Probabilités et Loi Binomiale

Correction :

1. Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli avec deux issues possibles : succès (tirer une boule blanche) de probabilité \(p=\dfrac{5}{8}\) et échec (tirer une boule noire) de probabilité \(1-p=\dfrac{3}{8}\). Les tirages sont indépendants et on répète 10 fois cette épreuve. Ainsi, X suit une loi binomiale de paramètres \(n=10\) et \(p=\dfrac{5}{8}\), notée \(\mathcal{B}(10,\dfrac{5}{8})\).

2. La probabilité d'obtenir exactement 4 boules blanches est donnée par la formule : \[P(X=4) = \binom{10}{4} \left(\dfrac{5}{8}\right)^4 \left(\dfrac{3}{8}\right)^6 \approx 0.166 \]

3. La probabilité d'obtenir au moins 2 boules blanches est le complémentaire d'obtenir 0 ou 1 boule blanche. \[P(X \geq 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1) \] \[P(X=0) = \binom{10}{0} \left(\dfrac{5}{8}\right)^0 \left(\dfrac{3}{8}\right)^{10} \approx 0.00056 \] \[P(X=1) = \binom{10}{1} \left(\dfrac{5}{8}\right)^1 \left(\dfrac{3}{8}\right)^9 \approx 0.0046 \] \[P(X \geq 2) = 1 - 0.00056 - 0.0046 \approx 0.99484\]

Correction :

Notons F l'événement "l'individu est une femme" et S l'événement "l'individu pratique une activité sportive". Nous avons: \[ P(F) = 0.6 \] \[ P(\bar{F}) = 0.4 \] \[ P(S|F) = 0.3 \] \[ P(S|\bar{F}) = 0.4 \]

1. La probabilité que l'individu choisi soit une femme qui pratique une activité sportive est :

2. La probabilité que l'individu choisi pratique une activité sportive est :

3. La probabilité que l'individu choisi soit une femme sachant qu'il pratique une activité sportive est:

Correction :

Notons D l'événement "le stylo est défectueux" et T l'événement "le stylo est détecté comme défectueux". \[ P(D) = 0.05 \] \[ P(\bar{D}) = 0.95 \] \[ P(T|D) = 0.95 \] \[ P(T|\bar{D}) = 0.02 \]

1. L'arbre pondéré est le suivant :
(Ici il faudrait mettre l'arbre mais je ne peux pas le représenter, je peux juste décrire les noeuds et les branches). * 1er noeud : Probabilité que le stylo soit défectueux (0.05) ou non défectueux (0.95) * 2eme noeud à partir de "Défectueux" : Probabilité que le stylo soit détecté comme défectueux (0.95) ou détecté comme non défectueux (0.05) * 2eme noeud à partir de "Non défectueux" : Probabilité que le stylo soit détecté comme défectueux (0.02) ou détecté comme non défectueux (0.98)

2. La probabilité que le stylo soit défectueux et détecté comme tel est :

3. La probabilité qu'un stylo soit détecté comme défectueux est :

4. La probabilité qu'un stylo détecté comme défectueux soit réellement défectueux est :

Correction :

1. Soit \(Y\) la variable aléatoire égale au nombre de faces obtenues lors des 8 lancers. \(Y\) suit une loi binomiale de paramètres \(n=8\) et \(p=0.6\), notée \(\mathcal{B}(8, 0.6)\).

2. Si on obtient \(k\) faces sur les 8 lancers, alors on obtient \(8-k\) piles. Le gain algébrique \(X\) s'exprime donc en fonction de \(k\) par : \[X = 5k - 3(8-k) = 5k - 24 + 3k = 8k - 24\]

3. L'espérance mathématique de \(Y\) est : \[E(Y) = np = 8 \times 0.6 = 4.8\] En utilisant la relation entre \(X\) et \(Y\) , nous avons donc : \[ E(X) = E(8Y - 24) = 8E(Y) - 24 = 8 \times 4.8 - 24 = 38.4 - 24 = 14.4 \]

Correction :

Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses parmi les 15 pièces prélevées. \(X\) suit une loi binomiale de paramètres \(n=15\) et \(p=0.04\), notée \(\mathcal{B}(15, 0.04)\).

1. La probabilité qu'il y ait exactement 2 pièces défectueuses est : \[P(X=2) = \binom{15}{2} (0.04)^2 (0.96)^{13} \approx 0.109\]

2. La probabilité qu'il y ait au moins une pièce défectueuse est le complémentaire de l'événement qu'il y ait 0 pièce défectueuse : \[P(X\geq 1) = 1 - P(X=0) = 1 - \binom{15}{0} (0.04)^0 (0.96)^{15} \approx 1-0.542 = 0.458 \]

3. La probabilité qu'il y ait au plus 2 pièces défectueuses est : \[P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \] \[P(X=1) = \binom{15}{1} (0.04)^1 (0.96)^{14} \approx 0.338\] \[P(X\leq 2) \approx 0.542+0.338+0.109 = 0.989\]

Correction :

Soit F l'événement "l'élève est une fille" et S l'événement "l'élève est inscrit en section scientifique". Nous avons: \[P(F)=0.6\] \[P(\bar{F})=0.4\] \[P(S|F)=0.4\] \[P(S|\bar{F})=0.3\]

1. La probabilité que l'élève soit une fille inscrite en section scientifique est : \[P(F \cap S) = P(F) \times P(S|F) = 0.6 \times 0.4 = 0.24\]

2. La probabilité que l'élève soit inscrit en section scientifique est : \[P(S) = P(S \cap F) + P(S \cap \bar{F}) = P(F) \times P(S|F) + P(\bar{F}) \times P(S|\bar{F}) = 0.6 \times 0.4 + 0.4 \times 0.3 = 0.24 + 0.12 = 0.36\]

3. La probabilité que l'élève soit une fille sachant qu'il est inscrit en section scientifique est : \[P(F|S) = \frac{P(F \cap S)}{P(S)} = \frac{0.24}{0.36} \approx 0.667\]

Correction :

1. Chaque lancer de dé est une épreuve de Bernoulli avec deux issues possibles : succès (obtenir 6) de probabilité \(p = \dfrac{1}{6}\) et échec (ne pas obtenir 6) de probabilité \(1-p = \dfrac{5}{6}\). Les lancers sont indépendants et on répète 100 fois cette épreuve. Ainsi, X suit une loi binomiale de paramètres \(n=100\) et \(p=\dfrac{1}{6}\), notée \(\mathcal{B}(100,\dfrac{1}{6})\).

2. L'espérance mathématique et la variance de X sont : \[ E(X) = np = 100 \times \dfrac{1}{6} \approx 16.67 \] \[ Var(X) = np(1-p) = 100 \times \dfrac{1}{6} \times \dfrac{5}{6} \approx 13.89 \] L'écart type de X est donc : \[ \sigma(X) = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{13.89} \approx 3.73 \]

3. L'intervalle donné est \[ [16.67 - 3.73; 16.67 + 3.73] = [12.94; 20.4].\] Nous cherchons donc : \[P(13 \leq X \leq 20) = P(X=13) + P(X=14) + ...+P(X=20)\] En calculant chacune de ces probabilités avec la calculatrice et en les additionant, on trouve : \[P(13 \leq X \leq 20) \approx 0.72\]

Correction :

1. Les valeurs possibles de X sont 0, 1, 2 et 3. Puisque les tirages sont sans remise, nous n'avons pas une loi binomiale. \[P(X=0) = \frac{\binom{8}{3}}{\binom{20}{3}} = \frac{56}{1140} \approx 0.049 \] \[P(X=1) = \frac{\binom{12}{1}\binom{8}{2}}{\binom{20}{3}} = \frac{336}{1140} \approx 0.295 \] \[P(X=2) = \frac{\binom{12}{2}\binom{8}{1}}{\binom{20}{3}} = \frac{44 \times 8}{1140} = \frac{528}{1140} \approx 0.463 \] \[P(X=3) = \frac{\binom{12}{3}}{\binom{20}{3}} = \frac{220}{1140} \approx 0.193 \] On a bien \(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) = 1\)

2. Soit A l'évènement "la première boule tirée est blanche". On cherche \(P(X=2|A)\) On a \[P(X=2|A) = \frac{P(X=2 \cap A)}{P(A)}\]. \[P(A) = \dfrac{12}{20}\] \[P(X=2 \cap A) = \dfrac{12}{20} \times \dfrac{11}{19} \times \dfrac{8}{18} \times 3 = \dfrac{12 \times 11 \times 8 \times 3 }{20 \times 19 \times 18} = \dfrac{3168}{6840}\] On a donc \[P(X=2|A) = \dfrac{3168}{6840}\times \dfrac{20}{12} = \dfrac{3168}{12 \times 3 \times 19 \times 18} = \dfrac{22}{57} \approx 0.386 \]

3. L'espérance mathématique de X est : \[E(X) = 0 \times \frac{56}{1140} + 1 \times \frac{336}{1140} + 2 \times \frac{528}{1140} + 3 \times \frac{220}{1140} = \frac{336 + 1056 + 660}{1140} = \frac{2052}{1140} = \frac{18 \times 114}{10 \times 114} = \frac{18}{10} \approx 1.8 \]

Correction :

Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses parmi les 15 pièces prélevées. \(X\) suit une loi binomiale de paramètres \(n=15\) et \(p=0.04\), notée \(\mathcal{B}(15, 0.04)\).

1. La probabilité qu'il y ait exactement 2 pièces défectueuses est :

2. La probabilité qu'il y ait au moins une pièce défectueuse est le complémentaire de l'événement qu'il y ait 0 pièce défectueuse :

3. La probabilité qu'il y ait au plus 2 pièces défectueuses est :

Correction :

Soit F l'événement "l'élève est une fille" et S l'événement "l'élève est inscrit en section scientifique". Nous avons: \[P(F)=0.6\] \[P(\bar{F})=0.4\] \[P(S|F)=0.4\] \[P(S|\bar{F})=0.3\]

1. La probabilité que l'élève soit une fille inscrite en section scientifique est :

2. La probabilité que l'élève soit inscrit en section scientifique est :

3. La probabilité que l'élève soit une fille sachant qu'il est inscrit en section scientifique est :

Correction :

1. Chaque lancer de dé est une épreuve de Bernoulli avec deux issues possibles : succès (obtenir 6) de probabilité \(p = \dfrac{1}{6}\) et échec (ne pas obtenir 6) de probabilité \(1-p = \dfrac{5}{6}\). Les lancers sont indépendants et on répète 100 fois cette épreuve. Ainsi, X suit une loi binomiale de paramètres \(n=100\) et \(p=\dfrac{1}{6}\), notée \(\mathcal{B}(100,\dfrac{1}{6})\).

2. L'espérance mathématique et la variance de X sont :

3. L'intervalle donné est \[ [16.67 - 3.73; 16.67 + 3.73] = [12.94; 20.4].\] Nous cherchons donc :

Correction :

1. Les valeurs possibles de X sont 0, 1, 2 et 3. Puisque les tirages sont sans remise, nous n'avons pas une loi binomiale.

2. Soit A l'évènement "la première boule tirée est blanche". On cherche \(P(X=2|A)\)

3. L'espérance mathématique de X est :

Correction :

1. Chaque bonbon est une épreuve de Bernoulli indépendante avec deux issues possibles : succès (être défectueux) de probabilité 0.03 et échec (ne pas être défectueux) de probabilité 0.97. On répète 100 fois cette épreuve. Ainsi, X suit une loi binomiale \(\mathcal{B}(100, 0.03)\).

2. Pour calculer la probabilité d'avoir au moins 4 bonbons défectueux, nous allons calculer le complémentaire de l'événement d'avoir 0, 1, 2 ou 3 bonbons défectueux :

3. Pour calculer la probabilité d'avoir entre 2 et 5 bonbons défectueux (inclus), nous calculons :

Correction :

1. Chaque lancer de la bille est une épreuve de Bernoulli avec deux issues : succès (la bille tombe dans un trou) avec une probabilité \(p = 0.4\) et échec (la bille ne tombe pas dans un trou) avec une probabilité \(1-p = 0.6\). Les lancers sont indépendants et on répète cette épreuve 7 fois. X suit donc une loi binomiale de paramètres n=7 et p=0.4, notée \(\mathcal{B}(7, 0.4)\).

2. Pour calculer la probabilité qu'au moins trois trous soient atteints :

3. La probabilité qu'exactement 4 trous soient atteints est donnée par la formule :

Correction :

Notons Y l'événement "l'adhérent choisi le yoga", P l'événement "l'adhérent choisi le pilates", Z l'événement "l'adhérent choisi la zumba" et F l'événement "l'adhérent est une femme".

1. L'arbre pondéré est le suivant :
* 1er noeud : Probabilité que l'élève choisisse le yoga (0.3), le pilates (0.5) ou la zumba (0.2) * 2eme noeud à partir de "Yoga" : Probabilité que l'adhérent soit une femme (0.6) ou non (0.4) * 2eme noeud à partir de "Pilates" : Probabilité que l'adhérent soit une femme (0.7) ou non (0.3) * 2eme noeud à partir de "Zumba" : Probabilité que l'adhérent soit une femme (0.8) ou non (0.2)

2. La probabilité que la personne choisie soit une femme ayant choisi les cours de yoga est :

3. La probabilité que la personne choisie soit une femme est donnée par la formule des probabilités totales:

4. La probabilité que l'adhérent ait choisi les cours de pilates sachant que c'est une femme est :

Correction :

1. Chaque lancer de pièce est une épreuve de Bernoulli avec deux issues possibles : succès (obtenir pile) de probabilité \(p = 0.6\) et échec (obtenir face) de probabilité \(1-p = 0.4\). Les lancers sont indépendants et on répète 10 fois cette épreuve. Ainsi, X suit une loi binomiale de paramètres \(n=10\) et \(p=0.6\), notée \(\mathcal{B}(10, 0.6)\).

2. Le joueur perd 2 euros si X est strictement inférieur à 4, c'est-à-dire si X vaut 0, 1, 2 ou 3. Nous avons : \[P(X<4) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)\] En utilisant la calculatrice, on trouve : \[P(X<4) \approx 0.167 \]

3. Soit G la variable aléatoire correspondant au gain du joueur, ses valeurs sont -2, 5 et 10. \[P(G=-2) = P(X < 4) \approx 0.167 \] \[P(G=5) = P(4 \leq X \leq 6) = P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)\] En utilisant la calculatrice, on trouve : \[P(G=5) \approx 0.675 \] \[P(G=10) = P(X \geq 7) = P(X=7)+P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)\] En utilisant la calculatrice, on trouve : \[P(G=10) \approx 0.158\]

4. L'espérance mathématique de G est : \[E(G) = (-2) \times 0.167 + 5 \times 0.675 + 10 \times 0.158 = -0.334 + 3.375 + 1.58 \approx 4.621\]

Correction :

1. Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges obtenues en n tirages. Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli avec deux issues possibles : succès (tirer une boule rouge) avec une probabilité de \(\frac{1}{10}\) et échec (tirer une boule blanche) avec une probabilité de \(\frac{9}{10}\). Ainsi, Y suit une loi binomiale de paramètres \(n\) et \(\frac{1}{10}\). Le gain du joueur est 10€ par boule rouge, donc le gain algébrique \(X\) peut prendre les valeurs \(10k\) avec \(k\) variant entre 0 et \(n\).

2. Quand \(n=5\), les valeurs possibles pour le nombre de boules rouges sont \(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5\), et donc X prend les valeurs \(10k\) pour k variant entre 0 et 5. Les probabilités sont calculées en utilisant la loi binomiale de paramètres \(n=5\) et \(p=\frac{1}{10}\) :

3. Dans le cas n = 5, l'espérance de X est

4. Si \(n=10\), le gain est inférieur ou égal à 40 euros si le nombre de boules rouges est au plus 4, on a donc:

Correction :

Notons M l'événement "l'objet est en métal" et D l'événement "l'objet est défectueux". On a alors: \[P(M) = 0.4\] \[P(\bar{M}) = 0.6\] \[P(\bar{D}|M) = 0.8\] \[P(D|\bar{M}) = 0.1\]

1. L'arbre pondéré est le suivant :
(Ici il faudrait mettre l'arbre mais je ne peux pas le représenter, je peux juste décrire les noeuds et les branches). * 1er noeud : Probabilité que l'objet soit en métal (0.4) ou en plastique (0.6) * 2eme noeud à partir de "Métal" : Probabilité que l'objet soit non défectueux (0.8) ou défectueux (0.2) * 2eme noeud à partir de "Plastique" : Probabilité que l'objet soit défectueux (0.1) ou non défectueux (0.9)

2. La probabilité que l'objet choisi soit en plastique et soit défectueux est :

3. La probabilité que l'objet choisi soit défectueux est :

4. La probabilité que l'objet choisi soit en plastique sachant qu'il est défectueux est :

Correction :

Notons A l'événement "le composant vient de l'usine A", B l'événement "le composant vient de l'usine B" et D l'événement "le composant est défectueux".

1. L'arbre pondéré est le suivant :
(Ici il faudrait mettre l'arbre mais je ne peux pas le représenter, je peux juste décrire les noeuds et les branches). * 1er noeud : Probabilité que le composant viennent de l'usine A (0.4) ou de l'usine B (0.6) * 2eme noeud à partir de "Usine A" : Probabilité que le composant soit défectueux (0.05) ou non défectueux (0.95) * 2eme noeud à partir de "Usine B" : Probabilité que le composant soit défectueux (0.1) ou non défectueux (0.9)

2. La probabilité que le composant soit défectueux et provienne de l'usine A est :

3. La probabilité qu’un composant soit défectueux est :

4. Soit \(n\) le nombre de composants prélevés. Y est le nombre de composants défectueux parmi n, et suit donc une loi binomiale \(\mathcal{B}(n; 0.08)\). On cherche la plus petite valeur de n telle que :

La plus petite valeur de n est donc 37.

Correction :

1. Chaque tirage de boule est une épreuve de Bernoulli avec deux issues possibles : succès (tirer une boule rouge) avec une probabilité \(p = \dfrac{3}{5}\) et échec (tirer une boule jaune) avec une probabilité \(1-p = \dfrac{2}{5}\). Les tirages sont indépendants et on répète 4 fois cette épreuve. Ainsi, X suit une loi binomiale de paramètres \(n=4\) et \(p=\dfrac{3}{5}\), notée \(\mathcal{B}(4,\dfrac{3}{5})\).

2. La probabilité d'obtenir exactement 2 boules rouges est donnée par :

3. L'espérance et la variance de X sont données par :

4. Nous cherchons la plus petite valeur de k telle que \(P(X \leq k) \geq 0.95\) : \[P(X=0) = \binom{4}{0} \left(\frac{3}{5}\right)^0 \left(\frac{2}{5}\right)^4 = \frac{16}{625} \approx 0.026\] \[P(X=1) = \binom{4}{1} \left(\frac{3}{5}\right)^1 \left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{96}{625} \approx 0.154 \] \[P(X=2) = \binom{4}{2} \left(\frac{3}{5}\right)^2 \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{216}{625} \approx 0.346\] \[P(X=3) = \binom{4}{3} \left(\frac{3}{5}\right)^3 \left(\frac{2}{5}\right)^1 = \frac{216}{625} \approx 0.346 \] \[P(X=4) = \binom{4}{4} \left(\frac{3}{5}\right)^4 \left(\frac{2}{5}\right)^0 = \frac{81}{625} \approx 0.130 \] \[P(X\leq 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) \approx 0.962\] \[P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \approx 0.526\] Ainsi, la plus petite valeur de k telle que \(P(X \leq k) \geq 0.95\) est 3

Correction :

Nous avons les informations suivantes : \[P(S) = 0.7\] \[P(S|F) = 0.8\] \[P(\bar{S}\cap\bar{F}) = 0.15\]

1. On cherche la probabilité qu'un élève soit une fille et pratique un sport, soit \(P(S \cap F)\). \[P(S \cap F) = P(S|F) \times P(F) \] Pour trouver \(P(F)\), on utilise le fait que \(P(\bar{S}\cap\bar{F}) = 0.15\) et \(P(S) = 0.7\), soit : \[P(\bar{S}) = 1 - P(S) = 1 - 0.7 = 0.3\] On a aussi \[P(\bar{S} \cap F) = P(\bar{S}) - P(\bar{S} \cap \bar{F}) = 0.3 - 0.15 = 0.15 \] \[P(\bar{S}|F) = \dfrac{P(\bar{S} \cap F)}{P(F)}\] et \[P(S|F) = 1 - P(\bar{S}|F) = 0.8 \] \[P(\bar{S}|F) = 1 - P(S|F) = 0.2 \] \[P(\bar{S} \cap F) = 0.2 \times P(F)\] Donc \(0.2 \times P(F)=0.15\) et donc \(P(F) = 0.75\). Donc \[P(S \cap F) = P(S|F) \times P(F) = 0.8 \times 0.75 = 0.6 \]

2. Nous cherchons à démontrer que \(P(F) = 0.75\). On a \[P(S) = P(S \cap F) + P(S \cap \bar{F})\] \[P(S \cap \bar{F}) = P(S) - P(S \cap F) = 0.7 - 0.6 = 0.1 \] \[P(\bar{S} \cap F) = 0.15\] \[P(F) = P(S \cap F) + P(\bar{S} \cap F) = 0.6 + 0.15 = 0.75\] On a donc bien montré que \(P(F) = 0.75\)

3. Soit X le nombre d'élèves qui pratiquent un sport parmi 3 élèves choisis. Nous avons \(P(S) = 0.7\). X suit donc une loi binomiale de paramètre \(n=3\) et \(p = 0.7\). Nous cherchons \(P(X \geq 1)\) : \[P(X\geq 1) = 1 - P(X=0) = 1 - \binom{3}{0} (0.7)^0 (0.3)^3 = 1 - 0.027 \approx 0.973\]

Correction :

1. Chaque lancer de dé est une épreuve de Bernoulli avec deux issues possibles : succès (obtenir 6) avec une probabilité \(p = \dfrac{1}{6}\) et échec (ne pas obtenir 6) avec une probabilité \(1-p = \dfrac{5}{6}\). Les lancers sont indépendants et on répète 10 fois cette épreuve. Ainsi, X suit une loi binomiale de paramètres \(n=10\) et \(p=\dfrac{1}{6}\), notée \(\mathcal{B}(10,\dfrac{1}{6})\).

2. La probabilité d'obtenir exactement 2 fois le chiffre 6 est donnée par la formule :

3. Si le joueur obtient \(x\) fois le chiffre 6, il perd 2 euros pendant les \(10-x\) autres lancers, son gain total \(G\) en fonction de \(x\) s'exprime donc par : \[G = 10x - 2(10-x) = 10x - 20 + 2x = 12x - 20\]

4. L'espérance mathématique de X est

Correction :

Notons A l'événement "obtenir 6", B l'événement "obtenir 1,2 ou 3" et C l'événement "obtenir 4 ou 5". Nous avons \[P(A) = \dfrac{1}{6}\] \[P(B) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\] \[P(C) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\]

1. La probabilité que le joueur arrête le jeu au premier lancer est la probabilité qu'il obtienne un 6 au premier lancer :

2. Pour que le joueur effectue exactement deux lancers, il ne doit pas obtenir un 6 au premier lancer, puis obtenir un 6 au second lancer :

3. Les valeurs possibles de X sont -2, 2, 10.
La probabilité d'avoir -2 est la probabilité d'avoir 4 ou 5 à chaque lancer :

Nous avons aussi \[P(X=10) = \frac{1}{6} + \frac{5}{36} = \frac{11}{36}\]

4. L'espérance de X est :

Correction :

1. Chaque tirage de boule est une épreuve de Bernoulli avec deux issues possibles : succès (tirer une boule rouge) avec une probabilité \(p = \dfrac{3}{10}\) et échec (tirer une boule verte) avec une probabilité \(1-p = \dfrac{7}{10}\). Les tirages sont indépendants et on répète 4 fois cette épreuve. Ainsi, X suit une loi binomiale de paramètres \(n=4\) et \(p=\dfrac{3}{10}\), notée \(\mathcal{B}(4,\dfrac{3}{10})\).

2. La probabilité que le joueur tire exactement 2 boules rouges est :

3. Le gain algébrique du joueur s'exprime en fonction de X par: \[G = 10x - 3(4-x) = 10x - 12 + 3x = 13x - 12\]

4. L'espérance mathématique de X est :

Correction :

Notons V l'événement "le pompier est volontaire" et H l'événement "le pompier est un homme". Nous avons \[P(V) = 0.7\] \[P(\bar{V}) = 0.3\] \[P(H|V) = 0.8\] \[P(H|\bar{V}) = 0.9\]

1. L'arbre pondéré est le suivant :
(Ici il faudrait mettre l'arbre mais je ne peux pas le représenter, je peux juste décrire les noeuds et les branches). * 1er noeud : Probabilité que le pompier soit volontaire (0.7) ou professionnel (0.3) * 2eme noeud à partir de "Volontaire" : Probabilité que le pompier soit un homme (0.8) ou une femme (0.2) * 2eme noeud à partir de "Professionnel" : Probabilité que le pompier soit un homme (0.9) ou une femme (0.1)

2. La probabilité que le pompier soit une femme volontaire est :

3. La probabilité que le pompier soit une femme est :

4. Sachant que le pompier est une femme, la probabilité que ce soit un volontaire est:

Correction :

Notons G l'événement "toucher la zone gagnante", N l'événement "toucher la zone neutre" et P l'événement "toucher la zone perdante". Nous avons: \[P(G) = 0.1\] \[P(N) = 0.6\] \[P(P) = 0.3\]

1. La probabilité de ne jamais toucher la zone gagnante lors des 5 lancers est :

2. La probabilité de toucher la zone gagnante au moins une fois lors des 5 lancers est le complémentaire de ne jamais la toucher :

3. Soit A l'événement "toucher la zone gagnante au moins une fois". La probabilité de toucher la zone gagnante exactement 2 fois sachant que la zone gagnante a été touchée au moins une fois est :

4. L'espérance de X est :

Correction :

Nous avons les informations suivantes : \[P(M) = 0.1\] \[P(T) = 0.25\] \[P(M\cap T) = 0.04\]

1. La probabilité qu'un élève soit inscrit à l'option musique ou à l'option théâtre est :

2. Les événements M et T sont indépendants si \(P(M \cap T) = P(M) \times P(T)\) Or, \[P(M) \times P(T) = 0.1 \times 0.25 = 0.025 \neq 0.04\] Donc, les événements M et T ne sont pas indépendants.

3. Soit X le nombre d'élèves inscrits à l'option musique parmis 5 élèves choisis. X suit une loi binomiale de paramètres \(n=5\) et \(p=0.1\), notée \(\mathcal{B}(5, 0.1)\). La probabilité que 2 élèves soient inscrits à l'option musique est :

Correction :

1. On considère X le nombre de composants défectueux parmi 200. Les tirages sont indépendants et chaque composant a une probabilité de 0.03 d'être défectueux. Ainsi, X suit une loi binomiale de paramètres \(n = 200\) et \(p = 0.03\). La probabilité qu'il y ait exactement 4 composants défectueux est :

2. La probabilité qu'il y ait au plus 2 composants défectueux est :

3. Soit Y la variable aléatoire correspondant au nombre de composants non défectueux dans un lot, Y suit une loi binomiale de paramètres \(n=200\) et \(p=0.97\). L'espérance mathématique de Y est :

Correction :

Notons B l'événement "l'étudiant fréquente la bibliothèque" et S l'événement "l'étudiant est abonné à un service de streaming vidéo". Nous avons: \[P(B) = 0.6\] \[P(S) = 0.25\] \[P(B \cap S) = 0.15\]

1. La probabilité que l'étudiant interrogé fréquente la bibliothèque ou soit abonné à un service de streaming est :

2. Les événements B et S sont indépendants si \(P(B \cap S) = P(B) \times P(S)\). \[P(B) \times P(S) = 0.6 \times 0.25 = 0.15\] Comme \(P(B \cap S) = 0.15 = P(B) \times P(S)\), les évènements B et S sont indépendants.

3. Soit X la variable aléatoire égale au nombre d'étudiants qui fréquentent la bibliothèque parmi 10 étudiants interrogés. X suit une loi binomiale de paramètre \(n=10\) et \(p=0.6\), soit \(\mathcal{B}(10;0.6)\). Nous cherchons la probabilité qu'au moins 2 élèves fréquentent la bibliothèque :