Sommes de Variables Aléatoires - Exercices

Correction :

Question 1 : Valeurs prises par $Z$

Pour trouver les valeurs possibles de la somme $Z = X + Y$, on additionne chaque valeur possible de $X$ avec chaque valeur possible de $Y$.

Les valeurs possibles pour $X$ sont : $-4$, $1$, $20$.
Les valeurs possibles pour $Y$ sont : $-2$, $5$.

On calcule toutes les sommes possibles :

- Si $X=-4$, alors $Z$ peut valoir $-4 + (-2) = -6$ ou $-4 + 5 = 1$.

- Si $X=1$, alors $Z$ peut valoir $1 + (-2) = -1$ ou $1 + 5 = 6$.

- Si $X=20$, alors $Z$ peut valoir $20 + (-2) = 18$ ou $20 + 5 = 25$.

Ainsi, les valeurs possibles pour $Z$ sont : $\{-6, 1, -1, 6, 18, 25\}$.

En rangeant ces valeurs par ordre croissant, on obtient : $Z \in \{-6, -1, 1, 6, 18, 25\}$.

Question 2 : Loi de probabilité de $Z$

Réponse : Non, on ne peut pas déterminer la loi de probabilité de $Z$ avec les informations données.

Explication : Pour connaître la loi de probabilité de $Z=X+Y$, il faudrait connaître les probabilités de toutes les paires possibles $(X=x_i, Y=y_j)$. Autrement dit, il faudrait connaître $P(X=x_i \text{ et } Y=y_j)$ pour toutes les valeurs possibles $x_i$ de $X$ et $y_j$ de $Y$.

L'énoncé donne seulement les lois marginales de $X$ et de $Y$, c'est-à-dire $P(X=x_i)$ et $P(Y=y_j)$ individuellement. Sauf si $X$ et $Y$ sont indépendantes, on ne peut pas calculer $P(X=x_i \text{ et } Y=y_j)$ à partir de ces seules informations. Si $X$ et $Y$ étaient indépendantes, on pourrait utiliser la formule $P(X=x_i \text{ et } Y=y_j) = P(X=x_i) \times P(Y=y_j)$. Mais l'énoncé ne le précise pas.

Correction :

Pour comprendre la décomposition $X = X_1 + X_2$, identifions les deux composantes du prix total :

1. Le prix de base, qui dépend du matériau choisi pour la gourmette.

2. Le supplément de prix, qui dépend de la gravure personnalisée.

Une interprétation naturelle est donc :

- $X_1$ : Variable aléatoire représentant le prix de base de la gourmette, selon le matériau.

- Si le client choisit l'argent, $X_1 = 75€$.

- Si le client choisit l'or, $X_1 = 100€$.

- Si le client choisit l'acier, $X_1 = 50€$.

- $X_2$ : Variable aléatoire représentant le coût de la gravure personnalisée. Ce coût dépendra du nombre de caractères à graver. Par exemple, si la gravure est gratuite jusqu'à 10 caractères, et coûte 5€ au-delà, alors :

- Si le client ne choisit pas de gravure ou choisit une gravure gratuite, $X_2 = 0€$.

- Si le client choisit une gravure payante, $X_2 = 5€$ (ou plus, selon le nombre de caractères et la politique de prix du site).

Avec ces interprétations, la somme $X = X_1 + X_2$ représente bien le prix total payé par le client : prix du matériau ($X_1$) + coût de la gravure ($X_2$).

Correction :

L'affirmation "$X = 3 \times X_1$" est FAUSSE.

Explication :

Soit $X_1$, $X_2$, et $X_3$ les variables aléatoires représentant les résultats du premier, deuxième, et troisième dé respectivement.

La somme des résultats des trois dés est donnée par :
$X = X_1 + X_2 + X_3$

La variable $3 \times X_1$ représente simplement le triple du résultat du premier dé, sans tenir compte des résultats des deux autres dés.

Contre-exemple :
Imaginons un lancer où les résultats sont :

- Dé 1 : 1

- Dé 2 : 4

- Dé 3 : 5

Dans ce cas :

- $X_1 = 1$ (résultat du premier dé)

- $X = 1 + 4 + 5 = 10$ (somme des trois dés)

Calculons $3 \times X_1 = 3 \times 1 = 3$.

On constate que $X = 10$ et $3 \times X_1 = 3$. Puisque $10 \neq 3$, l'égalité $X = 3 \times X_1$ est fausse.

Conclusion : $X$ est la somme de trois variables aléatoires ($X_1, X_2, X_3$), tandis que $3X_1$ est une variable aléatoire obtenue en multipliant seulement la première variable ($X_1$) par 3. Ce sont deux variables aléatoires différentes.

Correction :

Question 1 : Calcul des valeurs de variables aléatoires

La notation $(a; b)$ représente un résultat possible des deux lancers, où $a$ est le résultat du premier lancer et $b$ le résultat du deuxième lancer. Puisque les points gagnés à chaque lancer sont le triple du résultat du dé, on a :

- $X_1((3 ; 4))$ : On considère le premier lancer dans le couple $(3; 4)$, qui est 3. Les points gagnés au premier lancer sont $3 \times 3 = 9$. Donc, $X_1((3 ; 4)) = 9$.

- $X_2((1 ; 6))$ : On considère le deuxième lancer dans le couple $(1; 6)$, qui est 6. Les points gagnés au deuxième lancer sont $3 \times 6 = 18$. Donc, $X_2((1 ; 6)) = 18$.

- $X_1((4 ; 2))$ : On considère le premier lancer dans le couple $(4; 2)$, qui est 4. Les points gagnés au premier lancer sont $3 \times 4 = 12$. Donc, $X_1((4 ; 2)) = 12$.

Question 2 : Variable aléatoire $X = X_1 + X_2$

a. Interprétation de $X$ :

La variable aléatoire $X = X_1 + X_2$ représente le total des points gagnés après les deux lancers. C'est la somme des points obtenus au premier lancer ($X_1$) et des points obtenus au deuxième lancer ($X_2$).

b. Calcul de $X((3 ; 5))$ :

Pour calculer $X((3 ; 5))$, on utilise la définition de $X = X_1 + X_2$ et le résultat $(3; 5)$ où 3 est le résultat du premier lancer et 5 celui du deuxième.

- $X_1((3 ; 5)) = 3 \times 3 = 9$ (points gagnés au premier lancer, avec un résultat de 3)

- $X_2((3 ; 5)) = 3 \times 5 = 15$ (points gagnés au deuxième lancer, avec un résultat de 5)

Donc, $X((3 ; 5)) = X_1((3 ; 5)) + X_2((3 ; 5)) = 9 + 15 = 24$.

Ainsi, pour le résultat $(3 ; 5)$, le gain total est de 24 points.

Correction :

Question 1 : Décomposition de $X$ en somme de variables aléatoires

Pour décomposer le prix total de l'abonnement $X$, on identifie les deux facteurs qui influencent le prix :

1. Le tarif de base, qui dépend de la tranche d'âge du client.

2. Le coût des options supplémentaires choisies.

On peut donc décomposer $X$ en deux variables aléatoires :

- $X_1$ : Variable aléatoire représentant le prix de base de l'abonnement, déterminé par l'âge du client.

- Si le client a moins de 20 ans, $X_1$ = 15€.

- Si le client a plus de 62 ans, $X_1$ = 10€.

- Pour les autres âges, $X_1$ = 30€

- $X_2$ : Variable aléatoire représentant le coût des extensions d'abonnement choisies par le client.

- Si le client ne prend aucune option, $X_2$ = 0€

- Si le client prend l'option "Boissons", $X_2$ = 5€.

- Si le client prend l'option "Sismo", $X_2$ = 15€

- Si le client prend les deux options ("Boissons + Sismo"), $X_2$ = 17€.

Le prix total de l'abonnement est alors la somme : $X$ = $X_1 $+ $X_2$.

Question 2 : Valeurs prises par les variables aléatoires

- Valeurs possibles pour $X_1$ (prix de base) : $Val(X_1) = \{10, 15, 30\} \text{ (€)}$.
- Valeurs possibles pour $X_2$ (coût des suppléments) : $Val(X_2) = \{0, 5, 15, 17\} \text{ (€)}$.
- Pour trouver les valeurs possibles de $X = X_1 + X_2$, on additionne chaque valeur de $X_1$ avec chaque valeur de $X_2$ :
$Val(X) = \{10+0, 10+5, 10+15, 10+17, 15+0, 15+5, 15+15, 15+17, 30+0, 30+5, 30+15, 30+17\}$
$Val(X) = \{10, 15, 25, 27, 15, 20, 30, 32, 30, 35, 45, 47\}$
En supprimant les doublons et en ordonnant, on obtient les valeurs possibles pour $X$:
$Val(X) = \{10, 15, 20, 25, 27, 30, 32, 35, 45, 47\} \text{ (€)}$.

Correction :

1. Expression de Z en fonction de X et Y :

Le gain total $Z$ est la somme des points obtenus par la règle "Couleur" ($X$) et par la règle "Valeur" ($Y$).
Donc, $Z = X + Y$.

2. Lois de probabilité de X et Y :

Loi de probabilité de X (points pour la couleur) :

- Si la carte est un cœur (il y a 13 coeurs dans un jeu de 52 cartes), on gagne 10 points. Donc $P(X=10) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$.

- Si la carte est un trèfle (il y a 13 trèfles dans un jeu de 52 cartes), on gagne 2 points. Donc $P(X=2) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$.

- Dans les autres cas (carreau ou pique, il y a $52 - 13 - 13 = 26$ cartes), on perd 15 points (gain de -15 points). Donc $P(X=-15) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}$.

La loi de probabilité de $X$ est donc :

$x_i$	-15	2	10
$P(X=x_i)$	1/2	1/4	1/4

Loi de probabilité de Y (points pour la valeur) :

- Si la carte est une figure (valet, dame, roi, il y a 3 figures par couleur et 4 couleurs, donc $3 \times 4 = 12$ figures), on gagne 5 points. Donc $P(Y=5) = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}$.

- Si la carte est un as (il y a 4 as dans un jeu), on gagne 2 points. Donc $P(Y=2) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.

- Si la carte est un 2 ou un 10 (il y a 2 valeurs et 4 couleurs, donc $2 \times 4 = 8$ cartes), on gagne 1 point. Donc $P(Y=1) = \frac{8}{52} = \frac{2}{13}$.

- Si la carte est un 5 (il y a 4 cartes de valeur 5), on ne gagne pas de point (gain de 0 point). Donc $P(Y=0) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.

- Dans les autres cas (cartes restantes : $52 - 12 - 4 - 8 - 4 = 24$), on perd 1 point (gain de -1 point). Donc $P(Y=-1) = \frac{24}{52} = \frac{6}{13}$.

La loi de probabilité de $Y$ est donc :

$y_i$	-1	0	1	2	5
$P(Y=y_i)$	6/13	1/13	2/13	1/13	3/13

3. Espérance E(Z) et Écart-type σ(Z) :

$E(X) = -4.5$, $E(Y) = 1$, $E(Z) = -3.5$.
$V(X) = 118.25$, $V(Y) = \frac{74}{13}$, $V(Z) \approx 123.9423$, $\sigma(Z) \approx 11.1329$.
Arrondis à $10^{-4}$ près : $E(Z) \approx -3.5000$, $\sigma(Z) \approx 11.1329$.

4. Partie répétée 5 fois :

a. Expression de S :
$S = Z_1 + Z_2 + Z_3 + Z_4 + Z_5$

b. Espérance E(S) et interprétation, Écart-type σ(S) :

$E(S) = -17.5$, $\sigma(S) \approx 24.8940$. En moyenne, sur 5 parties, on perd 17.5 points.

c. Variable aléatoire M et son écart-type σ(M) :

$M = \frac{S}{5}$. $\sigma(M) \approx 4.9788$. $M$ est la moyenne des points gagnés par partie.

Correction :

1. Calcul des espérances en fonction de a et b :

a. Expression de $E(T)$ et $E(Z)$ :

$E(X) = 4.42 + 0.21a$.
$E(Y) = 5.46 + 0.01b$.
$E(T) = 1.04 + 0.01b - 0.21a$.
$E(Z) = 24.18 + 0.63a + 0.02b$.

b. Détermination de a et b :

On a le système d'équations :

- $1.04 + 0.01b - 0.21a = 0.1$

- $24.18 + 0.63a + 0.02b = 26.5$

Donc $a = 4$ et $b = -10$.

2. Indépendance de X et Y ?

a. Test avec $V(10Z) = 54 853,32$: Compatible avec l'indépendance.

b. Test avec $V(T) = 89,058$: Incompatible avec l'indépendance.

Conclusion : Les variables $X$ et $Y$ ne sont probablement pas indépendantes.

Correction détaillée:

1. Lois de probabilité et espérances des variables $X_k$ :

Règle 1 : Somme paire ($X_1$)
Il y a 18 sommes paires possibles sur les 36 issues possibles (6 x 6) du lancer de deux dés. Donc, $P(\text{Somme paire}) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.
$X_1$ prend la valeur 1 si la somme est paire et 0 sinon.
$P(X_1=1) = \frac{1}{2}, P(X_1=0) = \frac{1}{2}$.
$E(X_1) = 1 \cdot P(X_1=1) + 0 \cdot P(X_1=0) = 1 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{1}{2} = 0.5$.

Règle 2 : Somme multiple de 3 ($X_2$)
Les sommes multiples de 3 sont 3, 6, 9, et 12. Leurs probabilités respectives sont $\frac{2}{36}, \frac{5}{36}, \frac{4}{36}, \frac{1}{36}$.
$P(\text{Somme multiple de 3}) = \frac{2+5+4+1}{36} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$.
$X_2$ prend la valeur 2 si la somme est un multiple de 3 et 0 sinon.
$P(X_2=2) = \frac{1}{3}, P(X_2=0) = \frac{2}{3}$.
$E(X_2) = 2 \cdot P(X_2=2) + 0 \cdot P(X_2=0) = 2 \cdot \frac{1}{3} + 0 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \approx 0.6667$.

Règle 3 : Somme $\ge 10$ ($X_3$)
Les sommes supérieures ou égales à 10 sont 10, 11, et 12. Leurs probabilités respectives sont $\frac{3}{36}, \frac{2}{36}, \frac{1}{36}$.
$P(\text{Somme } \ge 10) = \frac{3+2+1}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
$X_3$ prend la valeur 5 si la somme est supérieure ou égale à 10 et 0 sinon.
$P(X_3=5) = \frac{1}{6}, P(X_3=0) = \frac{5}{6}$.
$E(X_3) = 5 \cdot P(X_3=5) + 0 \cdot P(X_3=0) = 5 \cdot \frac{1}{6} + 0 \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{6} \approx 0.8333$.

Règle 4 : Somme 5 ou 7 ($X_4$)
La somme 5 a une probabilité de $\frac{4}{36}$ et la somme 7 a une probabilité de $\frac{6}{36}$.
$P(\text{Somme 5 ou 7}) = \frac{4+6}{36} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$.
$X_4$ prend la valeur -10 si la somme est 5 ou 7 et 0 sinon.
$P(X_4=-10) = \frac{5}{18}, P(X_4=0) = \frac{13}{18}$.
$E(X_4) = -10 \cdot P(X_4=-10) + 0 \cdot P(X_4=0) = -10 \cdot \frac{5}{18} + 0 \cdot \frac{13}{18} = -\frac{50}{18} \approx -2.7778$.

2. Variable aléatoire X (total des points) :

a. Expression de X : $X = X_1 + X_2 + X_3 + X_4$.
b. Espérance $E(X)$ : $E(X) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3) + E(X_4) = 0.5 + \frac{2}{3} + \frac{5}{6} - \frac{50}{18} = \frac{9+12+15-50}{18} = \frac{36-50}{18} = -\frac{14}{18} = -\frac{7}{9} \approx -0.7778$.
Le jeu est défavorable car $E(X) < 0$. En moyenne, un joueur perd environ 0.78 points par partie.

3. Groupe de 18 amis : Variable aléatoire Y (gain du groupe) :

a. Expression de Y : $Y = Y_1 + Y_2 + \ldots + Y_{18}$.
b. Comparaison de $E(Y_k)$ et $E(X)$ : $E(Y_k) = E(X)$ pour tout $k$, car chaque $Y_i$ représente le gain d'un ami qui joue une partie, et le gain d'une partie est modélisé par la variable aléatoire $X$.
c. Espérance $E(Y)$ : $E(Y) = E(Y_1) + E(Y_2) + \ldots + E(Y_{18}) = 18 \cdot E(X) = 18 \cdot (-\frac{7}{9}) = -14$.
En moyenne, le groupe de 18 amis perdra 14 points au total.

Correction :

1. Étude de la variable aléatoire $X_k$ (gain au k-ième lancer) :

a. Loi de probabilité de $X_k$ :
$X_k$ prend la valeur $k$ si on obtient Pile au $k$-ième lancer, et 0 sinon.
$P(X_k = k) = P(\text{Pile}) = \frac{1}{2}$.
$P(X_k = 0) = P(\text{Face}) = \frac{1}{2}$.

b. Espérance de $X_k$ :
$E(X_k) = k \cdot P(X_k = k) + 0 \cdot P(X_k = 0) = k \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{1}{2} = \frac{k}{2}$.

c. Variance de $X_k$ :
Pour calculer la variance, on utilise la formule $V(X_k) = E(X_k^2) - [E(X_k)]^2$.
$E(X_k^2) = k^2 \cdot P(X_k = k) + 0^2 \cdot P(X_k = 0) = k^2 \cdot \frac{1}{2} + 0 = \frac{k^2}{2}$.
$V(X_k) = E(X_k^2) - [E(X_k)]^2 = \frac{k^2}{2} - (\frac{k}{2})^2 = \frac{k^2}{2} - \frac{k^2}{4} = \frac{k^2}{4}$.

2. Étude de la variable aléatoire $Y_\ell$ (gain total après $\ell$ lancers) :

a. Expression de $Y_\ell$ :
$Y_\ell = X_1 + X_2 + \ldots + X_\ell = \sum_{k=1}^{\ell} X_k$.

b. Espérance de $Y_\ell$ :
$E(Y_\ell) = E(\sum_{k=1}^{\ell} X_k) = \sum_{k=1}^{\ell} E(X_k) = \sum_{k=1}^{\ell} \frac{k}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{\ell} k$.
On sait que $\sum_{k=1}^{\ell} k = \frac{\ell(\ell+1)}{2}$, donc $E(Y_\ell) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\ell(\ell+1)}{2} = \frac{\ell(\ell+1)}{4}$.
Pour que $E(Y_\ell) > 280$, il faut $\frac{\ell(\ell+1)}{4} > 280$, soit $\ell(\ell+1) > 1120$.
On cherche le plus petit entier $\ell$ tel que $\ell(\ell+1) > 1120$. On peut estimer que $\sqrt{1120} \approx 33.47$. En essayant des valeurs proches de 33, on trouve que pour $\ell = 33$, $33 \times 34 = 1122 > 1120$.
Donc, il faut au moins 33 lancers pour que l'espérance du gain soit supérieure à 280 euros.

c. Variance de $Y_\ell$ :
Comme les lancers sont indépendants, les variables $X_k$ sont indépendantes. Donc, la variance de la somme est la somme des variances :
$V(Y_\ell) = V(\sum_{k=1}^{\ell} X_k) = \sum_{k=1}^{\ell} V(X_k) = \sum_{k=1}^{\ell} \frac{k^2}{4} = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^{\ell} k^2$.
On utilise la formule donnée pour la somme des carrés des $m$ premiers entiers : $\sum_{k=1}^{m} k^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}$.
Donc, $V(Y_\ell) = \frac{1}{4} \cdot \frac{\ell(\ell+1)(2\ell+1)}{6} = \frac{\ell(\ell+1)(2\ell+1)}{24}$.

Correction :

1. Arbre pondéré :

L'arbre pondéré a pour racine le début du jeu.
- Au premier niveau, deux branches partent de la racine :
    - Une branche vers l'événement $A_5$ (gagner 5€ au 1er tour) avec la probabilité $P(A_5) = 0.1$.
    - Une branche vers l'événement $A_0$ (ne rien gagner au 1er tour) avec la probabilité $P(A_0) = 0.9$.
- Au deuxième niveau, deux branches partent de chaque issue du premier niveau :
    - De $A_5$ partent une branche vers $B_5$ (gagner 5€ au 2nd tour) avec la probabilité $P(B_5|A_5) = 0.15$, et une branche vers $B_0$ (ne rien gagner au 2nd tour) avec la probabilité $P(B_0|A_5) = 0.85$.
    - De $A_0$ partent une branche vers $B_5$ avec la probabilité $P(B_5|A_0) = 0.65$, et une branche vers $B_0$ avec la probabilité $P(B_0|A_0) = 0.35$.

2. Lois de probabilité de $X_1$ et $X_2$ :

Loi de $X_1$ :
$X_1$ peut prendre les valeurs 0 ou 5.
$P(X_1=5) = P(A_5) = 0.1$.
$P(X_1=0) = P(A_0) = 0.9$.
Loi de $X_2$ :
$X_2$ peut prendre les valeurs 0 ou 5.
$P(X_2=5) = P(B_5) = P(B_5|A_5)P(A_5) + P(B_5|A_0)P(A_0) = 0.15 \times 0.1 + 0.65 \times 0.9 = 0.015 + 0.585 = 0.6$.
$P(X_2=0) = P(B_0) = 1 - P(B_5) = 1 - 0.6 = 0.4$.

3. Espérances et distribution identique ?

$E(X_1) = 5 \times P(X_1=5) + 0 \times P(X_1=0) = 5 \times 0.1 + 0 \times 0.9 = 0.5$.
$E(X_2) = 5 \times P(X_2=5) + 0 \times P(X_2=0) = 5 \times 0.6 + 0 \times 0.4 = 3$.
$X_1$ et $X_2$ ne sont pas identiquement distribuées car leurs lois de probabilité et leurs espérances sont différentes.

4. Indépendance de $X_1$ et $X_2$ ?

$P((X_1=0) \cap (X_2=0)) = P(A_0 \cap B_0) = P(B_0|A_0)P(A_0) = 0.35 \times 0.9 = 0.315$.
$P(X_1=0) \times P(X_2=0) = P(A_0) \times P(B_0) = 0.9 \times 0.4 = 0.36$.
Comme $P((X_1=0) \cap (X_2=0)) \neq P(X_1=0) \times P(X_2=0)$, $X_1$ et $X_2$ ne sont pas indépendantes.

5. Casino concurrent - Variables $Y_1$ et $Y_2$ :

a. Lois de probabilité de $Y_1$ et $Y_2$ :
$Y_1$ a la même loi que $X_1$ car le gain au premier tour ne dépend pas du casino : $P(Y_1=5) = 0.1, P(Y_1=0) = 0.9$.
Pour $Y_2$, la probabilité de gagner 5€ au 2nd tour est de 60%, indépendamment du résultat du 1er tour. Donc, $P(Y_2=5) = 0.6$ et $P(Y_2=0) = 0.4$.
b. Distribution identique et indépendance de $Y_1$ et $Y_2$ :
$Y_1$ et $Y_2$ ne sont pas identiquement distribuées car $P(Y_1=5) \neq P(Y_2=5)$.
Pour vérifier l'indépendance, on calcule $P((Y_1=0) \cap (Y_2=0))$. Dans ce casino, $P((Y_1=0) \cap (Y_2=0)) = P(Y_1=0) \times P(Y_2=0)$ car le résultat du 2nd tour est indépendant du 1er tour.
$P((Y_1=0) \cap (Y_2=0)) = P(Y_1=0) \times P(Y_2=0) = 0.9 \times 0.4 = 0.36$.
$P(Y_1=0) \times P(Y_2=0) = 0.9 \times 0.4 = 0.36$.
Comme $P((Y_1=0) \cap (Y_2=0)) = P(Y_1=0) \times P(Y_2=0)$, $Y_1$ et $Y_2$ sont indépendantes.

Correction :

1. Variable Y = $(X - E(X))^2$ et lien avec la variance :

$E(Y) = E((X - E(X))^2)$. Par définition, la variance de $X$ est l'espérance du carré de l'écart de $X$ à sa moyenne, donc $E(Y) = V(X)$.
$E(Y) = \sum_{i=1}^{r} (x_i - E(X))^2 p_i$, car $Y$ prend la valeur $(x_i - E(X))^2$ avec probabilité $p_i$.

2. Développement de $(X - E(X))^2$ :

$(X - E(X))^2 = X^2 - 2X \cdot E(X) + (E(X))^2$.

3. Montrer $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ :

On utilise la linéarité de l'espérance : $E(aX + b) = aE(X) + b$ pour $a$ et $b$ constantes.
$V(X) = E(Y) = E((X - E(X))^2) = E(X^2 - 2X \cdot E(X) + (E(X))^2)$.
$E(X^2 - 2X \cdot E(X) + (E(X))^2) = E(X^2) - E(2X \cdot E(X)) + E((E(X))^2)$.
Comme $E(X)$ est une constante, on a $E(2X \cdot E(X)) = 2E(X)E(X) = 2(E(X))^2$ et $E((E(X))^2) = (E(X))^2$.
Donc, $V(X) = E(X^2) - 2(E(X))^2 + (E(X))^2 = E(X^2) - (E(X))^2$.

Correction :

1. Étude du problème avec 3 boules :

a. Arbre de probabilité :
L'arbre de probabilité a 3 niveaux correspondant aux 3 tirages.
- Au 1er tirage, on peut tirer chacune des 3 boules avec une probabilité de $\frac{1}{3}$.
- Au 2ème tirage, il reste 2 boules. La probabilité de tirer une boule spécifique dépend du résultat du 1er tirage.
- Au 3ème tirage, il ne reste qu'une boule, donc la probabilité de la tirer est de 1.
On indique sur chaque branche si une rencontre a eu lieu (par exemple, R pour rencontre, NR pour non-rencontre).

b. Interprétation de $X = X_1 + X_2 + X_3$ :
$X$ représente le nombre total de rencontres sur les 3 tirages. $X_k$ indique s'il y a eu une rencontre au $k$-ième tirage. Donc $X$ est la somme des rencontres à chaque tirage.

c. Loi de probabilité de $X_k$ :
Pour chaque tirage $k$, il y a 3 boules. La probabilité de tirer la boule numéro $k$ (et donc d'avoir une rencontre) est de $\frac{1}{3}$ au premier tirage.
Si on n'a pas eu de rencontre au premier tirage (probabilité $\frac{2}{3}$), la probabilité d'avoir une rencontre au deuxième tirage est de $\frac{1}{2}$. Donc, globalement, la probabilité d'une rencontre au deuxième tirage est aussi $\frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$.
Si on n'a pas eu de rencontre aux deux premiers tirages (probabilité $\frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$), la rencontre au troisième tirage est certaine. Donc, la probabilité d'une rencontre au troisième tirage est aussi de $\frac{1}{3}$.
Ainsi, pour tout $k$, $P(X_k=1) = \frac{1}{3}$ (probabilité d'une rencontre au $k$-ième tirage) et $P(X_k=0) = 1 - P(X_k=1) = \frac{2}{3}$ (probabilité de ne pas avoir de rencontre au $k$-ième tirage).

d. Calcul de $E(X_k)$ et $E(X)$ :
$E(X_k) = 1 \cdot P(X_k=1) + 0 \cdot P(X_k=0) = 1 \cdot \frac{1}{3} + 0 \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
$E(X) = E(X_1 + X_2 + X_3) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1$.

e. Réponse au problème :
Le nombre moyen de rencontres sur 3 tirages est $E(X) = 1$.

2. Généralisation à n boules :

On peut généraliser ce résultat à $n$ boules. La probabilité d'avoir une rencontre au $k$-ième tirage est toujours $\frac{1}{n}$, car il y a $n$ boules et une seule est la "bonne" pour ce tirage.
Donc, pour tout $k$ entre 1 et $n$, $E(X_k) = \frac{1}{n}$.
Soit $X$ la variable aléatoire du nombre total de rencontres pour $n$ tirages.
$E(X) = E(X_1 + X_2 + \ldots + X_n) = E(X_1) + E(X_2) + \ldots + E(X_n) = \sum_{k=1}^{n} E(X_k) = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} = n \cdot \frac{1}{n} = 1$.
Le nombre moyen de rencontres est donc toujours 1, quel que soit le nombre de boules $n$.

Correction détaillée:

1. Cas de 3 tiroirs et 3 objets :

a. Arbre pondéré :
[Un arbre pondéré serait approprié ici pour visualiser tous les placements possibles des 3 objets dans les 3 tiroirs. Chaque objet a 3 choix de tiroir, donc l'arbre aura 3 niveaux avec 3 branches à chaque nœud, totalisant 27 issues possibles.]

b. Variables aléatoires $X_k$ et X :
$X_k$ est une variable indicatrice qui vaut 1 si le tiroir $k$ est vide et 0 sinon. $X = X_1 + X_2 + X_3$ représente le nombre total de tiroirs vides. La variable $X$ peut prendre les valeurs 0, 1, ou 2. (Il est impossible d'avoir 3 tiroirs vides avec 3 objets, car au moins un tiroir doit contenir un objet).

c. Calcul de $E(X_1)$ puis $E(X)$ :
Pour calculer $E(X_1)$, on doit d'abord trouver la probabilité que le tiroir 1 soit vide, $P(X_1 = 1)$.
Le tiroir 1 est vide si chaque objet est placé dans l'un des deux autres tiroirs. Pour chaque objet, la probabilité d'être placé dans un tiroir autre que le tiroir 1 est de $\frac{2}{3}$. Comme les placements sont indépendants, la probabilité que les 3 objets soient placés ailleurs qu'au tiroir 1 est $(\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$.
Donc, $P(X_1 = 1) = \frac{8}{27}$. L'espérance de $X_1$ est alors $E(X_1) = 1 \cdot P(X_1 = 1) + 0 \cdot P(X_1 = 0) = \frac{8}{27}$.
Par symétrie, $E(X_1) = E(X_2) = E(X_3) = \frac{8}{27}$.
$E(X) = E(X_1 + X_2 + X_3) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3)$ (par linéarité de l'espérance).
Donc, $E(X) = 3 \cdot \frac{8}{27} = \frac{24}{27} = \frac{8}{9}$.

d. Réponse :
Le nombre moyen de tiroirs vides est $E(X) = \frac{8}{9}$.

2. Généralisation à n tiroirs et n objets :

a. Montrer que $E(Y_1) = \frac{(n-1)^n}{n^n}$ :
$Y_k$ est une variable indicatrice qui vaut 1 si le tiroir $k$ est vide et 0 sinon.
Pour que le tiroir 1 soit vide, chaque objet doit être placé dans l'un des $n-1$ autres tiroirs. La probabilité qu'un objet soit placé dans un tiroir autre que le tiroir 1 est $\frac{n-1}{n}$.
Comme il y a $n$ objets et que les placements sont indépendants, la probabilité que tous les $n$ objets soient placés dans les $n-1$ autres tiroirs est $(\frac{n-1}{n})^n$.
Donc, $P(Y_1 = 1) = (\frac{n-1}{n})^n = \frac{(n-1)^n}{n^n}$.
L'espérance de $Y_1$ est $E(Y_1) = 1 \cdot P(Y_1 = 1) + 0 \cdot P(Y_1 = 0) = \frac{(n-1)^n}{n^n}$.

b. Nombre moyen de tiroirs vides $E(Y)$ :
$Y = \sum_{k=1}^{n} Y_k$ est la somme des variables indicatrices pour chaque tiroir.
Par symétrie, $E(Y_k) = E(Y_1) = \frac{(n-1)^n}{n^n}$ pour tout $k$ de 1 à $n$.
Par linéarité de l'espérance, $E(Y) = E(\sum_{k=1}^{n} Y_k) = \sum_{k=1}^{n} E(Y_k) = n \cdot E(Y_1)$.
Donc, $E(Y) = n \cdot \frac{(n-1)^n}{n^n} = \frac{(n-1)^n}{n^{n-1}}$.

Correction :

Questions préliminaires : Notations et ensembles $A_z$

1. Disjonction des ensembles $A_z$ : Si $z_1 \neq z_2$, alors $A_{z_1} \cap A_{z_2} = \emptyset$.
2. Réunion des ensembles $A_z$ : $\bigcup_{z\in Val_z} A_z = Val_X \times Val_Y$.
3. Démonstration de $P(Z=z) = \sum_{(x,y) \in A_z} P((X=x) \cap (Y=y))$ : $\{Z=z\} = \bigcup_{(x,y) \in A_z} \{(X=x) \cap (Y=y)\}$.

Résolution du problème : Montrer E(XY) = E(X)E(Y)

4. Montrer $E(Z) = \sum_{z \in Val_Z} \sum_{(x,y) \in A_z} xy P(X=x)P(Y=y)$ : $E(Z) = \sum_{z \in Val_Z} z P(Z=z) = \sum_{z \in Val_Z} \sum_{(x,y) \in A_z} xy P(X=x)P(Y=y)$.
5. En déduire que $E(Z) = E(X)E(Y)$ : $E(Z) = E(X)E(Y)$.

Correction :

1. Appliquer la formule de König-Huygens à Z = X + Y :

$V(X+Y) = E((X+Y)^2) - (E(X+Y))^2$.

2. Développer l'expression de $V(X+Y)$ :

$V(X+Y) = V(X) + V(Y) + 2E(XY) - 2E(X)E(Y)$.

3. Déduire l'additivité de la variance si X et Y sont indépendantes :

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $E(XY) = E(X)E(Y)$, donc $2E(XY) - 2E(X)E(Y) = 0$. Par conséquent, $V(X+Y) = V(X) + V(Y)$.

Correction détaillée :

1. Lois de probabilité de $X$ et $Y$ :
Puisque $X$ et $Y$ suivent des lois uniformes discrètes sur $\{1, 2, 3\}$, cela signifie que chaque valeur dans cet ensemble a la même probabilité d'être prise par $X$ et par $Y$. Pour une loi uniforme discrète sur un ensemble de $n$ valeurs, la probabilité de chaque valeur est $\frac{1}{n}$. Ici, $n=3$.
Donc, pour la variable $X$, les probabilités sont :

$P(X=1) = \frac{1}{3}$

$P(X=2) = \frac{1}{3}$

$P(X=3) = \frac{1}{3}$

De même, pour la variable $Y$, les probabilités sont :

$P(Y=1) = \frac{1}{3}$

$P(Y=2) = \frac{1}{3}$

$P(Y=3) = \frac{1}{3}$

2. Ensemble des valeurs possibles pour $Z = X + Y$ :
Pour trouver l'ensemble des valeurs possibles de $Z = X + Y$, nous considérons les valeurs minimales et maximales que $Z$ peut prendre. La valeur minimale de $X$ est 1 et la valeur minimale de $Y$ est 1, donc la valeur minimale de $Z$ est $1 + 1 = 2$. La valeur maximale de $X$ est 3 et la valeur maximale de $Y$ est 3, donc la valeur maximale de $Z$ est $3 + 3 = 6$. Puisque $X$ et $Y$ prennent des valeurs entières, $Z$ prendra également des valeurs entières entre le minimum et le maximum inclus.
Les valeurs possibles pour $Z$ sont donc $\{2, 3, 4, 5, 6\}$.

3. Loi de probabilité de $Z$ :
Pour déterminer la loi de probabilité de $Z$, nous devons calculer $P(Z=z)$ pour chaque valeur possible de $z \in \{2, 3, 4, 5, 6\}$. Puisque $X$ et $Y$ sont indépendantes, $P(X=x, Y=y) = P(X=x) \times P(Y=y) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$ pour tous $x, y \in \{1, 2, 3\}$.

Pour $Z = 2$ : Seule combinaison possible est $(X=1, Y=1)$. Donc, $P(Z=2) = P(X=1, Y=1) = P(X=1) \times P(Y=1) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$.

Pour $Z = 3$ : Combinaisons possibles sont $(X=1, Y=2)$ et $(X=2, Y=1)$. Donc, $P(Z=3) = P(X=1, Y=2) + P(X=2, Y=1) = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$.

Pour $Z = 4$ : Combinaisons possibles sont $(X=1, Y=3)$, $(X=2, Y=2)$, et $(X=3, Y=1)$. Donc, $P(Z=4) = P(X=1, Y=3) + P(X=2, Y=2) + P(X=3, Y=1) = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{3}{9}$.

Pour $Z = 5$ : Combinaisons possibles sont $(X=2, Y=3)$ et $(X=3, Y=2)$. Donc, $P(Z=5) = P(X=2, Y=3) + P(X=3, Y=2) = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$.

Pour $Z = 6$ : Seule combinaison possible est $(X=3, Y=3)$. Donc, $P(Z=6) = P(X=3, Y=3) = P(X=3) \times P(Y=3) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$.

Nous pouvons résumer la loi de probabilité de $Z$ dans un tableau :

$z_i$	2	3	4	5	6
$P(Z=z_i)$	1/9	2/9	3/9	2/9	1/9

Correction détaillée:

1. Calculer l'espérance $E(X_i)$ pour chaque $i$ :
Une variable aléatoire de Bernoulli $X_i$ prend la valeur 1 avec une probabilité $p_i$ et la valeur 0 avec une probabilité $1-p_i$.
L'espérance d'une variable aléatoire discrète est la somme des produits de chaque valeur possible par sa probabilité.
Pour une variable de Bernoulli $X_i$, l'espérance est donc :
$E(X_i) = 1 \cdot P(X_i=1) + 0 \cdot P(X_i=0) = 1 \cdot p_i + 0 \cdot (1-p_i) = p_i$.
Ainsi, l'espérance d'une variable de Bernoulli est simplement la probabilité qu'elle prenne la valeur 1.

2. Exprimer l'espérance de la somme $E(S_n)$ en fonction des espérances $E(X_i)$ :
$S_n$ est la somme des variables aléatoires $X_1, X_2, \ldots, X_n$.
L'espérance de la somme de variables aléatoires est la somme de leurs espérances, que les variables soient indépendantes ou non (propriété de linéarité de l'espérance).
Donc, $E(S_n) = E(X_1 + X_2 + \ldots + X_n) = E(X_1) + E(X_2) + \ldots + E(X_n) = \sum_{i=1}^{n} E(X_i)$.

3. En déduire l'expression de $E(S_n)$ en fonction des probabilités $p_i$ :
On a trouvé à la question 1 que $E(X_i) = p_i$ pour chaque $i$.
En substituant ce résultat dans l'expression de $E(S_n)$ trouvée à la question 2, on obtient :
$E(S_n) = \sum_{i=1}^{n} E(X_i) = \sum_{i=1}^{n} p_i = p_1 + p_2 + \ldots + p_n$.
L'espérance de la somme $S_n$ est donc la somme des probabilités $p_i$ des variables de Bernoulli individuelles.

Correction détaillée :

1. Calculer la variance $V(X_i)$ pour chaque $i$ :
Pour une variable aléatoire de Bernoulli $X_i$ de paramètre $p$, elle prend les valeurs 1 avec probabilité $p$ et 0 avec probabilité $1-p$. La variance est donnée par la formule $V(X_i) = E(X_i^2) - [E(X_i)]^2$.
D'abord, calculons l'espérance $E(X_i)$: $E(X_i) = 1 \cdot P(X_i=1) + 0 \cdot P(X_i=0) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p$.
Ensuite, calculons $E(X_i^2)$: $E(X_i^2) = 1^2 \cdot P(X_i=1) + 0^2 \cdot P(X_i=0) = 1^2 \cdot p + 0^2 \cdot (1-p) = p$.
Enfin, calculons la variance $V(X_i)$: $V(X_i) = E(X_i^2) - [E(X_i)]^2 = p - p^2 = p(1-p)$.
Donc, pour chaque $i$, $V(X_i) = p(1-p)$.

2. Exprimer la variance de la somme $V(S_n)$ en fonction des variances $V(X_i)$ :
On a $S_n = X_1 + X_2 + \ldots + X_n$. Puisque les variables $X_1, X_2, \ldots, X_n$ sont indépendantes, la variance de la somme est la somme des variances (additivité de la variance pour des variables indépendantes).
$V(S_n) = V(X_1 + X_2 + \ldots + X_n) = V(X_1) + V(X_2) + \ldots + V(X_n) = \sum_{i=1}^{n} V(X_i)$.

3. En déduire l'expression de $V(S_n)$ en fonction de $n$ et $p$ :
D'après la question 1, nous avons $V(X_i) = p(1-p)$ pour tout $i$. En substituant cette expression dans le résultat de la question 2 :
$V(S_n) = \sum_{i=1}^{n} V(X_i) = \sum_{i=1}^{n} p(1-p)$.
Comme $p(1-p)$ est une constante qui ne dépend pas de l'indice de sommation $i$, on somme cette constante $n$ fois.
$V(S_n) = n \cdot p(1-p) = np(1-p)$.
Ainsi, la variance de la somme $S_n$ est $V(S_n) = np(1-p)$.

Correction détaillée :

1. Loi de probabilité de $X_i$ :
La variable aléatoire $X_i$ représente le résultat du $i$-ème lancer d'une pièce. Elle ne peut prendre que deux valeurs :

$X_i = 1$ si le $i$-ème lancer est Pile (succès)

$X_i = 0$ si le $i$-ème lancer est Face (échec)

Puisque la pièce est équilibrée, la probabilité d'obtenir Pile est $p = 0.5$ et la probabilité d'obtenir Face est $1-p = 0.5$. Cette situation correspond à la définition d'une loi de Bernoulli.
Une variable aléatoire de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ modélise une expérience aléatoire avec deux issues possibles (succès/échec), où $p$ est la probabilité de succès. Ici, le paramètre $p$ est la probabilité d'obtenir Pile, donc $p = 0.5$.
Par conséquent, chaque variable $X_i$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $0.5$. On note : $X_i \sim \mathcal{B}(0.5)$.

2. Loi de probabilité de $S_{10}$ :
La variable $S_{10} = X_1 + X_2 + \ldots + X_{10}$ représente la somme de 10 variables de Bernoulli indépendantes et identiquement distribuées. Chaque $X_i$ représente un lancer indépendant, et ils ont tous la même probabilité de succès (obtenir Pile, $p=0.5$).
La somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes et identiquement distribuées de paramètre $p$ suit une loi Binomiale de paramètres $n$ et $p$, notée $\mathcal{B}(n, p)$. Dans notre cas, nous avons $n = 10$ lancers et $p = 0.5$.
Donc, la variable $S_{10}$ suit une loi Binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0.5$. On note : $S_{10} \sim \mathcal{B}(10, 0.5)$.

3. Espérance et variance de $S_{10}$ :
Pour une variable aléatoire $S_n$ suivant une loi Binomiale $\mathcal{B}(n, p)$, l'espérance et la variance sont données par les formules :

Espérance : $E(S_n) = n \cdot p$

Variance : $V(S_n) = n \cdot p \cdot (1-p)$

Dans notre cas, $n = 10$ et $p = 0.5$. Appliquons ces formules pour $S_{10}$:
Espérance de $S_{10}$: $E(S_{10}) = n \cdot p = 10 \times 0.5 = 5$.
Variance de $S_{10}$: $V(S_{10}) = n \cdot p \cdot (1-p) = 10 \times 0.5 \times (1 - 0.5) = 10 \times 0.5 \times 0.5 = 2.5$.
Ainsi, l'espérance du nombre total de Piles en 10 lancers est de 5, et la variance est de 2.5.
$E(S_{10}) = 5$. $V(S_{10}) = 2.5$.

Correction détaillée:

1. Lois de probabilité de $X_1$ et $X_2$ :
$X_1$ suit une loi de Bernoulli car elle ne prend que deux valeurs : 1 (succès, la première boule est blanche) ou 0 (échec, la première boule est noire).
Au premier tirage, il y a 2 boules blanches sur un total de 5 boules. Donc, $P(X_1 = 1) = \frac{2}{5}$ et $P(X_1 = 0) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$.
Ainsi, $X_1 \sim \mathcal{B}(\frac{2}{5})$.
Pour $X_2$, la situation est un peu plus complexe car les tirages sont sans remise.
- Si la première boule tirée est blanche (événement $X_1 = 1$), il reste 1 boule blanche sur 4 boules au total. Donc, $P(X_2 = 1 | X_1 = 1) = \frac{1}{4}$.
- Si la première boule tirée est noire (événement $X_1 = 0$), il reste 2 boules blanches sur 4 boules au total. Donc, $P(X_2 = 1 | X_1 = 0) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Pour trouver $P(X_2 = 1)$, on utilise la loi des probabilités totales :

$P(X_2 = 1) = P(X_2 = 1 | X_1 = 1)P(X_1 = 1) + P(X_2 = 1 | X_1 = 0)P(X_1 = 0)$

=$ \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{2}{20} + \frac{6}{20} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$.

Donc, $P(X_2 = 0) = 1 - P(X_2 = 1) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$.
Ainsi, $X_2 \sim \mathcal{B}(\frac{2}{5})$.
Les variables $X_1$ et $X_2$ sont identiquement distribuées (même loi de Bernoulli avec $p = \frac{2}{5}$), mais elles ne sont pas indépendantes car le résultat du premier tirage affecte les probabilités du second tirage (tirage sans remise).

2. Loi de probabilité de $S$ :
$S = X_1 + X_2$ représente le nombre total de boules blanches tirées en deux tirages. $S$ peut prendre les valeurs 0, 1, ou 2.
- $S=0$ (aucune boule blanche tirée) : $P(S=0) = P(X_1=0 \text{ et } X_2=0) = P(X_1=0) \cdot P(X_2=0|X_1=0) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$.
- $S=1$ (une seule boule blanche tirée) : $P(S=1) = P(X_1=1 \text{ et } X_2=0) + P(X_1=0 \text{ et } X_2=1) = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} + \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{12}{20} = \frac{6}{10}$.
- $S=2$ (deux boules blanches tirées) : $P(S=2) = P(X_1=1 \text{ et } X_2=1) = P(X_1=1) \cdot P(X_2=1|X_1=1) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$.
La loi de probabilité de $S$ est donc :

$s_i$	0	1	2
$P(S=s_i)$	3/10	6/10	1/10

3. Calculer l'espérance de $S$ :
En utilisant la loi de probabilité de $S$ :
$E(S) = 0 \cdot P(S=0) + 1 \cdot P(S=1) + 2 \cdot P(S=2) = 0 \cdot \frac{3}{10} + 1 \cdot \frac{6}{10} + 2 \cdot \frac{1}{10} = \frac{6}{10} + \frac{2}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.
En utilisant la linéarité de l'espérance :
$E(S) = E(X_1 + X_2) = E(X_1) + E(X_2)$.
On a $E(X_1) = 1 \cdot P(X_1=1) + 0 \cdot P(X_1=0) = \frac{2}{5}$ et $E(X_2) = 1 \cdot P(X_2=1) + 0 \cdot P(X_2=0) = \frac{2}{5}$.
Donc, $E(S) = E(X_1) + E(X_2) = \frac{2}{5} + \frac{2}{5} = \frac{4}{5}$.

Correction détaillée:

1. Exprimer $D$ comme une somme de deux variables aléatoires :
On peut écrire $D = X - Y$ comme une somme en utilisant une variable aléatoire intermédiaire : $D = X + (-1)Y$.

2. Utiliser la propriété d'additivité de la variance pour les variables indépendantes pour trouver $V(D)$ :
Puisque $X$ et $Y$ sont indépendantes, $X$ et $-1 \times Y$ le sont aussi. La variance d'une somme de variables aléatoires indépendantes est la somme des variances. De plus, pour toute constante $a$ et variable aléatoire $Y$, $V(aY) = a^2V(Y)$.
Donc, $V(D) = V(X + (-1)Y) = V(X) + V(-1 \times Y) = V(X) + (-1)^2 V(Y) = V(X) + V(Y)$.

3. Que devient la variance de $D$ si $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes ?
Si $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes, on ne peut pas simplement additionner les variances. On doit utiliser la formule générale de la variance d'une somme :
$V(aX + bY) = a^2V(X) + b^2V(Y) + 2ab \cdot Cov(X, Y)$, où $Cov(X, Y)$ est la covariance de $X$ et $Y$.
Dans notre cas, $a = 1$ et $b = -1$, donc :

$V(D) = V(X - Y) = V(X + (-1)Y) = 1^2 V(X) + (-1)^2 V(Y) + 2(1)(-1) \cdot

Cov(X, Y) = V(X) + V(Y) - 2Cov(X, Y)$.

Correction détaillée:

1. Calculer l'espérance de $D$ :
L'espérance d'une différence est la différence des espérances : $E(D) = E(X - Y) = E(X) - E(Y)$.
On a $E(X) = \mu_X = 10$ et $E(Y) = \mu_Y = 8$.
Donc, $E(D) = 10 - 8 = 2$.

2. Calculer la variance de $D$ :
Comme $X$ et $Y$ sont indépendantes, la variance de leur différence est la somme de leurs variances : $V(D) = V(X - Y) = V(X) + V(Y)$.
On a $V(X) = \sigma_X^2 = 2^2 = 4$ et $V(Y) = \sigma_Y^2 = 1.5^2 = 2.25$.
Donc, $V(D) = 4 + 2.25 = 6.25$.
L'écart-type est la racine carrée de la variance : $\sigma(D) = \sqrt{V(D)} = \sqrt{6.25} = 2.5$.

3. Loi de probabilité suivie par $D$ :
La différence de deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois normales suit également une loi normale.
La loi normale est caractérisée par son espérance et sa variance (ou son écart-type).
On a trouvé $E(D) = 2$ et $V(D) = 6.25$ (ou $\sigma(D) = 2.5$).
Donc, $D$ suit une loi normale de paramètres $\mu_D = 2$ et $\sigma_D^2 = 6.25$, ce qu'on note $D \sim \mathcal{N}(2, 6.25)$ ou $D \sim \mathcal{N}(2, 2.5^2)$.

Correction détaillée:

1. Exprimer $E(Z)$ en fonction de $E(X)$, $E(Y)$, $a$, $b$, et $c$ :
L'espérance d'une somme de variables aléatoires est la somme des espérances, et l'espérance d'une variable aléatoire multipliée par une constante est le produit de la constante par l'espérance de la variable. De plus, l'espérance d'une constante est la constante elle-même.
Donc, $E(Z) = E(aX + bY + c) = E(aX) + E(bY) + E(c) = aE(X) + bE(Y) + c$.

2. Exprimer $V(Z)$ en fonction de $V(X)$, $V(Y)$, $Cov(X, Y)$, $a$, et $b$ :
La variance d'une variable aléatoire multipliée par une constante est le produit du carré de la constante par la variance de la variable. La variance d'une constante est nulle. La variance d'une somme de variables aléatoires fait intervenir la covariance entre les variables.
La formule générale est $V(aX + bY) = a^2V(X) + b^2V(Y) + 2ab \cdot Cov(X, Y)$.
Comme $Z = aX + bY + c$, on a $V(Z) = V(aX + bY + c) = V(aX + bY)$, car la variance d'une constante ($c$) est nulle.
Donc, $V(Z) = a^2V(X) + b^2V(Y) + 2ab \cdot Cov(X, Y)$.
Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, leur covariance est nulle, $Cov(X, Y) = 0$, et la formule se simplifie en $V(Z) = a^2V(X) + b^2V(Y)$.

Correction détaillée:

1. Utiliser la définition de la covariance en termes d'espérance :
La covariance entre deux variables aléatoires $A$ et $B$ est définie par $Cov(A, B) = E[(A - E(A))(B - E(B))]$.
Dans notre cas, on a $A = X + Y$ et $B = Z$. Donc,
$Cov(X+Y, Z) = E[((X+Y) - E(X+Y))(Z - E(Z))]$.

2. Appliquer la linéarité de l'espérance pour développer l'expression :
On sait que $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$ par linéarité de l'espérance.
Donc, $Cov(X+Y, Z) = E[((X+Y) - (E(X) + E(Y)))(Z - E(Z))] = E[((X - E(X)) + (Y - E(Y)))(Z - E(Z))]$.
En développant le produit, on obtient :
$Cov(X+Y, Z) = E[(X - E(X))(Z - E(Z)) + (Y - E(Y))(Z - E(Z))]$.
Par linéarité de l'espérance, on peut séparer les termes :
$Cov(X+Y, Z) = E[(X - E(X))(Z - E(Z))] + E[(Y - E(Y))(Z - E(Z))]$.
On reconnaît dans chaque terme la définition de la covariance :
$Cov(X+Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z)$.
La covariance de la somme $X+Y$ avec $Z$ est donc la somme des covariances de $X$ avec $Z$ et de $Y$ avec $Z$.

Correction détaillée:

1. Utiliser la définition de la covariance en termes d'espérance :
La covariance entre deux variables aléatoires $A$ et $B$ est définie par $Cov(A, B) = E[(A - E(A))(B - E(B))]$.
Dans notre cas, on a $A = X$ et $B = Y + Z$. Donc,
$Cov(X, Y+Z) = E[(X - E(X))((Y+Z) - E(Y+Z))]$.

2. Appliquer la linéarité de l'espérance pour développer l'expression :
On sait que $E(Y+Z) = E(Y) + E(Z)$ par linéarité de l'espérance.
Donc, $Cov(X, Y+Z) = E[(X - E(X))((Y+Z) - (E(Y) + E(Z)))] = E[(X - E(X))((Y - E(Y)) + (Z - E(Z)))]$.
En développant le produit, on obtient :
$Cov(X, Y+Z) = E[(X - E(X))(Y - E(Y)) + (X - E(X))(Z - E(Z))]$.
Par linéarité de l'espérance, on peut séparer les termes :
$Cov(X, Y+Z) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))] + E[(X - E(X))(Z - E(Z))]$.
On reconnaît dans chaque terme la définition de la covariance :
$Cov(X, Y+Z) = Cov(X, Y) + Cov(X, Z)$.
La covariance de $X$ avec la somme $Y+Z$ est donc la somme des covariances de $X$ avec $Y$ et de $X$ avec $Z$.

3. Comparer le résultat avec celui de l'exercice précédent :
Le résultat est similaire à celui de l'exercice précédent. Dans l'exercice 24, on a montré que $Cov(X+Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z)$. Ici, on a montré que $Cov(X, Y+Z) = Cov(X, Y) + Cov(X, Z)$.
Ces deux résultats illustrent la propriété de bilinéarité de la covariance : la covariance est linéaire par rapport à chacun de ses arguments.