Géométrie dans l'espace (Partie 1) et compléments avancés

Exercices complets sur la géométrie dans l'espace pour Terminale Spécialité Maths. Quelques notions complémentaires en plus du cours

Exercices avancés sur les droites et plans dans l'espace

Exercice 1 : Étude de droites dans l'espace

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(2; 1; -1)$, $B(0; 3; 1)$ et $C(1; 2; 0)$. On considère également la droite $(d)$ de représentation paramétrique : $$ \begin{cases} x = 1 + t \\ y = -1 + 2t \\ z = 2 - t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R} $$

  1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.
  2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AC)$.
  3. Les droites $(AB)$ et $(d)$ sont-elles parallèles ? Sécantes ?
  4. Le point $C$ appartient-il à la droite $(d)$ ?
  5. Calculer la distance du point $A$ à la droite $(d)$.

Exercice 2 : Plans, droites et projections

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(1; 1; 1)$, $B(2; 3; 0)$ et $C(0; 2; -1)$. On note $\mathcal{P}$ le plan $(ABC)$. Soit $D(2; -1; 2)$.

  1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.
  2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AC)$.
  3. Montrer que les points $A, B, C$ ne sont pas alignés.
  4. Soit $\mathcal{D}$ la droite de vecteur directeur $\vec{u}(1; -1; 2)$ passant par $D$. Donner une représentation paramétrique de $\mathcal{D}$.
  5. Déterminer la position relative de la droite $\mathcal{D}$ et du plan $\mathcal{P}$.

Exercice 3 : Étude de positions relatives et distances

On considère les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ données par les représentations paramétriques suivantes : $$(d_1) : \begin{cases} x = 2 + t \\ y = -1 + 2t \\ z = 1 - t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R} \quad \text{et} \quad (d_2) : \begin{cases} x = 3 - k \\ y = 1 + k \\ z = -2 + 3k \end{cases} \quad k \in \mathbb{R} $$

  1. Montrer que les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ ne sont pas parallèles.
  2. Montrer que les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont sécantes. Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.
  3. Donner un point et un vecteur directeur de la droite $(d_1)$.
  4. Donner un point et un vecteur directeur de la droite $(d_2)$.
  5. Calculer la distance du point $A(2;-1;1)$ (appartenant à $(d_1)$ ) à la droite $(d_2)$.

Exercice 4 : Représentation paramétrique, droites parallèles et sécantes.

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(1; 0; 2)$, $B(2; 2; 1)$, et $C(0; 1; 3)$. On note $\mathcal{D}$ la droite de vecteur directeur $\vec{u}(2;-2;2)$ et passant par le point $A$. On note $\mathcal{D'}$ la droite de representation parametrique $$ \begin{cases} x = 1 - t \\ y = 1 + t \\ z = 1 + 2t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R} $$

  1. Donner une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$.
  2. Donner un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D'}$.
  3. Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D'}$ sont-elles parallèles ?
  4. Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D'}$ sont-elles sécantes ? Si oui, calculer les coordonnées de leur point d'intersection.
  5. Le point $C$ appartient-il à la droite $\mathcal{D'}$ ?

Exercice 5 : Droites, points et représentation paramétrique

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(-1; 2; 1)$, $B(1; 0; -1)$ et la droite $(d)$ de représentation paramétrique : $$ \begin{cases} x = 1 - t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 - t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R} $$

  1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.
  2. Déterminer un vecteur directeur de la droite $(d)$.
  3. Le point $A$ appartient-il à la droite $(d)$ ?
  4. Les droites $(AB)$ et $(d)$ sont-elles parallèles ? Justifier.
  5. Calculer la distance entre le point $B$ et la droite $(d)$.

Exercice 6 : Droite, vecteur, point et orthogonalité

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(2; -1; 1)$ et $B(0; 1; -1)$. La droite $(d)$ est donnée par sa représentation paramétrique : $$ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -1 - t \\ z = 2 + t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R} $$

  1. Donner un vecteur directeur de la droite $(AB)$.
  2. Donner un vecteur directeur de la droite $(d)$.
  3. Donner une représentation paramétrique de la droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}(1;1;1)$.
  4. Déterminer les coordonnées du milieu $I$ du segment $[AB]$.
  5. Les droites $(AB)$ et $(d)$ sont-elles orthogonales ?

Exercice 7 : Positions relatives de droites, point et distance.

On considère les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ données par les représentations paramétriques suivantes : $$(d_1) : \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3 - t \\ z = -1 + t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R} \quad \text{et} \quad (d_2) : \begin{cases} x = 3 - k \\ y = 1 + 2k \\ z = 2 - k \end{cases} \quad k \in \mathbb{R} $$ On considère également le point $A(1;3;-1)$.

  1. Donner un vecteur directeur de $(d_1)$.
  2. Donner un vecteur directeur de $(d_2)$.
  3. Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont-elles parallèles ?
  4. Déterminer si les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont sécantes et, le cas échéant, donner les coordonnées de leur point d'intersection.
  5. Calculer la distance du point $A$ à la droite $(d_2)$.

Exercice 8 : Représentation paramétrique et plans

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(1; 0; 1)$, $B(2; 2; 0)$ et $C(0; 1; 3)$. On considère aussi le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x - y + z - 2 = 0$.

  1. Donner une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.
  2. Le point $C$ appartient-il à la droite $(AB)$ ?
  3. Déterminer un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
  4. Donner une équation cartésienne du plan contenant les points $A$, $B$ et $C$.
  5. La droite $(AB)$ est-elle perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$?

Exercice 9 : Droites et plans dans l'espace.

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(2; 1; -1)$, $B(1; 2; 0)$ et la droite $(d)$ de représentation paramétrique : $$ \begin{cases} x = 1 + t \\ y = -1 - 2t \\ z = 2 + t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R} $$ On note $\mathcal{P}$ le plan d'équation $2x + y - z + 1 = 0$.

  1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.
  2. Montrer que le point $B$ n'appartient pas à la droite $(d)$.
  3. Donner un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
  4. La droite $(d)$ est-elle parallèle au plan $\mathcal{P}$ ?
  5. Calculer la distance du point $A$ au plan $\mathcal{P}$.

Exercice 10 : Représentation paramétrique et orthogonalité

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(3;0;1)$, $B(0;3;1)$ et $C(1;1;4)$. On considère également le plan $P$ d'équation $x+y-3z+5=0$.

  1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.
  2. Montrer que le vecteur $\vec{n}(3;3;-9)$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
  3. Montrer que les plans $(ABC)$ et $P$ sont parallèles.
  4. Calculer la distance du point $A$ au plan $P$.
  5. Donner un vecteur directeur de la droite $(AB)$ et montrer qu'elle n'est pas orthogonale au plan $P$

Exercice 11 : Représentation paramétrique et intersection

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ définies par : $$(d_1) : \begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 3 + 2t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R} \quad \text{et} \quad (d_2) : \begin{cases} x = 1 - 2k \\ y = 3 + k \\ z = -1 + k \end{cases} \quad k \in \mathbb{R} $$

  1. Déterminer un vecteur directeur de $(d_1)$ et un vecteur directeur de $(d_2)$.
  2. Montrer que $(d_1)$ et $(d_2)$ ne sont pas parallèles.
  3. Déterminer si $(d_1)$ et $(d_2)$ sont sécantes et, le cas échéant, donner les coordonnées de leur point d'intersection.
  4. Soit $A(2;1;3)$. Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par $A$ et parallèle à $(d_1)$.
  5. Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par $A$ et perpendiculaire à $(d_1)$ (si possible). Expliquez.

Exercice 12 : Représentation paramétrique et plans

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(1; 0; 2)$, $B(2; 1; 1)$ et $C(0; -1; 3)$. On définit la droite $(d)$ de représentation paramétrique $$ \begin{cases} x = 1 + t \\ y = -1 - t \\ z = 2 + 2t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R} $$ On note $\mathcal{P}$ le plan contenant $A$, $B$ et $C$.

  1. Donner un vecteur directeur de la droite $(d)$.
  2. Les points $A$, $B$ et $C$ définissent-ils un plan ? Justifier.
  3. Déterminer une représentation paramétrique du plan $\mathcal{P}$ (on ne demande pas une équation cartésienne).
  4. La droite $(d)$ est-elle parallèle au plan $\mathcal{P}$ ? Justifier.
  5. Déterminer si le point $D(0;0;0)$ appartient à la droite $(d)$.

Exercice 13 : Droites orthogonales et représentation paramétrique.

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère la droite $(d)$ de représentation paramétrique : $$ \begin{cases} x = 2 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = -1 + t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R} $$ On considère également les points $A(1; 2; 0)$ et $B(3; 0; -2)$.

  1. Déterminer un vecteur directeur de la droite $(d)$.
  2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.
  3. Les droites $(AB)$ et $(d)$ sont-elles orthogonales?
  4. Déterminer le point d'intersection entre la droite $(d)$ et le plan $(xOy)$.
  5. Calculer la distance du point $A$ à la droite $(d)$

Exercice 14 : Représentation paramétrique et intersection

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ de représentations paramétriques : $$(d_1) : \begin{cases} x = -1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 1 + 2t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R} \quad \text{et} \quad (d_2) : \begin{cases} x = 2 - k \\ y = 1 + 2k \\ z = -1 + k \end{cases} \quad k \in \mathbb{R} $$

  1. Donner un vecteur directeur de $(d_1)$ et un vecteur directeur de $(d_2)$.
  2. Montrer que les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ ne sont pas parallèles.
  3. Déterminer le point d'intersection entre les droites $(d_1)$ et $(d_2)$.
  4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par le point $A(1;1;1)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(2;0;-1)$.
  5. La droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$ est-elle sécante à la droite $(d_1)$ ?

Exercice 15 : Représentation paramétrique et plan

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(2; -1; 1)$ et $B(1; 2; 0)$. On note $(d)$ la droite de représentation paramétrique $$ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -1 + t \\ z = 2 - t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R} $$ On considère également le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x - 2y + z - 2 = 0$.

  1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.
  2. Déterminer un vecteur directeur de la droite $(d)$.
  3. Déterminer un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
  4. La droite $(d)$ est-elle parallèle au plan $\mathcal{P}$ ?
  5. Calculer la distance du point $A$ au plan $\mathcal{P}$.

Exercice 16 : Positions relatives et intersections

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ de représentations paramétriques : $$(d_1) : \begin{cases} x = 3 + t \\ y = -1 + 2t \\ z = 2 - t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R} \quad \text{et} \quad (d_2) : \begin{cases} x = 1 + k \\ y = 2 + k \\ z = 1 - k \end{cases} \quad k \in \mathbb{R} $$

  1. Donner un vecteur directeur de $(d_1)$ et un vecteur directeur de $(d_2)$.
  2. Montrer que les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ ne sont pas parallèles.
  3. Déterminer si les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont sécantes et, le cas échéant, donner les coordonnées de leur point d'intersection.
  4. Soit $A(3;-1;2)$ un point de $(d_1)$. Donner une représentation paramétrique de la droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}(1;0;1)$.
  5. Cette droite est-elle orthogonale à la droite $(d_1)$ ?

Exercice 17 : Droites et représentations paramétriques

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(1; 2; -1)$ et $B(3; 0; 1)$. On définit la droite $(d)$ de représentation paramétrique $$ \begin{cases} x = 1 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = 2 - t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R} $$

  1. Donner une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.
  2. Les droites $(AB)$ et $(d)$ sont-elles parallèles ? Justifier.
  3. Déterminer un vecteur directeur de $(d)$.
  4. Déterminer le point d'intersection entre la droite $(d)$ et le plan $(xOy)$.
  5. Calculer la distance du point $A$ à la droite $(d)$.

Exercice 18 : Étude de positions relatives et distances.

On considère les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ de représentations paramétriques : $$(d_1) : \begin{cases} x = 1 + t \\ y = -2 + 2t \\ z = 3 - t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R} \quad \text{et} \quad (d_2) : \begin{cases} x = 2 - k \\ y = 1 + k \\ z = -1 + 2k \end{cases} \quad k \in \mathbb{R} $$ On considère également le point $A(2;-1;2)$

  1. Donner un vecteur directeur de $(d_1)$ et un vecteur directeur de $(d_2)$.
  2. Montrer que les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ ne sont pas parallèles.
  3. Déterminer si les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont sécantes.
  4. Déterminer une representation parametrique de la droite passant par $A$ et orthogonale à la droite $(d_1)$ (si possible). Expliquez.
  5. Calculer la distance du point $A$ à la droite $(d_2)$.

Exercice 19 : Points, droites et représentations paramétriques.

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(-1; 1; 2)$ et $B(2; 0; -1)$. On considère la droite $(d)$ de représentation paramétrique : $$ \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 - t \\ z = 2t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R} $$

  1. Donner une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.
  2. Le point $A$ appartient-il à la droite $(d)$ ? Justifier.
  3. Le point $B$ appartient-il à la droite $(d)$ ? Justifier.
  4. Les droites $(AB)$ et $(d)$ sont-elles parallèles ? Justifier.
  5. Déterminer si les droites $(AB)$ et $(d)$ sont sécantes.

Exercice 20 : Étude de droites, de plan et projection.

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(2; 1; 0)$, $B(1; 0; 2)$ et $C(1; -2; 0)$. On définit la droite $(d)$ de représentation paramétrique $$ \begin{cases} x = 2 + t \\ y = -1 + 2t \\ z = 2t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R} $$ On note $P$ le plan contenant $A$, $B$ et $C$.

  1. Déterminer un vecteur directeur de la droite $(d)$.
  2. Donner une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.
  3. Les droites $(AB)$ et $(d)$ sont-elles parallèles ?
  4. Déterminer si le point $C$ appartient à la droite $(d)$.
  5. Calculer la distance du point $C$ à la droite $(d)$.

Exercice 21 : Positions relatives de points, droites et plans

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.

On considère les points $A(1;2;5)$, $B(-1;6;4)$, $C(7;-10;8)$ et $D(-1;3;4)$.

  1. Proposition 1 : Les points $A,B$ et $C$ définissent un plan.
  2. On admet que les points $A,B$ et $D$ définissent un plan.
    Proposition 2 : Une représentation paramétrique du plan $(ABD)$ est :
    $$\begin{cases} x=-1 -2t \\y=4t - 3t' \qquad t\in\mathbb{R}, t'\in\mathbb{R} \\ z=4-t \end{cases}$$
  3. Proposition 3 : Une représentation paramétrique de la droite $(AC)$ est $$\begin{cases} x=\frac{3}{2}t-5 \\y=-3t+14 \qquad t\in \mathbb{R} \\z=-\frac{3}{2}t+2 \end{cases}$$

Exercice 22 : Tétraèdre et plan orthogonal

Dans l'espace, on considère un tétraèdre $ABCD$ dont les faces $ABC$, $ACD$ et $ABD$ sont des triangles rectangles et isocèles en $A$. On désigne par $E, F$ et $G$ les milieux respectifs des côtés $[AB]$, $[BC]$ et $[CA]$.

On choisit $AB$ pour unité de longueur et on se place dans le repère orthonormé $\left(A;\vec{AB};\vec{AC};\vec{AD}\right)$ de l'espace.

On désigne par $\mathscr{P}$ le plan qui passe par $A$ et qui est orthogonal à la droite $(DF)$.

On note $H$ le point d'intersection du plan $\mathscr{P}$ et de la droite $(DF)$.

  1. Donner les coordonnées des points $D$ et $F$.
  2. Donner une représentation paramétrique de la droite $(DF)$.
  3. Une représentation paramétrique du plan $\mathscr{P}$ est $$\begin{cases} x=t+2t' \\y=t+4t' \qquad t \in \mathbb{R}, t' \in \mathbb{R}\\z=t+3t' \end{cases}$$ Calculer les coordonnées du point $H$.
  4. Démontrer que l'angle $\widehat{EHG}$ est un angle droit.

Exercice 23 : QCM sur les droites et plans

Exercice 23 : divers 2014/2013

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chacune des questions, une seule des quatre propositions est correcte.

  1. Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points $A(2;5;-1)$, $B(3;2;1)$ et $C(1;3;-2)$. Le triangle $ABC$ est :
    a. rectangle et non isocèle
    b. isocèle et non rectangle
    c. rectangle et isocèle
    d. équilatéral
  2. Soit $\mathscr{D}$ la droite de vecteur directeur $\vec{u}(2;-1;1)$ passant par $A(1;-1;-1)$. Une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$ est :
    a. $\begin{cases} x=2+t \\y=-1-t \qquad t\in \mathbb{R} \\z=1-t \end{cases}$
    b. $\begin{cases} x=-1+2t \\y=1-t \qquad t\in \mathbb{R}\\z=1+t\end{cases}$
    c. $\begin{cases} x=5+4t \\y=-3-2t \qquad t\in \mathbb{R}\\z=1+2t \end{cases}$
    d. $\begin{cases} x=4-2t \\y=-2+t \qquad t \in \mathbb{R}\\z=3-4t \end{cases}$
  3. L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk. On note $\mathscr{D}$ la droite ayant pour représentation paramétrique $\begin{cases} x=t+1 \\y=2t-1 \qquad t\in\mathbb{R} \\z=3t+2 \end{cases}$ et $\mathscr{D}'$ la droite ayant pour représentation paramétrique $\begin{cases} x=k+1 \\y=k+3 \qquad k\in \mathbb{R} \\z=-k+4 \end{cases}$
    a. Les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}'$ sont parallèles.
    b. Les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}'$ sont coplanaires.
    c. Le point $A(-3;5;4)$ appartient à la droite $\mathscr{D}$.
    d. Les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}'$ sont orthogonales.

Exercice 24 : Intersection d'une droite et d'un plan

On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé.

On considère les points $A(0;4;1)$, $B(1;3;0)$, $C(2;-1;-2)$ et $D(7;-1;4)$.

  1. Démontrer que les points $A, B$ et $C$ ne sont pas alignés.
  2. Déterminer une représentation paramétrique du plan $(ABC)$.
  3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $D$ et de vecteur directeur $\vec{u}(2;-1;3)$.
  4. Déterminer les coordonnées du point $H$, intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(ABC)$.
  5. On considère la droite $d$ dont une représentation paramétrique est $\begin{cases} x=-4t-2\\y=t \qquad \qquad t\in \mathbb{R}\\z=3t+2\end{cases}$.
    La droite $d$ et le plan $(ABC)$ sont-ils sécants ou parallèles?

Exercice 25 : Calcul de distance point-plan

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$. On considère les points $A(1;0;0)$, $B(1;1;0)$ et $C(1;1;1)$.

On note $\mathcal{P}$ le plan $(ABC)$.

  1. Montrer que le vecteur $\vec{n}(-1;0;1)$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
  2. Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$.
  3. Soit $D$ le point de coordonnées $(2;3;-1)$. Calculer la distance du point $D$ au plan $\mathcal{P}$.

Exercice 26 : Étude d'une sphère et d'un plan

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$. On considère le point $A$ de coordonnées $(1; -2; 1)$ et le plan $\mathcal{P}$ d'équation $2x-y+2z-1=0$.

  1. Donner les coordonnées d'un vecteur normal $\vec{n}$ au plan $\mathcal{P}$.
  2. Déterminer une équation cartésienne de la sphère $\mathcal{S}$ de centre $A$ et de rayon 3.
  3. Calculer la distance du point $A$ au plan $\mathcal{P}$.
  4. Déterminer l'intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la sphère $\mathcal{S}$.

Exercice 27 : Étude de droites et plans dans l'espace

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$. On considère les points $A(2; 1; 0)$, $B(1; 0; 2)$, $C(1; -2; 0)$ et $D(6; 1; 5)$.

  1. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
  2. Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ contenant les points $A$, $B$ et $C$.
  3. Soit $\mathcal{D}$ la droite de représentation paramétrique $\begin{cases} x = 2+t \\ y = -1 + 2t \\ z = 2t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}$ . Montrer que la droite $\mathcal{D}$ est perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$.
  4. Déterminer les coordonnées du point d'intersection $H$ de la droite $\mathcal{D}$ et du plan $\mathcal{P}$.
  5. Calculer la distance du point $D$ au plan $\mathcal{P}$.

Exercice 28 : Positions relatives de deux droites

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé, on considère les droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$ de représentations paramétriques respectives :

$\mathcal{D} : \begin{cases} x= -1+2t \\ y= -2+5t \\ z= 1-3t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R} $ et $\Delta : \begin{cases} x= 2+k \\ y= 3-2k \\ z= -2+k \end{cases} \quad k \in \mathbb{R} $.

  1. Les droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$ sont-elles parallèles ? Justifier.
  2. Montrer que les droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$ sont sécantes. Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.

Exercice 29 : Volume d'un tétraèdre

On considère les points $A(1;0;1)$, $B(0;1;2)$, $C(1;0;5)$ et $D(3;2;2)$.

  1. Calculer le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.
  2. Calculer les coordonnées du vecteur $\vec{AB} \wedge \vec{AC}$.
  3. En déduire l'aire du triangle $ABC$.
  4. Calculer le volume du tétraèdre $ABCD$.

Exercice 30 : Représentation paramétrique et orthogonalité

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(3;0;1)$, $B(0;3;1)$ et $C(1;1;4)$.

  1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.
  2. Montrer que le vecteur $\vec{n}(3;3;-9)$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
  3. Soit $P$ le plan d'équation $x+y-3z+5=0$. Montrer que les plans $(ABC)$ et $P$ sont parallèles.
  4. Calculer la distance du point $A$ au plan $P$.