D. BENMAKHLOUF
Maths$^{EXPERTES}$
Chapitre 1
Nombres complexes 1 : point de vue algébrique
- Ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes. Partie réelle et partie imaginaire. Opérations.
- Conjugaison. Propriétés algébriques.
- Inverse d'un nombre complexe non nul.
- Solutions complexes d'une équation du second degré à coefficients réels.
Chapitre 2
Arithmétique 1 : Divisibilité, congruences
- Divisibilité dans $\mathbb{Z}$.
- Division euclidienne d'un élément de $\mathbb{Z}$ par un élément de $\mathbb{N}^*$.
- Congruences dans $\mathbb{Z}$. Compatibilité des congruences avec les opérations.
Chapitre 3
Matrices 1 : Calculs
- Notion de matrice (tableau de nombres réels).
- Matrice carrée, matrice colonne, matrice ligne.
- Opérations. Inverse, puissances d'une matrice carrée.
- Exemples de calcul de puissances de matrices carrées d'ordre 2 ou 3.
- Exemples de représentations matricielles : transformations géométriques du plan ; systèmes linéaires.
Chapitre 4
Nombres complexes 2 : point de vue géométrique
- Image d'un nombre complexe. Image du conjugué.
- Affixe d'un point, d'un vecteur.
- Module d'un nombre complexe. Interprétation géométrique.
- Relation $|z|^2 = z\overline{z}$ . Module d'un produit, d'un inverse.
- Arguments d'un nombre complexe non nul.
- Interprétation géométrique.
- Forme trigonométrique.
- Formules d'addition et de duplication à partir du produit scalaire.
- Exponentielle imaginaire, notation $e^{i\theta}$. Relation fonctionnelle. Forme exponentielle d'un nombre complexe.
- Formules d'Euler.
- Formule de Moivre.
- Interprétation géométrique du module et d'un argument de $(c-a)/(b-a)$
Chapitre 5
Arithmétique 2 : Gauss, Bézout
- PGCD de deux entiers. Algorithme d'Euclide.
- Couples d'entiers premiers entre eux.
- Théorème de Bézout.
- Théorème de Gauss.
- Exercice de cryptographie mélangeant matrices et équation $ax \equiv 1 \pmod{26}$ (donc équation diophantienne)
Chapitre 6
Matrices 2 : Graphes
- Graphe, sommets, arêtes. Exemple du graphe complet.
- Sommets adjacents, degré, ordre d'un graphe, chaîne, longueur d'une chaîne, graphe connexe.
- Exemples de représentations matricielles : matrice d'adjacence d'un graphe.
Chapitre 7
Complexes 3 : Polynômes
- Factorisation de $z^n - a^n$ par $z - a$.
- Si $P$ est un polynôme et $P(a) = 0$, factorisation de $P$ par $z - a$.
- Un polynôme de degré $n$ admet au plus $n$ racines.
Chapitre 8
Complexes 4 : Racines n-ièmes
- Ensemble $\mathbb{U}$ des nombres complexes de module 1. Stabilité de $\mathbb{U}$ par produit et passage à l'inverse.
- Racines n-ièmes de l'unité. Description de l'ensemble $\mathbb{U}_n$ des racines n-ièmes de l'unité.
- Représentation géométrique.
- Cas particuliers : $n = 2, 3, 4$
Chapitre 9
Arithmétique 3 : Nombres premiers, Fermat
- Nombres premiers. Leur ensemble est infini.
- Existence et unicité de la décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers.
- Petit théorème de Fermat.
Chapitre 10
Graphes probabilistes
- Exemples de représentations matricielles : suites récurrentes.
- Suite de matrices colonnes $(U_n)$ vérifiant une relation de récurrence du type $U_{n+1} = AU_n + C$.
- Graphe orienté pondéré associé à une chaîne de Markov à deux ou trois états.
- Chaîne de Markov à deux ou trois états. Distribution initiale, représentée par une matrice ligne $\pi_0$. Matrice de transition, graphe pondéré associé.
- Pour une chaîne de Markov à deux ou trois états de matrice $P$, interprétation du coefficient $(i,j)$ de $P^n$.
- Distribution après $n$ transitions, représentée comme la matrice ligne $\pi_0 P^n$.
- Distributions invariantes d'une chaîne de Markov à deux ou trois états.