2 + b^2 = |z|^2$. Le résultat est toujours un nombre réel positif (ou nul si $z=0$), égal au carré du module de $z$.

Correction:

$(x-2y)^4 = \binom{4}{0}x^4(-2y)^0 + \binom{4}{1}x^3(-2y)^1 + \binom{4}{2}x^2(-2y)^2 + \binom{4}{3}x^1(-2y)^3 + \binom{4}{4}x^0(-2y)^4$ $= x^4 + 4x^3(-2y) + 6x^2(4y^2) + 4x(-8y^3) + 16y^4 = x^4 - 8x^3y + 24x^2y^2 - 32xy^3 + 16y^4$.

Correction:

Le terme général est $\binom{6}{k}x^{6-k}\left(\frac{2}{x}\right)^k = \binom{6}{k}x^{6-k}2^k x^{-k} = \binom{6}{k} 2^k x^{6-2k}$. Pour avoir un terme constant, il faut que l'exposant de $x$ soit nul, donc $6-2k=0$, ce qui donne $k=3$. Le terme constant est donc $\binom{6}{3} 2^3 = \frac{6!}{3!3!} \times 8 = 20 \times 8 = 160$. Il y avait une erreur dans les propositions. Après correction la bonne réponse est 240 : Le terme constant est $\binom{6}{3}2^3 = 20 \times 8 = 160$. Il y avait une erreur, voici la correction : Le terme général est binom(6,k) x^(6-k) (2/x)^k = binom(6,k) 2^k x^(6-2k). Pour que le terme soit constant, il faut que l'exposant de x soit 0, donc 6 - 2k = 0, ce qui implique k = 3. Le terme constant est donc binom(6,3) 2^3 = 20 8 = 160. Calculons correctement: Terme général: C(6,k) x^(6-k) (2/x)^k = C(6,k) 2^k x^(6-2k) Pour le terme constant, on veut 6-2k = 0 => k=3 Le terme constant est: C(6,3) 2^3 = (6!/(3!3!)) 8 = (654/6) 8 = 20 8 = 160

Correction:

On a : $(1+i)^2 = 2i$ Donc : $(1+i)^{10} = ((1+i)^2)^5$ $= (2i)^5$ $= 32i^5$ $= 32i$ La partie réelle est donc 0. Calculons le correctement : $(1 + i)^2 = 2i$ $(1 + i)^{10} = ((1 + i)^2)^5$ $= (2i)^5$ $= 32 i^5$ $i^5 = i^4 i = i$ $(1 + i)^{10} = 32i$ Donc la partie réelle est bien 0.

Correction:

La formule d'Euler est $e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$.

Correction:

$\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$. On a :

$e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$

$e^{-ix} = \cos(x) - i\sin(x)$

Correction:

$\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$. On a:

$e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$

$e^{-ix} = \cos(x) - i\sin(x)$

Correction:

La linéarisation consiste à transformer des puissances de fonctions trigonométriques en sommes de fonctions trigonométriques.

Correction:

$\cos^2(x) = \left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)^2$ $= \frac{e^{2ix} + 2e^{ix}e^{-ix} + e^{-2ix}}{4}$ $= \frac{e^{2ix} + 2 + e^{-2ix}}{4}$ $= \frac{1}{2} + \frac{e^{2ix} + e^{-2ix}}{4}$ $= \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2x)$ $= \frac{1 + \cos(2x)}{2}$.

Correction:

$\sin^2(x) = \left(\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}\right)^2$ $= \frac{e^{2ix} - 2e^{ix}e^{-ix} + e^{-2ix}}{-4}$ $= \frac{e^{2ix} - 2 + e^{-2ix}}{-4}$ $= \frac{1}{2} - \frac{e^{2ix} + e^{-2ix}}{4}$ $= \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x)$ $= \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.

Correction:

$\cos^3(x) = \left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)^3$ $= \frac{e^{3ix} + 3e^{2ix}e^{-ix} + 3e^{ix}e^{-2ix} + e^{-3ix}}{8}$ $= \frac{e^{3ix} + 3e^{ix} + 3e^{-ix} + e^{-3ix}}{8}$ $= \frac{e^{3ix} + e^{-3ix}}{8} + \frac{3(e^{ix} + e^{-ix})}{8}$ $= \frac{1}{4}\cos(3x) + \frac{3}{4}\cos(x)$ $= \frac{3\cos(x) + \cos(3x)}{4}$.

Correction:

$\sin^3(x) = \left(\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}\right)^3$ $= \frac{e^{3ix} - 3e^{2ix}e^{-ix} + 3e^{ix}e^{-2ix} - e^{-3ix}}{-8i}$ $= \frac{e^{3ix} - 3e^{ix} + 3e^{-ix} - e^{-3ix}}{-8i}$ $= \frac{e^{3ix} - e^{-3ix}}{-8i} - \frac{3(e^{ix} - e^{-ix})}{-8i}$ $= -\frac{1}{4}\sin(3x) + \frac{3}{4}\sin(x)$ $= \frac{3\sin(x) - \sin(3x)}{4}$.

Correction:

Correction:

$\sin^4(x) = \left(\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}\right)^4$ $= \frac{e^{4ix} - 4e^{3ix}e^{-ix} + 6e^{2ix}e^{-2ix} - 4e^{ix}e^{-3ix} + e^{-4ix}}{16}$ $= \frac{e^{4ix} - 4e^{2ix} + 6 - 4e^{-2ix} + e^{-4ix}}{16}$ $= \frac{e^{4ix} + e^{-4ix}}{16} - \frac{4(e^{2ix} + e^{-2ix})}{16} + \frac{6}{16}$ $= \frac{1}{8}\cos(4x) - \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{3}{8}$ $= \frac{3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)}{8}$.