Primitives et Équations Différentielles

Correction :

Pour tout réel \(x\), \(f'(x)=3e^{3x}\) et \(3f(x)-3=3(e^{3x}+1)-3=3e^{3x}+3-3=3e^{3x}\). Ainsi, pour tout réel \(x\), \(f'(x)=3f(x)-3\). \(f\) est donc solution de l’équation différentielle \(y’=3y-3\).

Correction :

Pour tout réel \(x\neq -1\), \(f'(x)=-\dfrac{1}{(1+x)^2}\) et donc \[(1+x)f'(x)+f(x)=(1+x)\times \left(-\dfrac{1}{(1+x)^2}\right)=-\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+x}=0\]

\(f\) est solution de l’équation différentielle \((1+x)y’+y=0\).

Correction :

Pour tout réel \(x\), on pose \(f(x)=\dfrac{1}{1+e^{-x}}\). \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(f'(x)=\dfrac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}\). De plus,

\[f(x) \times (1-f(x)) = \dfrac{1}{1+e^{-x}} \times \left(1-\dfrac{1}{1+e^{-x}}\right)=\dfrac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}=f'(x)\]

\(f\) est bien solution de l’équation différentielle \(y’=y(1-y)\).

Correction :

Pour tout réel \(x\), \[f'(x)= \lambda e^x + (\lambda x + \mu) e^x = (\lambda x + \lambda + \mu) e^x\] et \[f^{\prime\prime}(x)=\lambda e^x + (\lambda x + \lambda + \mu) e^x = (\lambda x + 2\lambda + \mu) e^x\] Ainsi, pour tout réel \(x\), \[\begin{array}{rcl}f^{\prime\prime}(x)-2f'(x)+f(x)&=&(\lambda x + 2\lambda + \mu) e^x – 2 (\lambda x + \lambda + \mu) e^x + (\lambda x + \mu)e^{x} \\ &=& (\lambda x – 2 \lambda x + \lambda x +2 \lambda + \mu -2 \lambda – 2 \mu + \mu)e^x \\&=&0\end{array}\]

\(f\) est bien solution de l’équation différentielle \(y^{\prime\prime}-2y’+y=0\).

Correction :

Pour tout réel \(x>0\), on pose \(f(x)=x\ln(x)-x\).

\(f\) est dérivable sur \(]0;+\infty [\) et pou tout réel \(x>0\), \[f'(x)=1 \times \ln(x) + x \times \dfrac{1}{x}-1=\ln(x)\]

\(f\) est une primitive de \(\ln\) sur \(]0;+\infty [\).

Correction :

Pour tout réel \(x\), on pose \(F(x)=(2x+1)e^{x^2-1}\) et \(f(x)=(4x^2+2x+2)e^{x^2-1}\). Montrer que \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) revient à montrer que \(F’=f\).

La dérivée de \(x\mapsto e^{x^2-1}\) est \(x\mapsto 2xe^{x^2-1}\) et celle de \(x\mapsto (2x+1)\) est \(x\mapsto 2\). Ainsi, pour tout réel \(x\),

\[F'(x)=2 \times e^{x^2-1} + (2x+1) \times 2xe^{x^2-1}=(4x^2+2x+2)e^{x^2-1}=f(x)\]

\(F\) est bien une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

Correction :

Pour tout réel \(x\), on pose \(F(x)=\dfrac{1}{1+x^2}\) et \(f(x)=\dfrac{-2x}{(x^2+1)^2}\).

Pour tout réel \(x\), \(F'(x)=\dfrac{-2x}{(1+x^2)^2}=f(x)\). \(F\) est donc une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

Notons \(F_0\) l’unique primitive de \(f\) telle que \(F_0(0)=0\). Puisque toutes les primitives de \(f\) ne varient que d’une constante, on sait qu’il existe un réel \(C\) tel que, pour tout réel \(x\), \(F_0(x)=F(x)+C\).
Ainsi, \(F_0(0)=F(0)+C=1+C=0\) et donc \(C=-1\). Finalement, pour tout réel \(x\), \(F_0(x)=\dfrac{1}{1+x^2}-1\).

Correction :

1. Pour tout réel \(x\), \(F'(x)=\dfrac{e^x}{1+e^x}=f(x)\). \(F\) est bien une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
2. Il existe un réel \(C\) tel que, pour tout réel \(x\), \(F_0(x)=F(x)+C=\ln(1+e^x)+C\). Or, \(F_0(0)=\ln(2)+C=0\). On a donc \(C=-\ln(2)\).Finalement, pour tout réel \(x\), \(F_0(x)=\ln(1+e^x)-\ln(2)=\ln\left(\dfrac{1+e^x}{2}\right)\).

Correction :

Soit \(f:x\mapsto (ax+b)e^{4x+3}\). Pour tout réel \(x\), \(f'(x)=ae^{4x+3}+(ax+b)\times 4e^{4x+3}=(4ax+a+4b)e^{4x+3}\). En prenant \(a=2\) et \(b=3\). On obtient \(f'(x)=(8x+14)e^{4x+3}\). \(f\) est bien une primitive de la focntion demandée.

Correction :

Notons \(g:x\mapsto (ax^2+bx+c)e^{1-3x}\).

Pour tout réel \(x\),
\[g'(x)=(2ax+b)e^{1-3x}+(ax^2+bx+c)\times (-3e^{1-3x})=(-3ax^2+(2a-3b)x+b-3c)e^{1-3x}\]
En prenant \(a=1\), \(b=0\) et \(c=-4\), on obtient \(g'(x)=f(x)\). \(g\) est alors une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

Correction :

1. 1. Pour trouver une primitive de \(f_1(x) = x^5 + x^4 - x^3 + x -1\), nous utilisons la règle de puissance pour chaque terme. La primitive de \(x^n\) est \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\). Ainsi, nous obtenons :
   \(F_1(x) = \dfrac{x^6}{6} + \dfrac{x^5}{5}-\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^2}{2}-x\)

2. 2. Pour trouver une primitive de \(f_2(x) = \dfrac{3}{x}-\dfrac{2}{x^2}\), nous utilisons les règles des primitives de \(\frac{1}{x}\) qui est \(\ln|x|\) et de \(\frac{1}{x^2}\) qui est \(\frac{-1}{x}\). Ainsi, nous obtenons :
   \(F_2(x) = 3\ln(x) +\dfrac{2}{x}\)

3. 3. Pour trouver une primitive de \(f_3(x) = 7x^6+8e^{4x+2}-\dfrac{1}{x^3}\), nous utilisons la règle de puissance pour \(x^6\), et la règle pour une exponentielle. La primitive de \(e^{ax+b}\) est \(\frac{1}{a}e^{ax+b}\). La primitive de \(\frac{1}{x^3} = x^{-3}\) est \(\frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^2}\). Ainsi, nous obtenons :
   \(F_3(x) = x^7 + 2 e^{4x+2} + \dfrac{1}{2x^2}\)

4. 4. Pour trouver une primitive de \(f_4(x) = 4x^4+3x^2-\dfrac{5}{x^2}+\dfrac{4}{x^7}\), nous appliquons les règles de puissances. La primitive de \(\frac{1}{x^2}\) est \(\frac{-1}{x}\) et de \(\frac{1}{x^7}\) est \(\frac{-1}{6x^6}\). Ainsi, nous obtenons :
   \(F_4(x) = \frac{4}{5}x^5 + x^3 + \dfrac{5}{x} – \dfrac{2}{3x^6}\)

5. 5. Pour trouver une primitive de \(f_5(x) = 3e^{5x+2}\), nous utilisons la règle pour les exponentielles :
   \(F_5(x) = \dfrac{3}{5}e^{5x+2}\)

6. 6. Pour trouver une primitive de \(f_6(x) = e^{3x}+x^4-\dfrac{1}{x}\), nous utilisons la règle des exponentielles et les règles de puissance :
   \(F_6(x) = \dfrac{e^{3x}}{3} + \dfrac{x^5}{5} – \ln(x)\)

7. 7. Pour trouver une primitive de \(f_7(x) = \dfrac{1}{x^3}-\dfrac{5}{x^4}\) , nous utilisons la règle de puissance pour chaque terme :
   \(F_7(x) = -\dfrac{1}{2x^2}+\dfrac{5}{3x^3}\)

8. Pour tout réel \(x>0\), \[f_8(x)=\dfrac{2x^5+3x^2+1}{x^3}=\dfrac{2x^5}{x^3}+\dfrac{3x^2}{x^3}+\dfrac{1}{x^3}=2x^2+\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^3}\]
\(F_8:x\mapsto \dfrac{2}{3}x^3+3\ln (x) – \dfrac{1}{2x^2}\) est une primitive de \(f_8:x\mapsto \dfrac{2x^5+3x^2+1}{x^3}\) sur \(]0;+\infty[\)

Correction :

1. 1. On commence par trouver la primitive générale de \(f_1(x) = 2x+1\) qui est de la forme \(F(x) = x^2 + x + C\). Puis on utilise la condition initiale \(F_1(3)=2\) pour trouver C :
   \(2 = F_1(3) = 3^2 + 3 + C\) d'ou \(C = -10\). La fonction recherchée est donc \(F_1:x\mapsto x^2+x-10\).

2. 2. On cherche la primitive de \(f_2(x) = \dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}\) qui est de la forme \(F(x) = 2\ln(x) - \dfrac{1}{x} + C\). Puis on utilise la condition initiale \(F_2(1)=3\):
   \(3 = F_2(1) = 2\ln(1) - \dfrac{1}{1} + C\), d'ou \(C = 4\). La fonction recherchée est donc \(F_2:x\mapsto 2\ln(x)-\dfrac{1}{x}+4\)

3. 3. On cherche la primitive de \(f_3(x) = 2e^{3x-4}+1\) qui est de la forme \(F(x) = \dfrac{2}{3}e^{3x-4} + x + C\). Puis, on utilise la condition initiale \(F_3\left(\dfrac{4}{3}\right)=5\):
   \(5 = F_3\left(\dfrac{4}{3}\right) = \dfrac{2}{3}e^{3 \times (4/3)-4}+\dfrac{4}{3}+C = \dfrac{2}{3} + \dfrac{4}{3} + C = 2 + C\), d'ou \(C=3\). La fonction recherchée est la fonction \(F_3:x\mapsto \dfrac{2}{3}e^{3x-4}+x+3\).

4. 4. Attention à l'intervalle \(]-\infty ; 0[\) ! La primitive de \(f_4(x) = \dfrac{3}{x}+x\) est de la forme \(F(x) = 3\ln(-x) + \dfrac{x^2}{2} + C\). On utilise la condition initiale \(F_4(-1)=2\):
   \(2 = F_4(-1) = 3\ln(1) + \dfrac{(-1)^2}{2} + C = \dfrac{1}{2} + C\), et donc, \(C=\dfrac{3}{2}\). La fonction recherchée est la fonction \(F_4:x\mapsto 3\ln(-x)+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{3}{2}\)

Correction :

1. La fonction \(f_1(x) = (4x+1)e^{2x^2+x+3}\) est de la forme \(u'e^u\) avec \(u(x) = 2x^2+x+3\). Sa primitive est donc \(F_1(x) = e^{2x^2+x+3}\).
2. La fonction \(f_2(x) = \dfrac{2x+3}{x^2+3x+3}\) est de la forme \(\dfrac{u'}{u}\) avec \(u(x) = x^2+3x+3\). Une primitive est donc \(F_2(x) = \ln(x^2+3x+3)\).
3. La fonction \(f_3(x) = -\dfrac{2e^{2x}}{(3+e^{2x})^2}\) est de la forme \(-\dfrac{u'}{u^2}\) avec \(u(x) = 3+e^{2x}\). Une primitive est donc \(F_3(x) = \dfrac{1}{3+e^{2x}}\).
4. La fonction \(f_4(x) = x^2e^{x^3}\) est de la forme \(u'e^u\) avec \(u(x)=x^3\). Une primitive est donc \(F_4(x) = \dfrac{1}{3}e^{x^3}\)
5. La fonction \(f_5(x) = \dfrac{4x+10}{x^2+5x+7}\) est de la forme \(\dfrac{u'}{u}\) avec \(u(x)=x^2+5x+7\). Une primitive est donc \(F_5(x) = 2\ln(x^2+5x+7)\).
6. La fonction \(f_6(x) = \dfrac{x^2+1}{\sqrt{x^3+3x}}\) est de la forme \(\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\) avec \(u(x) = x^3+3x\). Une primitive est donc \(F_6(x) = \dfrac{2}{3}\sqrt{x^3+3x}\).
7. La fonction \(f_7(x) = -\dfrac{e^{1/x}}{x^2}\) est de la forme \(u'e^u\) avec \(u(x) = \dfrac{1}{x}\). Une primitive est donc \(F_7(x) = e^{1/x}\).
8. La fonction \(f_8(x) = xe^{x^2-5}\) est de la forme \(u'e^u\) avec \(u(x) = x^2-5\). Une primitive est donc \(F_8(x) = \dfrac{1}{2}e^{x^2-5}\).
9. La fonction \(f_9(x) = 3e^{5x+2}\) est de la forme \(ae^{ax+b}\) avec \(a =5\) et \(b=2\). Une primitive est donc \(F_9(x) = \dfrac{3}{5}e^{5x+2}\).
10. La fonction \(f_{10}(x) = \dfrac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\) est de la forme \(2u'e^u\) avec \(u(x) = \sqrt{x}\). Une primitive est donc \(F_{10}(x) = 2e^{\sqrt{x}}\).
11. La fonction \(f_{11}(x) = \dfrac{4x^3-6x}{x^4-3x^2+5}\) est de la forme \(\dfrac{u'}{u}\) avec \(u(x) = x^4 - 3x^2 + 5\). Une primitive est donc \(F_{11}(x) = \ln(x^4-3x^2+5)\).
12. La fonction \(f_{12}(x) = \dfrac{1}{x\ln(x)}\) est de la forme \(\dfrac{u'}{u}\) avec \(u(x) = \ln(x)\). Une primitive est donc \(F_{12}(x) = \ln(\ln(x))\).
13. La fonction \(f_{13}(x) = \dfrac{10x}{(5x^2+7)^2}\) est de la forme \(\dfrac{u'}{u^2}\) avec \(u(x) = 5x^2+7\). Une primitive est donc \(F_{13}(x) = -\dfrac{1}{5x^2+7}\).
14. La fonction \(f_{14}(x) = \dfrac{-2x-5}{x^4+10x^3+25x^2} = \dfrac{-(2x+5)}{(x^2+5x)^2}\) est de la forme \(\dfrac{-u'}{u^2}\) avec \(u(x) = x^2+5x\). Une primitive est donc \(F_{14}(x) = \dfrac{1}{x^2+5x}\).

Correction :

1. 1. Les primitives de \(f:x\mapsto x^2e^{x^3}\) sont les fonctions \(F:x\mapsto \dfrac{1}{3}e^{x^3}+C\), pour \(C\) réel (voir exercice précédent). Soit donc \(C\in\mathbb{R}\) tel que pour tout réel \(x\), \(F(x)= \dfrac{1}{3}e^{x^3}+C\). On a alors \(F(0)=\dfrac{1}{3}+C=3\) et donc \(C=\dfrac{8}{3}\). La primitive recherchée est \(F:x\mapsto \dfrac{1}{3}e^{x^3}+\dfrac{8}{3}\).

1. 1. Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=1+x^2\). Pour tout réel \(x\), \(u(x)>0\) et \(f(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}\). Une primitive de \(f\) est donc \(ln(u)\). Les primitives de \(f\) sont donc les fonctions \(x\mapsto \ln(1+x^2)+C\). Soit donc \(C\in\mathbb{R}\) tel que, pour tout réel \(x\), \(F(x)=\ln(1+x^2)+C\). On a alors \(F(2)=\ln(5)+C=7\) et donc \(C=7-\ln(5)\). Ainsi, pour tout réel \(x\), \(F(x)=\ln(1+x^2)+7-\ln(5)=\ln\left(\dfrac{1+x^2}{5}\right)+7\).

1. 1. Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=2x^2+2x+1\). Pour tout réel \(x\), \(u(x)>0\) (c’est une fonction polynôme du second degré dont le discriminant est strictement négatif et le coefficient dominant est positif) et \(f(x)=\dfrac{2u'(x)}{u(x)}\). Une primitive de \(f\) est donc \(2ln(u)\). Les primitives de \(f\) sont donc les fonctions \(x\mapsto 2\ln(2x^2+2x+1)+C\). Soit donc \(C\in\mathbb{R}\) tel que, pour tout réel \(x\), \(F(x)=\ln(2x^2+2x+1)+C\). On a alors \(F(-1)=\ln(1)+C=C=3\). Ainsi, pour tout réel \(x\), \(F(x)=\ln(2x^2+2x+1)+3\).

1. Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=x^2+1\). Pour tout réel \(x\), \(u(x)>0\) et \(f(x)=\dfrac{3}{2} \times \left(-\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}\right)=\dfrac{3}{2}\times \left(-\dfrac{u'(x)}{(u(x))^2}\right)\). Une primitive de \(f\) est donc \(\dfrac{3}{2u}\). Les primitives de \(f\) sont donc les fonctions \(x\mapsto \dfrac{3}{2(x^2+1)}+C\). Soit donc \(C\in\mathbb{R}\) tel que, pour tout réel \(x\), \(F(x)=\dfrac{3}{2^(x^2+1)}+C\). On a alors \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}F(x)=C=2\). Ainsi, pour tout réel \(x\), \(F(x)=\dfrac{3}{2(x^2+1)}+2\).

Correction :

1. On considère deux réels \(a\) et \(b\) ,
   \[\dfrac{a}{x-1}+\dfrac{b}{x+3}=\dfrac{a(x+3)+b(x-1)}{(x-1)(x+3)}=\dfrac{(a+b)x+3a-b}{(x-1)(x+3)}\]Ainsi, pour avoir, pour tout réel \(x\), \((a+b)x+3a-b=1\), il suffit que \(a+b=0\) et \(3a-b=1\) soit \(a=\dfrac{1}{4}\) et \(b=-\dfrac{1}{4}\).

   On a donc, pour tout réel \(x\),

   \[f(x)=\dfrac{1}{(x-1)(x+3)}=\dfrac{1}{4(x-1)}-\dfrac{1}{4(x+3)}\]

2. Pour tout \(x>1\), \(x+3>0\) et \(x-1>0\). Une primitive de \(f\) sur \(]1;+\infty[\) est donc \(F:x\mapsto \dfrac{1}{4}\ln(x-1)-\dfrac{1}{4}\ln(x+3)=\dfrac{1}{4}\ln\left(\dfrac{x-1}{x+3}\right)\).

Correction :

• Les fonction solutions de l’équation différentielle \(y’=8y\) sont les fonctions \(x\mapsto Ce^{8x}\), \(C\) étant un réel.
  On cherche donc le réel \(C\) tel que \(Ce^{-16}=7\). On a donc \(C=7e^{16}\). Ainsi, l’unique solution de l’équation différentielle \(y’=8y\) telle que \(y(-2)=7\) est la fonction \(x\mapsto 7e^{8x+16}\).

• Les solutions générales sont les fonctions \(x\mapsto Ce^{-4x}\). Pour avoir \(f(-1)=-5\), il faut que \(C=-5e^{-4}\). Ainsi, pour tout réel \(x\), \(f(x)=-5e^{-4x-4}\).

• Attention à la forme : on a alors \(y’=-7y\). Les solutions générales sont les fonctions \(x\mapsto Ce^{-7x}\). Pour avoir \(f(0)=2\), il faut que \(C=2\). Ainsi, pour tout réel \(x\), \(f(x)=2e^{-7x}\).

• On a alors \(y’=-\dfrac{2}{3}y\). Les solutions générales sont les fonctions \(x\mapsto Ce^{-2x/3}\). Pour avoir \(f(1)=3\), il faut que \(C=3e^{2/3}\). Ainsi, pour tout réel \(x\), \(f(x)=3e^{-2x/3+2/3}\).

  La fonction nulle \(f:x\mapsto 0\) est solution de cette équation. La solution étant unique, il s’agit de la fonction recherchée.

Correction :

1. Les solutions de l’équation \(y’+ky=0\) sont les fonctions \(f:t\mapsto Ce^{-kt}\), pour \(C\) réel. Par ailleurs, on cherche l’unique solution \(N\) vérifiant \(N(0)=N_0 = Ce^0=C\). Ainsi, pour tout réel \(t\), \(N(t)=N_0e^{-kt}\).
2. 1. On a \(N(\tau)=\dfrac{N_0}{2}\) par définition. Or, \(N(\tau)=N_0e^{-k\tau}\). Ainsi, \(\dfrac{N_0}{2}=N_0e^{-k\tau}\) et donc \(e^{-k\tau}=\dfrac{1}{2}\). En appliquant le logarithme népérien, on obtient \(-k\tau=\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\ln (2)\) et donc \(\tau = \dfrac{\ln(2)}{k}\).
   2. On a \(5730=\dfrac{\ln(2)}{k}\) d’où \(k=\dfrac{\ln (2)}{5730}\simeq 1.21 \times 10^{-4}\) années^-1
3. Notons \(t\) le temps écoulé depuis la période où a vécu Otzi et \(N_0\) le nombre initial d’atomes de carbone 14 dans son corps. On a alors \(N(t)=N_0e^{-kt}\) d’une part et \(N(t)=0.53N_0\) d’autre part. Il en vient que \(N_0e^{-kt}=0.53N_0\) et donc \(t=-\dfrac{ln(0.53)}{k}\simeq 5248\). Otzi a vécu il y a environ 53 siècles.

Correction :

1. Les solutions de l’équation \(y’=4y\) sont les fonctions \(x\mapsto Ce^{4x}\), pour \(C\) réel.
2. Soit \(\varphi\) une solution constante de \((E)\). On a alors \(0 = 4 \varphi + 1\) et donc \(\varphi= \dfrac{-1}{4}\). Réciproquement, la fonction constante égale à \(-\dfrac{1}{4}\) est bien solution de l’équation \((E)\).
3. L’ensemble des solutions de \((E)\) est l’ensemble des fonctions \(x\mapsto Ce^{4x}-\dfrac{1}{4}\), pour \(C\) dans \(\mathbb{R}\).
4. Soit \(C\) le réel tel que, pour tout réel \(x\), \(f_0(x)=Ce^{4x}-\dfrac{1}{4}\). On a alors \(f_0(3)=Ce^{12}-\dfrac{1}{4}=5\) et donc \(C=\frac{21}{4}e^{-12}\). Ainsi, pour tout réel \(x\), \(f_0(x)=\dfrac{21}{4}e^{4x-12}-\dfrac{1}{4}\).

Correction :

1. 1. Les solutions générales sont les fonctions \(x\mapsto Ce^{3x}-\dfrac{2}{3}\). Pour avoir \(f(3)=1\), il faut que \(C=\dfrac{5}{3}e^{-9}\). Ainsi, pour tout réel \(x\), \(f(x)=\dfrac{5}{3}e^{3x-9}-\dfrac{2}{3}\).

1. 2. On a alors \(y’=\dfrac{5}{2}y-\dfrac{1}{2}\). Les solutions générales sont les fonctions \(x\mapsto Ce^{5x/2}+\dfrac{1}{5}\). Pour avoir \(f(0)=2\), il faut que \(C=\dfrac{9}{5}\). Ainsi, pour tout réel \(x\), \(f(x)=\dfrac{9}{5}e^{5x/2}+\dfrac{1}{5}\).

   3. La fonction constante égale à \(-2\) convient. Par unicité de la solution, on a alors \(f(x)=-2\) pour tout réel \(x\).

Correction :

Notons \(z=y^{\prime}\). Alors \(y\) est solution de \((E)\) si et seulement si \(z\) est solution de l’équation \(z’+2z-3=0\) ou encore \(z’=-2z+3\).

Les solutions de cette équation sont les fonctions \(x\mapsto Ce^{-2x}+\dfrac{3}{2}\). Ainsi, \(y\) est solution de \((E)\) si et seulement si il existe un réel \(C\) tel que, pour tout réel \(x\), \(y'(x)=Ce^{-2x}+\dfrac{3}{2}\) et donc si et seulement s’il existe deux réels \(C\) et \(k\) tels que, pour tout réel \(x\), \(y(x)=\dfrac{C}{-2}e^{-2x}+\dfrac{3}{2}x+k\) (ou simplement \(y(x)=C’e^{-2x}+\dfrac{3}{2}x+k\), en posant \(C’=\dfrac{C}{-2}\).)

Correction :

1. Les solutions de l’équation différentielle \(y’=-\dfrac{\ln(2)}{7}y+\dfrac{20\ln(2)}{7}\) sont les fonctions \(t\mapsto Ce^{-\ln(2)t/7}+20\). Soit donc \(C\) un réel tel que, pour tout réel positif \(t\), \(T(t)=Ce^{-\ln(2)t/7}+20\). On a alors \(T(0)=C+20=100\) et donc \(C=80\). Ainsi, pour tout réel \(t\), \(T(t)=80e^{-\ln(2)t/7}+20\).
2. On a \(\displaystyle\lim_{t\to +\infty}T(t)=20\)
3. On a \(T(t) \leqslant 25\) si et seulement si \(80e^{-\ln(2)t/7}+20 \leqslant 25\) soit \(e^{-\ln(2)t/7} \leqslant \dfrac{1}{16}\). En appliquant le logarithme népérien, qui est une fonction croissante sur \(]0;+\infty[\), cela équivaut donc à \(-\dfrac{\ln(2)t}{7} \leqslant – \ln(16)\) et donc \(t \geqslant \dfrac{7\ln(16)}{\ln(2)}\). Or, \(\dfrac{7\ln(16)}{\ln(2)} = \dfrac{7\ln(2^4)}{\ln(2)} = \dfrac{7 \times 4\ln(2)}{\ln(2)}=28\). Il faut donc attendre 28 minutes pour que la température du thé soit inférieur à 25 degrés.

Correction :

1. Soit \(y\) une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\). On a \(y+RCy’=E\) si et seulement si \(y’=-\dfrac{1}{RC}y+\dfrac{E}{RC}\). Les solutions de cette équation sont les fonctions \(t \mapsto ke^{-\frac{t}{RC}}+E\). Soit dont \(k\) le réel tel que, pour tout réel \(t\), \(u(t)=ke^{-\frac{t}{RC}}+E\). Puisque le condensateur est initialement déchargé, on a \(u(0)=0\) et donc \(ke^{-\frac{0}{RC}}+E=0\) soit \(k+E=0\) et finalement, \(k=-E\). Ainsi, pour tout réel \(t>0\), \(u(t)=E(1-e^{-\frac{t}{RC}})\).
2. Puisque \(R\) et \(C\) sont positifs, on a \(\displaystyle\lim_{t \to + \infty}e^{-\frac{t}{RC}}=0\) et donc \(displaystyle\lim_{t \to +\infty}u(t)=E\).
3. Pour tout réel \(t>0\), \(u'(t)=\dfrac{E}{RC}e^{-\frac{t}{RC}}\). Ainsi, la tangente à la courbe de \(u\) à l’abscisse 0 a pour équation \(y=u'(0)(x-0)+u(0)\) soit \(y=\dfrac{E}{RC}t\).
4. On a \(\dfrac{E}{RC}t=E\) si et seulement si \(t=RC\). Ainsi, \(\tau =RC\).
5. On a \(u(\tau)= E(1-e^{-\frac{RC}{RC}})=E(1-e^{-1})\simeq0.63E\).

Correction :

1. Les solutions de l’équation homogène associée sont les fonctions \(x\mapsto Ce^{4x}\) où \(C\) est un réel.
2. On considère la fonction \(v:x\mapsto -\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{16}\). Pour tout réel \(x\), \(v'(x)=-\dfrac{3}{4}\). Ainsi,\[v'(x)-4v(x)=-\dfrac{3}{4}-4\times\left( -\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{16}\right)=3x-1\]
   Ainsi, \(v\) est solution de l’équation différentielle \(y’=4y+3x-1\).
3. \(f\) est solution de \((E)\) si et seulement si, pour tout réel \(x\), \(f'(x)=4f(x)+3x-1\). En retirant \(\varphi'(x)\) aux deux membres de cette équation, on obtient que \(f\) est solution de \((E)\) si et seulement si \(f'(x)-\varphi ‘(x)=4f(x)+3x-1-\varphi ‘(x)\). Or, \(\varphi\) est solution de l’équation \((E)\), et donc, pour tout réel \(x\), \(\varphi’ (x) = 4\varphi (x)+3x-1\).On a donc que \(f\) est solution de \((E)\) si et seulement si \(f'(x)-\varphi ‘(x)=4f(x)+3x-1-(4\varphi (x)+3x-1)\) soit \((f-\varphi)'(x) = 4 (f-\varphi(x))\), c’est-à-dire \(f-\varphi\) est solution de \((H)\).
4. Ainsi, \(f\) est solution de l’équation \(y’=4y+3x-1\) si et seulement si \(f-v\) est solution de l’équation homogène \(y’=4y\), c’est-à-dire qu’il existe un réel \(C\) tel que pour tout réel \(x\), \(f(x)-v(x)=Ce^{4x}\) ou encore \(f(x)=Ce^{4x}+v(x)=Ce^{4x}-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{16}\).

Correction :

1. 1. L’équation homogène associée \(y’+y=0\) ou \(y’=-y\) a pour solutions les fonctions \(x\mapsto Ce^{-x}\) où \(C\) est un réel.

   2. \(f\) est solution de \((E)\) si et seulement si, pour tout réel \(x\), \(f'(x)+f(x)=e^{-x}\). En retirant \(\varphi'(x)\) aux deux membres de cette équation, on obtient que \(f\) est solution de \((E)\) si et seulement si \(f'(x)-\varphi ‘(x)+f(x)=e^{-x}-\varphi ‘(x)\) ce qui équivaut à \(f'(x)-\varphi ‘(x)=-f(x)+e^{-x}-\varphi ‘(x)\). Or, \(\varphi\) est solution de l’équation \((E)\), et donc, pour tout réel \(x\), \(\varphi’ (x) = -\varphi (x)+e^{-x}\).On a donc que \(f\) est solution de \((E)\) si et seulement si \(f'(x)-\varphi ‘(x)=-f(x)+e^{-x}+\varphi (x)-e^{-x}\) soit \((f-\varphi)'(x) = – (f-\varphi(x))\), c’est-à-dire \(f-\varphi\) est solution de \((H)\).

   3. On considère la fonction \(\varphi:x\mapsto xe^{-x}\) Pour tout réel \(x\),
   \[\varphi'(x)=1 \times e^{-x}+x\times (-e^{-x})=(1-x)e^{-x}\]
   Ainsi, pour tout réel \(x\),
   \[\varphi'(x)+f(x)=(1-x)e^{-x}+xe^{-x}=e^{-x}\]
   \(\varphi\) est bien solution de l’équation \((E)\)

   4. Les solutions de l’équation différentielle \((E)\) sont les fonctions \(x\mapsto Ce^{-x}+xe^{x}\) où \(C\) est un réel.

Correction :

1. L’équation différentielle homogène est \(2y’+y=0\) ou \(y’=-\dfrac{1}{2}y\). Les solutions de cette équation sont les fonctions \(x\mapsto Ce^{-x/2}\) où \(C\) est un réel.
2. Soit \(a\) et \(b\) deux réels. On considère la fonction \(f:x\mapsto e^{-\frac{x}{2}}(ax^2+bx)\). Pour tout réel \(x\), on a alors\[f'(x)=(2ax+b) \times e^{-\frac{x}{2}}+(ax^2+bx) \times \left(-\dfrac{1}{2}\right)e^{-\frac{x}{2}}=\left(-\dfrac{1}{2} ax^2+\left(2a-\dfrac{b}{2}\right)x+b\right)e^{-\frac{x}{2}}\]

   Ainsi, \(f\) est solution de \((E)\) si et seulement si pour tout réel \(x\), \(2f'(x)+f(x)=e^{-\frac{x}{2}}(x+1)\), c’est-à-dire

   \[2 \times \left(-\dfrac{1}{2} ax^2+\left(2a-\dfrac{b}{2}\right)x+b\right)e^{-\frac{x}{2}} + (ax^2+bx)e^{\frac{x}{2}}=(x+1)e^{-\frac{x}{2}}\]

   Les coefficients de \(x^2\) dans le premier membre s’annulent, on doit donc avoir \(\left(4a+b\right)x+2b=x+1\). On a alors \(4a=1\) et \(b=\dfrac{1}{2}\). Ainsi, \(a=\dfrac{1}{4}\) et \(b=\dfrac{1}{2}\).

   La fonction \(x\mapsto \left(\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{1}{2}\right)e^{-\frac{x}{2}}\) est solution de l’équation \((E)\)

3. Les solutions de l’équation \((E)\) sont les fonction \(x\mapsto Ce^{-x/2}+\left(\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{1}{2}\right)e^{-\frac{x}{2}}\) où \(C\) est un réel.

Correction :

1. On a \((f_1+f_2)’ = f_1’+f_2’=af_1+g_1+af_2+g_2=a(f_1+f_2)+g_1+g_2\). \(f_1+f_2\) est solution de \((E)\).

2. Une solution de l’équation \(y’=2y+2\) est la solution constante égale à \(-1\).

3.Soit \(a\) un réel et \(f:x\mapsto ae^{3x}\). Alors, pour tout réel \(x\), \[f'(x)-2f(x)=3ae^{3x}-2ae^{3x}=ae^{3x}\]

Si l’on prend \(a=1\), alors \(f\) est solution de l’équation \(y’=2y+e^{3x}\).

4. Les solutions de l’équation homogène \(y’=2y\) sont les fonction \(x\mapsto Ce^{2x}\), pour \(C\) réel. Ainsi, les solutions de \((E)\) sont les fonctions \(x\mapsto Ce^{2x}-1+e^{3x}\), pour \(C\) réel.

Correction :

Les solutions de l’équation \(y’+y=0\) ou encore \(y’=-y\) sont les fonctions \(x\mapsto Ce^{-x}\) où \(C\) est un réel quelconque.

a. \(f\) est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(f'(x)=C'(x)e^{-x}-C(x)e^{-x}\)

b. Puisque \(f\) est solution de \((E)\), on a, pour tout réel \(x\), \(f'(x)+f(x)=\dfrac{1}{1+e^x}\), c’est-à-dire
\[C'(x)e^{-x}-C(x)e^{-x}+C(x)e^{-x}=\dfrac{e^x}{1+e^x}\]
On a donc \(C'(x)=\dfrac{e^x}{1+e^x}\) pour tout réel \(x\).

c. On reconnaît une fonction de la forme \(\dfrac{u’}{u}\) avec \(u:x\mapsto 1+e^x\), qui est une fonction strictement positive. Une primitive de cette fonction est \(\ln(u)\). La fonction \(x\mapsto \ln(1+e^x)\) convient donc.

d. Pour tout réel \(x\), on pose \(f(x)=\ln(1+e^x)e^{-x}\).

Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=\ln(1+e^x)\). \(u\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(u'(x)=\dfrac{e^x}{1+e^x}\)

Pour tout réel \(x\), on pose \(v(x)=e^{-x}\). \(v\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(v'(x)=-e^{-x}\)

Ainsi, \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\)

\[f'(x)=\dfrac{e^x}{1+e^x}\times e^{-x}+\ln(1+e^x)\times(-e^{-x})=\dfrac{1}{1+e^x}-\ln(1+e^x)e^{-x}\]

Ainsi, pour tout réel \(x\),

\[f'(x)+f(x)=\dfrac{1}{1+e^x}-\ln(1+e^x)e^{-x}+\ln(1+e^x)e^{-x}=\dfrac{1}{1+e^x}\]

\(f\) est donc bien solution de l’équation différentielle \(y’+y=\dfrac{1}{1+e^x}\).

Les solutions de \((E)\) sont donc les fonctions \(x\mapsto Ce^{-x}+\ln(1+e^x)e^{-x}\) où \(C\) est un réel quelconque.

Correction :

a. Pour tout réel \(t\), \(F'(t)=\dfrac{-P'(t)}{P^2(t)}\)

b. \(P\) est solution de l’équation différentielle \((E)\) si et seulement si \(P’ = \dfrac{3}{20}P – \dfrac{P^2}{50000}\). En divisant par \(P^2\), on obtient \( \dfrac{P’}{P^2} = \dfrac{3}{20P} – \dfrac{1}{50000}\), c’est-à-dire \(-F’=\dfrac{3}{20}F-\dfrac{1}{50000}\) ou encore \(F’=-\dfrac{3}{20}F+\dfrac{1}{50000}\). \(F\) est solution de l’équation différentielle \((E’) \, : \, y’=-\dfrac{3}{20}y + \dfrac{1}{50000}\)

c. L’équation \((E’)\) est du type \(y’=ay+b\). Ses solutions générales sont donc les fonctions \(t\mapsto C e^{at}-\dfrac{b}{a}\) où \(C\) est un réel. Ainsi, les solutions de \((E’)\) sont les fonctions \(t \mapsto Ce^{-0.15t}+\dfrac{1}{7500}\)

d. On rappelle que \(F=\dfrac{1}{P}\) et donc \(P=\dfrac{1}{F}\). Ainsi, les solutions de \((E)\) sont les \(P_C:t \mapsto \dfrac{1}{Ce^{-0.15t}+\dfrac{1}{7500}}\) pour \(C\) réel. En multipliant numérateur et dénominateur par 7500, on obtient \(P_C(t)=\dfrac{7500}{1+7500Ce^{-0.15t}}\). Par ailleurs, \(P(0)=10\). Or, \(P_C(0)=\dfrac{7500}{1+7500C}\). Ainsi, pour déterminer l’unique solution de l’équation \((E)\) ayant pour condition initiale \(P(0)=10\), il faut résoudre l’équation \(\dfrac{7500}{1+7500C}=10\). On trouve alors \(C=\dfrac{7490}{75000}=\dfrac{749}{7500}\). Ainsi, l’unique solution de \((E)\) qui vaut \(10\) en 10 est \(P:t \mapsto \dfrac{7500}{1+749e^{-0.15t}}\).

Puisque \(\displaystyle \lim_{t \to + \infty} 749e^{-0.15t} = 0\), il en vient que \(\displaystyle \lim_{t \to + \infty} P(t)=7500\).

Correction :

a. Puisque \(f\) est dérivable et strictement positive, \(\ln(f)\) est dérivable et \((\ln(f))’=\dfrac{f’}{f}\).

b. Puisque \(f\) est solution de \((E)\), on a alors \(f’=-\dfrac{1}{20}f(3-\ln(f))\). En divisant par \(f\) qui est strictement positive, on a
\[ \dfrac{f’}{f}=-\dfrac{3}{20}+\dfrac{1}{20}\ln(f)\]
c’est-à-dire \(g’= \dfrac{1}{20}g-\dfrac{3}{20}\)\(g\) est solution de l’équation différentielle \((E’)\,:\,y’=\dfrac{1}{20}y-\dfrac{3}{20}\)

c. Les solutions de l’équation \((E’)\) sont les fonctions \(x\mapsto Ce^{x/20}+3\) où \(C\) est un réel

d. Ainsi, il existe un réel \(C\) tel quel pour tout réel \(x\), \(g(x)=\ln(f(x))= Ce^{x/20}+3\) et donc
\[f(x)=\exp\left(3+C\;\exp\left(\dfrac{x}{20}\right)\right)\]

Réciproquement, pour \(C\) un réel, on considère la fonction \(f:x\mapsto \exp\left(3+C\;\exp\left(\dfrac{x}{20}\right)\right)\).\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\),

\[f'(x)=\dfrac{C}{20}\exp\left(\dfrac{x}{20}\right)\times \exp\left(3+C\;\exp\left(\dfrac{x}{20}\right)\right)=\dfrac{C}{20}\exp\left(3+\dfrac{x}{20}+C\;\exp\left(\dfrac{x}{20}\right)\right)\]

Par ailleurs, pour tout réel \(x\),

\[-\dfrac{1}{20} f(x) (3-\ln(f(x))=-\dfrac{1}{20}\exp\left(3+C\;\exp\left(\dfrac{x}{20}\right)\right) \left[3-\ln\left(\exp\left(3+C\;\exp\left(\dfrac{x}{20}\right)\right)\right)\right]\]

Ainsi,

\[-\dfrac{1}{20} f(x) (3-\ln(f(x))=-\dfrac{1}{20}\exp\left(3+C\;\exp\left(\dfrac{x}{20}\right)\right) \left[3-\left(3+C\;\exp\left(\dfrac{x}{20}\right)\right)\right]\]

Et donc,

\[-\dfrac{1}{20} f(x) (3-\ln(f(x))=-\dfrac{1}{20}\exp\left(3+C\;\exp\left(\dfrac{x}{20}\right)\right) \left[-C\;\exp\left(\dfrac{x}{20}\right)\right]=\dfrac{C}{20}\exp\left(3+\dfrac{x}{20}+C\;\exp\left(\dfrac{x}{20}\right)\right)=f'(x)\]

\(f\) est donc solution de l’équation \((E)\).

a. On a \(\lim_{t \to +\infty} f(t)=0\).

b. Puisque pour tout réel \(x\), \(f'(x)=-\dfrac{3}{20}\exp\left(3-+\dfrac{3}{20}\;\exp\left(\dfrac{t}{20}\right)\right)<0\), \(f\) est strictement décroissante sur \([0;+\infty[\).

c. On cherche à résoudre l’équation \(f(t)\leqslant 0.02\), c’est-à-dire\[ \exp\left(3-3\;\exp\left(\dfrac{t}{20}\right)\right) \leqslant 0.02\]

On a alors

\[ -3\;\exp\left(\dfrac{t}{20}\right) \leqslant \ln(0.02)-3\]
puis
\[ \exp\left(\dfrac{t}{20}\right) \geqslant \dfrac{\ln(0.02)-3}{-3}\]

et enfin

\[ t \geqslant 20 \ln\left( \dfrac{\ln(0.02)-3}{-3} \right)\]

Or, \(20 \ln\left( \dfrac{\ln(0.02)-3}{-3} \right) \simeq 16.69\).
La taille de l’échantillon sera-t-elle inférieure à 20 individus après 17 ans.