Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev - Exercices

Correction détaillée:

On utilise l'inégalité de Markov, qui stipule que pour une variable aléatoire positive $X$ et un réel $a > 0$, on a $P(X \geqslant a) \leqslant \frac{E(X)}{a}$.
Dans cet exercice, on a $P(X \geqslant 2) \leqslant \frac{1}{3}$. En appliquant l'inégalité de Markov avec $a = 2$, on obtient :
$P(X \geqslant 2) \leqslant \frac{E(X)}{2}$.
On veut que $P(X \geqslant 2) \leqslant \frac{1}{3}$, donc on doit avoir $\frac{E(X)}{2} \leqslant \frac{1}{3}$.
Cela implique que $E(X) \leqslant \frac{2}{3}$.
L'espérance de $X$ est donnée par $x$, donc on a $x \leqslant \frac{2}{3}$.
Par conséquent, pour que la condition $P(X \geqslant 2) \leqslant \frac{1}{3}$ soit satisfaite, il faut que $x \leqslant \frac{2}{3}$.

Correction détaillée:

On utilise l'inégalité de Markov : pour une variable aléatoire positive $X$ et un réel $a > 0$, on a $P(X \geqslant a) \leqslant \frac{E(X)}{a}$.
Ici, $E(X) = 3$ et on s'intéresse à $P(X \lt 9)$. On peut utiliser l'événement complémentaire : $P(X \lt 9) = 1 - P(X \geqslant 9)$.
Appliquons l'inégalité de Markov avec $a = 9$ :
$P(X \geqslant 9) \leqslant \frac{E(X)}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
Donc, $P(X \lt 9) = 1 - P(X \geqslant 9) \geqslant 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
On peut donc dire que $P(X \lt 9)$ est supérieure ou égale à $\frac{2}{3}$.

Correction détaillée:

On commence par calculer la variance de $X$ :
$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 18.4 - 4^2 = 18.4 - 16 = 2.4$.
On utilise l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : pour une variable aléatoire $X$ et un réel $a > 0$, on a $P(|X - E(X)| \geqslant a) \leqslant \frac{V(X)}{a^2}$.
Ici, $E(X) = 4$ et on veut majorer $P(|X - 4| \geqslant 3)$. On applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $a = 3$ :
$P(|X - 4| \geqslant 3) \leqslant \frac{V(X)}{3^2} = \frac{2.4}{9} = \frac{24}{90} = \frac{4}{15}$.
Donc, $P(|X - 4| \geqslant 3) \leqslant \frac{4}{15}$.

Correction détaillée:

Soit $X$ la variable aléatoire représentant la moyenne d'un élève. On a $E(X) = 12.4$ et $\sigma(X) = 1.2$, donc $V(X) = \sigma(X)^2 = 1.2^2 = 1.44$.
On cherche à majorer $P(|X - 12.4| \geqslant 2.5)$.
On utilise l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $a = 2.5$ :
$P(|X - E(X)| \geqslant a) \leqslant \frac{V(X)}{a^2}$.
$P(|X - 12.4| \geqslant 2.5) \leqslant \frac{1.44}{2.5^2} = \frac{1.44}{6.25} = 0.2304$.
La probabilité qu'un élève ait une moyenne écartée d'au moins 2,5 points de la moyenne est donc majorée par 0.2304.

Correction détaillée:

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est donnée par : $P(|X - E(X)| \geqslant a) \leqslant \frac{V(X)}{a^2}$.
On a $P(|X - E(X)| \geqslant 5) \leqslant 0.3$.
En appliquant l'inégalité avec $a = 5$, on a :
$P(|X - E(X)| \geqslant 5) \leqslant \frac{V(X)}{5^2} = \frac{V(X)}{25}$.
On veut que $\frac{V(X)}{25} = 0.3$ (on prend la valeur maximale possible pour la majoration).
Donc, $V(X) = 0.3 \times 25 = 7.5$.
La variance de $X$ est donc de 7.5.

Correction détaillée:

Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli avec une probabilité de succès (obtenir un 4) de $p = \frac{1}{6}$. Donc, $E(X_i) = p = \frac{1}{6}$ et $V(X_i) = p(1-p) = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{36}$.
La variable aléatoire $\overline{X}$ est la moyenne de 10000 variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, donc $E(\overline{X}) = E(X_i) = \frac{1}{6}$ et $V(\overline{X}) = \frac{V(X_i)}{10000} = \frac{5/36}{10000} = \frac{5}{360000} = \frac{1}{72000}$.
On veut majorer $P(|\overline{X} - E(\overline{X})| \geqslant 0.05)$. On utilise l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev :
$P(|\overline{X} - E(\overline{X})| \geqslant a) \leqslant \frac{V(\overline{X})}{a^2}$.
Ici, $a = 0.05$, donc $a^2 = 0.0025$.
$P(|\overline{X} - \frac{1}{6}| \geqslant 0.05) \leqslant \frac{1/72000}{0.0025} = \frac{1}{72000 \cdot 0.0025} = \frac{1}{180} \approx 0.0056$.
La probabilité que $\overline{X}$ s'écarte de plus de 0,05 par rapport à la moyenne est donc majorée par $\frac{1}{180}$ ou environ 0.0056.

Correction détaillée:

Soit $X_i$ la variable aléatoire qui vaut 1 si on obtient un roi au $i$-ème tirage et 0 sinon. Comme il y a 4 rois dans un jeu de 52 cartes, la probabilité de tirer un roi est $p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$. Donc $X_i$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $\frac{1}{13}$.
L'espérance d'une variable de Bernoulli est égale à son paramètre, donc $E(X_i) = \frac{1}{13}$.
On effectue 13 tirages avec remise, donc le nombre total de rois obtenus, noté $X$, suit une loi binomiale de paramètres $n=13$ et $p=\frac{1}{13}$.
L'espérance d'une loi binomiale est $E(X) = np = 13 \cdot \frac{1}{13} = 1$.
La moyenne $M_n$ des résultats obtenus après $n$ répétitions de l'expérience est la moyenne de $n$ variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, chacune ayant la même espérance que $X$.
D'après la loi des grands nombres, la moyenne empirique $M_n$ converge vers l'espérance de la variable aléatoire, qui est $E(X) = 1$.
Donc, $M_n$ converge vers 1.

Correction détaillée:

Soit $X_i$ la variable aléatoire qui vaut 1 si on obtient pile au $i$-ème lancer et 0 sinon. $X_i$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p = \frac{1}{2}$, donc $E(X_i) = \frac{1}{2}$ et $V(X_i) = p(1-p) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
$M_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$ est la proportion de piles obtenus après $n$ lancers.
$E(M_n) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
$V(M_n) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} V(X_i) = \frac{1}{n^2} \cdot n \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4n}$.
On veut que $P(|M_n - \frac{1}{2}| \geqslant 0.01) \leqslant 0.01$.
En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $a = 0.01$, on a :
$P(|M_n - E(M_n)| \geqslant a) \leqslant \frac{V(M_n)}{a^2}$.
$P(|M_n - \frac{1}{2}| \geqslant 0.01) \leqslant \frac{1/(4n)}{0.01^2} = \frac{1}{4n \cdot 0.0001} = \frac{1}{0.0004n} = \frac{2500}{n}$.
On cherche $n$ tel que $\frac{2500}{n} \leqslant 0.01$, ce qui équivaut à $n \geqslant \frac{2500}{0.01} = 250000$.
Donc, la valeur minimale de $n$ pour que la probabilité de l'événement $\left|\mathrm{M}_{n}-\frac{1}{2}\right| \geqslant 0{,}01$ soit inférieure à $0{,}01$ est $n = 250000$.

Correction détaillée:

Soit $X_i$ la variable aléatoire qui vaut 1 si on obtient un 5 au $i$-ème lancer et 0 sinon. $X_i$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p = \frac{1}{6}$, donc $E(X_i) = \frac{1}{6}$ et $V(X_i) = p(1-p) = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{36}$.
$M_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$ est la moyenne des $X_i$. On a $E(M_n) = E(X_i) = \frac{1}{6}$ et $V(M_n) = \frac{V(X_i)}{n} = \frac{5}{36n}$.
On utilise l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $a = 0.05$ :
$P(|M_n - E(M_n)| \geqslant a) \leqslant \frac{V(M_n)}{a^2}$.
$P(|M_n - \frac{1}{6}| \geqslant 0.05) \leqslant \frac{5/(36n)}{0.05^2} = \frac{5}{36n \cdot 0.0025} = \frac{5}{0.09n} = \frac{500}{9n}$.
On veut que $\frac{500}{9n} \leqslant 0.1$, ce qui équivaut à $n \geqslant \frac{500}{9 \cdot 0.1} = \frac{5000}{9} \approx 555.56$.
Donc, la valeur minimale de $n$ est 556.

Correction détaillée:

On utilise les mêmes variables aléatoires que pour l'exercice 9.
On applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $a = 0.02$ :
$P(|M_n - \frac{1}{6}| \geqslant 0.02) \leqslant \frac{5/(36n)}{0.02^2} = \frac{5}{36n \cdot 0.0004} = \frac{5}{0.0144n} = \frac{50000}{144n}$.
On veut que $\frac{50000}{144n} \leqslant 0.05$, ce qui équivaut à $n \geqslant \frac{50000}{144 \cdot 0.05} = \frac{50000}{7.2} \approx 6944.44$.
Donc, la valeur minimale de $n$ est 6945.

Correction détaillée:

On a $P(|M_n - E(M_n)| < a) = 1 - P(|M_n - E(M_n)| \geqslant a$.
On veut $P(|M_n - \frac{1}{6}| < 0.1) \geqslant 0.95$, ce qui équivaut à $P(|M_n - \frac{1}{6}| \geqslant 0.1) \leqslant 0.05$.
En appliquant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $a = 0.1$, on a :
$P(|M_n - \frac{1}{6}| \geqslant 0.1) \leqslant \frac{5/(36n)}{0.1^2} = \frac{5}{36n \cdot 0.01} = \frac{5}{0.36n} = \frac{500}{36n}$.
On veut que $\frac{500}{36n} \leqslant 0.05$, ce qui donne $n \geqslant \frac{500}{36 \cdot 0.05} = \frac{500}{1.8} \approx 277.78$.
Donc, la valeur minimale de $n$ est 278.

Correction détaillée:

On veut $P(|M_n - \frac{1}{6}| < 0.01) \geqslant 0.99$, ce qui équivaut à $P(|M_n - \frac{1}{6}| \geqslant 0.01) \leqslant 0.01$.
En appliquant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $a = 0.01$, on a :
$P(|M_n - \frac{1}{6}| \geqslant 0.01) \leqslant \frac{5/(36n)}{0.01^2} = \frac{5}{36n \cdot 0.0001} = \frac{5}{0.0036n} = \frac{50000}{36n}$.
On veut que $\frac{50000}{36n} \leqslant 0.01$, ce qui donne $n \geqslant \frac{50000}{36 \cdot 0.01} = \frac{50000}{0.36} \approx 138888.89$.
Donc, la valeur minimale de $n$ est 138889.