Entraînez-vous avec des exercices sur le calcul intégral et les applications.
Calculer les intégrales suivantes :
1. \[\int_0^1 x^2 dx\]
2. \[\int_1^2 \frac{1}{x} dx\]
3. \[\int_0^{\pi} \sin(x) dx\]
Calculer les intégrales suivantes :
1. \[\int_0^1 (2x+1)^3 dx\]
2. \[\int_0^1 e^{2x} dx\]
3. \[\int_0^{\pi/2} \cos(2x) dx\]
Calculer les intégrales suivantes en utilisant l'intégration par parties :
1. \[\int_0^1 x e^x dx\]
2. \[\int_0^{\pi} x \sin(x) dx\]
3. \[\int_1^e \ln(x) dx\]
Soit la fonction f définie sur [0; 3] par \(f(x) = x^2 - 2x + 3\).
1. Calculer l'intégrale \[\int_0^3 f(x) dx\].
2. Interpréter géométriquement le résultat de cette intégrale.
3. Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0 et x=3.
Soit les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \([0; 3]\) par \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = 2x\) :
1. Calculer l'intégrale \[ \int_0^3 f(x) dx \] et \[ \int_0^3 g(x) dx \]
2. Etudier les positions relatives de \(f\) et \(g\).
3. Déterminer l'aire du domaine délimité par les courbes de \(f\) et \(g\) sur l'intervalle \([0, 3]\).
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \[f(x) = e^x - x\]
1. Calculer l'intégrale \[ \int_0^2 f(x) dx \]
2. Déterminer la valeur moyenne de f sur l'intervalle [0 ; 2].
3. Calculer la valeur exacte de l'intégrale de f sur \([-2; 2]\).
Calculer les intégrales suivantes en utilisant un changement de variable approprié :
1. \[\int_0^1 x(x^2+1)^3 dx\]
2. \[\int_0^{\sqrt{\pi}} x \cos(x^2) dx\]
3. \[\int_0^1 \dfrac{e^x}{e^x+1} dx\]
Soit \(f\) une fonction continue sur \([a, b]\).
1. On suppose que pour tout \(x\in[a;b]\), \(m \leq f(x)\leq M\). Donner un encadrement de \(\int_a^b f(x)dx\) en fonction de \(m\), \(M\), \(a\) et \(b\).
2. Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \[f(x) = \dfrac{1}{1+x^2} \]. Montrer que pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\), \(0\leqslant f(x)\leqslant 1\).
3. En déduire un encadrement de l'intégrale \[ \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx \]
La vitesse d'un mobile (en m/s) est donnée par la fonction \(v(t) = 2t^2 + 3\) où t est le temps en secondes. Calculer la distance parcourue par ce mobile entre les instants t=1s et t=3s.
Soit la fonction f définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \dfrac{2x}{(x^2+1)^2}\).
1. Déterminer une primitive F de f sur \(\mathbb{R}\).
2. Calculer l'intégrale \[\int_0^1 f(x) dx\].
3. Déterminer la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 1].
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (x+2)e^{-x}\)
1. Déterminer une primitive \(F\) de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
2. Calculer la valeur exacte de l'intégrale \[\int_0^2 f(x) dx\]
3. En déduire la valeur moyenne de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([0 ; 2]\).
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \dfrac{e^x}{1+e^x}\).
1. Déterminer une primitive \(F\) de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
2. Calculer la valeur exacte de l'intégrale \[\int_0^1 f(x) dx\].
3. En déduire la valeur moyenne de \(f\) sur \([0; 1]\).
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^2 e^{-x}\). On note \(C_f\) sa courbe représentative.
1. Calculer la dérivée de la fonction \(g\) définie par \[g(x) = -(x^2+2x+2) e^{-x} \] sur \(\mathbb{R}\) .
2. Déterminer la primitive \(F\) de \(f\) qui s'annule en 0.
3. Calculer, en unités d'aire, l’aire du domaine compris entre la courbe \(C_f\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x = 0\) et \(x = 2\).
On note \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=(x^2-x-1)e^{-x}\). Soit \(F\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(F(x) = (-x^2-x)e^{-x}\).
1. Calculer la dérivée de \(F\) et en déduire une primitive de f.
2. Calculer la valeur exacte de l'intégrale \[ \int_0^1 (x^2-x-1) e^{-x} dx\].
3. Calculer la valeur moyenne de \(f\) sur l'intervalle \([0, 1]\).
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (x+2)e^{-x}\). On note C sa courbe représentative.
1. Calculer l’intégrale \[ \int_0^1 f(x) dx\].
2. En déduire l'aire, en unité d'aire, du domaine délimité par la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équation x = 0 et x = 1.
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (x-1)e^x\).
1. En utilisant une intégration par parties, calculer la valeur de \[\int_0^1 f(x) dx\].
2. Déterminer la valeur moyenne de \(f\) sur [0 ; 1].
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (x^2-3x+4)e^{-x}\).
1. Déterminer une primitive \(F\) de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
2. Calculer la valeur moyenne de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([-1; 1]\).
On considère la suite \((I_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \[I_n = \int_0^1 \frac{x^n}{1+x} dx \]
1. En utilisant un encadrement, justifier que pour tout entier naturel \(n\), \(0\leq I_n \leq \frac{1}{n+1}\).
2. Déterminer la limite de \(I_n\) lorsque n tend vers + \(\infty\).
3. Calculer la valeur de \(I_1\) et en déduire une primitive de la fonction \(f(x) = \dfrac{x}{1+x}\).
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x e^x\).
1. Calculer la primitive \(F\) de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) telle que \(F(0)\) = 2
2. Calculer la valeur exacte de l'intégrale \[\int_0^1 (x-1) e^x dx \]
3. Déterminer la valeur moyenne de \(f\) sur [0, 1]
Pour tout entier naturel n, on pose : \[I_n=\int_0^1 \dfrac{x^n}{1+x}dx \]
1. Montrer que pour tout entier naturel n, \(\dfrac{1}{2(n+1)} \leq I_n \leq \dfrac{1}{n+1}\).
2. En déduire \(\lim_{n \to +\infty} I_n\).
3. Calculer \(I_1\).
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (x+1)e^{-x}\).
1. Déterminer la primitive \(F\) de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) qui s'annule en 0
2. Calculer \[\int_0^1 f(x) dx\].
3. En déduire la valeur moyenne de \(f\) sur [0 ; 1].
Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(I_n = \int_0^1 x^n \sqrt{x} dx\).
1. Calculer \(I_0\) et \(I_1\).
2. Montrer que, pour tout entier naturel n, \(I_n = \dfrac{2}{2n+5}\)
3. Montrer que la suite \((I_n)\) est décroissante et positive et en déduire qu'elle est convergente.
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \dfrac{1}{x^2+2x+2}\)
1. Déterminer une primitive \(F\) de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
2. Calculer la valeur exacte de l’intégrale \[ \int_0^1 f(x) dx \]
3. En déduire la valeur moyenne de la fonction \(f\) sur l'intervalle [0; 1]
On définit la suite \(I_n\) par pour tout entier naturel n : \[ I_n = \int_0^1 x^n e^x dx\]
1. Calculer \(I_0\).
2. Montrer, à l’aide d’une intégration par parties, que pour tout entier naturel \(n\), \(I_{n+1}=e-(n+1)I_n\).
3. Calculer \(I_1\) et \(I_2\).
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (2x+1)e^{-x}\).
1. Déterminer une primitive \(F\) de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
2. Calculer la valeur moyenne de \(f\) sur l’intervalle \([0;2]\).
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x e^{-x^2}\).
1. Déterminer une primitive \(F\) de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) telle que \(F(0)\) = 0.
2. Calculer l'aire du domaine compris entre la courbe représentative de f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 0 et x = 1.
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^2e^x\)
1. Calculer la dérivée de la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=(x^2-2x+2)e^x\).
2. En déduire la primitive \(F\) de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) telle que \(F(0)\) = 2.
3. Calculer l'intégrale \[\int_0^1 f(x)dx\]
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \frac{e^x}{(e^x+1)^2}\)
1. Montrer que la fonction \(F\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \[F(x) = \dfrac{-1}{e^x+1}\] est une primitive de \(f\).
2. Calculer la valeur exacte de l'intégrale \[\int_0^1 f(x) dx\].
3. Déterminer la valeur moyenne de \(f\) sur \([0; 1]\).
Soit la fonction f définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^2e^x\)
1. Calculer une primitive F de f sur \(\mathbb{R}\).
2. Calculer l'intégrale \[\int_0^1 f(x) dx\].
3. En déduire l’aire du domaine compris entre la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=0 et x=1.