Fonctions Trigonométriques

Correction :

1. $f(0)$ :
Comme $f$ est impaire, on a $f(-x) = -f(x)$ pour tout $x$ réel. En particulier, pour $x = 0$, on a $f(0) = -f(0)$. La seule solution de cette équation est $f(0) = 0$. Donc, on peut déterminer $f(0)$, et $f(0) = 0$.

2. $f(1)$ :
Comme $f$ est impaire, $f(-1) = -f(1)$. Or $f(-1) = 3$, donc $-f(1) = 3$, ce qui implique $f(1) = -3$.

3. $f(2)$ :
Comme $f$ est périodique de période 4, on a $f(2) = f(2-4) = f(-2)$. Et comme $f$ est impaire, $f(-2) = -f(2)$. Donc $f(2) = -f(2)$, ce qui implique que $f(2) = 0$.

4. $f(3)$ :
Comme $f$ est périodique de période 4, on a $f(3) = f(3-4) = f(-1)$. Or $f(-1) = 3$, donc $f(3) = 3$.

Correction :

Une fonction impaire vérifie $f(-x) = -f(x)$. Sa courbe est donc symétrique par rapport à l'origine du repère. Ainsi, il suffit de l'étudier sur un intervalle positif, par exemple $[0; a]$ et d'en déduire le comportement sur $[-a; 0]$ par symétrie.

Une fonction périodique de période 4 vérifie $f(x+4) = f(x)$. Sa courbe se répète à l'identique tous les 4 unités en abscisse. Ainsi il suffit de l'étudier sur un intervalle de longueur 4.

En combinant ces deux propriétés, on peut restreindre l'étude de $f$ à un intervalle de longueur 2, centré en 0. Par exemple, on peut restreindre l'étude à l'intervalle $[0; 2]$ puis déduire le reste par symétrie par rapport à l'origine, et par translation de vecteurs de coordonnées $(4k; 0)$ avec $k$ entier relatif. On pourrait aussi restreindre l'étude à l'intervalle $[-1;1]$.

Correction :

Une fonction impaire a une courbe représentative symétrique par rapport à l'origine $(0, 0)$. Pour compléter la courbe, il suffit de prendre le symétrique de la partie déjà tracée par rapport à l'origine du repère.

Correction :

1. $f$ est à la fois paire et impaire :
Si $f$ est paire, $f(-x) = f(x)$. Si $f$ est impaire, $f(-x) = -f(x)$. Donc, pour tout $x$, $f(x) = -f(x)$, ce qui implique $2f(x) = 0$, donc $f(x) = 0$. La seule fonction à la fois paire et impaire est la fonction nulle $f(x) = 0$. Sa courbe est l'axe des abscisses.

2. $f$ est paire et strictement croissante :
C'est impossible. Si $f$ est paire, $f(-x) = f(x)$. Si $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, alors pour $x > 0$, on a $-x < 0 < x$, donc $f(-x) < f(0) < f(x)$. Mais comme $f(-x) = f(x)$, c'est impossible.
En fait une fonction paire ne peut pas être strictement monotone sur $\mathbb{R}$. Elle l'est forcément sur une partie positive de $\mathbb{R}$ et sur la partie négative de $\mathbb{R}$, mais les monotonies sont opposées.

3. $f$ est impaire et strictement décroissante :
C'est possible. Par exemple, la fonction $f(x) = -x$ est impaire et strictement décroissante sur $\mathbb{R}$. La fonction $f(x)=-x^3$ est aussi un bon exemple.

Correction :

1. $f$ est périodique de période 1 mais non de période 2 :
C'est possible. Par exemple, la fonction $f(x) = \sin(2\pi x)$ est périodique de période 1 car $\sin(2\pi(x+1)) = \sin(2\pi x + 2\pi) = \sin(2\pi x)$. Mais elle n'est pas périodique de période 2 car $\sin(2\pi(x+2)) = \sin(2\pi x + 4\pi) = \sin(2\pi x)$, ce qui ne permet pas de conclure que la fonction est périodique de période 2 (elle l'est de période 1, mais 1 est un diviseur de 2).
Il faut faire attention à ce que la fonction ne soit pas constante pour que sa plus petite période soit 1.
Un exemple de fonction qui marche serait la fonction partie entière (noté $E$) qui à un réel $x$ associe l'unique entier relatif $n$ tel que $n ≤ x < n+1$. Cette fonction est périodique de période 1, mais pas de période 2.

2. $f$ est périodique de période 2 mais non de période 1 :
C'est possible. Par exemple, la fonction $f(x) = \sin(\pi x)$ est périodique de période 2 car $\sin(\pi(x+2)) = \sin(\pi x + 2\pi) = \sin(\pi x)$. Mais elle n'est pas périodique de période 1 car $\sin(\pi(x+1)) = \sin(\pi x + \pi) = -\sin(\pi x)$.
Il faut faire attention à ce que la fonction ne soit pas constante pour que sa plus petite période soit 2.

3. $f$ est périodique de périodes 2 et 3 :
C'est possible. Une fonction périodique de périodes 2 et 3 est aussi périodique de période $|3-2| = 1$. Elle est donc aussi périodique de toute période entière, et notamment de $pgcd(2,3)=1$. Par exemple la fonction $f(x) = \sin(2\pi x)$ est périodique de période 1, et donc aussi de périodes 2 et 3.
Une fonction constante est un exemple trivial de fonction périodique de période 2 et 3.

Correction :

1. Si $f$ n'est pas paire, alors elle est impaire. Faux. Une fonction peut n'être ni paire ni impaire. Exemple : $f(x) = x + 1$.

2. Si $f$ est paire, alors elle ne peut pas être impaire. Faux. La fonction nulle $f(x) = 0$ est à la fois paire et impaire.

3. Si $f$ est périodique, alors elle est définie sur $\mathbb{R}$. Vrai. Si $f$ est périodique de période $T$, alors pour tout $x$, $f(x+T)$ est défini. En itérant, $f(x+nT)$ est défini pour tout entier relatif $n$. Donc $f$ est définie sur $\mathbb{R}$.

4. Si $f(3)=f(-3)=-f(-3)$, alors $f$ est à la fois paire et impaire. Faux. On a $f(3) = f(-3)$ et $f(3) = -f(-3)$, donc $f(3) = 0$ et $f(-3) = 0$. Cela n'implique pas que $f$ est paire et impaire. Pour que $f$ soit à la fois paire et impaire, il faudrait que $f(x) = f(-x) = -f(-x)$ pour tout $x$, ce qui implique $f(x) = 0$ pour tout $x$.

5. Si $f$ est définie en 3 mais pas en -3, alors $f$ n'est ni paire ni impaire. Vrai. Si $f$ était paire ou impaire, $f(x)$ et $f(-x)$ seraient définis simultanément.

6. Si $f$ est périodique de période 3, alors elle est périodique de période 6. Vrai. Si $f(x+3) = f(x)$, alors $f(x+6) = f((x+3)+3) = f(x+3) = f(x)$.

7. Si $f$ est périodique de période 6, alors elle est périodique de période 3. Faux. Par exemple, $f(x) = \sin(\frac{\pi x}{3})$ est périodique de période 6, mais pas de période 3.

8. Si $f$ est impaire, alors $f$ est définie en 0 et $f(0)=0$. Vrai. Si $f$ est impaire, $f(-x) = -f(x)$. Pour $x = 0$, on a $f(0) = -f(0)$, donc $2f(0) = 0$, donc $f(0) = 0$.

9. Si $f$ est impaire et périodique de période 3, alors on peut restreindre son étude à $[-1,5; 0]$. Vrai. Comme $f$ est impaire, on peut restreindre l'étude à un intervalle de la forme $[-a; 0]$ ou $[0; a]$. Comme $f$ est périodique de période 3, on peut restreindre l'étude à un intervalle de longueur $\frac{3}{2}$ par exemple $[0; 1,5]$. En combinant les deux, on peut restreindre l'étude à $[-1,5; 0]$.

10. Si $f$ est impaire et périodique de période 3 avec $f(-1)=2$, alors $f(4)=-2$. Vrai. $f(4) = f(4-3) = f(1)$ car $f$ est périodique de période 3. Comme $f$ est impaire, $f(1) = -f(-1) = -2$.

Correction :

1. On complète d'abord sur $[0; 2]$ par symétrie centrale de centre $O$ (car $f$ impaire). Puis on complète sur $[-2,5; -2]$ et sur $[2; 5]$ par translation de vecteur $4\vec{i}$ (car $f$ périodique de période 4).

2. Sur l'intervalle $[0; 2]$, on lit graphiquement deux solutions : $0$ et une solution $x_0$ comprise entre $1,5$ et $2$ (environ $1,8$).
Par imparité, $-x_0$ est aussi solution.
Par périodicité, les solutions sont donc de la forme $4k$, $x_0 + 4k$ et $-x_0 + 4k$, avec $k$ entier relatif.
L'ensemble des solutions est donc $\{4k, x_0 + 4k, -x_0 + 4k, k \in \mathbb{Z}\}$ avec $x_0 \approx 1,8$.

Correction :

1. $f(-4,5) = f(-4,5 + 8) = f(3,5) = f(3,5 - 4) = f(-0,5) = -0,5$ car $-0,5 \in [-1; 0]$ et $f(x) = x$ sur cet intervalle.
$f(-1,5) = f(-1,5 + 4) = f(2,5) = f(2,5 - 4) = f(-1,5)$ (on tourne en rond).
Comme $f$ est impaire, $f(-1,5) = -f(1,5)$. Or $1,5 \in ]1; 2]$, donc $f(1,5) = (1,5 - 2)^2 = 0,25$. Donc $f(-1,5) = -0,25$.
$f(7) = f(7 - 8) = f(-1) = -1$ car $-1 \in [-1; 0]$ et $f(x) = x$ sur cet intervalle.

2. Pour que $f$ soit continue en 1, il faut que la limite à gauche de $f$ en 1 soit égale à la limite à droite de $f$ en 1, et que ces limites soient égales à $f(1)$.
Par périodicité, $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to (-3)^+} f(x)$. Comme $f$ est impaire, cette limite vaut $-\lim_{x \to 3^-} f(x) = -f(3)$.
Par périodicité, $-f(3)=-f(-1) = -(-1) = 1$, car $-1$ est dans l'intervalle $[-1;0]$.
On a $f(1)= -f(-1)$ car $f$ est impaire, donc $f(1)=-(-1)=1$.
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = (1-2)^2 = 1$.
Comme $f(1) = \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = 1$, $f$ est continue en 1.

3. Sur $[-1; 0]$, $f(x) = x$, donc $f$ est croissante. Par imparité, $f$ est croissante sur $[0; 1]$.
Sur $]1; 2]$, $f(x) = (x-2)^2$, donc $f$ est décroissante (fonction carré décalée). Par imparité, $f$ est décroissante sur $[-2; -1[$.
Par périodicité, on en déduit les variations sur $[-5; 3]$ :
$f$ est croissante sur $[-5; -4]$, $[-3; -2]$, $[-1; 0]$, $[1; 2]$.
$f$ est décroissante sur $[-4; -3]$, $[-2; -1]$, $[0; 1]$, $[2; 3]$.

Correction :

1. $f(0)=0$. Faux. Contre-exemple : $f(x) = 1$ (fonction constante).

2. $f(5)=-f(5)$. Faux. Cela impliquerait $f(5) = 0$. Contre-exemple : $f(x) = 1$.

3. $f(5)=f(-5)$. Vrai. C'est la définition de la parité.

4. $f(5)=0$. Faux. Contre-exemple : $f(x) = 1$.
Cependant on peut dire que $f(5)=f(5-2\times2)=f(1)=f(-1)$ car $f$ est périodique de période 2 et paire.

Correction :

1. $f(x) = \frac{e^x + e^x}{2} = e^x$, qui n'est ni paire ni impaire.

2. $f(x) = \frac{e^x - e^x}{2} = 0$, qui est à la fois paire et impaire.

3. $f(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$.
$f(-x) = \frac{e^{-x} + e^{-(-x)}}{2} = \frac{e^{-x} + e^x}{2} = f(x)$, donc $f$ est paire.

4. $f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$.
$f(-x) = \frac{e^{-x} - e^{-(-x)}}{2} = \frac{e^{-x} - e^x}{2} = -\frac{e^x - e^{-x}}{2} = -f(x)$, donc $f$ est impaire.

Correction :

1. Comme $f$ est périodique de période 4, si $x$ est solution, alors $x + 4k$ l'est aussi pour tout entier relatif $k$.
Les solutions sur $[0; 4]$ sont 1 et 2,5. Donc les solutions sur $\mathbb{R}$ sont $1 + 4k$ et $2,5 + 4k$, avec $k$ entier relatif.

2. Si $f$ était impaire, $f(0) = 0$. Or 0 n'est pas solution sur $[0; 4]$. De plus, si $x$ est solution, $-x$ devrait l'être aussi, ce qui n'est pas le cas (par exemple, 1 est solution, mais -1 ne l'est pas forcément).

3. Si $f$ était paire, comme 1 est solution, -1 devrait l'être aussi. Or les seules solutions sur $[0; 4]$ sont 1 et 2,5, donc -1 n'est pas solution sur $[-4; 0]$, et par périodicité, -1 n'est pas solution.

Correction :

1. $g'(x) = -f'(-x)$ (dérivée de la composée de $x \mapsto -x$ et $f$).
$h'(x) = -f'(x)$ (dérivée de $-1 \times f(x)$).
$k'(x) = f'(x+T)$ (dérivée de la composée de $x \mapsto x+T$ et $f$).

2. Si $f$ est paire, $f(-x) = f(x)$. En dérivant, on obtient $-f'(-x) = f'(x)$, donc $f'(-x) = -f'(x)$. Donc $f'$ est impaire.

3. Si $f$ est impaire, $f(-x) = -f(x)$. En dérivant, on obtient $-f'(-x) = -f'(x)$, donc $f'(-x) = f'(x)$. Donc $f'$ est paire.

4. Si $f$ est périodique de période $T$, $f(x+T) = f(x)$. En dérivant, on obtient $f'(x+T) = f'(x)$. Donc $f'$ est périodique de période $T$.

Correction :

$\mathcal{C}_1 : h(x) = x \sin^2(x)$. $\mathcal{C}_1$ est toujours positive et s'annule en $x = k\pi$. De plus, elle est bornée par les droites $y = x$ et $y = -x$.

$\mathcal{C}_2 : f(x) = x \sin(x)$. $\mathcal{C}_2$ oscille entre les droites $y = x$ et $y = -x$. Elle s'annule en $x = k\pi$.

$\mathcal{C}_3 : g(x) = x^2 \sin(x)$. $\mathcal{C}_3$ oscille entre les paraboles $y = x^2$ et $y = -x^2$. Elle s'annule en $x = k\pi$.

Correction :

$\mathcal{C}_1 : h(x) = \sin(2x)$. $\mathcal{C}_1$ a la plus petite période ($\pi$).

$\mathcal{C}_2 : g(x) = \sin(x)$. $\mathcal{C}_2$ a une période de $2\pi$.

$\mathcal{C}_3 : f(x) = \sin(\frac{x}{2})$. $\mathcal{C}_3$ a la plus grande période ($4\pi$).

Correction :

1. $\mathcal{C}_2$ représente $f$ et $\mathcal{C}_1$ représente $f'$. Quand $\mathcal{C}_2$ a une tangente horizontale, $\mathcal{C}_1$ passe par 0. Quand $\mathcal{C}_2$ est croissante, $\mathcal{C}_1$ est positive. Quand $\mathcal{C}_2$ est décroissante, $\mathcal{C}_1$ est négative.

2. La plus petite période de $f$ ($\mathcal{C}_2$) semble être $2\pi$.

3. La plus petite période de $f'$ ($\mathcal{C}_1$) semble être $2\pi$ aussi.

Correction :

Il suffit de montrer que $s(t+7) = s(t)$ pour tout $t$.
$s(t+7) = 2\cos(\frac{2\pi (t+7)}{7}) - 2\sin(\frac{2\pi (t+7)}{7}) - \cos(\frac{4\pi (t+7)}{7}) + 4\sin(\frac{4\pi (t+7)}{7})$
$= 2\cos(\frac{2\pi t}{7} + 2\pi) - 2\sin(\frac{2\pi t}{7} + 2\pi) - \cos(\frac{4\pi t}{7} + 4\pi) + 4\sin(\frac{4\pi t}{7} + 4\pi)$
$= 2\cos(\frac{2\pi t}{7}) - 2\sin(\frac{2\pi t}{7}) - \cos(\frac{4\pi t}{7}) + 4\sin(\frac{4\pi t}{7})$ (car $\cos$ et $\sin$ sont $2\pi$-périodiques)
$= s(t)$.
Donc $s$ est périodique de période 7.

Correction :

La calculatrice de Yann est probablement réglée en degrés et non en radians. $\frac{\pi}{4}$ radians = 45 degrés. En degrés, $\cos(45°) \approx 0.707$ et $\sin(45°) \approx 0.707$. Or, $\frac{\pi}{4}$ degrés vaut environ 0.013. En radians, $\cos(0.013) \approx 0.9999$ et $\sin(0.013) \approx 0.013$.
La seule possibilité pour que $\cos(\frac{\pi}{4}) \approx 0.9999$ et $\sin(\frac{\pi}{4}) \approx 0.013$ est que $\frac{\pi}{4}$ soit exprimé en degrés, ce qui est probablement le cas ici.

Correction :

On peut utiliser les triangles rectangles remarquables :

$\frac{\pi}{6}$ (30°) : On trace un triangle équilatéral de côté 1 inscrit dans le cercle. L'angle au centre vaut 60° ($\frac{\pi}{3}$). La bissectrice de cet angle donne un angle de 30° ($\frac{\pi}{6}$).
$\frac{\pi}{3}$ (60°) : On trace un triangle équilatéral de côté 1 inscrit dans le cercle. L'angle au centre vaut 60° ($\frac{\pi}{3}$).
$\frac{\pi}{4}$ (45°) : On trace un carré inscrit dans le cercle. La diagonale du carré forme un angle de 45° ($\frac{\pi}{4}$) avec le côté.

Correction :

1. Sur $[0; \pi]$, $\sin(x)$ est l'ordonnée du point du cercle trigonométrique. Lorsque $x$ varie de 0 à $\frac{\pi}{2}$, l'ordonnée augmente de 0 à 1. Lorsque $x$ varie de $\frac{\pi}{2}$ à $\pi$, l'ordonnée diminue de 1 à 0. Donc $\sin$ est croissante sur $[0; \frac{\pi}{2}]$ et décroissante sur $[\frac{\pi}{2}; \pi]$.

2. $\sin$ est impaire ($\sin(-x) = -\sin(x)$) et $2\pi$-périodique ($\sin(x+2\pi) = \sin(x)$).
On complète le tableau sur $[-\pi; 0]$ par imparité, puis sur $[-2\pi; 2\pi]$ par périodicité :
Sur $[-\pi; -\frac{\pi}{2}]$, $\sin$ est croissante. Sur $[-\frac{\pi}{2}; 0]$, $\sin$ est décroissante.
Sur $[0; \frac{\pi}{2}]$, $\sin$ est croissante. Sur $[\frac{\pi}{2}; \pi]$, $\sin$ est décroissante.
Sur $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$, $\sin$ est croissante. Sur $[\frac{3\pi}{2}; 2\pi]$, $\sin$ est décroissante.

Correction :

1. Sur $[0; \pi]$, $\cos(x)$ est l'abscisse du point du cercle trigonométrique. Lorsque $x$ varie de 0 à $\pi$, l'abscisse diminue de 1 à -1. Donc $\cos$ est décroissante sur $[0; \pi]$.

2. $\cos$ est paire ($\cos(-x) = \cos(x)$) et $2\pi$-périodique ($\cos(x+2\pi) = \cos(x)$).
On complète le tableau sur $[-\pi; 0]$ par parité, puis sur $[-2\pi; 2\pi]$ par périodicité :
Sur $[-2\pi; -\pi]$, $\cos$ est croissante. Sur $[-\pi; 0]$, $\cos$ est décroissante.
Sur $[0; \pi]$, $\cos$ est décroissante. Sur $[\pi; 2\pi]$, $\cos$ est croissante.

Correction :

1. $\sin(x) = -1$. $x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$

2. $\cos(x) = -1$. $x = \pi + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$

3. $\sin(x) = -0,5$. $x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi$ ou $x = -\frac{5\pi}{6} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$

4. $\cos(x) = -0,5$. $x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$ ou $x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$

Correction :

1. $\sin(x) < -0,5$. $x \in ]-\frac{5\pi}{6}; -\frac{\pi}{6}[$

2. $\cos(x) > 0,5$. $x \in ]-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}[$

3. $\sin(x) \geq -2$. $x \in [-\pi; \pi]$ (toujours vrai car $\sin(x) \geq -1$).

4. $\cos(x) \leq -2$. Pas de solution (car $\cos(x) \geq -1$)

Correction :

Mehdi a raison. Les solutions sont les $x$ tels que le point du cercle trigonométrique d'abscisse $x$ ait une ordonnée supérieure à -0,5. Sur $[-\pi; \pi]$, il s'agit de l'intervalle $[-\frac{\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}]$, mais comme on est sur $[-\pi;\pi]$ il faut considérer les intervalles $[-\pi;-\frac{5\pi}{6}]$ et $[-\frac{\pi}{6};\pi]$

Correction :

Tous ces angles sont compris entre $0$ et $\pi$. Or, la fonction $\cos$ est strictement décroissante sur l'intervalle $[0; \pi]$.

On a les inégalités suivantes : $0 < \frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{5} < \frac{3\pi}{7} < \frac{2\pi}{5} < \frac{3\pi}{5} < \pi$.

Appliquons la fonction $\cos$ à cette suite d'inégalités. Puisque la fonction $\cos$ est strictement décroissante sur $[0; \pi]$, l'ordre des inégalités est inversé.

On obtient donc : $\cos(0) > \cos(\frac{\pi}{7}) > \cos(\frac{\pi}{5}) > \cos(\frac{3\pi}{7}) > \cos(\frac{2\pi}{5}) > \cos(\frac{3\pi}{5}) > \cos(\pi)$.

L'ordre croissant est donc : $\cos(\frac{3\pi}{5}) < \cos(\frac{2\pi}{5}) < \cos(\frac{3\pi}{7}) < \cos(\frac{\pi}{5}) < \cos(\frac{\pi}{7})$.

Correction :

Tous ces angles sont compris entre $0$ et $\pi$. La fonction $\sin$ est croissante sur $[0; \frac{\pi}{2}]$ et décroissante sur $[\frac{\pi}{2}; \pi]$.

On a les inégalités suivantes : $0 < \frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{5} < \frac{2\pi}{5} < \frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{5} < \frac{3\pi}{7} < \pi$.

On remarque que $\sin(\frac{3\pi}{5}) = \sin(\pi - \frac{3\pi}{5}) = \sin(\frac{2\pi}{5})$ et $\sin(\frac{3\pi}{7}) = \sin(\pi - \frac{3\pi}{7}) = \sin(\frac{4\pi}{7})$.

Comme $\frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{5}$ et que $\sin$ est croissante sur $[0;\frac{\pi}{2}]$, on a $\sin(\frac{\pi}{7}) < \sin(\frac{\pi}{5})$.

Comme $\frac{2\pi}{5} < \frac{3\pi}{7} < \frac{4\pi}{7}$ et que $\sin$ est décroissante sur $[\frac{\pi}{2}; \pi]$, on a $\sin(\frac{4\pi}{7}) < \sin(\frac{3\pi}{7}) < \sin(\frac{2\pi}{5})$.

Donc $\sin(\frac{\pi}{7}) < \sin(\frac{\pi}{5}) < \sin(\frac{2\pi}{5}) = \sin(\frac{3\pi}{5})$ et $\sin(\frac{3\pi}{7}) < \sin(\frac{2\pi}{5})$.

On a $\frac{\pi}{5} < \frac{2\pi}{5}$ et $\frac{3\pi}{7} < \frac{3\pi}{5}$, donc $\sin(\frac{\pi}{5}) < \sin(\frac{2\pi}{5})$ et $\sin(\frac{3\pi}{7}) < \sin(\frac{3\pi}{5})$.

Comme $\frac{2\pi}{5} < \frac{4\pi}{7}$, on a $\sin(\frac{2\pi}{5}) > \sin(\frac{4\pi}{7}) = \sin(\frac{3\pi}{7})$.

L'ordre croissant est donc : $\sin(\frac{\pi}{7}) < \sin(\frac{\pi}{5}) < \sin(\frac{3\pi}{7}) < \sin(\frac{2\pi}{5}) = \sin(\frac{3\pi}{5})$.

Correction :

On a $0 < \frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{5} < \frac{\pi}{2}$. Sur $[0; \frac{\pi}{2}]$, $\sin$ est croissante et $\cos$ est décroissante.

Donc $\sin(\frac{\pi}{7}) < \sin(\frac{\pi}{5})$ et $\cos(\frac{\pi}{5}) < \cos(\frac{\pi}{7})$.

De plus, $\cos(\frac{\pi}{5}) = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5}) = \sin(\frac{3\pi}{10})$ et $\cos(\frac{\pi}{7}) = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7}) = \sin(\frac{5\pi}{14})$.

Comme $\frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{5} < \frac{3\pi}{10} < \frac{5\pi}{14} < \frac{\pi}{2}$, on a $\sin(\frac{\pi}{7}) < \sin(\frac{\pi}{5}) < \sin(\frac{3\pi}{10}) < \sin(\frac{5\pi}{14})$.

Donc $\sin(\frac{\pi}{7}) < \sin(\frac{\pi}{5}) < \cos(\frac{\pi}{5}) < \cos(\frac{\pi}{7})$.

L'ordre croissant est donc : $\sin(\frac{\pi}{7}) < \sin(\frac{\pi}{5}) < \cos(\frac{\pi}{5}) < \cos(\frac{\pi}{7})$.

Correction :

1. a. $f(0) = 2\cos(0) - 3\sin^2(0) + 1 = 2 - 0 + 1 = 3$. **Faux**
b. $f\left(\frac{\pi^2}{6}\right) = 2\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - 3\sin^2\left(\frac{2\pi}{3}\right) + 1 = 0 - 3\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + 1 = -\frac{9}{4} + 1 = -\frac{5}{4}$. **Vrai**
c. $f$ n'est ni paire, ni impaire car $f(-x) \neq f(x)$ et $f(-x) \neq -f(x)$. **Ni paire, ni impaire**
d. $f(x+2\pi) = 2\cos\left(\frac{3(x+2\pi)}{\pi}\right) - 3\sin^2\left(\frac{4(x+2\pi)}{\pi}\right) + 1 = 2\cos\left(\frac{3x}{\pi} + 6\right) - 3\sin^2\left(\frac{4x}{\pi} + 8\right) + 1 = 2\cos\left(\frac{3x}{\pi}\right) - 3\sin^2\left(\frac{4x}{\pi}\right) + 1 = f(x)$. **Vrai**
e. À l'aide de la calculatrice, on trouve **8 solutions**.
f. $f(x)$ n'a **pas de limite** en $+\infty$ car elle oscille indéfiniment.
g. Graphiquement, la tangente en 0 semble horizontale, donc $f'(0) = 0$. **Vrai**
h. La valeur exacte est difficile à obtenir avec la calculatrice, mais elle semble différente de $-\frac{12}{\pi}$. **Faux**
2. $f'(x) = 2 \times \left(-\sin\left(\frac{3x}{\pi}\right)\right) \times \frac{3}{\pi} - 3 \times 2 \times \sin\left(\frac{4x}{\pi}\right) \times \cos\left(\frac{4x}{\pi}\right) \times \frac{4}{\pi} + 0$
$= -\frac{6}{\pi}\sin\left(\frac{3x}{\pi}\right) - \frac{24}{\pi}\sin\left(\frac{4x}{\pi}\right)\cos\left(\frac{4x}{\pi}\right)$
$= -\frac{6}{\pi}\sin\left(\frac{3x}{\pi}\right) - \frac{12}{\pi} \times 2\sin\left(\frac{4x}{\pi}\right)\cos\left(\frac{4x}{\pi}\right)$
$= -\frac{6}{\pi}\sin\left(\frac{3x}{\pi}\right) - \frac{12}{\pi}\sin\left(\frac{8x}{\pi}\right)$ (car $2\sin(a)\cos(a) = \sin(2a)$).
**Donc l'affirmation est vraie.**

Correction :

1. $2\cos(2x) - 1 = 0$
$\Leftrightarrow \cos(2x) = \frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ ou $2x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$
$\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{6} + k\pi$ ou $x = -\frac{\pi}{6} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$
Les solutions sont $x = \frac{\pi}{6} + k\pi$ et $x = -\frac{\pi}{6} + k\pi$, avec $k$ entier relatif.

2. $f(x+T) = 2\cos(2(x+T)) - 1 = 2\cos(2x + 2T) - 1$
Pour que $f(x+T) = f(x)$, il faut que $2T$ soit un multiple de $2\pi$, donc $T = k\pi$.
La plus petite période positive est $T = \pi$.

3. $f$ est périodique de période $\pi$. De plus, $f$ est paire car $f(-x) = 2\cos(-2x) - 1 = 2\cos(2x) - 1 = f(x)$.
Grâce à la périodicité, on peut restreindre l'étude à un intervalle de longueur $\pi$, par exemple $[0; \pi]$.
Grâce à la parité, on peut restreindre l'étude à $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$ et compléter par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.

4. $f'(x) = 2 \times (-\sin(2x)) \times 2 = -4\sin(2x)$
Sur $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$, $2x$ est dans $[0; \pi]$, donc $\sin(2x) \geq 0$.
Donc $f'(x) = -4\sin(2x) \leq 0$ sur $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$.

5. Sur $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$, $f'(x) \leq 0$, donc $f$ est décroissante.
Par parité, $f$ est croissante sur $\left[-\frac{\pi}{2}; 0\right]$.
Par périodicité, on complète le tableau sur $[-\pi; \pi]$ :
$f$ est croissante sur $[-\pi; -\frac{\pi}{2}]$ et sur $[\frac{\pi}{2}; \pi]$.
$f$ est décroissante sur $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Correction :

Partie A
$f(x) = ax + b\cos(x) + c$
$f'(x) = a - b\sin(x)$
$A(-\frac{\pi}{2}; f(-\frac{\pi}{2}))$ : tangente horizontale $\Rightarrow f'(-\frac{\pi}{2}) = 0$
$B(0; 3)$ : $f(0) = 3$ et $f'(0) = -2$
$f'(-\frac{\pi}{2}) = a - b\sin(-\frac{\pi}{2}) = a + b = 0$
$f(0) = a \times 0 + b\cos(0) + c = b + c = 3$
$f'(0) = a - b\sin(0) = a = -2$
$a = -2$
$a + b = 0 \Rightarrow b = -a = 2$
$b + c = 3 \Rightarrow c = 3 - b = 3 - 2 = 1$
Donc $a = -2$, $b = 2$, et $c = 1$.

Partie B
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$g(x) = -2x + 2\cos(x) + 1$

1. Montrer que la fonction $g$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
$g'(x) = -2 - 2\sin(x)$
Comme $-1 \leq \sin(x) \leq 1$, on a $-2 \leq -2\sin(x) \leq 2$, donc $-4 \leq -2 - 2\sin(x) \leq 0$.
Donc $g'(x) \leq 0$ pour tout $x$. De plus, $g'(x) = 0$ uniquement si $\sin(x) = -1$, c'est-à-dire $x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$, qui sont des points isolés.
Donc $g$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.

2. Montrer que sur $[0; \frac{\pi}{2}]$, l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ et encadrer $\alpha$ au dixième.
$g$ est continue et strictement décroissante sur $[0; \frac{\pi}{2}]$.
$g(0) = -2 \times 0 + 2\cos(0) + 1 = 3 > 0$
$g(\frac{\pi}{2}) = -2 \times \frac{\pi}{2} + 2\cos(\frac{\pi}{2}) + 1 = -\pi + 1 < 0$
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique $\alpha \in [0; \frac{\pi}{2}]$ tel que $g(\alpha) = 0$.

Afin de déterminer un encadrement de $\alpha$ au dixième, on peut utiliser la méthode de balayage avec un pas de $0.1$ :

On a $g(0,7) > 0$ et $g(0,8) < 0$ donc $0,7 < \alpha < 0,8$.

On peut aussi utiliser un tableau de valeurs:

Comme $g(0,7) > 0$ et $g(0,8) < 0$, on a $0,7 < \alpha < 0,8$.

Donc, un encadrement de $\alpha$ au dixième est : $0,7 < \alpha < 0,8$

Correction :

1. $\sin(2x) - 1 = 0$
$\Leftrightarrow \sin(2x) = 1$
$\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$
$\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$
Les solutions sont $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$, avec $k$ entier relatif.

2. $f(x+T) = \sin(2(x+T)) - 1 = \sin(2x + 2T) - 1$
Pour que $f(x+T) = f(x)$, il faut que $2T$ soit un multiple de $2\pi$, donc $T = k\pi$.
La plus petite période positive est $T = \pi$.

3. $f$ est périodique de période $\pi$.
$f(-x) = \sin(-2x) - 1 = -\sin(2x) - 1$. $f$ n'est ni paire ni impaire.
On peut restreindre l'étude à un intervalle de longueur $\pi$, par exemple $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Puis, on peut remarquer que $f(x+\frac{\pi}{2}) = \sin(2(x+\frac{\pi}{2})) - 1 = \sin(2x + \pi) - 1 = -\sin(2x) - 1 = -f(x) - 2$. Donc, on peut restreindre l'étude à $[0; \frac{\pi}{2}]$ et déduire le comportement sur $[-\frac{\pi}{2}; 0]$ par une transformation géométrique.
4. $f'(x) = 2\cos(2x)$
Sur $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$, $2x$ est dans $[0; \pi]$, donc $\cos(2x)$ varie entre 1 et -1. Le signe de $f'(x)$ n'est donc pas constant.
$f'(x) = 2\cos(2x) \geq 0 \Leftrightarrow \cos(2x) \geq 0 \Leftrightarrow 2x \in [0; \frac{\pi}{2}] \Leftrightarrow x \in [0; \frac{\pi}{4}]$
Donc $f'(x) \geq 0$ sur $\left[0 ; \frac{\pi}{4}\right]$ et $f'(x) \leq 0$ sur $[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}]$

5. Sur $\left[0; \frac{\pi}{4}\right]$, $f'(x) \geq 0$, donc $f$ est croissante.
Sur $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}\right]$, $f'(x) \leq 0$, donc $f$ est décroissante.
Par périodicité, on complète le tableau sur $[-\pi; \pi]$ :
$f$ est croissante sur $[-\pi; -\frac{3\pi}{4}]$ et sur $[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}]$ et sur $[\frac{3\pi}{4}; \pi]$.
$f$ est décroissante sur $[-\frac{3\pi}{4}; -\frac{\pi}{4}]$ et sur $[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]$.

Correction :

1. $\frac{1}{2}\cos(4x) + \frac{1}{2} = 0$
$\Leftrightarrow \cos(4x) = -1$
$\Leftrightarrow 4x = \pi + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$
$\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$
Les solutions sont $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$, avec $k$ entier relatif.

2. $f(x+T) = \frac{1}{2}\cos(4(x+T)) + \frac{1}{2}= \frac{1}{2}\cos(4x + 4T) + \frac{1}{2}$
Pour que $f(x+T) = f(x)$, il faut que $4T$ soit un multiple de $2\pi$, donc $T = k\frac{\pi}{2}$.
La plus petite période positive est $T = \frac{\pi}{2}$.

3. $f$ est périodique de période $\frac{\pi}{2}$. De plus, $f$ est paire car $f(-x) = \frac{1}{2}\cos(-4x) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\cos(4x) + \frac{1}{2} = f(x)$.
Grâce à la périodicité, on peut restreindre l'étude à un intervalle de longueur $\frac{\pi}{2}$, par exemple $[0; \frac{\pi}{2}]$.
Grâce à la parité, on peut restreindre l'étude à $\left[0; \frac{\pi}{4}\right]$ et compléter par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.

4. $f'(x) = \frac{1}{2} \times (-\sin(4x)) \times 4 = -2\sin(4x)$
Sur $\left[0; \frac{\pi}{4}\right]$, $4x$ est dans $[0; \pi]$, donc $\sin(4x) \geq 0$.
Donc $f'(x) = -2\sin(4x) \leq 0$ sur $\left[0; \frac{\pi}{4}\right]$.

5. Sur $\left[0; \frac{\pi}{4}\right]$, $f'(x) \leq 0$, donc $f$ est décroissante.
Par parité, $f$ est croissante sur $\left[-\frac{\pi}{4}; 0\right]$.
Par périodicité, on complète le tableau sur $[-\pi; \pi]$ :
$f$ est croissante sur $[-\pi; -\frac{3\pi}{4}]$, $[-\frac{\pi}{4}; 0]$, $[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}]$ et sur $[\frac{3\pi}{4}; \pi]$.
$f$ est décroissante sur $[-\frac{3\pi}{4}; -\frac{\pi}{4}]$, $[0; \frac{\pi}{4}]$, $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{4}]$.

Correction :

1. $4\sin(3x) = 0$
$\Leftrightarrow \sin(3x) = 0$
$\Leftrightarrow 3x = k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$
$\Leftrightarrow x = \frac{k\pi}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$
Les solutions sont $x = \frac{k\pi}{3}$, avec $k$ entier relatif.

2. $f(x+T) = 4\sin(3(x+T)) = 4\sin(3x + 3T)$
Pour que $f(x+T) = f(x)$, il faut que $3T$ soit un multiple de $2\pi$, donc $T = \frac{2k\pi}{3}$.
La plus petite période positive est $T = \frac{2\pi}{3}$.

3. $f$ est périodique de période $\frac{2\pi}{3}$. De plus, $f$ est impaire car $f(-x) = 4\sin(-3x) = -4\sin(3x) = -f(x)$.
Grâce à la périodicité, on peut restreindre l'étude à un intervalle de longueur $\frac{2\pi}{3}$, par exemple $[-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}]$.
Grâce à l'imparité, on peut restreindre l'étude à $\left[0; \frac{\pi}{3}\right]$ et compléter par symétrie par rapport à l'origine.

4. $f'(x) = 4 \times \cos(3x) \times 3 = 12\cos(3x)$
Sur $\left[0; \frac{\pi}{6}\right]$, $3x$ est dans $[0; \frac{\pi}{2}]$, donc $\cos(3x) \geq 0$, donc $f'(x) \geq 0$.
Sur $\left[\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{3}\right]$, $3x$ est dans $[\frac{\pi}{2}; \pi]$, donc $\cos(3x) \leq 0$, donc $f'(x) \leq 0$.

5. Sur $\left[0; \frac{\pi}{6}\right]$, $f'(x) \geq 0$, donc $f$ est croissante.
Sur $\left[\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{3}\right]$, $f'(x) \leq 0$, donc $f$ est décroissante.
Par imparité, $f$ est croissante sur $[-\frac{\pi}{6}; 0]$ et décroissante sur $[-\frac{\pi}{3}; -\frac{\pi}{6}]$.
Par périodicité, on complète le tableau sur $[-\pi; \pi]$ :
$f$ est croissante sur $[-\pi; -\frac{5\pi}{6}]$, $[-\frac{\pi}{2}; -\frac{\pi}{6}]$, $[0; \frac{\pi}{6}]$, $[\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{6}]$.
$f$ est décroissante sur $[-\frac{5\pi}{6}; -\frac{\pi}{2}]$, $[-\frac{\pi}{6}; 0]$, $[\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}]$, $[\frac{5\pi}{6}; \pi]$.

Correction :

1. $-3\cos(2x+\frac{\pi}{3}) = 0$
$\Leftrightarrow \cos(2x+\frac{\pi}{3}) = 0$
$\Leftrightarrow 2x+\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$
$\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi}{6} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$
$\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$
Les solutions sont $x = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}$, avec $k$ entier relatif.

2. $f(x+T) = -3\cos(2(x+T)+\frac{\pi}{3}) = -3\cos(2x+2T+\frac{\pi}{3})$
Pour que $f(x+T) = f(x)$, il faut que $2T$ soit un multiple de $2\pi$, donc $T = k\pi$.
La plus petite période positive est $T = \pi$.

3. $f$ est périodique de période $\pi$.
$f(-x) = -3\cos(-2x+\frac{\pi}{3})$. $f$ n'est ni paire ni impaire.
On peut restreindre l'étude à un intervalle de longueur $\pi$, par exemple $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
On peut remarquer que $f(x - \frac{\pi}{6}) = -3\cos(2(x - \frac{\pi}{6})+\frac{\pi}{3}) = -3\cos(2x - \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3}) = -3\cos(2x)$. Donc l'étude de $f$ sur $[-\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}]$ correspond à l'étude de $x \mapsto -3\cos(2x)$ sur $[0; \pi]$ qui est paire. On peut restreindre l'étude de $f$ à $\left[-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{3}\right]$ (qui est de longueur $\frac{\pi}{2}$)

4. $f'(x) = -3 \times (-\sin(2x+\frac{\pi}{3})) \times 2 = 6\sin(2x+\frac{\pi}{3})$
Sur $\left[-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{12}\right]$, $2x+\frac{\pi}{3}$ est dans $[0; \frac{\pi}{2}]$, donc $\sin(2x+\frac{\pi}{3}) \geq 0$, donc $f'(x) \geq 0$.
Sur $\left[\frac{\pi}{12}; \frac{\pi}{3}\right]$, $2x+\frac{\pi}{3}$ est dans $[\frac{\pi}{2}; \pi]$, donc $\sin(2x+\frac{\pi}{3}) \geq 0$, donc $f'(x) \geq 0$.
5. Sur $\left[-\frac{\pi}{6} ; \frac{\pi}{12}\right]$, $f'(x) \geq 0$, donc $f$ est croissante.
Sur $\left[\frac{\pi}{12} ; \frac{\pi}{3}\right]$, $f'(x) \leq 0$, donc $f$ est décroissante.
Par périodicité, on complète le tableau sur $[-\pi; \pi]$ :
$f$ est croissante sur $[-\pi; -\frac{11\pi}{12}]$, $[-\frac{5\pi}{12}; \frac{\pi}{12}]$, $[\frac{7\pi}{12}; \frac{13\pi}{12}]$.
$f$ est décroissante sur $[-\frac{11\pi}{12}; -\frac{5\pi}{12}]$, $[\frac{\pi}{12}; \frac{7\pi}{12}]$, $[\frac{13\pi}{12}; \pi]$.

Correction :

1. $2\cos(3x-\frac{\pi}{4}) + 3 = 3$
$\Leftrightarrow \cos(3x-\frac{\pi}{4}) = 0$
$\Leftrightarrow 3x-\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$
$\Leftrightarrow 3x = \frac{3\pi}{4} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$
$\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$
Les solutions sont $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{3}$, avec $k$ entier relatif.

2. $f(x+T) = 2\cos(3(x+T)-\frac{\pi}{4}) + 3= 2\cos(3x+3T-\frac{\pi}{4}) + 3$
Pour que $f(x+T) = f(x)$, il faut que $3T$ soit un multiple de $2\pi$, donc $T = \frac{2k\pi}{3}$.
La plus petite période positive est $T = \frac{2\pi}{3}$.

3. $f$ est périodique de période $\frac{2\pi}{3}$.
$f(-x) = 2\cos(-3x-\frac{\pi}{4}) + 3$. $f$ n'est ni paire ni impaire.
On peut restreindre l'étude à un intervalle de longueur $\frac{2\pi}{3}$, par exemple $[-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}]$.
$f(x - \frac{\pi}{12}) = 2\cos(3(x-\frac{\pi}{12}) - \frac{\pi}{4}) + 3 = 2\cos(3x - \frac{\pi}{2}) + 3 = 2\sin(3x) + 3$. Donc l'étude de $f$ sur $[-\frac{\pi}{12}; \frac{7\pi}{12}]$ correspond à l'étude de $x \mapsto 2\sin(3x) + 3$ sur $[0; \frac{2\pi}{3}]$ qui est impaire. On peut restreindre l'étude de $f$ à $\left[0; \frac{\pi}{3}\right]$ (qui est de longueur $\frac{\pi}{3}$)

4. $f'(x) = 2 \times (-\sin(3x-\frac{\pi}{4})) \times 3 = -6\sin(3x-\frac{\pi}{4})$
Sur $\left[0; \frac{\pi}{4}\right]$, $3x-\frac{\pi}{4}$ est dans $[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}]$, donc $\sin(3x-\frac{\pi}{4})$ varie et change de signe en 0. $f'(x)$ change de signe en $\frac{\pi}{12}$
Sur $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3}\right]$, $3x-\frac{\pi}{4}$ est dans $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{4}]$, donc $\sin(3x-\frac{\pi}{4}) \geq 0$, donc $f'(x) \leq 0$.

5. Sur $\left[0; \frac{\pi}{12}\right]$, $f'(x) \geq 0$, donc $f$ est croissante.
Sur $\left[\frac{\pi}{12}; \frac{\pi}{3}\right]$, $f'(x) \leq 0$, donc $f$ est décroissante.
Par périodicité, on complète le tableau sur $[-\pi; \pi]$ :
$f$ est croissante sur $[-\pi; -\frac{3\pi}{4}]$, $[-\frac{5\pi}{12}; \frac{\pi}{12}]$, $[\frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{12}]$, $[\frac{11\pi}{12}; \pi]$.
$f$ est décroissante sur $[-\frac{3\pi}{4}; -\frac{5\pi}{12}]$, $[\frac{\pi}{12}; \frac{\pi}{4}]$, $[\frac{7\pi}{12}; \frac{11\pi}{12}]$.

Correction :

On utilise l'identité $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$.
L'équation devient $1 - 2\sin^2(x) + \sin(x) = 0$.
On pose $X = \sin(x)$. L'équation devient $-2X^2 + X + 1 = 0$.
C'est une équation du second degré. On calcule le discriminant : $\Delta = 1^2 - 4(-2)(1) = 9$.
Les solutions sont $X_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2(-2)} = 1$ et $X_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2(-2)} = -\frac{1}{2}$.
On a donc $\sin(x) = 1$ ou $\sin(x) = -\frac{1}{2}$.
$\sin(x) = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.
$\sin(x) = -\frac{1}{2} \Leftrightarrow x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi$ ou $x = -\frac{5\pi}{6} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.
Les solutions sont $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, $x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi$ et $x = -\frac{5\pi}{6} + 2k\pi$, avec $k$ entier relatif.

Correction :

Pour résoudre l'inéquation $\sin(3x) \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans l'intervalle $[-\pi; \pi]$, nous allons suivre une méthode détaillée étape par étape.

Étape 1 : Résoudre l'équation associée $\sin(3x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

On sait que $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Donc, l'angle $3x$ doit être égal à $\frac{\pi}{3}$ plus un multiple de $2\pi$, ou bien à $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ plus un multiple de $2\pi$.

On a donc deux cas possibles :

Cas 1 : $3x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$, avec $k \in \mathbb{Z}$

Cas 2 : $3x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$, avec $k \in \mathbb{Z}$

En divisant par 3, on obtient les solutions pour $x$ :

Cas 1 : $x = \frac{\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}$, avec $k \in \mathbb{Z}$

Cas 2 : $x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}$, avec $k \in \mathbb{Z}$

Étape 2 : Trouver les solutions de l'équation dans l'intervalle $[-\pi; \pi]$

Pour $x = \frac{\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}$ :

On teste différentes valeurs entières de $k$ pour trouver les solutions comprises entre $-\pi$ et $\pi$.

Pour $k=-1$, $x = \frac{\pi}{9} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{5\pi}{9}$

Pour $k=0$, $x = \frac{\pi}{9}$

Pour $k=1$, $x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} = \frac{7\pi}{9}$

Pour $k=-2$ et $k=2$, on sort de l'intervalle $[-\pi; \pi]$.

Pour $x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}$ :

On teste différentes valeurs entières de $k$ pour trouver les solutions comprises entre $-\pi$ et $\pi$.

Pour $k=-1$, $x = \frac{2\pi}{9} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{4\pi}{9}$

Pour $k=0$, $x = \frac{2\pi}{9}$

Pour $k=1$, $x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} = \frac{8\pi}{9}$

Pour $k=-2$ et $k=2$, on sort de l'intervalle $[-\pi; \pi]$.

Les solutions de l'équation $\sin(3x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans $[-\pi; \pi]$ sont donc $-\frac{5\pi}{9}$, $-\frac{4\pi}{9}$, $\frac{\pi}{9}$, $\frac{2\pi}{9}$, $\frac{7\pi}{9}$ et $\frac{8\pi}{9}$.

Étape 3 : Étudier le signe de $\sin(3x) - \frac{\sqrt{3}}{2}$

On peut utiliser un cercle trigonométrique pour visualiser les angles où le sinus est supérieur ou inférieur à $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

On peut aussi utiliser un tableau de signes, en se souvenant que la fonction $x \mapsto \sin(3x)$ est périodique de période $\frac{2\pi}{3}$. On étudie le signe de $\sin(3x) - \frac{\sqrt{3}}{2}$ sur une période, par exemple $[0; \frac{2\pi}{3}]$, puis on généralise à l'intervalle $[-\pi; \pi]$.

Cercle trigonométrique

Étape 4 : Déterminer les intervalles solutions de l'inéquation

En utilisant le cercle trigonométrique ou le tableau de signes, on détermine les intervalles où $\sin(3x) \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$.

On doit faire attention à prendre les intervalles où l'inégalité est vérifiée, et à inclure ou exclure les bornes en fonction du signe $\leq$ ou $<$.

On trouve que $\sin(3x) \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$ lorsque $3x$ se trouve dans les intervalles $[-\pi + 2k\pi; \frac{\pi}{3} + 2k\pi]$ ou $[\frac{2\pi}{3} + 2k\pi; \pi + 2k\pi]$.

En divisant par 3, on obtient les intervalles pour $x$ : $[-\frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3}; \frac{\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}]$ ou $[\frac{2\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}; \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3}]$.

En considérant l'intervalle $[-\pi; \pi]$, on obtient les intervalles solutions :
$x \in [-\pi; -\frac{5\pi}{9}] \cup [-\frac{4\pi}{9}; \frac{\pi}{9}] \cup [\frac{2\pi}{9}; \frac{7\pi}{9}] \cup [\frac{8\pi}{9}; \pi]$.

Correction :

1. $f(-x) = \cos(-2x) - \sin(-3x) = \cos(2x) + \sin(3x)$.
$f(-x) \neq f(x)$ et $f(-x) \neq -f(x)$.
$f$ n'est ni paire ni impaire.

2. $\cos(2x)$ est périodique de période $\frac{2\pi}{2} = \pi$ et $\sin(3x)$ est périodique de période $\frac{2\pi}{3}$.
Le plus petit multiple commun de $\pi$ et $\frac{2\pi}{3}$ est $2\pi$.
$f(x+2\pi) = \cos(2(x+2\pi)) - \sin(3(x+2\pi)) = \cos(2x+4\pi) - \sin(3x+6\pi) = \cos(2x) - \sin(3x) = f(x)$.
$f$ est périodique de période $2\pi$.

Correction :

1. $f'(x) = 1 + \cos(x)$.

2. On sait que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $-1 \leq \cos(x) \leq 1$.
Donc, $1 + \cos(x) \geq 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
Ainsi, $f'(x) \geq 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

3. Comme $f'(x) \geq 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$.
De plus, $f'(x) = 0$ uniquement si $\cos(x) = -1$, c'est-à-dire $x = \pi + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$, qui sont des points isolés.
Donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Correction :

1. L'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$ est donnée par $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
Ici, $a = 0$, $f(x) = \sin(x)$, donc $f(0) = 0$ et $f'(x) = \cos(x)$, donc $f'(0) = 1$.
L'équation de la tangente est donc $y = 1(x-0) + 0$, soit $y = x$.

2. Soit $g(x) = x - \sin(x)$ pour $x \geq 0$.
$g'(x) = 1 - \cos(x)$.
Comme $\cos(x) \leq 1$ pour tout $x$, on a $g'(x) \geq 0$ pour tout $x \geq 0$.
Donc $g$ est croissante sur $[0; +\infty[$.
De plus, $g(0) = 0 - \sin(0) = 0$.
Donc pour tout $x \geq 0$, $g(x) \geq g(0) = 0$, ce qui signifie que $x - \sin(x) \geq 0$, donc $\sin(x) \leq x$.

3. La courbe de $f$ est au-dessus de sa tangente en $0$ pour $x \leq 0$ et en-dessous de sa tangente en $0$ pour $x \geq 0$.

Correction :

On peut écrire $\sin(x) + \cos(x)$ sous la forme $A\cos(x - \phi)$, où $A = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ et $\phi$ est tel que $\cos(\phi) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ et $\sin(\phi) = \frac{1}{\sqrt{2}}$. On peut prendre $\phi = \frac{\pi}{4}$.
Donc $\sin(x) + \cos(x) = \sqrt{2}\cos(x - \frac{\pi}{4})$.
Comme $-1 \leq \cos(x - \frac{\pi}{4}) \leq 1$, on a $-\sqrt{2} \leq \sqrt{2}\cos(x - \frac{\pi}{4}) \leq \sqrt{2}$.
Donc $-\sqrt{2} \leq \sin(x) + \cos(x) \leq \sqrt{2}$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Correction :

On sait que $\lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1$.
On peut écrire $\frac{\sin(3x)}{\sin(5x)} = \frac{\sin(3x)}{3x} \times \frac{5x}{\sin(5x)} \times \frac{3x}{5x}$.
Lorsque $x \to 0$, on a $3x \to 0$ et $5x \to 0$.
Donc $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x} = 1$ et $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{5x} = 1$, ce qui implique $\lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin(5x)} = 1$.
Ainsi, $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{\sin(5x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x} \times \lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin(5x)} \times \lim_{x \to 0} \frac{3x}{5x} = 1 \times 1 \times \frac{3}{5} = \frac{3}{5}$.
La limite est $\frac{3}{5}$.

Correction :

On sait que $\cos(2x) = \cos(x+x) = \cos(x)\cos(x) - \sin(x)\sin(x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$.
L'identité est démontrée.

Correction :

On sait que $\tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.
La fonction $\tan$ est périodique de période $\pi$.
Donc, $\tan(x) = \sqrt{3} \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{3} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.
Les solutions sont $x = \frac{\pi}{3} + k\pi$, avec $k$ entier relatif.