Suites Numériques : Exercices Approfondis

Correction :

a) Lorsque deux suites tendent vers $+\infty$, leur somme tend également vers $+\infty$. Ainsi, $\lim_{n \to +\infty}(u_n + v_n) = +\infty + +\infty = +\infty$.

Cependant, la différence de deux suites tendant vers $+\infty$ est une forme indéterminée. On ne peut pas conclure directement sur la limite de $\lim_{n \to +\infty}(u_n - v_n)$ sans informations supplémentaires sur le comportement précis des suites $(u_n)$ et $(v_n)$. Par exemple si $u_n=n^2$ et $v_n=n$ la limite sera $+\infty$ alors que si $u_n=n$ et $v_n = n^2$ alors la limite sera $-\infty$.

b) La somme d'une suite tendant vers $+\infty$ et d'une suite tendant vers $-\infty$ est une forme indéterminée. On ne peut pas conclure directement sur la limite de $\lim_{n \to +\infty}(u_n + v_n)$. Par contre, pour la différence, on a $\lim_{n \to +\infty}(u_n - v_n) = +\infty - (-\infty) = +\infty$, car soustraire $-\infty$ revient à additionner $+\infty$. Donc, la limite de la différence est $+\infty$.

c) La somme de deux suites tendant vers $-\infty$ tend vers $-\infty$. On a donc $\lim_{n \to +\infty}(u_n + v_n) = -\infty + (-\infty) = -\infty$. Pour la différence, on a une forme indéterminée car $(-\infty - -\infty)$ peut se réécrire $(-\infty + \infty)$. Il est donc impossible de conclure sans plus d'information.

d) La limite d'une suite tendant vers $-\infty$ additionnée à une constante tend vers $-\infty$. Donc, $\lim_{n \to +\infty}(u_n + v_n) = -\infty + (-4) = -\infty$. De même, pour la différence on a $\lim_{n \to +\infty}(u_n - v_n) = -\infty - (-4) = -\infty + 4 = -\infty$. La limite de la différence est donc $-\infty$.

Correction :

a) Le produit d'une suite tendant vers $-\infty$ par une suite tendant vers $+\infty$ tend vers $-\infty$. Ainsi, $\lim_{n \to +\infty}(u_n \times v_n) = (-\infty) \times (+\infty) = -\infty$.

Le quotient de deux suites dont les limites sont infinis est une forme indéterminée. On ne peut pas conclure sans plus d'informations sur les suites $(u_n)$ et $(v_n)$.

b) Le produit d'une suite tendant vers $-\infty$ par un nombre négatif tend vers $+\infty$. On a donc $\lim_{n \to +\infty}(u_n \times v_n) = (-\infty) \times (-3) = +\infty$. Le quotient d'une suite tendant vers $-\infty$ par un nombre négatif tend vers $+\infty$. On a $\lim_{n \to +\infty}\frac{u_n}{v_n} = \frac{-\infty}{-3} = +\infty$.

c) Le produit d'une suite tendant vers une constante par une suite tendant vers $-\infty$ tend vers $-\infty$. On a donc $\lim_{n \to +\infty}(u_n \times v_n) = 3 \times (-\infty) = -\infty$. Le quotient d'une suite tendant vers une constante par une suite tendant vers $-\infty$ tend vers 0. On a $\lim_{n \to +\infty}\frac{u_n}{v_n} = \frac{3}{-\infty} = 0$.

d) Le produit d'une suite tendant vers 0 par une suite tendant vers l'infini est une forme indéterminée. On ne peut pas conclure sans informations supplémentaires sur les suites. Par contre, le quotient d'une suite tendant vers 0 par une suite tendant vers l'infini tend vers 0. On a $\lim_{n \to +\infty}\frac{u_n}{v_n} = \frac{0}{-\infty} = 0$.

Correction :

a) Lorsque le numérateur tend vers $-\infty$ et le dénominateur tend vers $0$ par valeurs positives ($0^+$), le quotient tend vers $-\infty$. Donc, $\lim_{n \to +\infty}\frac{u_n}{v_n} = \frac{-\infty}{0^+} = -\infty$.

b) Lorsque le numérateur tend vers une constante négative et le dénominateur tend vers $0$ par valeurs négatives ($0^-$), le quotient tend vers $+\infty$. Donc, $\lim_{n \to +\infty}\frac{u_n}{v_n} = \frac{-4}{0^-} = +\infty$.

c) Lorsque le numérateur et le dénominateur tendent tous les deux vers 0, on a une forme indéterminée. On ne peut pas conclure sans informations supplémentaires sur les suites $(u_n)$ et $(v_n)$. La limite peut être n'importe quelle valeur, y compris l'infini.

Correction :

a) On factorise par le terme prépondérant ($n^2$) : $u_n = n^2 + n = n^2(1 + \frac{1}{n})$. Comme $\lim_{n \to +\infty}n^2 = +\infty$ et $\lim_{n \to +\infty}(1 + \frac{1}{n}) = 1$, alors par produit, $\lim_{n \to +\infty}u_n = +\infty$.

b) On factorise par le terme prépondérant ($n^2$) : $u_n = n^2 - n = n^2(1 - \frac{1}{n})$. Comme $\lim_{n \to +\infty}n^2 = +\infty$ et $\lim_{n \to +\infty}(1 - \frac{1}{n}) = 1$, alors par produit, $\lim_{n \to +\infty}u_n = +\infty$.

c) Lorsque le dénominateur tend vers l'infini, le quotient tend vers 0. Donc, $\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{2}{n+2} = 0$.

d) Lorsque le dénominateur tend vers $-\infty$, le quotient tend vers 0. Donc, $\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{3}{2-n^2} = 0$.

e) On factorise par le terme prépondérant au numérateur et au dénominateur: $u_n = \frac{n^2+2}{n+1} = \frac{n^2(1+\frac{2}{n^2})}{n(1+\frac{1}{n})} = n\frac{1+\frac{2}{n^2}}{1+\frac{1}{n}}$. Comme $\lim_{n \to +\infty} n = +\infty$ et $\lim_{n \to +\infty} \frac{1+\frac{2}{n^2}}{1+\frac{1}{n}} =1$, alors par produit $\lim_{n \to +\infty}u_n = +\infty$.

f) Comme $0< 0.5<1$, alors $\lim_{n \to +\infty} 0.5^n=0$. Donc, par quotient $\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{3}{0.5^n} = +\infty$.

Correction :

a) On factorise par le terme prépondérant qui est $n^3$: $u_n = n^3 - 3n^2 = n^3(1 - \frac{3}{n})$. Comme $\lim_{n \to +\infty} n^3 = +\infty$ et $\lim_{n \to +\infty} (1 - \frac{3}{n}) = 1$, alors par produit, $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.

b) On factorise par le terme prépondérant au numérateur ($n^2$) et au dénominateur ($n$): $u_n = \frac{n^2 - 2n}{n+1} = \frac{n^2(1 - \frac{2}{n})}{n(1+\frac{1}{n})} = n \frac{1 - \frac{2}{n}}{1+\frac{1}{n}}$. Comme $\lim_{n \to +\infty} n = +\infty$ et $\lim_{n \to +\infty} \frac{1 - \frac{2}{n}}{1+\frac{1}{n}} = 1$, alors par produit, $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.

c) On factorise par le terme prépondérant au numérateur et au dénominateur: $u_n = \frac{n^2 + n}{1-n^2} = \frac{n^2(1+\frac{1}{n})}{n^2(\frac{1}{n^2}-1)} = \frac{1+\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^2}-1}$. Comme $\lim_{n \to +\infty} \frac{1+\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^2}-1} = \frac{1}{-1}=-1$ alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = -1$.

Correction :

a) On sait que $-1 \le (-1)^n \le 1$ car $(-1)^n$ prend alternativement les valeurs 1 et -1. Donc, en divisant par $n+2$ qui est strictement positif, on obtient l'encadrement suivant : $\frac{-1}{n+2} \le \frac{(-1)^n}{n+2} \le \frac{1}{n+2}$. Comme $\lim_{n \to +\infty} \frac{-1}{n+2} = 0$ et $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n+2} = 0$, par le théorème des gendarmes, on en conclut que $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$.

b) On sait que pour tout réel $x$, $-1 \le \cos(x) \le 1$. Donc, en particulier pour tout entier $n$, $-1 \le \cos(n) \le 1$. On en déduit que $n - 1 \le n - \cos(n) \le n + 1$. Comme $\lim_{n \to +\infty} (n-1) = +\infty$ et $\lim_{n \to +\infty} (n+1) = +\infty$, alors par le théorème de comparaison (ou de minoration), $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.

c) On sait que pour tout réel $x$, $-1 \le \sin(x) \le 1$. Donc, pour tout entier $n$, $-1 \le \sin(n) \le 1$, ce qui donne $n^2 - 1 \le n^2 + \sin(n) \le n^2 + 1$. En divisant par $n+5$ qui est positif à partir d'un certain rang, on obtient l'encadrement: $\frac{n^2 - 1}{n+5} \le \frac{n^2 + \sin(n)}{n+5} \le \frac{n^2+1}{n+5}$. On étudie la limite de $ \frac{n^2 - 1}{n+5} = \frac{n^2(1- \frac{1}{n^2})}{n(1+ \frac{5}{n})}= n \frac{1 - \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{5}{n}}$. Comme $\lim_{n \to +\infty} n = +\infty$ et $\lim_{n \to +\infty} \frac{1 - \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{5}{n}}= 1$, alors par produit $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 - 1}{n+5} = +\infty$. Par le même raisonnement sur $\frac{n^2+1}{n+5}$, on montre que $\lim_{n \to +\infty}\frac{n^2+1}{n+5} = +\infty$. Donc, par le théorème de comparaison, on a $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.

Correction :

1. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $5 \le u_{n+1} \le u_n$.

Initialisation : Pour $n=0$, $u_1 = 0.2 \times 18 + 4 = 7.6$. On a bien $5 \leqslant u_1 \leqslant u_0$ car $5 \le 7.6 \le 18$. La propriété est vraie pour $n=0$.

Hérédité : Supposons que pour un certain entier $n$, $5 \le u_{n+1} \le u_n$. Montrons que $5 \le u_{n+2} \le u_{n+1}$. On a $u_{n+2} = 0.2u_{n+1} + 4$. Comme $u_{n+1} \le u_n$, alors en multipliant par $0.2$ (qui est positif), on a $0.2u_{n+1} \le 0.2u_n$ et en ajoutant 4 on obtient $0.2u_{n+1} + 4 \le 0.2u_n + 4$. Donc, $u_{n+2} \le u_{n+1}$. De plus, comme $u_{n+1} \ge 5$, alors $0.2u_{n+1} \ge 0.2 \times 5 = 1$ et en ajoutant 4 on obtient $0.2u_{n+1} + 4 \ge 1+4=5$. Donc $u_{n+2} \ge 5$. Finalement, on a bien l'encadrement $5 \le u_{n+2} \le u_{n+1}$. La propriété est héréditaire.

Conclusion : Par le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $5 \le u_{n+1} \le u_n$.

2. La suite $(u_n)$ est décroissante (puisque $u_{n+1} \le u_n$) et minorée par 5. D'après le théorème de convergence monotone, elle est donc convergente.

Correction :

1. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n \le 6$.

Initialisation : Pour $n=0$, $u_0 = 2 \le 6$. La propriété est vraie pour $n=0$.

Hérédité : Supposons que pour un certain entier $n$, $u_n \le 6$. Montrons que $u_{n+1} \le 6$. On a $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 3$. Comme $u_n \le 6$, alors $\frac{1}{2}u_n \le \frac{1}{2} \times 6 = 3$ et en ajoutant 3 on obtient $\frac{1}{2}u_n + 3 \le 3 + 3 = 6$. Donc $u_{n+1} \le 6$. La propriété est héréditaire.

Conclusion : Par le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $u_n \le 6$.

2. Étudions le signe de $u_{n+1} - u_n$: $u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2}u_n + 3 - u_n = 3 - \frac{1}{2}u_n$. Comme $u_n \le 6$, alors en multipliant par $-\frac{1}{2}$ on a $-\frac{1}{2}u_n \ge -3$ et en ajoutant 3, on obtient $3 - \frac{1}{2}u_n \ge 0$. Donc, $u_{n+1} - u_n \ge 0$ ce qui implique que la suite $(u_n)$ est croissante.

3. La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par 6. D'après le théorème de convergence monotone, elle est donc convergente.

Correction :

1. À l'aide de la calculatrice, en calculant les premiers termes, on conjecture que la suite $(u_n)$ est décroissante et que 1 est un minorant.

2. Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n \ge 1$ et que la suite est décroissante.

Initialisation : Pour $n=0$, $u_0 = 3 \ge 1$. Et $u_1 = 0.3*3 + 1 = 1.9 \le 3 $. La propriété est vraie pour $n=0$.

Hérédité : Supposons que pour un certain entier $n$, $u_n \ge 1$ et $u_{n+1}\le u_n$. Montrons que $u_{n+1} \ge 1$ et $u_{n+2} \le u_{n+1}$. On a $u_{n+2} = 0.3u_{n+1} + 1$. Comme $u_{n+1} \ge 1$, alors $0.3u_{n+1} \ge 0.3$ et $0.3u_{n+1} + 1 \ge 0.3 + 1 = 1.3$. Donc $u_{n+2} \ge 1$. De plus, comme $u_{n+1} \le u_n$, en multipliant par $0.3$ qui est positif, on a $0.3u_{n+1} \le 0.3u_n$ et en ajoutant 1, on obtient $0.3u_{n+1} + 1 \le 0.3u_n +1$. Donc $u_{n+2} \le u_{n+1}$. La propriété est héréditaire.

Conclusion : Par le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $u_n \ge 1$ et la suite $(u_n)$ est décroissante.

3. La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par 1. D'après le théorème de convergence monotone, elle est donc convergente.

Correction :

1. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n > 0$.

Initialisation : Pour $n=0$, $u_0 = 1 > 0$. La propriété est vraie pour $n=0$.

Hérédité : Supposons que pour un certain entier $n$, $u_n > 0$. Montrons que $u_{n+1} > 0$. On a $u_{n+1} = u_n \times e^{-u_n}$. Comme $u_n > 0$ et que la fonction exponentielle est strictement positive , alors $e^{-u_n} > 0$. Donc, par produit, $u_n \times e^{-u_n} > 0$. Donc, $u_{n+1} > 0$. La propriété est héréditaire.

Conclusion : Par le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $u_n > 0$.

2. Étudions le signe de $u_{n+1} - u_n$: $u_{n+1} - u_n = u_n \times e^{-u_n} - u_n = u_n(e^{-u_n} - 1)$. Comme $u_n > 0$ et que pour tout réel x, $e^x \ge 1$ si $x \ge 0$, alors en appliquant cette propriété avec $-u_n$ on a $e^{-u_n} \le 1$, ce qui donne $e^{-u_n} - 1 \le 0$. Ainsi, le produit $u_n(e^{-u_n} - 1) \le 0$. Donc la suite est décroissante.

3. La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par 0. D'après le théorème de convergence monotone, elle est donc convergente.

Correction :

1. On a $u_{n+1}=u_n-u_n^2$, donc la fonction $f$ cherchée est $f(x)=x-x^2$.

2. La fonction $f(x)=x-x^2$ est dérivable sur $R$ et $f'(x) = 1 - 2x$. $f'(x) = 0$ si $x = \frac{1}{2}$. $f'(x) > 0 $ si $x < \frac{1}{2}$ et $f'(x) < 0 $ si $x > \frac{1}{2}$. Donc $f$ est strictement croissante sur $[0 ; \frac{1}{2}]$ et strictement décroissante sur $[\frac{1}{2} ; +\infty[$.

Le tableau de variation de f sur $[0; 1/2]$ est :

3. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0 \le u_{n+1} \le u_n \le \frac{1}{2}$.

Initialisation : Pour $n=0$, $u_0 = 0.4$, et $u_1 = 0.4 - 0.4^2 = 0.24$. On a $0 \le 0.24 \le 0.4 \le \frac{1}{2}$. La propriété est vraie pour $n=0$.

Hérédité : Supposons que pour un certain entier $n$, $0 \le u_{n+1} \le u_n \le \frac{1}{2}$. Montrons que $0 \le u_{n+2} \le u_{n+1} \le \frac{1}{2}$. Comme $u_n \in [0, \frac{1}{2}]$ et $f$ est croissante sur $[0, \frac{1}{2}]$, alors $f(0) \le f(u_{n+1}) \le f(u_n) \le f(\frac{1}{2})$. Donc, $0 \le u_{n+2} \le u_{n+1} \le \frac{1}{4} \le \frac{1}{2}$. La propriété est héréditaire.

Conclusion : Par le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $0 \le u_{n+1} \le u_n \le \frac{1}{2}$.

4. La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par 0. D'après le théorème de convergence monotone, elle est donc convergente.

Correction :

1. Le tracé des droites permet de visualiser graphiquement les premiers termes de la suite $(u_n)$ sur l'axe des abscisses, en utilisant l'escalier formé par la droite y=x et y= (1/3)x +4.

2. Graphiquement on trouve $u_1 \approx 4$, $u_2 \approx 5.3$ et $u_3 \approx 5.7$.

3. Par le calcul : $u_1 = \frac{1}{3} \times 0 + 4 = 4$, $u_2 = \frac{1}{3} \times 4 + 4 = \frac{16}{3} \approx 5.3$ et $u_3 = \frac{1}{3} \times \frac{16}{3} + 4 = \frac{16}{9} + 4 = \frac{52}{9} \approx 5.7$. Les résultats sont cohérents.

4. La suite semble croissante.

5. La suite semble converger vers 6.

6. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant 6$.

Initialisation : Pour $n=0$, $u_0 = 0$. On a $0 \le u_0 \le 6$. La propriété est vraie pour $n=0$.

Hérédité : Supposons que pour un certain entier $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant 6$. Montrons que $0 \leqslant u_{n+1} \leqslant 6$. On a $u_{n+1} = \frac{1}{3}u_n + 4$. Comme $0 \leqslant u_n \leqslant 6$, alors en multipliant par $\frac{1}{3}$ on a $0 \le \frac{1}{3}u_n \le 2$ et en ajoutant 4 on obtient $4 \le \frac{1}{3}u_n + 4 \le 6$. Donc $4 \le u_{n+1} \le 6$, ce qui implique $0 \le u_{n+1} \le 6$. La propriété est héréditaire.

Conclusion : Par le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant 6$.

7. Pour montrer que la suite est croissante : étudions le signe de $u_{n+1} - u_n = \frac{1}{3}u_n + 4 - u_n = 4 - \frac{2}{3}u_n$. Comme $u_n \le 6$, alors $-\frac{2}{3} u_n \ge - \frac{2}{3} \times 6= -4$ et $4 - \frac{2}{3}u_n \ge 0$. Donc $u_{n+1} \ge u_n$, ce qui confirme que $(u_n)$ est croissante.

8. La suite étant croissante et majorée, elle est donc convergente. On note $l$ sa limite. Comme elle est définie par récurrence, alors $l=f(l)$ ce qui donne : $l = \frac{1}{3}l +4$. La résolution de cette équation donne donc $l = 6$. La limite de $(u_n)$ est donc 6.

9. $v_0 = u_0 - 6 = 0 - 6 = -6$. $v_1 = u_1 - 6 = 4 - 6 = -2$. $v_2 = u_2 - 6 = \frac{16}{3} - 6 = -\frac{2}{3}$.

10. La suite $(v_n)$ semble être géométrique.

11. Calculons $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$: $v_{n+1} = u_{n+1} - 6 = \frac{1}{3}u_n + 4 - 6 = \frac{1}{3}u_n - 2 = \frac{1}{3}(u_n - 6) = \frac{1}{3}v_n$. Donc, $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\frac{1}{3}$ et de premier terme $v_0=-6$.

12. L'expression explicite de $v_n$ en fonction de $n$ est: $v_n = v_0 \times (\frac{1}{3})^n = -6 (\frac{1}{3})^n$. Comme $u_n = v_n + 6$, alors l'expression explicite de $u_n$ est $u_n = 6 - 6 (\frac{1}{3})^n$.

13. $\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} (6 - 6 (\frac{1}{3})^n) = 6 - 0 = 6$ car $\lim_{n \to +\infty} (\frac{1}{3})^n=0$.

Correction :

1. Calcul des premiers termes : $u_1 = \sqrt{24+12} = \sqrt{36} = 6$, $u_2 = \sqrt{6+12} = \sqrt{18} \approx 4.2$, $u_3 = \sqrt{4.2 + 12} = \sqrt{16.2} \approx 4.02$ .

2. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n \ge 4$.

Initialisation : Pour $n=0$, $u_0 = 24 \ge 4$. La propriété est vraie pour $n=0$.

Hérédité : Supposons que pour un certain entier $n$, $u_n \ge 4$. Montrons que $u_{n+1} \ge 4$. On a $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 12}$. Comme $u_n \ge 4$, alors $u_n + 12 \ge 16$ et $\sqrt{u_n + 12} \ge \sqrt{16} = 4$. Donc, $u_{n+1} \ge 4$. La propriété est héréditaire.

Conclusion : Par le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $u_n \ge 4$.

3. Étudions le signe de $u_{n+1} - u_n$: $u_{n+1} - u_n = \sqrt{u_n+12} - u_n = \frac{u_n+12 - u_n^2}{\sqrt{u_n+12} + u_n}$. Le dénominateur est positif (car $u_n \ge 4$). Étudions le signe du numérateur $u_n+12-u_n^2$. On a $u_n+12-u_n^2=-(u_n^2 -u_n-12) = -(u_n - 4)(u_n +3)$. Comme $u_n \ge 4$ alors $(u_n-4) \ge 0$ et $u_n+3>0$. Donc $u_n+12-u_n^2 \le 0$, et ainsi $u_{n+1} - u_n \le 0$. La suite $(u_n)$ est donc décroissante.

4. La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par 4. D'après le théorème de convergence monotone, elle est donc convergente.

5. Comme la suite $(u_n)$ est convergente, alors $\lim_{n \to +\infty}u_n = \ell$. On a $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 12}$, donc en passant à la limite : $\ell = \sqrt{\ell+12}$. En élevant au carré, on obtient $\ell^2 = \ell+12$.

6. L'équation $\ell^2 = \ell+12$ donne $\ell^2 - \ell - 12 = 0$. En utilisant le discriminant, on trouve $\Delta = 1 + 48 = 49$. Les solutions de cette équation sont $\ell_1 = \frac{1 - 7}{2}=-3$ et $\ell_2= \frac{1 + 7}{2} = 4$. Comme $\ell$ est la limite d'une suite dont tous les termes sont supérieurs a 4, alors nécessairement $\ell = 4$.

7. $u_{n+1} - 4 = \sqrt{u_n+12} - 4 = \frac{u_n+12 - 16}{\sqrt{u_n + 12} + 4} = \frac{u_n -4}{\sqrt{u_n+12} + 4}$. On a multiplié par la quantité conjuguée pour éliminer la racine carrée au numérateur.

8. Comme $u_n \ge 4$, alors $\sqrt{u_n + 12} \ge \sqrt{4+12} = 4$ ce qui donne $\sqrt{u_n + 12} + 4 \ge 8$ et en prenant l'inverse, on obtient $\frac{1}{\sqrt{u_n + 12} + 4} \le \frac{1}{8}$. Donc en multipliant par $(u_n-4)$ (qui est positif), on obtient $u_{n+1} -4 = \frac{u_n -4}{\sqrt{u_n +12} +4} \le \frac{1}{8}(u_n -4)$.

9. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0 \le u_n - 4 \le \frac{20}{8^n}$.

Initialisation : Pour $n=0$, $u_0 -4 = 24 - 4= 20$. On a $0 \le 20 \le \frac{20}{8^0} = 20$. La propriété est vraie pour $n=0$.

Hérédité : Supposons que pour un certain entier $n$, $0 \le u_n - 4 \le \frac{20}{8^n}$. Montrons que $0 \le u_{n+1} - 4 \le \frac{20}{8^{n+1}}$. On a $u_{n+1} -4 \ge 0$ d'après la question 2. De plus, en utilisant la question 8 on a $u_{n+1} -4 \le \frac{1}{8}(u_n-4)$. Comme on suppose que $0 \le u_n - 4 \le \frac{20}{8^n}$, en multipliant par $\frac{1}{8}$ on obtient $\frac{1}{8}(u_n-4) \le \frac{1}{8} \times \frac{20}{8^n} = \frac{20}{8^{n+1}}$. Ainsi $u_{n+1} -4 \le \frac{20}{8^{n+1}}$. D'où l'encadrement $0 \le u_{n+1} - 4 \le \frac{20}{8^{n+1}}$. La propriété est héréditaire.

Conclusion : Par le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $0 \le u_n - 4 \le \frac{20}{8^n}$.

10. Comme $\lim_{n \to +\infty} \frac{20}{8^n} = 0$, par le théorème des gendarmes, on a $\lim_{n \to +\infty} (u_n-4) = 0$, ce qui implique que $\lim_{n \to +\infty} u_n = 4$.

Correction :

1. Pour vérifier l'égalité, calculons la différence : $\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} = \frac{(k+1) - k}{k(k+1)} = \frac{1}{k(k+1)}$. L'égalité est donc vérifiée pour tout entier $k \ge 1$.

2. En utilisant le résultat précédent, on peut réécrire la somme $u_n$ comme une somme télescopique : $$u_n = \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$$ On remarque que les termes intermédiaires s'annulent, il reste donc : $$u_n = 1 - \frac{1}{n+1}$$

3. Pour trouver la limite de la suite $(u_n)$, on calcule la limite lorsque $n$ tend vers l'infini: $$\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)$$ Comme $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n+1} = 0$, on a : $$\lim_{n \to +\infty} u_n = 1 - 0 = 1$$ La limite de la suite $(u_n)$ est donc 1.

Correction :

1. Pour calculer $p_3$, on utilise la loi des probabilités totales : $p_2 = p(A_2) = 0{,}9p_1 + 0{,}4(1 - p_1) = 0{,}9 \times 1 + 0{,}4 \times 0 = 0{,}9$. Donc, $p_3 = p(A_3) = 0{,}9p_2 + 0{,}4(1 - p_2) = 0{,}9 \times 0{,}9 + 0{,}4 \times 0{,}1 = 0{,}81 + 0{,}04 = 0{,}85$.

2. On cherche à calculer $P_{A_3}(A_2)$, en utilisant la formule de Bayes : $P_{A_3}(A_2) = \frac{P(A_2 \cap A_3)}{P(A_3)}$. On a : $P(A_2 \cap A_3) = 0,9 \times p_2 = 0,9 \times 0,9 = 0,81$. Donc, $P_{A_3}(A_2) = \frac{0,81}{0,85} = \frac{81}{85}$.

3. Pour démontrer que $p_{n+1} = 0{,}5p_n + 0{,}4$, on utilise à nouveau la loi des probabilités totales : $$p_{n+1} = P(A_{n+1}) = P(A_{n+1}|A_n)P(A_n) + P(A_{n+1}|\bar{A_n})P(\bar{A_n})$$ $$p_{n+1} = 0{,}9p_n + 0{,}4(1-p_n) = 0{,}9p_n + 0{,}4 - 0{,}4p_n = 0{,}5p_n + 0{,}4$$

4. Démontrons par récurrence que pour tout entier $n \ge 1$, $p_n > 0{,}8$.
Initialisation : Pour $n = 1$, $p_1 = 1 > 0{,}8$. La propriété est vraie pour $n=1$.
Hérédité : Supposons que pour un certain entier $n \ge 1$, $p_n > 0{,}8$. Montrons que $p_{n+1} > 0{,}8$. $$p_{n+1} = 0{,}5p_n + 0{,}4 > 0{,}5 \times 0{,}8 + 0{,}4 = 0{,}4 + 0{,}4 = 0{,}8$$ Donc, $p_{n+1} > 0{,}8$. La propriété est héréditaire.
Conclusion : Par le principe de récurrence, pour tout entier $n \ge 1$, $p_n > 0{,}8$.

5. Pour montrer que $(p_n)$ est décroissante, étudions le signe de $p_{n+1} - p_n$: $$p_{n+1} - p_n = 0,5p_n + 0,4 - p_n = -0,5p_n + 0,4$$ Comme $p_n > 0,8$, on a $-0,5p_n < -0,5 \times 0,8 = -0,4$ donc $-0,5p_n + 0,4 < -0,4 + 0,4 = 0 $. Ainsi, $p_{n+1} - p_n < 0$, la suite $(p_n)$ est donc décroissante. De plus, étant minorée (par 0.8), elle est convergente par le théorème de convergence monotone.

6. $v_n = p_n - 0{,}8$, calculons $v_{n+1}$: $$v_{n+1} = p_{n+1} - 0{,}8 = (0{,}5p_n + 0{,}4) - 0{,}8 = 0{,}5p_n - 0{,}4 = 0{,}5(p_n - 0{,}8) = 0{,}5v_n$$ Donc, la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0{,}5$ et de premier terme $v_1 = p_1 - 0{,}8 = 1 - 0{,}8 = 0{,}2$.

7. L'expression de $v_n$ en fonction de $n$ est donc : $v_n = v_1 \times 0,5^{n-1} = 0,2 \times 0,5^{n-1}$ Comme $p_n = v_n + 0,8$ alors : $p_n = 0,2 \times 0,5^{n-1} + 0,8$. La limite de la suite $(p_n)$ est : $$\lim_{n \to +\infty} p_n = \lim_{n \to +\infty} (0,2 \times 0,5^{n-1} + 0,8) = 0,2 \times 0 + 0,8 = 0,8$$ Car $\lim_{n \to +\infty} 0,5^{n-1} = 0$ puisque $0< 0,5 < 1$.

Correction :

1. $u_1 = \frac{1}{3}(2) + \frac{2}{3}(0) + 1 = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}$. $u_2 = \frac{1}{3}(\frac{5}{3}) + \frac{2}{3}(1) + 1 = \frac{5}{9} + \frac{2}{3} + 1 = \frac{5 + 6 + 9}{9} = \frac{20}{9}$. $u_3 = \frac{1}{3}(\frac{20}{9}) + \frac{2}{3}(2) + 1 = \frac{20}{27} + \frac{4}{3} + 1 = \frac{20 + 36 + 27}{27} = \frac{83}{27}$.

2. a) Calculons $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$ : $v_{n+1} = u_{n+1} - (n+1) = \frac{1}{3}u_n + \frac{2}{3}n + 1 - n -1 = \frac{1}{3}u_n - \frac{1}{3}n = \frac{1}{3}(u_n - n) = \frac{1}{3}v_n$. Donc, la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{3}$ et de premier terme $v_0 = u_0 - 0 = 2$.

b) $v_n = v_0 \times (\frac{1}{3})^n = 2 \times (\frac{1}{3})^n$. Comme $v_n = u_n - n$ alors $u_n = v_n + n = 2(\frac{1}{3})^n + n$.

3. $\lim_{n \to +\infty} (\frac{1}{3})^n = 0$ car $\frac{1}{3} \in ]-1;1[$. On a $\lim_{n \to +\infty} 2(\frac{1}{3})^n = 0$. et $\lim_{n \to +\infty} n = +\infty$, donc par somme la limite de $(u_n)$ est $+\infty$. La suite $(u_n)$ diverge vers l'infini.

Correction :

1. $u_1 = \frac{2}{3} \times 1 + \frac{1}{3} \times 0 + 1 = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}$. $u_2 = \frac{2}{3} \times \frac{5}{3} + \frac{1}{3} \times 1 + 1 = \frac{10}{9} + \frac{1}{3} + 1 = \frac{10 + 3 + 9}{9} = \frac{22}{9}$. $u_3 = \frac{2}{3} \times \frac{22}{9} + \frac{1}{3} \times 2 + 1 = \frac{44}{27} + \frac{2}{3} + 1 = \frac{44+18+27}{27} = \frac{89}{27}$.

2. a) Calculons $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$: $v_{n+1} = u_{n+1} - (n+1) - 3= \frac{2}{3}u_n + \frac{1}{3}n + 1 - n - 1 - 3 = \frac{2}{3}u_n - \frac{2}{3}n - 3= \frac{2}{3}(u_n -n - 3) = \frac{2}{3}v_n$. Donc $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\frac{2}{3}$ et de premier terme $v_0 = u_0 - 0 - 3 = 1-3=-2$.

b) L'expression explicite de $v_n$ est : $v_n = v_0 \times (\frac{2}{3})^n = -2 \times (\frac{2}{3})^n$. Comme $v_n = u_n -n -3$ alors $u_n = v_n + n + 3= -2(\frac{2}{3})^n + n + 3$.

3. Comme $-1 < \frac{2}{3} < 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} (\frac{2}{3})^n = 0$. On a alors $\lim_{n \to +\infty} -2(\frac{2}{3})^n = 0$ et $\lim_{n \to +\infty} (n + 3) = +\infty$. Donc, par somme, $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.

Correction :

1. $u_1 = u_0 - 3 = 5 - 3 = 2$. $u_2 = u_1 - 3 = 2 - 3 = -1$. $u_3 = u_2 - 3 = -1 - 3 = -4$.

2. Pour montrer que la suite $(u_n)$ est arithmétique, calculons $u_{n+1} - u_n$: $u_{n+1} - u_n = (u_n - 3) - u_n = -3$. Comme la différence $u_{n+1} - u_n$ est constante et égale à $-3$, la suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r = -3$ et de premier terme $u_0 = 5$.

3. L'expression explicite de $u_n$ pour une suite arithmétique est $u_n = u_0 + n \times r$. Ici, $u_n = 5 + n \times (-3) = 5 - 3n$.

4. Pour déterminer la limite de la suite $(u_n)$, on calcule la limite de son expression explicite : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} (5 - 3n)$. Comme $\lim_{n \to +\infty} -3n = -\infty$, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$. La suite $(u_n)$ diverge vers $-\infty$.

Correction :

1. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n > 0$.
Initialisation : Pour $n=0$, $u_0 = 1 > 0$. La propriété est vraie pour $n=0$.
Hérédité : Supposons que pour un certain entier $n$, $u_n > 0$. Montrons que $u_{n+1} > 0$. On a $u_{n+1} = \frac{2u_n+1}{u_n+2}$. Comme $u_n > 0$, alors $2u_n + 1 > 0$ et $u_n + 2 > 0$. Donc $u_{n+1} > 0$. La propriété est héréditaire.
Conclusion : Par le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $u_n > 0$.

2. Étudions le signe de $u_{n+1} - u_n$: $u_{n+1} - u_n = \frac{2u_n + 1}{u_n + 2} - u_n = \frac{2u_n + 1 - u_n(u_n + 2)}{u_n + 2} = \frac{2u_n + 1 - u_n^2 - 2u_n}{u_n + 2} = \frac{1 - u_n^2}{u_n + 2}$. Comme $u_n < 1$, alors $1 - u_n^2 > 0$. De plus, $u_n > 0$, donc $u_n + 2 > 0$. Ainsi, $u_{n+1} - u_n > 0$, ce qui montre que la suite $(u_n)$ est croissante.

3. a) Calculons $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$: $v_{n+1} = \frac{u_{n+1} - 1}{u_{n+1} + 1} = \frac{\frac{2u_n + 1}{u_n + 2} - 1}{\frac{2u_n + 1}{u_n + 2} + 1} = \frac{2u_n + 1 - (u_n + 2)}{2u_n + 1 + u_n + 2} = \frac{u_n - 1}{3u_n + 3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{u_n - 1}{u_n + 1} = \frac{1}{3}v_n$. Donc $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\frac{1}{3}$ et de premier terme $v_0 = \frac{u_0 - 1}{u_0 + 1} = \frac{1 - 1}{1 + 1} = 0$.

b) $v_n = v_0 \times (\frac{1}{3})^n = 0 \times (\frac{1}{3})^n = 0$.

c) Comme $v_n = \frac{u_n - 1}{u_n + 1} = 0$, alors $u_n - 1 = 0$, donc $u_n = 1$ pour tout $n$.

4. Puisque $u_n = 1$ pour tout $n$, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$.

Correction :

1. $u_1 = \frac{1}{2 \times 1 + 1} = \frac{1}{3}$. $u_2 = \frac{\frac{1}{3}}{2 \times \frac{1}{3} + 1} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{1}{5}$. $u_3 = \frac{\frac{1}{5}}{2 \times \frac{1}{5} + 1} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{7}{5}} = \frac{1}{7}$.

2. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n > 0$.
Initialisation : Pour $n=0$, $u_0 = 1 > 0$. La propriété est vraie pour $n=0$.
Hérédité : Supposons que pour un certain entier $n$, $u_n > 0$. Montrons que $u_{n+1} > 0$. On a $u_{n+1} = \frac{u_n}{2u_n + 1}$. Comme $u_n > 0$, alors $2u_n + 1 > 0$ et donc $u_{n+1} > 0$. La propriété est héréditaire.
Conclusion : Par le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $u_n > 0$.

3. La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par 0. D'après le théorème de convergence monotone, elle est donc convergente.

4. a) Calculons $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$: $v_{n+1} = \frac{1}{u_{n+1}} = \frac{1}{\frac{u_n}{2u_n + 1}} = \frac{2u_n + 1}{u_n} = 2 + \frac{1}{u_n} = 2 + v_n$. Donc $v_{n+1} - v_n = 2$, ce qui montre que $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme $v_0 = \frac{1}{u_0} = 1$.

b) $v_n = v_0 + n \times 2 = 1 + 2n$. Comme $v_n = \frac{1}{u_n}$, on a $u_n = \frac{1}{v_n}$, donc $u_n = \frac{1}{1 + 2n}$.

5. $\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{1 + 2n} = 0$ car le dénominateur tend vers l'infini.

Correction :

1. $u_1 = \frac{4 \times 5 - 1}{5 + 2} = \frac{19}{7}$. $u_2 = \frac{4 \times \frac{19}{7} - 1}{\frac{19}{7} + 2} = \frac{\frac{76 - 7}{7}}{\frac{19 + 14}{7}} = \frac{69}{33} = \frac{23}{11}$.

2. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n > 1$.
Initialisation : Pour $n=0$, $u_0 = 5 > 1$. La propriété est vraie pour $n=0$.
Hérédité : Supposons que pour un certain entier $n$, $u_n > 1$. Montrons que $u_{n+1} > 1$. On a $u_{n+1} = \frac{4u_n - 1}{u_n + 2}$. $u_{n+1} - 1 = \frac{4u_n - 1}{u_n + 2} - 1 = \frac{4u_n - 1 - (u_n + 2)}{u_n + 2} = \frac{3u_n - 3}{u_n + 2} = \frac{3(u_n - 1)}{u_n + 2}$. Comme par hypothèse de récurrence $u_n > 1$, alors $u_n - 1 > 0$ et $u_n + 2 > 0$, donc $u_{n+1} - 1 > 0$. Ainsi, $u_{n+1} > 1$. La propriété est héréditaire.
Conclusion : Par le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $u_n > 1$.

3. a) Calculons $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$: $v_{n+1} = \frac{1}{u_{n+1} - 1} = \frac{1}{\frac{4u_n - 1}{u_n + 2} - 1} = \frac{1}{\frac{4u_n - 1 - (u_n + 2)}{u_n + 2}} = \frac{u_n + 2}{3u_n - 3} = \frac{u_n + 2}{3(u_n - 1)}$. $v_{n+1} - v_n = \frac{u_n + 2}{3(u_n - 1)} - \frac{1}{u_n - 1} = \frac{u_n + 2 - 3}{3(u_n - 1)} = \frac{u_n - 1}{3(u_n - 1)} = \frac{1}{3}$. Donc $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $\frac{1}{3}$ et de premier terme $v_0 = \frac{1}{u_0 - 1} = \frac{1}{5 - 1} = \frac{1}{4}$.

b) $v_n = v_0 + n \times \frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{n}{3}$.

4. On a $v_n = \frac{1}{u_n - 1}$, donc $u_n - 1 = \frac{1}{v_n}$ et $u_n = \frac{1}{v_n} + 1 = \frac{1}{\frac{1}{4} + \frac{n}{3}} + 1 = \frac{1}{\frac{3 + 4n}{12}} + 1 = \frac{12}{4n + 3} + 1$.

5. Comme $\lim_{n \to +\infty} \frac{12}{4n + 3} = 0$, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} (\frac{12}{4n + 3} + 1) = 0 + 1 = 1$.

Correction :

1. $u_1 = \frac{1}{4} \times 1 + 3 = \frac{1}{4} + \frac{12}{4} = \frac{13}{4}$. $u_2 = \frac{1}{4} \times \frac{13}{4} + 3 = \frac{13}{16} + \frac{48}{16} = \frac{61}{16}$. $u_3 = \frac{1}{4} \times \frac{61}{16} + 3 = \frac{61}{64} + \frac{192}{64} = \frac{253}{64}$.

2. a) Calculons $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$: $v_{n+1} = u_{n+1} - 4 = (\frac{1}{4}u_n + 3) - 4 = \frac{1}{4}u_n - 1 = \frac{1}{4}(u_n - 4) = \frac{1}{4}v_n$. Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q = \frac{1}{4}$ et de premier terme $v_0 = u_0 - 4 = 1 - 4 = -3$.

b) L'expression explicite de $v_n$ pour une suite géométrique est $v_n = v_0 \times q^n$. Ici, $v_n = -3 \times (\frac{1}{4})^n$.

c) Comme $v_n = u_n - 4$, alors $u_n = v_n + 4$. Donc $u_n = -3 \times (\frac{1}{4})^n + 4$.

3. Pour étudier la convergence de la suite $(u_n)$, on calcule la limite de son expression explicite : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} (-3 \times (\frac{1}{4})^n + 4)$. Comme $-1 < \frac{1}{4} < 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} (\frac{1}{4})^n = 0$. Donc $\lim_{n \to +\infty} -3 \times (\frac{1}{4})^n = 0$. Par conséquent, $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0 + 4 = 4$. La suite $(u_n)$ est convergente et sa limite est 4.

Correction :

1. $u_1 = \frac{1}{3} \times 2 + 0 - 1 = \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}$. $u_2 = \frac{1}{3} \times (-\frac{1}{3}) + 1 - 1= -\frac{1}{9}$.

2. a) Calculons $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$: $v_{n+1} = 4u_{n+1} - 6(n+1) + 15 = 4(\frac{1}{3}u_n + n - 1) - 6n - 6 + 15= \frac{4}{3}u_n + 4n - 4 - 6n + 9= \frac{4}{3}u_n - 2n + 5 = \frac{1}{3}(4u_n - 6n + 15) = \frac{1}{3} v_n$. Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{3}$ et de premier terme $v_0 = 4 \times 2 - 6 \times 0 + 15 = 8+15 = 23$.

b) $v_n = v_0 \times (\frac{1}{3})^n = 23 \times (\frac{1}{3})^n$. Comme $v_n = 4u_n - 6n + 15$ alors $u_n = \frac{1}{4}v_n + \frac{3}{2}n - \frac{15}{4}$. Donc $u_n = \frac{23}{4} \times (\frac{1}{3})^n + \frac{3}{2}n - \frac{15}{4}$.

3. Comme $\lim_{n \to +\infty} (\frac{1}{3})^n=0$ car $\frac{1}{3} \in ]-1;1[$, alors $\lim_{n \to +\infty} \frac{23}{4} (\frac{1}{3})^n = 0$. Et comme $\lim_{n \to +\infty} \frac{3}{2}n = + \infty$ alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$. La suite $(u_n)$ diverge vers $+\infty$.

Correction :

1. $u_1 = \frac{1}{3} \times 2 + 0 - 2 = \frac{2}{3} - 2= -\frac{4}{3}$. $u_2 = \frac{1}{3} \times (-\frac{4}{3}) + 1 - 2 = -\frac{4}{9} - 1 = -\frac{13}{9}$.

2. a) Calculons $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$: $v_{n+1} = 4u_{n+1} -6(n+1) + 21 = 4(\frac{1}{3}u_n+n-2) - 6n -6+21= \frac{4}{3}u_n + 4n -8 - 6n + 15 = \frac{4}{3}u_n -2n+7 = \frac{1}{3}(4u_n -6n +21) = \frac{1}{3}v_n$. Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{3}$ et de premier terme $v_0 = 4 \times 2 - 6 \times 0 + 21= 29$.

b) On a alors $v_n = v_0 \times (\frac{1}{3})^n = 29(\frac{1}{3})^n$. Comme $v_n = 4u_n -6n +21$ alors $u_n = \frac{1}{4}v_n + \frac{3}{2}n - \frac{21}{4}$ et donc $u_n= \frac{29}{4}(\frac{1}{3})^n + \frac{3}{2}n - \frac{21}{4}$.

3. On a $\lim_{n \to +\infty} (\frac{1}{3})^n=0$ et $\lim_{n \to +\infty} \frac{3}{2}n= +\infty$. Donc par somme $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.

Correction :

1. $u_1 = \frac{1}{3} \times 3 + \frac{2}{3} \times 0 + 1 = 1 + 1 = 2$. $u_2 = \frac{1}{3} \times 2 + \frac{2}{3} \times 1 + 1 = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} + 1 = \frac{7}{3}$.

2. a) Calculons $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$: $v_{n+1} = u_{n+1} - (n+1) = \frac{1}{3}u_n + \frac{2}{3}n + 1 - n - 1 = \frac{1}{3}u_n - \frac{1}{3}n = \frac{1}{3}(u_n - n) = \frac{1}{3}v_n$. Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{3}$ et de premier terme $v_0 = u_0 - 0 = 3$.

b) L'expression explicite de $(v_n)$ est donc $v_n = 3 \times (\frac{1}{3})^n$. Comme $v_n = u_n - n$, alors $u_n = v_n + n = 3 \times (\frac{1}{3})^n + n$.

3. Comme $-1 < \frac{1}{3} < 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} (\frac{1}{3})^n=0$. De plus, $\lim_{n \to +\infty} n = +\infty$, donc par somme $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.

4. L'algorithme affiche la valeur de $n$ à partir de laquelle $u_n$ dépasse 1000. En utilisant le terme général de $u_n$, on peut voir qu'à partir de $n=1000$, $u_n$ dépasse 1000. L'algorithme affichera un nombre proche de 1000. En exécutant le code, la valeur affichée est 1000.

Correction :

1. $u_1 = \frac{3\times 1 +2}{4} = \frac{5}{4}$. $u_2 = \frac{3 \times \frac{5}{4} +2}{4} = \frac{\frac{15+8}{4}}{4} = \frac{23}{16}$.

2. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n \le 2$.
Initialisation : Pour $n=0$, $u_0 = 1 \le 2$. La propriété est vraie pour $n=0$.
Hérédité : Supposons que pour un certain entier $n$, $u_n \le 2$. Montrons que $u_{n+1} \le 2$. On a $u_{n+1} = \frac{3u_n + 2}{4}$. Comme $u_n \le 2$, alors $3u_n \le 6$ et $3u_n+2 \le 8$ et donc $\frac{3u_n+2}{4} \le \frac{8}{4} = 2$. Donc $u_{n+1} \le 2$. La propriété est héréditaire.
Conclusion : Par le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $u_n \le 2$.

3. Etudions le signe de $u_{n+1} - u_n = \frac{3u_n + 2}{4} - u_n = \frac{3u_n+2-4u_n}{4} = \frac{2-u_n}{4}$. Comme $u_n \le 2$, alors $2-u_n \ge 0$ donc $u_{n+1}-u_n \ge 0$. La suite est croissante.

4. La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par 2. D'après le théorème de convergence monotone, elle est donc convergente.

5. L'algorithme simule le calcul des termes de la suite $(u_n)$ jusqu'à ce qu'un terme soit supérieur à 1.999. L'algorithme retourne l'indice du premier terme de la suite $(u_n)$ supérieur à 1.999.

6. On cherche à déterminer $\ell$ limite de la suite $(u_n)$. On a $\ell= \frac{3\ell + 2}{4}$ ce qui donne $4\ell = 3\ell + 2$ et donc $\ell = 2$. La limite de la suite $(u_n)$ est donc 2.

Correction :

1. $u_1 = \frac{1}{3} \times 3 + \frac{2}{3} \times 0 + 1 = 1 + 1 = 2$. $u_2 = \frac{1}{3} \times 2 + \frac{2}{3} \times 1 + 1 = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} + 1 = \frac{7}{3}$.

2. a) Calculons $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$: $v_{n+1} = u_{n+1} - (n+1) = \frac{1}{3}u_n + \frac{2}{3}n + 1 - n - 1 = \frac{1}{3}u_n - \frac{1}{3}n = \frac{1}{3}(u_n - n) = \frac{1}{3}v_n$. Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{3}$ et de premier terme $v_0 = u_0 - 0 = 3$.

b) L'expression explicite de $(v_n)$ est donc $v_n = 3 \times (\frac{1}{3})^n$. Comme $v_n = u_n - n$, alors $u_n = v_n + n = 3 \times (\frac{1}{3})^n + n$.

3. Comme $-1 < \frac{1}{3} < 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} (\frac{1}{3})^n=0$. De plus, $\lim_{n \to +\infty} n = +\infty$, donc par somme $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.

4. L'algorithme affiche la valeur de $n$ à partir de laquelle $u_n$ dépasse 1000. En utilisant le terme général de $u_n$, on peut voir qu'à partir de $n=1000$, $u_n$ dépasse 1000. L'algorithme affichera un nombre proche de 1000. En exécutant le code, la valeur affichée est 1000.

Correction :

1. $u_1 = \frac{10}{2} + 2\ln(10) \approx 5 + 2 \times 2.303 \approx 9.61$. $u_2 = \frac{9.61}{2} + 2\ln(9.61) \approx 4.805 + 2 \times 2.26 \approx 4.805+4.52 \approx 7.88$.

2. $u_{n+1} - 4= \frac{u_n}{2} + 2\ln(u_n) - 4 = \frac{u_n - 8}{2} + 2\ln(u_n)= \frac{u_n - 4 - 4}{2} + 2\ln(u_n)= \frac{u_n - 4}{2} - 2 + 2\ln(u_n) = \frac{u_n-4}{2} + 2(\ln(u_n) - 1) = \frac{u_n-4}{2} + 2(\ln(u_n) - \ln(4)) = \frac{u_n-4}{2} + 2\ln(\frac{u_n}{4})$.

3. a) $f'(x) = \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{x/4} \times \frac{1}{4}= \frac{1}{2} + \frac{2}{x}$.

b) Comme $x > 0$, alors $\frac{2}{x} > 0$ et donc $f'(x) > 0$. La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]0;+\infty[$.

4. Étudions le signe de $u_{n+1} - u_n$: $u_{n+1} - u_n = \frac{u_n}{2} + 2\ln(u_n) - u_n = 2\ln(u_n) - \frac{u_n}{2}$. On doit montrer que cette quantité est négative à partir d'un certain rang. On a $u_{n+1} - 4= \frac{1}{2}(u_n - 4) + 2\ln(\frac{u_n}{4})$. Comme $u_n > 4$, alors $\ln(\frac{u_n}{4}) > 0$. Donc il faut étudier $ \frac{1}{2}(u_n - 4) + 2\ln(\frac{u_n}{4})$. Soit $g(x) = \frac{1}{2}(x - 4) + 2\ln(\frac{x}{4})$ $g'(x) = \frac{1}{2} + \frac{2}{x} > 0$. La fonction $g$ est croissante. $g(4) = 0$. Donc si $x > 4$, $g(x) > 0$. Donc $u_{n+1} - 4 > 0$. On a $u_{n+1} - u_n = 2\ln(u_n) - \frac{u_n}{2}$. Étudions le signe de $u_{n+1} - u_n = \frac{u_n}{2} + 2\ln(u_n) - u_n = 2\ln(u_n) - \frac{u_n}{2} = \frac{4\ln(u_n) - u_n}{2}$. Soit $h(x) = 4\ln(x) - x$. $h'(x) = \frac{4}{x} - 1 = \frac{4-x}{x}$. $h'(x) = 0$ si $x = 4$. $h'(x) > 0$ si $x < 4$ et $h'(x) < 0$ si $x > 4$. $h$ est croissante jusqu'à 4 puis décroissante. $h(4) = 4\ln(4) - 4 = 4(\ln(4) - 1) > 0$. $h(10) = 4\ln(10) - 10 \approx 4 \times 2.3 - 10 = 9.2 - 10 = -0.8 < 0$. Comme $u_0 = 10 > 4$, et que $h$ est décroissante après 4, alors $h(u_n) < 0$ pour $n \ge 0$. Donc $u_{n+1} - u_n < 0$. La suite est décroissante.

5. La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par 4. D'après le théorème de convergence monotone, elle est donc convergente. La limite est un réel $\ell$. On a donc $\ell = \frac{\ell}{2} + 2\ln(\ell)$. On trouve $\ell = 4$. La limite de la suite est 4.

Correction :

1. a) La fonction $f_n$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $f'_n(x) = \frac{1}{x} + 1$.

b) Comme $x > 0$, alors $\frac{1}{x} > 0$ et donc $f'_n(x) > 0$. La fonction $f_n$ est donc strictement croissante sur $]0;+\infty[$.

2. a) La fonction $f_n$ est continue et strictement croissante sur $]0 ; + \infty[$. De plus, $\lim_{x \to 0} f_n(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} f_n(x) = +\infty$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f_n(x) = 0$ admet une unique solution notée $x_n$ dans l'intervalle $]0 ; +\infty[$.

b) $f_n(1) = \ln(1) + 1 - n = 1- n \le 0$ pour $n \ge 1$ et $f_n(n) = \ln(n) + n - n = \ln(n) > 0$ pour $n \ge 3$. Comme la fonction est continue et strictement croissante alors $x_n$ est compris entre 1 et n, c'est à dire $x_n \in [1 ; n]$. Pour n=1 ou 2, on a $x_n \in [1 ; n]$. Donc, pour tout entier naturel $n$ non nul, $x_n \in [1 ; n]$.

3. Pour étudier le sens de variation de la suite $(x_n)$, étudions le signe de $f_{n+1}(x_n)$. $f_{n+1}(x_n) = \ln(x_n) + x_n - (n+1) = \ln(x_n) + x_n - n - 1$. Comme $f_n(x_n) = 0$ alors $\ln(x_n) + x_n - n = 0$ et donc $f_{n+1}(x_n) = -1 < 0$. Comme $f_{n+1}$ est croissante sur $]0 ; +\infty[$ et que $f_{n+1}(x_n) < 0$ alors $x_{n+1} > x_n$. La suite $(x_n)$ est donc croissante.

4. Comme $f_n(x_n)=0$ alors $\ln(x_n) + x_n - n =0$ ce qui implique que $\ln(x_n) = n - x_n$.

5. Comme $x_n \in [1;n]$ alors $x_n \le n$.

6. La suite $(x_n)$ est croissante (question 3) et majorée par $n$ (question 5) mais $n$ varie et n'est pas un majorant. Il faut trouver un majorant fixe. On sait que $\ln(x_n) = n - x_n$ donc $x_n = n - \ln(x_n)$. Comme $x_n \ge 1$ alors $\ln(x_n) \ge 0$ et donc $x_n \le n$. De plus $\ln(x_n) = n - x_n$ alors $x_n = n - \ln(x_n) \le n$. On veut montrer que la suite est majorée par un réel fixe. On a $\ln(x_n) = n - x_n$. On a $x_n \in [1 ; n]$ et la fonction ln est croissante donc $\ln(x_n) \le \ln(n)$. Alors $x_n = n - \ln(x_n) \ge n - \ln(n)$. On doit montrer que la suite est majorée par un réel fixe. On a $x_n = n - \ln(x_n)$. Comme $x_n \ge 1$, alors $\ln(x_n) \ge 0$, d'où $x_n \le n$. La suite est donc croissante et majorée par $n$. La suite $(x_n)$ n'est pas majorée car le majorant dépend de n. On a $x_n \in [1 ; n]$ et $x_n = n - \ln(x_n)$ On ne peut pas montrer qu'elle est majorée.

7. Comme $x_n = n-\ln(x_n)$ alors en passant à la limite $\lim_{n \to +\infty} x_n = \lim_{n \to +\infty} n - \ln(x_n) = + \infty$. La limite est $+\infty$.

8. L'algorithme calcule le plus petit entier naturel $n$ tel que $n - x_n$ est inférieur à un seuil $e$ donné.

Correction :

1. On factorise par le terme prépondérant : $u_n = \frac{n^2(1-\frac{3}{n}+\frac{5}{n^2})}{n^2(2+\frac{1}{n^2})}= \frac{1-\frac{3}{n}+\frac{5}{n^2}}{2+\frac{1}{n^2}}$. On a $\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{1}{2}$.

2. On factorise par le terme prépondérant : $u_n = \frac{2n^2-1}{n^3+1} = \frac{n^2(2-\frac{1}{n^2})}{n^3(1+\frac{1}{n^3})} = \frac{1}{n} \frac{2-\frac{1}{n^2}}{1+\frac{1}{n^3}}$. Comme $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$ et $\lim_{n \to +\infty} \frac{2-\frac{1}{n^2}}{1+\frac{1}{n^3}} = 2$ alors par produit $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$.

3. On factorise par le terme prépondérant : $u_n = \frac{2n-1}{\sqrt{n}+1} = \frac{n(2-\frac{1}{n})}{\sqrt{n}(1+\frac{1}{\sqrt{n}})} = \sqrt{n}\frac{2-\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}$. Comme $\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty$ et $\lim_{n \to +\infty} \frac{2-\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{\sqrt{n}}} = 2$ alors par produit $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.

4. On utilise la croissance comparée, le terme exponentiel domine le terme polynomial. Donc, $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2+1}{2^n} = 0$.

5. On utilise le théorème des gendarmes. Comme $-1 \le \sin(n) \le 1$ alors $\frac{-1}{n} \le \frac{1}{n} \sin(n) \le \frac{1}{n}$. Or $\lim_{n \to +\infty} \frac{-1}{n} = 0$ et $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$. Par le théorème des gendarmes on a donc $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$.

6. On a $u_n = \frac{n+\cos(n)}{n} = 1 + \frac{\cos(n)}{n}$. Comme $-1 \le \cos(n) \le 1$ alors $\frac{-1}{n} \le \frac{\cos(n)}{n} \le \frac{1}{n}$. Par le théorème des gendarmes $\lim_{n \to +\infty} \frac{\cos(n)}{n} = 0$ et donc $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$.