Exercices : Suites Numériques (Partie 1)

Correction :

Initialisation : Pour $n=0$ $S_n =0$ et $\dfrac{0 \times (0+1)}{2} = 0$.

la propriété est vraie au rang $0$.

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$. On a donc $S_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$.

$\begin{align} S_{n+1} &= 0+1+2+\ldots+n+(n+1) \\\\
&= S_n + (n+1) \\\\
&= \dfrac{n(n+1)}{2} + n+1\\\\
&= \dfrac{n(n+1)+2(n+1)}{2}\\\\
&= \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}
\end{align}$

La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.

Par conséquent, pour tout $n \in \mathbb{N}$ on a $S_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$.

Correction :

Initialisation : Si $n=1$ alors $S_1=1^2 = 1$ et $\dfrac{1(1+1)(2\times 1 + 1)}{6} = 1$.

La propriété est vraie au rang $1$.

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $S_n = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

$\begin{align} S_{n+1} &= 1^2+2^2+\ldots+n^2+(n+1)^2 \\\\
&= S_n + (n+1)^2 \\\\
&= \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 \\\\
&= \dfrac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6} \\\\
&= \dfrac{(n+1)\left[n(2n+1)+6(n+1)\right]}{6}\\\\
&=\dfrac{(n+1)(2n^2+n+6n+6)}{6}\\\\
&=\dfrac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6} \quad (1)
\end{align}$

On voulait montrer que $S_{n+1} = \dfrac{(n+1)(n+1+1)\left(2(n+1)+1\right)}{6} = \dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$.

Développons $(n+2)(2n+3) = 2n^2+3n+4n+6=2n^2+7n+6$.

Par conséquent, en revenant dans $(1)$ on a $S_{n+1} = \dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$.

La propriété est vraie au rang $n+1$.

Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$. En supposant la propriété vraie au rang $n$ elle est encore vraie au rang suivant.

Par conséquent, pour entier $n \ge 1$ on a $S_n = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

Correction :

Initialisation : Si $n=1$ alors $S_1 = \dfrac{1}{1\times (1+1)} = \dfrac{1}{2}$.

Or $1-\dfrac{1}{1+1} = \dfrac{1}{2}$.

La propriété est donc vraie au rang $1$.

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ :

$S_n = \dfrac{1}{1 \times 2} + \dfrac{1}{2 \times 3} + \dfrac{1}{3 \times 4} + \ldots + \dfrac{1}{n(n+1)} = 1 – \dfrac{1}{n+1}$

Au rang $n+1$ on a donc :

$\begin{align} S_{n+1}&= \dfrac{1}{1 \times 2} + \dfrac{1}{2 \times 3} + \dfrac{1}{3 \times 4} + \ldots + \dfrac{1}{n(n+1)} + \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\\\\
& = 1-\dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} \\\\
&=1-\dfrac{n+2}{(n+1)(n+2)} + \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} \\\\
&=1-\dfrac{n+2}{(n+1)(n+2)}-\dfrac{-1}{(n+1)(n+2)} \\\\
&=1-\dfrac{n+2-1}{(n+1)(n+2)}\\\\
&=1-\dfrac{n+1}{(n+1)(n+2)} \\\\
&=1-\dfrac{1}{n+2}
\end{align}$

La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.

Par conséquent, pour tout entier naturel $n \ge 1$ on a $S_n = 1 – \dfrac{1}{n+1}$

Correction :

Initialisation : $u_0 = 1$ donc $0

La propriété est vraie au rang $0$.

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $0

Donc $2<2+u_n < 4$ et $\sqrt{2} < \sqrt{2+u_n}<\sqrt{4}$

Finalement $0 < \sqrt{2} < u_{n+1} < 2$

La propriété est vraie au rang $n+1$

Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.

Par conséquent, pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $0 < u_n <2$.

Correction :

Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0 = 2$ et $\dfrac{2}{2\times 0 + 1} = 2$.

La propriété est donc vraie au rang $0$.

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n = \dfrac{2}{2n+1}$.

Alors :

$\begin{align} u_{n+1} & = \dfrac{u_n}{1+u_n} \\\\
&= \dfrac{\dfrac{2}{2n+1}}{1+\dfrac{2}{2n+1}} \\\\
&= \dfrac{2}{2n+1 + 2}\\\\
&= \dfrac{2}{2n+3}\\\\
&=\dfrac{2}{2(n+1)+1}
\end{align}$

La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$ elle est encore vraie au rang suivant.

Par conséquent, pour tout $n \in \mathbb{N}$ on a $ u_n = \dfrac{2}{2n+1}$.

Correction :

Initialisation : Si $n=0$, $u_0=3$ et $2^{0+1}+1 = 2 + 1 =3$.

La propriété est vraie au rang $0$.

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$. $u_n = 2^{n+1}+1$.

$\begin{align} u_{n+1} &= 2u_n – 1 \\\\
&= 2 \times \left( 2^{n+1}+1 \right) – 1 \\\\
&= 2^{n+2} + 2 – 1 \\\\
& = 2^{n+2} + 1
\end{align}$

La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.

Par conséquent, pour tout $n \in \mathbb{N}$ on a $u_n = 2^{n+1}+1$.

Correction :

Initialisation : Si $n=1$ alors $u_1 = \dfrac{1+2u_0}{2+u_0} = \dfrac{1}{2}$ . Donc $0 < u_1 \le 1$.

La propriété est vraie au rang $1$.

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$. Donc $$0 < u_n \le 1$$.

On a donc :

$u_n > 0$ donc $1+2u_n > 0$ et $2+u_n > 0$. Par conséquent $u_{n+1} > 0$
$u_{n+1} – 1 = \dfrac{1+2u_n}{2+u_n} – 1 = \dfrac{u_n-1}{2+u_n}$
Or $u_n \le 1$ cela signifie donc que $u_n-1 \le 0$ et par conséquent $u_{n+1} – 1 \le 0$.

La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est vraie au rang suivant.

Par conséquent, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ on a $0 < u_n \le 1$.

Correction :

Initialisation : si $n=0$ alors $(1+a)^0 = 1$ et $1+ 0 \times a = 1$. $1 \ge 1$.

La propriété est donc vraie au rang $0$.

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$. On a donc $(1+a)^n \ge 1+na$.

$\begin{aligned} (1+a)^{n+1} &= (1+a) \times (1+a)^n \\ & \ge (1+a) \times (1+na) \\ & = 1 + na + a + na^2 \\ & = 1 + (n+1)a + na^2\\ & \ge 1 + (n+1)a \end{aligned}$

Or $na^2 \ge 0$ donc $(1+a)^{n+1} \ge 1 + (n+1)a$.

La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$ elle est encore vraie au rang suivant.

Par conséquent, pour tout $n \in \mathbb{N}$ on a $(1+a)^n \ge 1+na$.

Correction :

Initialisation : $f$ est dérivable sur $I=]-\infty;1[ \cup ]1;+\infty[$ comme quotient de fonctions dérivables sur $I$.

Si $n= 1$ alors $f'(x) = \dfrac{-(-1)}{(1-x)^2} = \dfrac{1}{(1-x)^2}$ et $\dfrac{1!}{(1-x)^{1+1}} = \dfrac{1}{(1-x)^{2}}$.

La propriété est donc vraie au rang $1$.

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$. $f^{(n)}(x) = \dfrac{n!}{(1-x)^{n+1}}$.

La fonction $f^{(n)}$ est dérivable sur $I$.

$\begin{aligned} f^{(n+1)}(x) &= \left( f^{(n)}\right)’ (x) \\\\ &= \dfrac{-n! \times (n+1) \times (-1) \times (1-x)^n}{(1-x)^{2(n+1)}} \\\\ &= \dfrac{(n+1)! \times (1-x)^n}{(1-x)^{2n+2}} \\\\ &=\dfrac{(n+1)!}{(1-x)^{n+2}} \\\\ &=\dfrac{(n+1)!}{(1-x)^{(n+1)+1}} \end{aligned}$

La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$. En la supposant vraie au rang $n$ elle est encore vraie au rang suivant.

Par conséquent, pour tout entier $n \ge 1$, on a $f^{(n)}(x) = \dfrac{n!}{(1-x)^{n+1}}$.

Correction :

Initialisation : Si $n=0$ alors $10^0-1=1-1 = 0$ est bien un multiple de $9$.

La propriété est donc vraie au rang $0$.

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$.

Il existe alors un entier relatif $k$ tel que $10^n -1=9k$ soit $10^n=9k+1$.

$\begin{aligned} 10^{n+1} -1 &= 10^n\times 10-1 \\ &= (9k+1) \times 10 – 1 \\ &= 9 \times 10k + 10 – 1 \\ &=9 \times 10k + 9 \end{aligned}$

Par conséquent $10^{n+1}-1$ est bien un multiple de $9$. La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$ elle est encore vraie au rang suivant.

Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $10^n -1$ est un multiple de $9$.

Correction :

1. Pour $P(n)$ :
   Supposons la propriété vraie au rang $n$ : “$4^n-1$ est divisible par $3$”.
   Il existe donc un entier relatif $k$ tel que $4^n-1 = 3k$ soit $4^n = 1+3k$.
   Par conséquent :
   $\begin{aligned} 4^{n+1} -1&= 4^n\times 4 -1\\ &= 4(1+3k) -1\\ &=4 + 3\times 4k – 1\\ &=3+3\times 4k \end{aligned}$
   Donc $4^{n+1}-1$ est bien divisible par $3$.
   $\quad$
   Pour $Q(n)$ :
   Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $4^n+1$ est divisible par $3$”.
   Il existe donc un entier relatif $k$ tel que $4^n+1=3k$ soit $4^n=3k-1$.
   Par conséquent :
   $\begin{aligned} 4^{n+1}+1 &= 4^n\times 4 + 1 \\ &= 4(3k-1)+1 \\ &= 3 \times 4k – 4 + 1\\ &= 3\times 4k – 3 \end{aligned}$
   Donc $4^{n+1}+1$ est divisible par $3$”.
   $\quad$
   Les propositions $P(n)$ et $Q(n)$ sont héréditaires.
   $\quad$
2. Regardons si $P(0)$ est vraie : $4^0-1 = 1 – 1 = 0$ est bien divisible par $3$.
   La propriété est donc vraie au rang $0$. Puisqu’elle est également héréditaire, la propriété est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.
   $\quad$
3. Regardons si $Q(0)$ est vraie : $4^0 + 1 = 1 + 1 = 2$. $Q(0)$ est fausse.
   D’une manière générale : $4 \equiv 1~[3]$ donc $4^n \equiv 1^n \equiv 1~[3]$
   Par conséquent $4^n+1 \equiv 2~[3]$.
   La propriété $Q(n)$, bien qu’héréditaire, n’est jamais vraie.

Correction :

Initialisation : Si $n=1$ alors $S_1=1$ et $\dfrac{1^2\times (1+1)^2}{4}=1$

La propriété est vraie au rang $1$.

$\quad$

Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $S_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^3 = 1^3+2^3+\ldots+n^3 = \dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$

$\begin{aligned} S_{n+1}&=1^3+2^3+\ldots+n^3+(n+1)^3 \\ &=S_n+(n+1)^3 \\ &=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3\\ &=(n+1)^2 \times \left(\dfrac{n^2}{4}+n+1\right) \\ &=(n+1)^2\times \dfrac{n^2+4n+4}{4} \\ &=(n+1)^2\times \dfrac{(n+2)^2}{4} \end{aligned}$

La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

$\quad$

Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier $n \ge 1$, on a : $ S_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^3 = 1^3+2^3+\ldots+n^3 = \dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$

Correction :

On veut donc démontrer que, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n\le u_{n+1}$

Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0=1$ et $u_1=\sqrt{u_0+1}=\sqrt{2}$
On a bien $u_0 La propriété est vraie au rang $0$.

$\quad$

Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $u_n\le u_{n+1}$
$\begin{aligned} u_n\le u_{n+1} &\iff u_n+1 \le u_{n+1}+1 \\ &\iff \sqrt{u_n+1} \le \sqrt{u_{n+1}+1} \quad (*)\\ &\iff u_{n+1} \le u_{n+2} \end{aligned}$
$(*)$ par croissance de la fonction racine carrée.

La propriété est donc vraie au rang $n+1$

$\quad$

Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.

Correction :

Montrons ce résultat par récurrence.

Initialisation : Si $n=0$ alors $2^{0+2}+3=4+3=7=u_0$.
La propriété est donc vraie au rang $0$.

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n=2^{n+2}+3$.
Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $u_{n+1}=2^{n+3}+3$.

$\begin{aligned} u_{n+1}&=2u_n-3\\ &=2\left(2^{n+2}+3\right)-3\\ &=2^{n+3}+6-3\\ &=2^{n+3}+3 \end{aligned}$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=2^{n+2}+3$.

Correction :

1. Montrons par récurrence sur $n$ que \(0 Initialisation : \(u_0=1\) donc \(0 La propriété est vraie au rang \(0\).
    
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang \(n\) : \(0 Montrons qu’elle est encore vraie au rang \(n+1\) c’est-à-dire que \(0 \[ \begin{aligned} 0 Par conséquent \(0 La propriété est vraie au rang \(n+1\).
    
   Conclusion : La propriété est vraie au rang \(0\) et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel \(n\), on a \(0  
2. Démontrons la propriété par récurrence.
   Initialisation : \(u_0=1\) et \(u_1=\sqrt{2}\) donc \(u_0\le u_1\).
   La propriété est donc vraie au rang \(0\).
    
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang \(n\) : \(u_n \le u_{n+1}\).
   Montrons qu’elle est encore vraie au rang \(n+1\) c’est-à-dire que \(u_{n+1} \le u_{n+2}\).
   \[ \begin{aligned} u_n \le u_{n+1} &\iff u_n+1 \le u_{n+1}+1 \\ &\iff \sqrt{u_n+1} \le \sqrt{u_{n+1}+1} \quad (*) \\ &\iff u_{n+1} \le u_{n+2} \end{aligned} \]  
   Conclusion : La propriété est vraie au rang \(0\) et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel \(n\), on a \(u_n \le u_{n+1}\).
    
   \((*)\) On peut appliquer la fonction racine carrée car \(u_n>0\) donc \(u_n+1>0\).
    
   La suite \((u_n)\) est donc croissante et majorée par \(2\). Par conséquent elle converge.
    

Correction :

1. \(u_0=10\), \(u_1=6\), \(u_2=4\), \(u_3=3\), \(u_4=2,5\).
   La suite \((u_n)\) semble donc décroissante.
    
2. La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) en tant que fonction polynôme.
   \(f'(x)=\dfrac{1}{2}>0\).
   La fonction \(f\) est donc strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
    
3. Montrons par récurrence que la suite \((u_n)\) est décroissante, c’est-à-dire que, pour tout entier naturel \(n\), on a \(u_{n+1} Initialisation : \(u_0=10\) et \(u_1=6\) donc \(u_1 La propriété est vraie au rang \(0\).
    
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang \(n\) : \(u_{n+1} Montrons que la propriété est vraie au rang \(n+1\), c’est-à-dire que \(u_{n+2} \[ \begin{aligned} u_{n+1} La propriété est donc vraie au rang \(n+1\).
    
   Conclusion : La propriété est vraie au rang \(0\) et est héréditaire.
   Par conséquent la suite \((u_n)\) est décroissante.
    

Correction :

On note $S_n=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}k^{2}$

Initialisation : Si $n=0$ alors $S_0=0^2 = 0$ et $\dfrac{0(0+1)(2\times 0+ 1)}{6} = 0$.
La propriété est vraie au rang $0$.

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $S_n = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que :
$S_{n+1} = \dfrac{(n+1)(n+1+1)\left(2(n+1)+1\right)}{6} = \dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$.

$\begin{aligned} S_{n+1} &= 0^2+1^2+2^2+\ldots+n^2+(n+1)^2 \\ &= S_n + (n+1)^2 \\ &= \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 \\ &= \dfrac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6} \\ &= \dfrac{(n+1)\left[n(2n+1)+6(n+1)\right]}{6}\\ &=\dfrac{(n+1)(2n^2+n+6n+6)}{6}\\ &=\dfrac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6} \quad (1) \end{aligned}$

Développons $(n+2)(2n+3) = 2n^2+3n+4n+6=2n^2+7n+6$.
Par conséquent, en revenant dans $(1)$ on a $S_{n+1} = \dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$.
La propriété est vraie au rang $n+1$.

Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour entier naturel $n$ on a $S_n = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

Correction :

1. On note $S_n = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} k^3 = 0^3+1^3+2^3+\ldots+n^3$
   Montrons la propriété par récurrence.
   Initialisation : Si $n=0$ alors $S_0=0$ et $\dfrac{0^2\times (0+1)^2}{4}=0$.
   La propriété est vraie au rang $0$.
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $S_n = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} k^3 = \dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$
   Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que :
   $S_{n+1} = \displaystyle \sum_{k=0}^{n+1} k^3 = \dfrac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}$
   $\begin{aligned} S_{n+1}&=1^3+2^3+\ldots+n^3+(n+1)^3 \\ &=S_n+(n+1)^3 \\ &=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3\\ &=(n+1)^2 \times \left(\dfrac{n^2}{4}+n+1\right) \\ &=(n+1)^2\times \dfrac{n^2+4n+4}{4} \\ &=(n+1)^2\times \dfrac{(n+2)^2}{4} \end{aligned}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a : $ S_n = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} k^3 = \dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$
2. On sait que pour tout entier naturel $n$ on a $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k =\dfrac{n(n+1)}{2}$
   Par conséquent $\displaystyle \left(\sum_{k=1}^{n}k\right)^2 = \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} k^3$.

Correction :

1. a. $u_1 = \dfrac{3u_0}{1+2u_0} = \dfrac{3}{4}$ $\quad$ $u_2 = \dfrac{3u_1}{1+2u_1} = \dfrac{9}{10}$
   $\quad$
   b. Initialisation : $u_0 = \dfrac{1}{2} > 0$. La propriété est donc vraie au rang $0$
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $0 < u_n$.
   Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $0 $u_{n+1} = \dfrac{3u_n}{1+2u_n}$ est un quotient dont le numérateur et le dénominateur sont positifs.
   Donc $u_{n+1} > 0$
   La propriété est, par conséquent, vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $0< u_n$.
   $\quad$
2. $\quad$
   $\begin{aligned} u_{n+1}-u_{n} &= \dfrac{3u_n}{1+2u_n}-u_n \\ & = \dfrac{3u_n}{1+2u_n}-\dfrac{u_n+2u_n^2}{1+2u_n} \\ & = \dfrac{2u_n-2u_n^2}{1+2u_n} \\ & = \dfrac{2u_n(1-u_n)}{1+2u_n} \end{aligned}$
   On sait que $0 < u_n < 1$ donc $u_{n+1}-u_n > 0$.
   La suite $(u_n)$ est donc croissante.
   $\quad$
3. a.
   $\begin{aligned} v_{n+1} &= \dfrac{u_{n+1}}{1-u_{n+1}} \\ & = \dfrac{\dfrac{3u_n}{1+2u_n}}{1-\dfrac{3u_n}{1+2u_n}} \\ &= \dfrac{\dfrac{3u_n}{1+2u_n}}{\dfrac{1+2u_n-3u_n}{1+2u_n}} \\ &=\dfrac{3u_n}{1+2u_n} \times \dfrac{1+2u_n}{1-u_n} \\ &= 3 \dfrac{u_n}{1-u_n} \\ &=3v_n \end{aligned}$
   $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $3$.
   $\quad$
   b. $v_0 = \dfrac{0.5}{1 – 0.5} = 1$ donc $v_n = 3^n$.
   $\quad$
   c.
   $\begin{aligned} v_n = \dfrac{u_n}{1-u_n}& \iff 3^n = \dfrac{u_n}{1-u_n} \\ &\iff (1-u_n) \times 3^n = u_n \\ & \iff 3^n = u_n + 3^n u_n \\ & \iff u_n = \dfrac{3^n}{1+3^n} \end{aligned}$
   d. $\dfrac{1+3^n}{3^n} = \dfrac{1}{3^n} + 1$ or $\lim\limits_{n \to + \infty} \dfrac{1}{3^n} = 0$ (car $3 > 1$).
   Par conséquent $\lim\limits_{n \to + \infty} \dfrac{1}{u_n} = \lim\limits_{n \to + \infty} \dfrac{1 + 3^n}{3^n} = 1$ et $\lim\limits_{n \to + \infty} u_n = 1$

Correction :

Partie A

1. Initialisation : $u_0 = 2>1$. La propriété est vraie au rang $0$.
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n > 1$. Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $u_{n+1}>1$ Alors
   $\begin{aligned} u_{n+1}& = \dfrac{1+3u_n}{3+u_n}\\ &=\dfrac{3+u_n+2u_n-2}{3+u_n}\\ &=1+\dfrac{2u_n-2}{3+u_n} \end{aligned}$
   D’après l’hypothèse de récurrence : $2u_n-2 > 0$. On a de plus $3+u_n > 0$. Donc $u_{n+1} > 1$.
   La propriété est vraie au rang $n+1$.
   Conclusion : la propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire. Donc pour tout entier naturel $n$, $u_n > 1$.
   Remarque : ne surtout pas faire la division des $2$ inégalités obtenues pour le numérateur et le dénominateur car le passage à l'inverse change le sens des inégalités !
2. a.
   $\begin{aligned} u_{n+1}-u_n&= \dfrac{1+3u_n}{3+u_n}-u_n \\ &=\dfrac{1 + 3u_n-3u_n-u_n^2}{3+u_n} \\ &=\dfrac{(1-u_n)(1+u_n)}{3+u_n} \end{aligned}$
   b. D’après la question 1. on sait que $1-u_n < 0$. De plus $1+u_n > 0$ et $3+u_n > 0$ Donc $u_{n+1}-u_n < 0$.
   La suite $(u_n)$ est donc décroissante.

Partie B

1. $i$	1	2	3
   $u$	0.800	1.077	0.976

2. Il semblerait que la suite $(u_n)$ “oscille” autour de $1$ tout en tendant vers $1$.
3. a.
   $\begin{aligned} v_{n+1} &= \dfrac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+1} \\ &=\dfrac{ \dfrac{1+0.5u_n}{0.5+u_n}-1}{1+\dfrac{1+0.5u_n}{0.5+u_n} } \\ &=\dfrac{\dfrac{1+0.5u_n-0.5-u_n}{0.5+u_n} }{\dfrac{0.5+u_n+1+0.5u_n}{0.5+u_n}}\\ &=\dfrac{0.5-0.5u_n}{1.5+1.5u_n}\\ &=\dfrac{-0.5}{1.5} \times \dfrac{u_n-1}{1+u_n}\\ &=\dfrac{-1}{3}v_n \end{aligned}$
   $\left(v_n\right)$ est donc une suite géométrique de raison $-\frac{1}{3}$ et de premier terme $v_0=\frac{1}{3}$
   b. Donc $v_n=\frac{1}{3}\times \left(\frac{-1}{3} \right)^n$
4. a. Pour tout entier naturel $n$ on a : $\left(\dfrac{-1}{3} \right)^n \le 1$ donc $v_n \le \dfrac{1}{3}$ et $v_n \ne 1$
   b. $v_n = \dfrac{u_n-1}{1+u_n}$ donc
   $\begin{aligned} (1+u_n)v_n &= u_n – 1\\ v_n+1&=u_n-u_n \times v_n \\ u_n &= \dfrac{1+v_n}{1-v_n} \end{aligned}$
   c. $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=0$ car $-1 < \dfrac{-1}{3} < 1$.
   Par conséquent :
   $ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 1$

Correction :

1. a. $u_1 = \dfrac{3u_0}{1+2u_0} = 0,75$ $\quad$ $u_2 = \dfrac{3u_1}{1+2u_1} = 0,9$
   $~$
   b. Initialisation : $u_0 = 0,5 > 0$. La propriété est donc vraie au rang $0$
   $~$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $0 < u_n$.
   Alors $u_{n+1} = \dfrac{3u_n}{1+2u_n}$ est un quotient dont le numérateur et le dénominateur sont positifs.
   Donc $u_{n+1} > 0$
   La propriété est, par conséquent, vraie au rang $n+1$.
   $~$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang $n+1$.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $0< u_n$.
   $~$
2. $~$
   $$\begin{align} u_{n+1}-u_{n} &= \dfrac{3u_n}{1+2u_n} – u_n \\\\
   & = \dfrac{3u_n}{1+2u_n} – \dfrac{u_n+2u_n^2}{1+2u_n} \\\\
   & = \dfrac{2u_n-2u_n^2}{1+2u_n} \\\\
   & = \dfrac{2u_n(1-u_n)}{1+2u_n}
   \end{align}$$
   On sait que $0 < u_n < 1$ donc $u_{n+1} – u_n > 0$.
   La suite $(u_n)$ est donc croissante.
   $~$
3. a. $~$
   $$\begin{align} v_{n+1} &= \dfrac{u_{n+1}}{1-u_{n+1}} \\\\
   & = \dfrac{\dfrac{3u_n}{1+2u_n}}{1 – \dfrac{3u_n}{1+2u_n}} \\\\
   &= \dfrac{\dfrac{3u_n}{1+2u_n}}{\dfrac{1+2u_n-3u_n}{1+2u_n}} \\\\
   &=\dfrac{3u_n}{1+2u_n} \times \dfrac{1+2u_n}{1-u_n} \\\\
   &= 3 \dfrac{u_n}{1-u_n} \\\\&=3v_n
   \end{align}$$
   $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $3$.
   $~$
   b. $v_0 = \dfrac{0,5}{1 – 0,5} = 1$ donc $v_n = 3^n$.
   $~$
   c. $~$
   $$ \begin{align} v_n = \dfrac{u_n}{1-u_n}& \Leftrightarrow 3^n = \dfrac{u_n}{1-u_n} \\\\
   &\Leftrightarrow (1-u_n) \times 3^n = u_n \\\\
   & \Leftrightarrow 3^n = u_n + 3^n u_n \\\\
   & \Leftrightarrow u_n = \dfrac{3^n}{1+3^n}
   \end{align}$$
   d. $\dfrac{1+3^n}{3^n} = \dfrac{1}{3^n} + 1$ or $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{1}{3^n} = 0$ (car $3 > 1$).
   Par conséquent $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{1}{u_n} = \lim\limits_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{1 + 3^n}{3^n} = 1$ et $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} u_n = 1$

Correction :

Partie A

1. Initialisation : $u_0 = 2>1$. La propriété est vraie au rang $0$.
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n > 1$
   Alors
   $$u_{n+1} = \dfrac{1+3u_n}{3+u_n}=\dfrac{3+u_n+2u_n-2}{3+u_n}$$
   $$u_{n+1}=1+\dfrac{2u_n-2}{3+u_n}$$
   D’après l’hypothèse de récurrence : $2u_n-2 > 0$. On a de plus $3+u_n > 0$. Donc $u_{n+1} > 1$.
   La propriété est vraie au rang $n+1$.
   Conclusion : la propriété est vraie au rang $0$.
   En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
   Donc pour tout entier naturel, $u_n > 1$.
   $~$
   Remarque : ne surtout pas faire la division des $2$ inégalités obtenues pour le numérateur et le dénominateur car le passage à l’inverse change le sens des inégalités !
   $~$
2. a. $u_{n+1} – u_n = \dfrac{1+3u_n}{3+u_n} – u_n $ $=\dfrac{1 + 3u_n -3u_n-u_n^2}{3+u_n}$ $=\dfrac{(1-u_n)(1+u_n)}{3+u_n}$
   $~$
   b. D’après la question $1.$ on sait que $1-u_n < 0$. De plus $1+u_n > 0$ et $3+u_n > 0$
   Donc $u_{n+1}-u_n < 0$.
   La suite $(u_n)$ est donc décroissante.

Partie B

i	1	2	3
u	0,800	1,077	0,976

1. Il semblerait que la suite $(u_n)$ “oscille” autour de $1$ tout en tendant vers $1$.
   $~$
2. a. $$v_{n+1} = \dfrac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+1}=\dfrac{ \dfrac{1+0,5u_n}{0,5+u_n}-1}{1+\dfrac{1+0,5u_n}{0,5+u_n} }=\dfrac{\dfrac{1+0,5u_n-0,5-u_n}{0,5+u_n} }{\dfrac{0,5+u_n+1+0,5u_n}{0,5+u_n}}$$
   $$v_{n+1}=\dfrac{0,5-0,5u_n}{1,5+1,5u_n}\dfrac{-0,5}{1,5} \times \dfrac{u_n-1}{1+u_n}=\dfrac{-1}{3}v_n$$
   $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $\dfrac{-1}{3}$ et de premier terme $v_0=\dfrac{1}{3}$
   $~$
   b. Donc $v_n=\dfrac{1}{3}\times \left(\dfrac{-1}{3} \right)^n$
   $~$
3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a : $\left(\dfrac{-1}{3} \right)^n \le 1$ donc $v_n \le \dfrac{1}{3}$ et $v_n \ne 1$
   $~$
   b. $v_n = \dfrac{u_n-1}{1+u_n}$ donc
   $$(1+u_n)v_n = u_n – 1$$
   $$\Leftrightarrow v_n+1=u_n-u_n \times v_n$$
   $$\Leftrightarrow u_n = \dfrac{1+v_n}{1-v_n}$$
   $~$
   c. $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n=0$ car $-1 < \dfrac{-1}{3} < 1$.
   Par conséquent :
   $$ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = 1$$

Correction :

Partie A : Préambule

1. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   $f'(x)=3x^2-6x-3 = 3\left(x^2-2x-1\right)$.
   Déterminons les racines :
   $\Delta = (-2)^2-4\times 1\times (-1)= 8>0$.
   Les deux racines sont donc $x_1 = \dfrac{2 – \sqrt{8}}{2} =1-\sqrt{2}<0$ et $x_2=1+\sqrt{2}>0$.
   Puisque $a=1>0$, $f'(x) \le 0$ sur $\left[0;1+\sqrt{2}\right]$ et $f'(x)\ge 0$ sur $\left[1+\sqrt{2};+\infty\right[$.
   Par conséquent $f$ est décroissante sur $\left[0;1+\sqrt{2}\right]$ et croissante sur $\left[1+\sqrt{2};+\infty\right[$.
   $\quad$
2. Soit $n\ge 4$,
   $\begin{align*} 2n^3-(n+1)^3 &=2n^3-\left(n^3+3n^2+3n+1\right) \\\\
   &=n^3-3n^2-3n-1 \\\\
   &=f(n)
   \end{align*}$
   Or $f(4) = 3 >0$ et $f$ est croissante sur $[4;+\infty[$.
   Par conséquent pour tout entier $n\ge 4$, $f(n) >0$. et $2n^3 > (n+1)^3$.
   $\quad$

Partie B : Conjecture

1. On conjecture que $2^n > n^3$ dès que $n\ge 10$.
   $\quad$
2. Initialisation : Si $n=10$ alors $2^{10} = 1~024$ et $10^3 = 1~000$.
   La propriété est vraie au rang $10$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $2^n > n^3$.
   Alors :
   $\begin{align*} 2^{n+1} &= 2 \times 2^n \\\\
   & > 2 n^3 &\text{hypothèse de récurrence}\\\\
   & > (n+1)^3 &\text{préambule}
   \end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $10$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n \ge 10$, on a $2^n>n^3$.
   $\quad$

Partie C : Question ouverte

Montrons par récurrence que pour tout $n \ge 7$ alors $n! > 3^n$.

Initialisation : Si $n=7$ alors $7! = 5~040$ et $3^7=2~187$.
La propriété est donc vraie au rang $7$.
$\quad$

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $n! > 3^n$.
Alors :
$\begin{align*} (n+1)! &=(n+1) \times n! \\\\
&>(n+1) \times 3^n & \text{hypothèse de récurrence}\\\\
&>3 \times 3^n & \text{car $n\ge 7$ alors $n+1>3$} \\\\
&>3^{n+1}
\end{align*}$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
$\quad$

Conclusion : La propriété est vraie au rang $7$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n\ge7$ on a $n! > 3^n$.

Correction :

Partie A : Préambule

1. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   $f'(x)=3x^2-6x-3 = 3\left(x^2-2x-1\right)$.
   Déterminons les racines :
   $\Delta = (-2)^2-4\times 1\times (-1)= 8>0$.
   Les deux racines sont donc $x_1 = \dfrac{2 – \sqrt{8}}{2} =1-\sqrt{2}<0$ et $x_2=1+\sqrt{2}>0$.
   Puisque $a=1>0$, $f'(x) \le 0$ sur $\left[0;1+\sqrt{2}\right]$ et $f'(x)\ge 0$ sur $\left[1+\sqrt{2};+\infty\right[$.
   Par conséquent $f$ est décroissante sur $\left[0;1+\sqrt{2}\right]$ et croissante sur $\left[1+\sqrt{2};+\infty\right[$.
   $\quad$
2. Soit $n\ge 4$,
   $\begin{align*} 2n^3-(n+1)^3 &=2n^3-\left(n^3+3n^2+3n+1\right) \\\\
   &=n^3-3n^2-3n-1 \\\\
   &=f(n)
   \end{align*}$
   Or $f(4) = 3 >0$ et $f$ est croissante sur $[4;+\infty[$.
   Par conséquent pour tout entier $n\ge 4$, $f(n) >0$. et $2n^3 > (n+1)^3$.
   $\quad$

Partie B : Conjecture

1. On conjecture que $2^n > n^3$ dès que $n\ge 10$.
   $\quad$
2. Initialisation : Si $n=10$ alors $2^{10} = 1~024$ et $10^3 = 1~000$.
   La propriété est vraie au rang $10$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $2^n > n^3$.
   Alors :
   $\begin{align*} 2^{n+1} &= 2 \times 2^n \\\\
   & > 2 n^3 &\text{hypothèse de récurrence}\\\\
   & > (n+1)^3 &\text{préambule}
   \end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $10$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n \ge 10$, on a $2^n>n^3$.
   $\quad$

Partie C : Question ouverte

Montrons par récurrence que pour tout $n \ge 7$ alors $n! > 3^n$.

Initialisation : Si $n=7$ alors $7! = 5~040$ et $3^7=2~187$.
La propriété est donc vraie au rang $7$.
$\quad$

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $n! > 3^n$.
Alors :
$\begin{align*} (n+1)! &=(n+1) \times n! \\\\
&>(n+1) \times 3^n & \text{hypothèse de récurrence}\\\\
&>3 \times 3^n & \text{car $n\ge 7$ alors $n+1>3$} \\\\
&>3^{n+1}
\end{align*}$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
$\quad$

Conclusion : La propriété est vraie au rang $7$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n\ge7$ on a $n! > 3^n$.

Correction :

Démontrons par récurrence pour tout entier $n∈N$ la propriété $P(n)$ : « $9^n - 1$ est divisible par 8 ».
Initialisation : Pour $n=0$ :
$9^0 - 1 = 1 - 1 = 0$, qui est divisible par 8.
Hérédité : Supposons que la propriété soit vraie pour un entier $k$ fixé soit $P(k)$ : « $9^k - 1$ est divisible par 8 » (H.R)
Cela signifie qu'il existe un entier $m$ tel que $9^k - 1 = 8m$.
Démontrons que la propriété est vraie au rang $k+1$ soit $P(k+1)$ : « $9^{k+1} - 1$ est divisible par 8 ». $9^{k+1} - 1 = 9 \cdot 9^k - 1 = 9(8m + 1) - 1 = 72m + 9 - 1 = 72m + 8 = 8(9m + 1)$.
Comme $9m+1$ est un entier, $9^{k+1} - 1$ est divisible par 8.
Conclusion : La propriété est vraie pour $n=0$ et est héréditaire à partir de ce rang. D'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel $n$.

Correction :

Initialisation : Pour $n=0$, $\sum_{k=0}^{0} k(k+1) = 0(0+1) = 0$ et $\frac{0(0+1)(0+2)}{3} = 0$. La propriété est vraie pour $n=0$.
Hérédité : Supposons que la propriété soit vraie pour un certain entier naturel $n$, c'est-à-dire $\sum_{k=0}^{n} k(k+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$.
On veut montrer que $\sum_{k=0}^{n+1} k(k+1) = \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}$. $\sum_{k=0}^{n+1} k(k+1) = \sum_{k=0}^{n} k(k+1) + (n+1)(n+2) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3} + (n+1)(n+2)$ (par hypothèse de récurrence).
$= (n+1)(n+2)[\frac{n}{3} + 1] = (n+1)(n+2)(\frac{n+3}{3}) = \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}$.
Conclusion : La propriété est vraie pour $n=0$, et si elle est vraie pour un certain $n$, elle est vraie pour $n+1$. Donc, par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel $n$.

Correction :

Initialisation : Pour $n=0$, $4^0 + 2 = 1 + 2 = 3$, qui est divisible par 3.
Hérédité : Supposons que $4^n + 2$ soit divisible par 3 pour un certain entier naturel $n$. Cela signifie qu'il existe un entier $k$ tel que $4^n + 2 = 3k$.
On veut montrer que $4^{n+1} + 2$ est aussi divisible par 3. $4^{n+1} + 2 = 4 \cdot 4^n + 2 = 4(3k - 2) + 2 = 12k - 8 + 2 = 12k - 6 = 3(4k - 2)$.
Comme $4k-2$ est un entier, $4^{n+1} + 2$ est divisible par 3.
Conclusion : La propriété est vraie pour $n=0$, et si elle est vraie pour un certain $n$, elle est vraie pour $n+1$. Donc, par le principe de récurrence, $4^n + 2$ est divisible par 3 pour tout entier naturel $n$.

Correction :

a) $u_n = u_1 + (n-1)r$, donc $u_0 = u_1 - r = 5 - (-2) = 7$. $u_2 = u_1 + r = 5 + (-2) = 3$. $u_{10} = u_1 + 9r = 5 + 9(-2) = 5 - 18 = -13$.
b) $u_n = u_1 + (n-1)r = 5 + (n-1)(-2) = 5 - 2n + 2 = 7 - 2n$.
c) $S = \frac{n(u_1 + u_{20})}{2}$. $u_{20} = 7 - 2(20) = 7 - 40 = -33$. $S = \frac{20(5 + (-33))}{2} = 10(-28) = -280$.

Correction :

a) $u_1 = u_0 + r = -3 + 4 = 1$. $u_2 = u_1 + r = 1 + 4 = 5$. $u_5 = u_0 + 5r = -3 + 5(4) = -3 + 20 = 17$.
b) $u_n = u_0 + nr = -3 + 4n$.
c) $S = \frac{(n+1)(u_0 + u_{10})}{2}$. $u_{10} = -3 + 4(10) = -3 + 40 = 37$. $S = \frac{11(-3 + 37)}{2} = \frac{11(34)}{2} = 11(17) = 187$.

Correction :

Pour démontrer que $(u_n)$ est une suite arithmétique, on calcule $u_{n+1} - u_n$ : $u_{n+1} - u_n = (3(n+1) + 1) - (3n + 1) = 3n + 3 + 1 - 3n - 1 = 3$.
Comme $u_{n+1} - u_n$ est constant et égal à 3, $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r=3$ et de premier terme $u_0=1$.
Pour démontrer que $(v_n)$ est une suite arithmétique, on calcule $v_{n+1} - v_n$ : $v_{n+1} - v_n = (5(n+1) - 4) - (5n - 4) = 5n + 5 - 4 - 5n + 4 = 5$.
Comme $v_{n+1} - v_n$ est constant et égal à 5, $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $r=5$ et de premier terme $v_0=-4$.

Correction :

a) $v_1 = v_0 \cdot q = 2 \cdot 3 = 6$. $v_2 = v_1 \cdot q = 6 \cdot 3 = 18$. $v_5 = v_0 \cdot q^5 = 2 \cdot 3^5 = 2 \cdot 243 = 486$.
b) $v_n = v_0 \cdot q^n = 2 \cdot 3^n$.
c) $S = v_0 \frac{1-q^9}{1-q} = 2 \frac{1-3^9}{1-3} = 2 \frac{1-19683}{-2} = 19683-1=19682$.

Correction :

a) $v_2 = v_1 \cdot q = 3 \cdot 2 = 6$. $v_3 = v_2 \cdot q = 6 \cdot 2 = 12$. $v_6 = v_1 \cdot q^5 = 3 \cdot 2^5 = 3 \cdot 32 = 96$.
b) $v_n = v_1 \cdot q^{n-1} = 3 \cdot 2^{n-1}$.
c) $S = v_1 \frac{1-q^7}{1-q} = 3 \frac{1-2^7}{1-2} = 3 \frac{1-128}{-1} = 3(127) = 381$.

Correction :

a) On sait que $u_n = u_0 \cdot q^n$. Donc, $u_4 = u_0 \cdot q^4$, ce qui donne $24 = 3 \cdot q^4$. Ainsi, $q^4 = 8$, et comme la raison est positive (car tous les termes sont positifs), on a $q = \sqrt[4]{8} = \sqrt{2}$.
b) $u_2 = u_0 \cdot q^2 = 3 \cdot (\sqrt{2})^2 = 3 \cdot 2 = 6$. $u_6 = u_0 \cdot q^6 = 3 \cdot (\sqrt{2})^6 = 3 \cdot 8 = 24$.
c) La somme des 7 premiers termes d'une suite géométrique est donnée par $S = u_0 \frac{1-q^7}{1-q}$. Donc, $S = 3 \frac{1-(\sqrt{2})^7}{1-\sqrt{2}} = 3 \frac{1-8\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} = 3 \frac{(1-8\sqrt{2})(1+\sqrt{2})}{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})} = 3 \frac{1-8\sqrt{2}+\sqrt{2}-16}{1-2} = 3 \frac{-15-7\sqrt{2}}{-1} = 45+21\sqrt{2}$.

Correction :

a) On sait que $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$. Donc, $u_4 = u_1 \cdot q^3$, ce qui donne $54 = -2 \cdot q^3$. Ainsi, $q^3 = -27$, et donc $q = -3$.
b) $u_n = u_1 \cdot q^{n-1} = -2 \cdot (-3)^{n-1}$.
c) $u_8 = u_1 \cdot q^7 = -2 \cdot (-3)^7 = -2 \cdot (-2187) = 4374$.

Correction :

a) $u_1 = 2u_0 + 3 = 2(1) + 3 = 5$. $u_2 = 2u_1 + 3 = 2(5) + 3 = 13$. $u_3 = 2u_2 + 3 = 2(13) + 3 = 29$.
b) $v_{n+1} = u_{n+1} + 3 = (2u_n + 3) + 3 = 2u_n + 6 = 2(u_n + 3) = 2v_n$. Donc $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=2$ et de premier terme $v_0 = u_0 + 3 = 1 + 3 = 4$.
c) $v_n = v_0 \cdot q^n = 4 \cdot 2^n = 2^{n+2}$. $u_n = v_n - 3 = 2^{n+2} - 3$.

Correction :

a) $v_{n+1} = u_{n+1} - 2 = (3u_n - 4) - 2 = 3u_n - 6 = 3(u_n - 2) = 3v_n$.
Donc $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=3$ et de premier terme $v_0 = u_0 - 2 = 2 - 2 = 0$.
b) Comme $v_0 = 0$, on a $v_n = v_0 \cdot q^n = 0 \cdot 3^n = 0$ pour tout $n$. Par conséquent, $u_n = v_n + 2 = 0 + 2 = 2$ pour tout $n$. La suite $(u_n)$ est donc constante égale à 2.

Correction :

Pour étudier les variations de $(u_n)$, on calcule $u_{n+1} - u_n$ : $u_{n+1} - u_n = [(n+1)^2 - 4(n+1) + 1] - [n^2 - 4n + 1] = (n^2 + 2n + 1 - 4n - 4 + 1) - (n^2 - 4n + 1) = 2n - 3$.
$u_{n+1} - u_n \geq 0$ si $2n - 3 \geq 0$, c'est-à-dire $n \geq \frac{3}{2}$.
Donc, la suite $(u_n)$ est croissante à partir de $n=2$. (Pour $n=0$, $u_0=1$, $u_1=-2$, $u_2=-3$, $u_3=-2$ et à partir de là elle est croissante)

Correction :

$S$ est la somme des 11 premiers termes d'une suite géométrique de raison $q = \frac{1}{2}$ et de premier terme $a = 1$. $S = a \frac{1-q^{11}}{1-q} = 1 \frac{1-(\frac{1}{2})^{11}}{1-\frac{1}{2}} = \frac{1-\frac{1}{2048}}{\frac{1}{2}} = 2(1 - \frac{1}{2048}) = 2 - \frac{1}{1024} = \frac{2047}{1024}$.

Correction :

a) $u_1 = \frac{u_0}{1+u_0} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$. $u_2 = \frac{u_1}{1+u_1} = \frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3}$. $u_3 = \frac{u_2}{1+u_2} = \frac{\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{1}{4}$.
b) $v_{n+1} = \frac{1}{u_{n+1}} = \frac{1}{\frac{u_n}{1+u_n}} = \frac{1+u_n}{u_n} = \frac{1}{u_n} + 1 = v_n + 1$. Donc $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $r=1$ et de premier terme $v_0 = \frac{1}{u_0} = 1$.
c) $v_n = v_0 + nr = 1 + n$. $u_n = \frac{1}{v_n} = \frac{1}{n+1}$.

Correction :

a) $u_{n+1} - 2 = \frac{1}{2}(u_n + \frac{4}{u_n}) - 2 = \frac{u_n^2 + 4 - 4u_n}{2u_n} = \frac{(u_n - 2)^2}{2u_n}$.
b) Comme $u_n > 0$ pour tout $n$, on a $2u_n > 0$. De plus, $(u_n - 2)^2 \geq 0$ pour tout $n$. Donc, $u_{n+1} - 2 = \frac{(u_n - 2)^2}{2u_n} \geq 0$, ce qui implique $u_{n+1} \geq 2$ pour tout $n$.
Comme $u_0 = 1$, on a $u_1 = \frac{1}{2}(1 + \frac{4}{1}) = \frac{5}{2} \geq 2$. Donc, $u_n \geq 2$ pour tout $n \geq 1$.

Correction :

On procède par récurrence.
Initialisation : Pour $n=0$, $u_0 = 0$, donc $0 \leq u_0 \leq 2$.
Hérédité : Supposons que $0 \leq u_n \leq 2$ pour un certain entier naturel $n$.
Alors $2 \leq 2 + u_n \leq 4$. Comme la fonction racine carrée est croissante sur $[0, +\infty[$, on a $\sqrt{2} \leq \sqrt{2+u_n} \leq \sqrt{4}=2$.
Or $u_{n+1} = \sqrt{2+u_n}$, donc $\sqrt{2} \leq u_{n+1} \leq 2$. Comme $0 < \sqrt{2}$, on a bien $0 \leq u_{n+1} \leq 2$.
Conclusion : La propriété est vraie pour $n=0$, et si elle est vraie pour un certain $n$, elle est vraie pour $n+1$. Donc, par le principe de récurrence, $0 \leq u_n \leq 2$ pour tout entier naturel $n$.

Correction :

a) $F_2 = F_1 + F_0 = 1 + 0 = 1$. $F_3 = F_2 + F_1 = 1 + 1 = 2$. $F_4 = F_3 + F_2 = 2 + 1 = 3$. $F_5 = F_4 + F_3 = 3 + 2 = 5$. $F_6 = F_5 + F_4 = 5 + 3 = 8$.
b) On procède par récurrence.
Initialisation : Pour $n=0$, $F_2F_0 - F_1^2 = 1 \cdot 0 - 1^2 = -1 = (-1)^{0+1}$. La propriété est vraie pour $n=0$.
Hérédité : Supposons que la propriété soit vraie pour un certain entier naturel $n$, c'est-à-dire $F_{n+2}F_n - F_{n+1}^2 = (-1)^{n+1}$.
On veut montrer que $F_{n+3}F_{n+1} - F_{n+2}^2 = (-1)^{n+2}$.

\begin{align} \displaystyle F_{n+3}F_{n+1} - F_{n+2}^2 &= (F_{n+2} + F_{n+1})F_{n+1} - F_{n+2}^2 \\ \displaystyle &= F_{n+2}F_{n+1} + F_{n+1}^2 - F_{n+2}^2 \\ \displaystyle &= F_{n+2}(F_{n+1} - F_{n+2}) + F_{n+1}^2 \\ \displaystyle &= -F_{n+2}F_n + F_{n+1}^2 \\ \displaystyle &= -(F_{n+2}F_n - F_{n+1}^2) = -(-1)^{n+1} =(-1)^{n+2}. \end{align}

Conclusion : La propriété est vraie pour $n=0$, et si elle est vraie pour un certain $n$, elle est vraie pour $n+1$. Donc, par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel $n$.

Correction :

4. On calcule la différence $u_{n+1} - u_n$ : $$\begin{align} \displaystyle u_{n+1} - u_n &= \frac{15+4(n+1)}{3+4(n+1)} - \frac{15+4n}{3+4n} \\ \displaystyle &= \frac{(19+4n)(3+4n)-(15+4n)(7+4n)}{(7+4n)(3+4n)} \\ \displaystyle &= \frac{57+76n+12n+16n^2 - (105+28n+60n+16n^2)}{(7+4n)(3+4n)} \\ \displaystyle &= \frac{-48}{(7+4n)(3+4n)} \end{align}$$ Comme $n$ est un entier naturel, $7+4n$ et $3+4n$ sont positifs. Donc, $u_{n+1} - u_n < 0$ pour tout $n$.
Par conséquent, la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.

Correction :

1. Comme $u_{n+1} = 1,5u_n$, la suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q=1,5$ et de premier terme $u_0 = 10$.
2. $u_n = u_0 \cdot q^n = 10 \cdot (1,5)^n$.
3. On cherche $n$ tel que $u_n > 100$, c'est-à-dire $10 \cdot (1,5)^n > 100$. $$\begin{align} \displaystyle (1,5)^n &> 10 \\ \displaystyle n \ln(1,5) &> \ln(10) \\ \displaystyle n &> \frac{\ln(10)}{\ln(1,5)} \approx 5,68 \end{align}$$ Le nombre de bactéries dépassera 100 000 au bout de 6 jours.
4.

n = 0
u = 10
Tant que u < S
    n = n + 1
    u = 1.5 * u
Fin Tant que
Afficher n
                

Correction :

1. Augmenter de 25% revient à multiplier par 1,25. Donc, si on a $u_n$ abonnés au mois $n$, le mois suivant on aura $1,25u_n + 5$ milliers d'abonnés (en ajoutant les 5000 nouveaux abonnés). D'où $u_{n+1} = 1,25u_n + 5$.
2. $$\begin{align} \displaystyle v_{n+1} &= u_{n+1} + 20 \\ \displaystyle &= 1,25u_n + 5 + 20 \\ \displaystyle &= 1,25u_n + 25 \\ \displaystyle &= 1,25(u_n + 20) \\ \displaystyle &= 1,25v_n \end{align}$$ Donc $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=1,25$ et de premier terme $v_0 = u_0 + 20 = 2 + 20 = 22$.
3. $v_n = v_0 \cdot q^n = 22 \cdot (1,25)^n$.
Donc $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=1,25$ et de premier terme $v_0 = u_0 + 20 = 2 + 20 = 22$.
3. $v_n = v_0 \cdot q^n = 22 \cdot (1,25)^n$.
$u_n = v_n - 20 = 22 \cdot (1,25)^n - 20$.
4. On cherche $n$ tel que $u_n > 200$, c'est-à-dire $22 \cdot (1,25)^n - 20 > 200$. $$\begin{align} \displaystyle 22 \cdot (1,25)^n &> 220 \\ \displaystyle (1,25)^n &> 10 \\ \displaystyle n \ln(1,25) &> \ln(10) \\ \displaystyle n &> \frac{\ln(10)}{\ln(1,25)} \approx 10,32 \end{align}$$ Le réseau social comptera plus de 200 000 abonnés au bout de 11 mois.