Fonctions Trigonométriques

Correction :

1) Positivité de la fonction f :
Rappel sur le cosinus : Pour tout nombre réel $x$ dans l'intervalle $[0; 2\pi]$, la fonction cosinus a une valeur comprise entre -1 et 1, c'est-à-dire $-1 \leq \cos(x) \leq 1$.
Multiplication par -1.5 : En multipliant chaque membre de cette inégalité par -1.5 (un nombre négatif), on inverse le sens des inégalités : $-1.5 \times -1 \geq -1.5 \times \cos(x) \geq -1.5 \times 1$, ce qui donne $1.5 \geq -1.5\cos(x) \geq -1.5$.
Ajout de 1.5 : En ajoutant 1.5 à chaque membre de l'inégalité, on obtient : $1.5 + 1.5 \geq -1.5\cos(x) + 1.5 \geq -1.5 + 1.5$, ce qui se simplifie en $3 \geq -1.5\cos(x) + 1.5 \geq 0$.
Conclusion : Comme $f(x) = -1.5\cos(x) + 1.5$, on a démontré que $3 \geq f(x) \geq 0$ pour tout $x$ dans $[0; 2\pi]$. La fonction $f$ est donc bien positive sur cet intervalle.

2) Calcul de l'aire :
Interprétation géométrique : La courbe $\mathcal{C}_{2}$ représente la fonction $-f(x)$, qui est l'opposée de $f(x)$. L'aire $\mathcal{A}$ correspond à l'aire totale entre les deux courbes sur l'intervalle $[0; 2\pi]$.
Symétrie : Comme $\mathcal{C}_{2}$ est la symétrique de $\mathcal{C}_{1}$ par rapport à l'axe des abscisses, l'aire entre $\mathcal{C}_{1}$ et l'axe des abscisses est égale à l'aire entre $\mathcal{C}_{2}$ et l'axe des abscisses.
Aire sous la courbe : L'aire $\mathcal{A}$ est donc le double de l'aire sous la courbe $\mathcal{C}_{1}$ entre $0$ et $2\pi$. On la calcule avec une intégrale : \begin{align*} \mathcal{A} &= 2 \int_{0}^{2\pi} f(x) dx \\ &= 2 \int_{0}^{2\pi} (-1.5\cos(x) + 1.5) dx \\ &= 2 \left[ -1.5\sin(x) + 1.5x \right]_{0}^{2\pi} \\ &= 2 \left[ (-1.5\sin(2\pi) + 1.5(2\pi)) - (-1.5\sin(0) + 1.5(0)) \right] \\ &= 2 \left[ 0 + 3\pi - 0 - 0 \right] \\ &= 6\pi \end{align*}
Conclusion : L'aire $\mathcal{A}$ est donc égale à $6\pi$ unités d'aire.

Correction :

1) Encadrement de f(x) :
Rappels : Pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a $-1 \leq \cos(x) \leq 1$ et $-1 \leq \sin(x) \leq 1$.
Inégalités : On en déduit que $-1 \leq -\cos(x) \leq 1$ et $0 \leq \sin(x) + 1 \leq 2$.
Somme des inégalités : En additionnant membre à membre, on obtient $-1 \leq -\cos(x) + \sin(x) + 1 \leq 3$.
Multiplication par e^-x : Comme $e^{-x}$ est toujours positif, on peut multiplier les inégalités sans en changer le sens : $-e^{-x} \leq e^{-x}(-\cos(x) + \sin(x) + 1) \leq 3e^{-x}$.
Conclusion : On a donc bien $-e^{-x} \leq f(x) \leq 3e^{-x}$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

2) Limite de f en +∞ :
Limite de e^-x : On sait que $\lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0$.
Limites de -e^-x et 3e^-x : Donc, $\lim_{x \to +\infty} -e^{-x} = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} 3e^{-x} = 0$.
Théorème des gendarmes : Comme $-e^{-x} \leq f(x) \leq 3e^{-x}$, d'après le théorème des gendarmes, on conclut que $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$.

3) Calcul de f'(x) :
Règle de dérivation d'un produit : On utilise la formule $(uv)' = u'v + uv'$ avec $u(x) = e^{-x}$ et $v(x) = -\cos(x) + \sin(x) + 1$.
Dérivées de u et v : On a $u'(x) = -e^{-x}$ et $v'(x) = \sin(x) + \cos(x)$.
Application de la formule : \begin{align*} f'(x) &= (-e^{-x})(-\cos(x) + \sin(x) + 1) + e^{-x}(\sin(x) + \cos(x)) \\ &= e^{-x}(\cos(x) - \sin(x) - 1) + e^{-x}(\sin(x) + \cos(x)) \\ &= e^{-x}(2\cos(x) - 1) \end{align*}
Conclusion : On a bien $f'(x) = e^{-x}(2\cos(x) - 1)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

a) Signe de f'(x) sur [-π; π] :
Signe de e^-x : Comme $e^{-x} > 0$ pour tout $x$, le signe de $f'(x)$ est le même que celui de $2\cos(x) - 1$.
Résolution de l'inégalité : On résout $2\cos(x) - 1 \geq 0$, ce qui équivaut à $\cos(x) \geq \frac{1}{2}$.
Solution sur [-π; π] : Sur l'intervalle $[-\pi;\pi]$, $\cos(x) \geq \frac{1}{2}$ lorsque $x \in [-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{3}]$.
Conclusion : Donc, $f'(x) \geq 0$ sur $[-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{3}]$ et $f'(x) \leq 0$ sur $[-\pi;-\frac{\pi}{3}] \cup [\frac{\pi}{3};\pi]$.

b) Variations de f sur [-π; π] :
Tableau de variations :
$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\pi & & -\frac{\pi}{3} & & \frac{\pi}{3} & & \pi \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & \\ f(x) & f(-\pi) & & f(-\frac{\pi}{3}) & & f(\frac{\pi}{3}) & & f(\pi) \\ \hline \end{array}$
Conclusion : $f$ est décroissante sur $[-\pi;-\frac{\pi}{3}]$, croissante sur $[-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{3}]$, et décroissante sur $[\frac{\pi}{3};\pi]$.

1) Position relative de C_f et C_g :
Différence f(x) - g(x) : \begin{align*} f(x) - g(x) &= e^{-x}(-\cos(x) + \sin(x) + 1) - (-e^{-x}\cos(x)) \\ &= e^{-x}(-\cos(x) + \sin(x) + 1 + \cos(x)) \\ &= e^{-x}(\sin(x) + 1) \end{align*}
Signe de f(x) - g(x) : Comme $e^{-x} > 0$ et $-1 \leq \sin(x) \leq 1$, on a $\sin(x) + 1 \geq 0$. Donc, $f(x) - g(x) \geq 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
Conclusion : Ainsi, $\mathcal{C}_{f}$ est au-dessus de $\mathcal{C}_{g}$ sur $\mathbb{R}$.

a) Hachurage du domaine D :
Le domaine $\mathcal{D}$ est la surface comprise entre les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ pour $x$ allant de $-\frac{\pi}{2}$ à $\frac{3\pi}{2}$. Il faut donc hachurer la zone correspondante sur le graphique. (Impossible à réaliser ici, mais à faire sur la copie.)

b) Calcul de l'aire du domaine D :
Formule de l'aire : L'aire du domaine $\mathcal{D}$ est donnée par : \begin{align*} \mathcal{A} &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} (f(x) - g(x)) dx \\ &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} e^{-x}(\sin(x) + 1) dx \\ &= \left[ H(x) \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \\ &= H\left(\frac{3\pi}{2}\right) - H\left(-\frac{\pi}{2}\right) \\ &= \left(-\frac{\cos(\frac{3\pi}{2})}{2}-\frac{\sin(\frac{3\pi}{2})}{2}-1\right)e^{-\frac{3\pi}{2}} - \left(-\frac{\cos(-\frac{\pi}{2})}{2}-\frac{\sin(-\frac{\pi}{2})}{2}-1\right)e^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \left(0 - \frac{-1}{2} - 1\right)e^{-\frac{3\pi}{2}} - \left(0 - \frac{-1}{2} - 1\right)e^{\frac{\pi}{2}} \\ &= -\frac{1}{2}e^{-\frac{3\pi}{2}} + \frac{1}{2}e^{\frac{\pi}{2}} \end{align*}
Aire en unités d'aire : L'aire est donc $\frac{1}{2}(e^{\frac{\pi}{2}} - e^{-\frac{3\pi}{2}})$.
Aire en cm² : Comme l'unité graphique est de 2 cm, 1 unité d'aire vaut $2 \times 2 = 4$ cm². Donc, l'aire en cm² est : $4 \times \frac{1}{2}(e^{\frac{\pi}{2}} - e^{-\frac{3\pi}{2}}) = 2(e^{\frac{\pi}{2}} - e^{-\frac{3\pi}{2}}) \approx 9.55$ cm².

Correction :

1) Expression de tan α et tan β :
Dans le triangle rectangle ETA : $\tan\alpha = \frac{EA}{ET} = \frac{25}{x}$.
Dans le triangle rectangle ETB : $\tan\beta = \frac{EB}{ET} = \frac{25+5.6}{x} = \frac{30.6}{x}$.

2) Croissance stricte de la fonction tangente :
Dérivée de la fonction tangente : La fonction tangente est dérivable sur $]0 ;\frac{\pi}{2}[$ et sa dérivée est $\tan'(x) = 1 + \tan^2(x)$.
Signe de la dérivée : Comme $\tan^2(x) \geq 0$ pour tout $x$, on a $\tan'(x) = 1 + \tan^2(x) > 0$ sur $]0 ;\frac{\pi}{2}[$.
Conclusion : La dérivée de la fonction tangente étant strictement positive sur $]0 ;\frac{\pi}{2}[$, la fonction tangente est strictement croissante sur cet intervalle.

3) Expression de tan γ :
Relation entre les angles : On a $\gamma = \beta - \alpha$.
Formule de tan(a - b) : En utilisant la formule donnée, on a : \begin{align*} \tan\gamma &= \tan(\beta - \alpha) \\ &= \frac{\tan\beta - \tan\alpha}{1 + \tan\beta \tan\alpha} \\ &= \frac{\frac{30.6}{x} - \frac{25}{x}}{1 + \frac{30.6}{x} \times \frac{25}{x}} \\ &= \frac{\frac{5.6}{x}}{1 + \frac{765}{x^2}} \\ &= \frac{5.6x}{x^2 + 765} \end{align*}

4) Lien entre l'angle maximum et le minimum de f(x) :
Croissance de la fonction tangente : Comme la fonction tangente est strictement croissante sur $]0 ;\frac{\pi}{2}[$, $\gamma$ est maximum lorsque $\tan\gamma$ est maximum.
Expression de tan γ : On a $\tan\gamma = \frac{5.6x}{x^2 + 765}$.
Maximisation de tan γ : Maximiser $\tan\gamma$ revient à minimiser le dénominateur $x^2 + 765$ et maximiser le numérateur $5.6x$.
Fonction g(x) : On considère la fonction $g(x) = \frac{1}{\tan\gamma} = \frac{x^2 + 765}{5.6x} = \frac{x}{5.6} + \frac{765}{5.6x}$.
Lien entre g(x) et f(x) : Minimiser $g(x)$ revient à maximiser $\tan\gamma$. On a $g(x) = \frac{1}{5.6}f(x)$, où $f(x) = x + \frac{765}{x}$. Donc, minimiser $g(x)$ revient à minimiser $f(x)$.
Dérivée de f(x) : $f'(x) = 1 - \frac{765}{x^2}$.
Recherche du minimum :

$f'(x) = 0$ si $x^2 = 765$, soit $x = \sqrt{765}$ (car $x > 0$).

$f'(x) > 0$ si $x^2 > 765$, soit $x > \sqrt{765}$.

$f'(x) < 0$ si $x^2 < 765$, soit $x < \sqrt{765}$.

Correction :

1) Conjectures :
a) On peut conjecturer que $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0$.
b) On peut conjecturer que $\mathscr{C}_{f}$ est en dessous de $\mathscr{C}_{g}$.
c) On peut conjecturer que l'écart maximal est atteint pour $x = \frac{3\pi}{4}$.

2) Position relative de C_g et C_f :
Pour tout $x \in [0; +\infty[$, $h(x) = g(x) - f(x) = e^{-x} - e^{-x}\cos(x) = e^{-x}(1 - \cos(x))$. Comme $e^{-x} > 0$ et $-1 \leq \cos(x) \leq 1$, on a $1 - \cos(x) \geq 0$. Donc, $h(x) \geq 0$, ce qui signifie que $g(x) \geq f(x)$ pour tout $x \in [0; +\infty[$. Ainsi, $\mathscr{C}_{g}$ est située au-dessus de $\mathscr{C}_{f}$ sur $[0 ;+\infty[$.

3) Asymptote horizontale :
On a $\lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0$. Comme $-1 \leq \cos(x) \leq 1$, on a $-e^{-x} \leq e^{-x}\cos(x) \leq e^{-x}$. Par le théorème des gendarmes, $\lim_{x \to +\infty} e^{-x}\cos(x) = 0$. Donc, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0$. Ainsi, la droite d'équation $y=0$ est asymptote horizontale aux courbes $\mathscr{C}_{f}$ et $\mathscr{C}_{g}$.

4) a) Calcul de h'(x) :
$h(x) = e^{-x} - e^{-x}\cos(x)$. $h'(x) = -e^{-x} - (-e^{-x}\cos(x) - e^{-x}\sin(x)) = -e^{-x} + e^{-x}\cos(x) + e^{-x}\sin(x) = e^{-x}(\cos(x) + \sin(x) - 1)$. En utilisant l'égalité donnée, $h'(x) = e^{-x}\left(\sqrt{2}\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right) - 1\right)$.

b) Signe de h'(x) :
$\sqrt{2}\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)-1 \geq 0 \Leftrightarrow \cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right) \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$. Sur $\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$, $x-\frac{\pi}{4} \in \left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}\right]$. Sur cet intervalle, $\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right) \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$ est vrai. Sur $\left[\frac{\pi}{2};2\pi\right]$, $x-\frac{\pi}{4} \in \left[\frac{\pi}{4};\frac{7\pi}{4}\right]$. Sur cet intervalle, $\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right) \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$ est faux sur $\left[\frac{\pi}{2};\pi\right]$ et vrai sur $\left[\pi;2\pi\right]$

c) Tableau de variation de h :
$h'(x) = 0$ si $\sqrt{2}\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right) - 1 = 0$, soit $\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Sur $[0; 2\pi]$, $x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$ ou $x - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$. Donc, $x = \frac{\pi}{2}$ ou $x = 2\pi$. On a $h'(x) \geq 0$ sur $\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$ et $h'(x) \leq 0$ sur $\left[\frac{\pi}{2};2\pi\right]$. $h(0) = e^0(1 - \cos(0)) = 0$. $h\left(\frac{\pi}{2}\right) = e^{-\frac{\pi}{2}}(1 - \cos(\frac{\pi}{2})) = e^{-\frac{\pi}{2}}$. $h(2\pi) = e^{-2\pi}(1 - \cos(2\pi)) = 0$.

5) Calcul de l'aire :
L'aire $\mathscr{A}$ est donnée par $\int_0^{2\pi} h(x) dx = H(2\pi) - H(0)$. $H(2\pi) = \frac{1}{2}e^{-2\pi}(-2 + \cos(2\pi) - \sin(2\pi)) = \frac{1}{2}e^{-2\pi}(-2 + 1 - 0) = -\frac{1}{2}e^{-2\pi}$. $H(0) = \frac{1}{2}e^0(-2 + \cos(0) - \sin(0)) = \frac{1}{2}(-2 + 1 - 0) = -\frac{1}{2}$. Donc, $\mathscr{A} = H(2\pi) - H(0) = -\frac{1}{2}e^{-2\pi} - (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}(1 - e^{-2\pi})$.

Correction :

1) L'aire demandée est $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} a\cos(x) dx = a \left[ \sin(x) \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = a(\sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{2})) = a(1 - (-1)) = 2a$.

2) L'aire du disque est $\pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \pi \frac{a^2}{4}$. L'aire grisée est l'aire sous la courbe moins l'aire du disque, soit $2a - \pi \frac{a^2}{4}$. On veut que l'aire du disque soit égale à l'aire grisée, donc $\pi \frac{a^2}{4} = 2a - \pi \frac{a^2}{4}$. Cela donne $\pi \frac{a^2}{2} = 2a$, soit $a(\pi \frac{a}{2} - 2) = 0$. Comme $a > 0$, on a $\pi \frac{a}{2} - 2 = 0$, soit $a = \frac{4}{\pi}$.