Géométrie dans l'espace (Partie 2)

Correction :

1. Coordonnées des vecteurs :

On utilise la formule $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$.

$\overrightarrow{AB} = (4-2, 3-1, 1-3) = (2, 2, -2)$

$\overrightarrow{AC} = (1-2, 5-1, 2-3) = (-1, 4, -1)$

2. Normes des vecteurs :

On utilise la formule $||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ pour un vecteur $\overrightarrow{u}(x, y, z)$.

$||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

$||\overrightarrow{AC}|| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + (-1)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

3. Produit scalaire :

On utilise la formule $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v$ pour deux vecteurs $\overrightarrow{u}(x_u, y_u, z_u)$ et $\overrightarrow{v}(x_v, y_v, z_v)$.

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (2)(-1) + (2)(4) + (-2)(-1) = -2 + 8 + 2 = 8$

4. Mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ :

On utilise la formule $\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{||\overrightarrow{u}|| \cdot ||\overrightarrow{v}||}$, où $\theta$ est l'angle entre les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$.

$\cos(\widehat{BAC}) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{||\overrightarrow{AB}|| \cdot ||\overrightarrow{AC}||} = \frac{8}{2\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{4}{3\sqrt{6}}$

$\widehat{BAC} = \arccos\left(\frac{4}{3\sqrt{6}}\right) \approx 57,02^\circ$

5. Coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AD}$ :

$\overrightarrow{AD} = (-1-2, 3-1, 4-3) = (-3, 2, 1)$

6. Produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}$ :

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = (2)(-3) + (2)(2) + (-2)(1) = -6 + 4 - 2 = -4$

7. Orthogonalité des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ :

Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul.

Non, car $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = -4 \neq 0$.

Visualisation 3D avec GeoGebra :

1. Cliquez sur "Charger GeoGebra 3D" pour ouvrir l'outil graphique interactif en 3 dimensions.
2. Pour tracer un objet 3D ou vérifier votre représentation : Dans la barre de saisie de GeoGebra 3D (en bas), entrez par exemple A = (2, 1, 3), B = (4, 3, 1), C = (1, 5, 2), D = (-1, 3, 4) puis Vecteur(A, B), Vecteur(A, C) et Vecteur(A, D) pour visualiser les vecteurs. Vous pouvez aussi calculer et afficher l'angle en entrant Angle(B, A, C).
3. Pour explorer et ajuster la vue 3D : Utilisez les outils de rotation, zoom et déplacement de GeoGebra 3D pour examiner la configuration spatiale des points et vecteurs.
4. Fermer GeoGebra 3D : Une fois votre exploration terminée, cliquez sur le bouton "Fermer GeoGebra 3D".

Correction :

1. Produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$ :

On utilise la formule $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v$.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (3)(1) + (-2)(4) + (1)(0) = 3 - 8 + 0 = -5$.

2. Orthogonalité des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ :

Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul.

Non, car $\vec{u} \cdot \vec{v} = -5 \neq 0$.

3. Normes des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{w}$ :

On utilise la formule $||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

$||\vec{u}|| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{14}$

$||\vec{w}|| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$

4. Produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{w}$ :

$\vec{u} \cdot \vec{w} = (3)(-2) + (-2)(-1) + (1)(2) = -6 + 2 + 2 = -2$

5. Mesure de l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{w}$ :

On utilise la formule $\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{w}}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{w}||}$.

$\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{w}}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{w}||} = \frac{-2}{3\sqrt{14}}$

$\theta = \arccos\left(\frac{-2}{3\sqrt{14}}\right) \approx 100,26^\circ$

6. Valeur de $k$ pour que $\vec{z}$ soit orthogonal à $\vec{u}$ :

On cherche $k$ tel que $\vec{z} \cdot \vec{u} = 0$.

$\vec{z} \cdot \vec{u} = 3k - 2 + 2 = 0$, donc $3k = 0$ et $k = 0$.

Visualisation 3D avec GeoGebra :

1. Cliquez sur "Charger GeoGebra 3D" pour ouvrir l'outil graphique interactif en 3 dimensions.
2. Pour tracer un objet 3D ou vérifier votre représentation : Dans la barre de saisie de GeoGebra 3D (en bas), entrez par exemple u = (3, -2, 1), v = (1, 4, 0), w = (-2, -1, 2), z = (0, 1, 2) pour visualiser les vecteurs. Vous pouvez explorer l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{w}$.
3. Pour explorer et ajuster la vue 3D : Utilisez les outils de rotation, zoom et déplacement de GeoGebra 3D pour examiner la configuration spatiale des vecteurs.
4. Fermer GeoGebra 3D : Une fois votre exploration terminée, cliquez sur le bouton "Fermer GeoGebra 3D".

Correction :

1. Coordonnées des vecteurs :

On utilise la formule $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$.

$\overrightarrow{AB} = (3-1, 2-(-1), 0-2) = (2, 3, -2)$

$\overrightarrow{AC} = (0-1, 1-(-1), -2-2) = (-1, 2, -4)$

$\overrightarrow{BC} = (0-3, 1-2, -2-0) = (-3, -1, -2)$

2. Normes des vecteurs :

On utilise la formule $||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

$||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{17}$

$||\overrightarrow{AC}|| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{21}$

$||\overrightarrow{BC}|| = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{14}$

3. Produits scalaires :

On utilise la formule $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v$.

a. $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (2)(-1) + (3)(2) + (-2)(-4) = -2 + 6 + 8 = 12$

b. $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (-2)(-3) + (-3)(-1) + (2)(-2) = 6 + 3 - 4 = 5$

c. $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = (1)(3) + (-2)(1) + (4)(2) = 3 - 2 + 8 = 9$

4. Mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ :

On utilise la formule $\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{||\overrightarrow{u}|| \cdot ||\overrightarrow{v}||}$.

$\cos(\widehat{BAC}) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{||\overrightarrow{AB}|| \cdot ||\overrightarrow{AC}||} = \frac{12}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{21}}$

$\widehat{BAC} = \arccos\left(\frac{12}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{21}}\right) \approx 49,56^\circ$

5. Mesure de l'angle $\widehat{ABC}$ :

$\cos(\widehat{ABC}) = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}{||\overrightarrow{BA}|| \cdot ||\overrightarrow{BC}||} = \frac{5}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{14}}$

$\widehat{ABC} = \arccos\left(\frac{5}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{14}}\right) \approx 70,66^\circ$

6. Mesure de l'angle $\widehat{BCA}$ :

$\cos(\widehat{BCA}) = \frac{\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}}{||\overrightarrow{CA}|| \cdot ||\overrightarrow{CB}||} = \frac{9}{\sqrt{21} \cdot \sqrt{14}}$

$\widehat{BCA} = \arccos\left(\frac{9}{\sqrt{21} \cdot \sqrt{14}}\right) \approx 59,78^\circ$

Visualisation 3D avec GeoGebra :

1. Cliquez sur "Charger GeoGebra 3D" pour ouvrir l'outil graphique interactif en 3 dimensions.
2. Pour tracer un objet 3D ou vérifier votre représentation : Dans la barre de saisie de GeoGebra 3D (en bas), entrez par exemple A = (1, -1, 2), B = (3, 2, 0), C = (0, 1, -2) puis Vecteur(A, B), Vecteur(A, C) et Vecteur(B, C) pour visualiser les vecteurs. Vous pouvez explorer les angles du triangle ABC en utilisant l'outil "Angle".
3. Pour explorer et ajuster la vue 3D : Utilisez les outils de rotation, zoom et déplacement de GeoGebra 3D pour examiner le triangle ABC et ses angles.
4. Fermer GeoGebra 3D : Une fois votre exploration terminée, cliquez sur le bouton "Fermer GeoGebra 3D".

Correction :

Deux vecteurs sont colinéaires si l'un est un multiple de l'autre. On observe que $\vec{v} = -2 \vec{u}$ car $(-2, -4, 2) = -2 (1, 2, -1)$. Donc les vecteurs sont colinéaires.

Visualisation 3D avec GeoGebra :

1. Cliquez sur "Charger GeoGebra 3D" pour ouvrir l'outil graphique interactif en 3 dimensions.
2. Pour tracer un objet 3D ou vérifier votre représentation : Dans la barre de saisie de GeoGebra 3D (en bas), entrez par exemple u = (1, 2, -1) et v = (-2, -4, 2) pour visualiser les vecteurs. Observez leur direction.
3. Pour explorer et ajuster la vue 3D : Utilisez les outils de rotation, zoom et déplacement de GeoGebra 3D pour confirmer visuellement la colinéarité.
4. Fermer GeoGebra 3D : Une fois votre exploration terminée, cliquez sur le bouton "Fermer GeoGebra 3D".

Correction :

Une représentation paramétrique de la droite est donnée par: $\begin{cases} x = x_A + t x_u \\ y = y_A + t y_u \\ z = z_A + t z_u \end{cases}$ , où $t \in \mathbb{R}$. Donc, la représentation paramétrique est : $\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 0 - t \\ z = -1 + 3t \end{cases}$, $t \in \mathbb{R}$.

Visualisation 3D avec GeoGebra :

1. Cliquez sur "Charger GeoGebra 3D" pour ouvrir l'outil graphique interactif en 3 dimensions.
2. Pour tracer un objet 3D ou vérifier votre représentation : Dans la barre de saisie de GeoGebra 3D (en bas), entrez par exemple A = (1, 0, -1), u = (2, -1, 3) puis Droite(A, A + u) pour visualiser la droite. Vous pouvez aussi utiliser la commande LigneParamétrique(1 + 2t, -t, -1 + 3t, t, -5, 5) pour tracer la droite paramétrique pour $t$ allant de -5 à 5. Ajustez les bornes de $t$ si nécessaire.
3. Pour explorer et ajuster la vue 3D : Utilisez les outils de rotation, zoom et déplacement de GeoGebra 3D pour examiner la droite dans l'espace.
4. Fermer GeoGebra 3D : Une fois votre exploration terminée, cliquez sur le bouton "Fermer GeoGebra 3D".

Correction :

L'équation cartésienne d'un plan de vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$ est donnée par $ax + by + cz + d = 0$. On a donc $2x - y + z + d = 0$. Comme le plan passe par $A(1, 1, 1)$, on a $2(1) - (1) + (1) + d = 0 \Rightarrow d = -2$. Donc l'équation cartésienne est $2x - y + z - 2 = 0$.

Visualisation 3D avec GeoGebra :

1. Cliquez sur "Charger GeoGebra 3D" pour ouvrir l'outil graphique interactif en 3 dimensions.
2. Pour tracer un objet 3D ou vérifier votre représentation : Dans la barre de saisie de GeoGebra 3D (en bas), entrez par exemple A = (1, 1, 1) et n = (2, -1, 1) puis Plan(A, n) ou directement l'équation 2x - y + z = 2 pour visualiser le plan. Visualisez le point A et le vecteur normal.
3. Pour explorer et ajuster la vue 3D : Utilisez les outils de rotation, zoom et déplacement de GeoGebra 3D pour examiner le plan et le vecteur normal.
4. Fermer GeoGebra 3D : Une fois votre exploration terminée, cliquez sur le bouton "Fermer GeoGebra 3D".

Correction :

Un vecteur normal au plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$ est donné par $\vec{n}(a, b, c)$. Ici, un vecteur normal est $\vec{n}(3, -2, 1)$.

Visualisation 3D avec GeoGebra :

1. Cliquez sur "Charger GeoGebra 3D" pour ouvrir l'outil graphique interactif en 3 dimensions.
2. Pour tracer un objet 3D ou vérifier votre représentation : Dans la barre de saisie de GeoGebra 3D (en bas), entrez par exemple l'équation du plan 3x - 2y + z = -5 et n = (3, -2, 1) pour visualiser le plan et un de ses vecteurs normaux.
3. Pour explorer et ajuster la vue 3D : Utilisez les outils de rotation, zoom et déplacement de GeoGebra 3D pour examiner le plan et le vecteur normal et confirmer visuellement l'orthogonalité.
4. Fermer GeoGebra 3D : Une fois votre exploration terminée, cliquez sur le bouton "Fermer GeoGebra 3D".

Correction :

Une droite est orthogonale à un plan si son vecteur directeur est colinéaire au vecteur normal du plan. On calcule $\vec{u} \cdot \vec{n} = (1)(2) + (2)(-1) + (-1)(1) = 2 - 2 - 1 = -1 \ne 0$. Le vecteur directeur de la droite n'est pas colinéaire au vecteur normal du plan, la droite n'est donc pas orthogonale au plan.

Visualisation 3D avec GeoGebra :

1. Cliquez sur "Charger GeoGebra 3D" pour ouvrir l'outil graphique interactif en 3 dimensions.
2. Pour tracer un objet 3D ou vérifier votre représentation : Dans la barre de saisie de GeoGebra 3D (en bas), entrez par exemple u = (1, 2, -1), n = (2, -1, 1). Pour visualiser un plan et une droite avec ces vecteurs, vous pouvez créer un plan passant par l'origine avec vecteur normal $\vec{n}$ (e.g., Plan((0,0,0), n)) et une droite passant par l'origine avec vecteur directeur $\vec{u}$ (e.g., Droite((0,0,0), (0,0,0) + u)). Observez l'angle entre la droite et le plan.
3. Pour explorer et ajuster la vue 3D : Utilisez les outils de rotation, zoom et déplacement de GeoGebra 3D pour examiner la disposition de la droite et du plan et confirmer visuellement si elles sont orthogonales.
4. Fermer GeoGebra 3D : Une fois votre exploration terminée, cliquez sur le bouton "Fermer GeoGebra 3D".

Correction :

On remplace les coordonnées de la droite dans l'équation du plan : $t + (1 + t) + (2 - t) - 5 = 0$. Cela donne $t - 2 = 0$ soit $t = 2$. Le point d'intersection a pour coordonnées $(2, 1+2, 2-2) = (2, 3, 0)$.

Visualisation 3D avec GeoGebra :

1. Cliquez sur "Charger GeoGebra 3D" pour ouvrir l'outil graphique interactif en 3 dimensions.
2. Pour tracer un objet 3D ou vérifier votre représentation : Dans la barre de saisie de GeoGebra 3D (en bas), entrez l'équation du plan x + y + z = 5 et la droite paramétrique LigneParamétrique(t, 1 + t, 2 - t, t, -5, 5). Ajustez les bornes de $t$ si nécessaire pour bien visualiser l'intersection. Vous pouvez aussi définir le point d'intersection trouvé I = (2, 3, 0) et vérifier qu'il est bien sur la droite et le plan.
3. Pour explorer et ajuster la vue 3D : Utilisez les outils de rotation, zoom et déplacement de GeoGebra 3D pour observer l'intersection de la droite et du plan.
4. Fermer GeoGebra 3D : Une fois votre exploration terminée, cliquez sur le bouton "Fermer GeoGebra 3D".

Correction :

Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. On observe que $\vec{u_2} = 2\vec{u_1}$ car $(2, 4, -2) = 2(1, 2, -1)$. Donc les droites sont parallèles.

Visualisation 3D avec GeoGebra :

1. Cliquez sur "Charger GeoGebra 3D" pour ouvrir l'outil graphique interactif en 3 dimensions.
2. Pour tracer un objet 3D ou vérifier votre représentation : Dans la barre de saisie de GeoGebra 3D (en bas), entrez par exemple u1 = (1, 2, -1) et u2 = (2, 4, -2). Pour visualiser les droites, vous pouvez créer deux droites passant par l'origine avec ces vecteurs directeurs: Droite((0,0,0), (0,0,0) + u1) et Droite((0,0,0), (0,0,0) + u2). Observez leur direction.
3. Pour explorer et ajuster la vue 3D : Utilisez les outils de rotation, zoom et déplacement de GeoGebra 3D pour confirmer visuellement le parallélisme des droites.
4. Fermer GeoGebra 3D : Une fois votre exploration terminée, cliquez sur le bouton "Fermer GeoGebra 3D".

Correction :

Deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires. Un vecteur normal à $P_1$ est $\vec{n_1}(2, -1, 3)$ et un vecteur normal à $P_2$ est $\vec{n_2}(-4, 2, -6)$. On a $\vec{n_2} = -2\vec{n_1}$, donc les vecteurs normaux sont colinéaires et les plans sont parallèles.

Visualisation 3D avec GeoGebra :

1. Cliquez sur "Charger GeoGebra 3D" pour ouvrir l'outil graphique interactif en 3 dimensions.
2. Pour tracer un objet 3D ou vérifier votre représentation : Dans la barre de saisie de GeoGebra 3D (en bas), entrez les équations des plans 2x - y + 3z = 1 et -4x + 2y - 6z = -5. Vous pouvez aussi entrer les vecteurs normaux n1 = (2, -1, 3) et n2 = (-4, 2, -6) pour visualiser les vecteurs normaux et les plans.
3. Pour explorer et ajuster la vue 3D : Utilisez les outils de rotation, zoom et déplacement de GeoGebra 3D pour confirmer visuellement le parallélisme des plans et la colinéarité des vecteurs normaux.
4. Fermer GeoGebra 3D : Une fois votre exploration terminée, cliquez sur le bouton "Fermer GeoGebra 3D".

Correction :

Soit $A(1, 2, 3)$ et le plan $\mathcal{P}$ d'équation $2x - y + 2z - 5 = 0$.
Un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ est $\vec{n}(2, -1, 2)$.
Soit $H(x,y,z)$ le projeté orthogonal de $A$ sur le plan $\mathcal{P}$.
Alors, $\overrightarrow{AH}$ est colinéaire à $\vec{n}$, il existe donc un réel $t$ tel que $\overrightarrow{AH} = t\vec{n}$.
On a donc $\begin{cases} x-1=2t \\ y-2=-t \\ z-3=2t \end{cases}$, ce qui donne $H(1+2t, 2-t, 3+2t)$.
Comme $H$ appartient au plan $\mathcal{P}$, on a $2(1+2t)-(2-t)+2(3+2t)-5=0$.
Ce qui donne $2+4t-2+t+6+4t-5=0$, soit $9t+1=0$ et donc $t=-\frac{1}{9}$.
Les coordonnées de $H$ sont donc $H(1-\frac{2}{9}, 2+\frac{1}{9}, 3-\frac{2}{9})$ soit $H(\frac{7}{9}, \frac{19}{9}, \frac{25}{9})$.
La distance de $A$ au plan $\mathcal{P}$ est alors $AH = \sqrt{(\frac{7}{9}-1)^2+(\frac{19}{9}-2)^2+(\frac{25}{9}-3)^2}$.
$AH = \sqrt{(-\frac{2}{9})^2+(\frac{1}{9})^2+(-\frac{2}{9})^2} = \sqrt{\frac{4}{81}+\frac{1}{81}+\frac{4}{81}}=\sqrt{\frac{9}{81}}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}$.

Visualisation 3D avec GeoGebra :

1. Cliquez sur "Charger GeoGebra 3D" pour ouvrir l'outil graphique interactif en 3 dimensions.
2. Pour tracer un objet 3D ou vérifier votre représentation : Dans la barre de saisie de GeoGebra 3D (en bas), entrez l'équation du plan 2x - y + 2z = 5, le point A = (1, 2, 3) et le vecteur normal n = (2, -1, 2). Vous pouvez visualiser le plan, le point A, et la droite passant par A et de vecteur directeur $\vec{n}$ (e.g., Droite(A, A+n)). L'intersection de cette droite et du plan est le projeté orthogonal H.
3. Pour explorer et ajuster la vue 3D : Utilisez les outils de rotation, zoom et déplacement de GeoGebra 3D pour visualiser la distance AH, qui est la distance du point au plan.
4. Fermer GeoGebra 3D : Une fois votre exploration terminée, cliquez sur le bouton "Fermer GeoGebra 3D".

Correction :

Le volume d'un tétraèdre de sommets A, B, C, D est donné par $V = \frac{1}{6} \left| \det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}) \right|$. Ici, $\overrightarrow{AB}(1, 0, 0)$, $\overrightarrow{AC}(0, 1, 0)$, $\overrightarrow{AD}(0, 0, 1)$. $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$. Donc, $V = \frac{1}{6} |1| = \frac{1}{6}$.

Visualisation 3D avec GeoGebra :

1. Cliquez sur "Charger GeoGebra 3D" pour ouvrir l'outil graphique interactif en 3 dimensions.
2. Pour tracer un objet 3D ou vérifier votre représentation : Dans la barre de saisie de GeoGebra 3D (en bas), entrez les points A = (0, 0, 0), B = (1, 0, 0), C = (0, 1, 0), D = (0, 0, 1), puis Tétraèdre(A, B, C, D) pour visualiser le tétraèdre.
3. Pour explorer et ajuster la vue 3D : Utilisez les outils de rotation, zoom et déplacement de GeoGebra 3D pour observer la forme du tétraèdre et ses sommets.
4. Fermer GeoGebra 3D : Une fois votre exploration terminée, cliquez sur le bouton "Fermer GeoGebra 3D".

Correction :

L'aire du triangle ABC est donnée par $\frac{1}{2} \|\overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{AC} \|$. On a $\overrightarrow{AB}(-1, 1, 0)$ et $\overrightarrow{AC}(-1, 0, 1)$. $\overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{AC} = (1, 1, 1)$. Donc l'aire est $\frac{1}{2}\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Visualisation 3D avec GeoGebra :

1. Cliquez sur "Charger GeoGebra 3D" pour ouvrir l'outil graphique interactif en 3 dimensions.
2. Pour tracer un objet 3D ou vérifier votre représentation : Dans la barre de saisie de GeoGebra 3D (en bas), entrez les points A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1), puis Polygone(A, B, C) pour visualiser le triangle.
3. Pour explorer et ajuster la vue 3D : Utilisez les outils de rotation, zoom et déplacement de GeoGebra 3D pour observer le triangle ABC dans l'espace.
4. Fermer GeoGebra 3D : Une fois votre exploration terminée, cliquez sur le bouton "Fermer GeoGebra 3D".

Correction :

Le plan $(xOy)$ est le plan d'équation $z = 0$. Le projeté orthogonal d'un point sur ce plan est obtenu en annulant sa cote. Donc, le projeté orthogonal de $A(1, 2, 3)$ sur $(xOy)$ est le point $A'(1, 2, 0)$.

Visualisation 3D avec GeoGebra :

1. Cliquez sur "Charger GeoGebra 3D" pour ouvrir l'outil graphique interactif en 3 dimensions.
2. Pour tracer un objet 3D ou vérifier votre représentation : Dans la barre de saisie de GeoGebra 3D (en bas), entrez le plan z = 0 (plan xOy) et le point A = (1, 2, 3). Vous pouvez visualiser la projection en utilisant la commande "ProjetéOrthogonal". Tapez par exemple : ProjetéOrthogonal(A, plan xOy). GeoGebra affichera le point projeté.
3. Pour explorer et ajuster la vue 3D : Utilisez les outils de rotation, zoom et déplacement de GeoGebra 3D pour visualiser le point A et son projeté sur le plan (xOy).
4. Fermer GeoGebra 3D : Une fois votre exploration terminée, cliquez sur le bouton "Fermer GeoGebra 3D".

Correction :

Un plan parallèle au plan $(xOy)$ a une équation de la forme $z = c$. Comme le plan passe par $A(2,3,5)$, alors $c=5$. Donc l'équation est $z = 5$.

Visualisation 3D avec GeoGebra :

1. Cliquez sur "Charger GeoGebra 3D" pour ouvrir l'outil graphique interactif en 3 dimensions.
2. Pour tracer un objet 3D ou vérifier votre représentation : Dans la barre de saisie de GeoGebra 3D (en bas), entrez le plan $(xOy)$ en tapant z = 0, le point A = (2, 3, 5) et le plan parallèle z = 5. Vous pouvez vérifier visuellement que le plan $z=5$ est parallèle à $z=0$ et passe par A.
3. Pour explorer et ajuster la vue 3D : Utilisez les outils de rotation, zoom et déplacement de GeoGebra 3D pour observer les deux plans et le point A.
4. Fermer GeoGebra 3D : Une fois votre exploration terminée, cliquez sur le bouton "Fermer GeoGebra 3D".

Correction :

Un vecteur directeur d'une droite donnée par une représentation paramétrique $\begin{cases}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct\end{cases}$ est donné par $(a,b,c)$. Ici, un vecteur directeur est $\vec{u}(2,-1,1)$.

Visualisation 3D avec GeoGebra :

1. Cliquez sur "Charger GeoGebra 3D" pour ouvrir l'outil graphique interactif en 3 dimensions.
2. Pour tracer un objet 3D ou vérifier votre représentation : Dans la barre de saisie de GeoGebra 3D (en bas), entrez la droite paramétrique LigneParamétrique(1 + 2t, -t, 3 + t, t, -5, 5) et le vecteur directeur u = (2, -1, 1). Créez un point sur la droite, par exemple PointSurObjet(xOyPlan) (n'importe quel point sur la scène 3D), puis translatez ce point par le vecteur directeur : Translation(PointSurObjet1, Vecteur(u)). Observez que le vecteur directeur indique la direction de la droite. Ajustez les bornes de $t$ pour la ligne paramétrique si nécessaire.
3. Pour explorer et ajuster la vue 3D : Utilisez les outils de rotation, zoom et déplacement de GeoGebra 3D pour examiner la droite et son vecteur directeur.
4. Fermer GeoGebra 3D : Une fois votre exploration terminée, cliquez sur le bouton "Fermer GeoGebra 3D".

Correction :

Pour que $A$ appartienne à la droite, il faut qu'il existe un $t$ qui vérifie les trois équations : $\begin{cases}3=1+t\\-1=2-2t\\5=1+t\end{cases}$. La première donne $t=2$, la deuxième donne $t = \frac{3}{2}$ et la troisième $t=4$. Il n'y a pas de valeur de $t$ qui vérifie les trois équations, donc le point n'appartient pas à la droite.

Visualisation 3D avec GeoGebra :

1. Cliquez sur "Charger GeoGebra 3D" pour ouvrir l'outil graphique interactif en 3 dimensions.
2. Pour tracer un objet 3D ou vérifier votre représentation : Dans la barre de saisie de GeoGebra 3D (en bas), entrez la droite paramétrique LigneParamétrique(1 + t, 2 - 2t, 1 + t, t, -5, 5) et le point A = (3, -1, 5). Observez si le point A se trouve sur la droite. Ajustez les bornes de $t$ pour la ligne paramétrique si nécessaire pour inclure la région autour du point A.
3. Pour explorer et ajuster la vue 3D : Utilisez les outils de rotation, zoom et déplacement de GeoGebra 3D pour examiner la position du point A par rapport à la droite.
4. Fermer GeoGebra 3D : Une fois votre exploration terminée, cliquez sur le bouton "Fermer GeoGebra 3D".

Correction :

Pour que le point $A(2, 1, 1)$ appartienne au plan d'équation $x - 2y + z - 1 = 0$, ses coordonnées doivent vérifier l'équation. On a $2 - 2(1) + 1 - 1 = 2 - 2 + 1 - 1 = 0$. Donc le point $A$ appartient au plan.

Visualisation 3D avec GeoGebra :

1. Cliquez sur "Charger GeoGebra 3D" pour ouvrir l'outil graphique interactif en 3 dimensions.
2. Pour tracer un objet 3D ou vérifier votre représentation : Dans la barre de saisie de GeoGebra 3D (en bas), entrez l'équation du plan x - 2y + z = 1 et le point A = (2, 1, 1). Observez si le point A se trouve sur le plan.
3. Pour explorer et ajuster la vue 3D : Utilisez les outils de rotation, zoom et déplacement de GeoGebra 3D pour examiner la position du point A par rapport au plan.
4. Fermer GeoGebra 3D : Une fois votre exploration terminée, cliquez sur le bouton "Fermer GeoGebra 3D".

Correction :

Le projeté orthogonal d'un point sur l'axe $(Oz)$ est obtenu en annulant ses abscisses et ordonnées. Donc, le projeté orthogonal de $A(1, 2, 3)$ sur l'axe $(Oz)$ est le point $A'(0, 0, 3)$.

Visualisation 3D avec GeoGebra :

1. Cliquez sur "Charger GeoGebra 3D" pour ouvrir l'outil graphique interactif en 3 dimensions.
2. Pour tracer un objet 3D ou vérifier votre représentation : Dans la barre de saisie de GeoGebra 3D (en bas), entrez l'axe $(Oz)$ en utilisant la commande "AxeZ" et le point A = (1, 2, 3). Vous pouvez visualiser la projection en utilisant la commande "ProjetéOrthogonal". Tapez par exemple : ProjetéOrthogonal(A, AxeZ). GeoGebra affichera le point projeté.
3. Pour explorer et ajuster la vue 3D : Utilisez les outils de rotation, zoom et déplacement de GeoGebra 3D pour visualiser le point A et son projeté sur l'axe (Oz).
4. Fermer GeoGebra 3D : Une fois votre exploration terminée, cliquez sur le bouton "Fermer GeoGebra 3D".

Correction :

1. Les coordonnées sont: $E(0;0;1)$, $C(1;1;0)$ et $G(1;1;1)$.


2. La droite (EC) a pour vecteur directeur $\overrightarrow{EC}(1;1;-1)$ et passe par $E(0;0;1)$.
   Une représentation paramétrique est : $ \begin{cases} x = t \\ y = t \\ z = 1 - t \end{cases} , t \in \mathbb{R}$


3. Le vecteur normal au plan (GBD) est $\overrightarrow{n}(1;1;-1)$.
   On a que $\overrightarrow{EC}(1;1;-1)$.
   Comme $\overrightarrow{EC}$ et $\vec{n}$ sont colinéaires, la droite (EC) est donc orthogonale au plan (GBD).


4. 
   
   1. Les points $G(1;1;1)$, $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$ appartiennent au plan (GBD).
      On vérifie que leurs coordonnées vérifient l'équation $x+y-z-1=0$.
      $1+1-1-1=0$, $1+0-0-1=0$, et $0+1-0-1=0$.
   
   
   2. Le point I est l'intersection de (EC) et (GBD), ses coordonnées vérifient donc : $t+t-(1-t)-1=0 \Leftrightarrow 3t=2 \Leftrightarrow t=2/3$.
      On remplace $t$ dans la représentation de (EC) pour obtenir $I(2/3;2/3;1/3)$.
   
   
   3. La distance du point E au plan (GBD) est égale à la distance EI.
      $\overrightarrow{EI}(\frac{2}{3}; \frac{2}{3}; -\frac{2}{3})$
      donc $EI = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 + (\frac{2}{3})^2 + (-\frac{2}{3})^2}= \sqrt{\frac{12}{9}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.


5. 
   
   1. On calcule $BG= \sqrt{(1-1)^2+(1-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{2}$, $GD = \sqrt{(1-0)^2+(1-1)^2+(1-0)^2} = \sqrt{2}$, $BD = \sqrt{(1-0)^2+(0-1)^2+(0-0)^2}= \sqrt{2}$.
      Le triangle BDG est équilatéral.
   
   
   2. Le point J, milieu de [BD] a pour coordonnées $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$.
      $GJ = \sqrt{(\frac{1}{2}-1)^2+(\frac{1}{2}-1)^2+(0-1)^2} = \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+1} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.
      L'aire du triangle BDG est $ \frac{1}{2} \times BD \times GJ = \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{\frac{3}{2}} \times \sqrt{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} $.


6. Le volume du tétraèdre EGBD est
   $V = \frac{1}{3} \times \text{Aire}(BDG) \times EI = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{3}$.

Visualisation 3D avec GeoGebra :

1. Cliquez sur "Charger GeoGebra 3D" pour ouvrir l'outil graphique interactif en 3 dimensions.
2. Pour tracer un objet 3D ou vérifier votre représentation : Dans la barre de saisie de GeoGebra 3D (en bas), entrez les points du cube : A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(1,1,0), D=(0,1,0), E=(0,0,1), F=(1,0,1), G=(1,1,1), H=(0,1,1). Puis construisez le cube avec la commande Cube(A,B,C,D,E,F,G,H). Ensuite, tracez le plan Plan(G,B,D) et la droite Droite(E,C). Enfin, trouvez l'intersection avec la commande Intersection(Plan(G,B,D), Droite(E,C)), nommez le point I. Visualisez le tétraèdre Tétraèdre(E,G,B,D).
3. Pour explorer et ajuster la vue 3D : Utilisez les outils de rotation, zoom et déplacement de GeoGebra 3D pour observer le cube, le tétraèdre et les éléments géométriques de l'exercice. Vous pouvez mesurer des distances, des angles et vérifier l'orthogonalité.
4. Fermer GeoGebra 3D : Une fois votre exploration terminée, cliquez sur le bouton "Fermer GeoGebra 3D".

Correction :

1. $E(0;0;1)$, $F(1;0;1)$, $G(1;1;1)$, $K(1;\frac{1}{2};0)$.


2. On calcule $\overrightarrow{EG}(1;1;0)$ et $\overrightarrow{EK}(1;\frac{1}{2};-1)$.
   On doit montrer que $\vec{n}(2,-2,1)$ est orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{EG}$ et $\overrightarrow{EK}$.
   On a $\vec{n} \cdot \overrightarrow{EG} = 2\times 1 + (-2)\times 1 + 1\times 0 = 2 -2+0 = 0$ et $\vec{n} \cdot \overrightarrow{EK} = 2\times 1 + (-2) \times \frac{1}{2} + 1\times (-1)= 2-1-1=0$.
   Donc $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (EGK), il est donc normal à ce plan.


3. Le plan (EGK) a pour équation $2x - 2y + z + d = 0$.
   On utilise par exemple le point E(0,0,1) pour obtenir $2\times0 -2\times 0+1+d=0$ donc $d = -1$.
   L'équation cartésienne est donc bien $2x - 2y + z - 1 = 0$.


4. La droite (d) a pour vecteur directeur $\vec{n}$ et passe par $F(1,0,1)$.
   Une représentation paramétrique est :
   $\begin{cases} x=1+2t \\ y=-2t \\ z=1+t \end{cases}, t \in \mathbb{R}$.


5. Le point L est l'intersection de la droite (d) et du plan (EGK).
   Ses coordonnées vérifient donc : $2(1+2t) - 2(-2t) + (1+t) - 1 = 0$.
   En simplifiant, on obtient $9t + 2=0$ donc $t = -\frac{2}{9}$.
   En remplaçant dans la représentation paramétrique de la droite (d), on obtient les coordonnées de $L(\frac{5}{9}, \frac{4}{9}, \frac{7}{9})$.
   


6. La longueur LF est la distance entre $L(\frac{5}{9}, \frac{4}{9}, \frac{7}{9})$ et $F(1,0,1)$.
   $\overrightarrow{LF}(\frac{4}{9}, -\frac{4}{9}, \frac{2}{9})$, donc $LF = \sqrt{(\frac{4}{9})^2 + (-\frac{4}{9})^2 + (\frac{2}{9})^2}=\sqrt{\frac{36}{81}}=\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.


7. L'aire du triangle EFG est $\frac{1}{2}EF \times FG= \frac{1}{2} \times 1 \times 1= \frac{1}{2}$.
   On utilise comme base le triangle EFG et comme hauteur la distance de K au plan (EFG) égale à la distance de K au plan (z=1) égale à 1.
   Le volume du tétraèdre est donc $\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times 1=\frac{1}{6}$.


8. On utilise la formule du volume: $\frac{1}{3} \times \text{Aire}(EGK) \times LF=\frac{1}{6}$.
   Donc $\text{Aire}(EGK)=\frac{1}{6} \times 3 \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$.


9. On a que $V_{EFGK} = \frac{1}{6}$ et $V_{FPMN} = V_{EFGK} \times (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{6}\times \frac{1}{8}= \frac{1}{48}$.

Visualisation 3D avec GeoGebra :

1. Cliquez sur "Charger GeoGebra 3D" pour ouvrir l'outil graphique interactif en 3 dimensions.
2. Pour tracer un objet 3D ou vérifier votre représentation : Dans la barre de saisie de GeoGebra 3D (en bas), entrez les points du cube : A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(1,1,0), D=(0,1,0), E=(0,0,1), F=(1,0,1), G=(1,1,1), H=(0,1,1), et le point milieu K = Milieu(B,C). Construisez le cube avec la commande Cube(A,B,C,D,E,F,G,H) et visualisez le tétraèdre Tétraèdre(E,F,G,K). Tracez le plan Plan(E,G,K) et la droite perpendiculaire d = DroitePerpendiculaire(F, Plan(E,G,K)). Trouvez l'intersection L = Intersection(d, Plan(E,G,K)).
3. Pour explorer et ajuster la vue 3D : Utilisez les outils de rotation, zoom et déplacement de GeoGebra 3D pour observer le cube, le tétraèdre EFGK et les éléments géométriques de l'exercice. Vous pouvez mesurer des distances, des aires et des volumes pour vérifier vos calculs.
4. Fermer GeoGebra 3D : Une fois votre exploration terminée, cliquez sur le bouton "Fermer GeoGebra 3D".

Correction :

1. 1. Un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$ est $\vec{u}(2;-1;2)$.
   
   
   2. Si $B(-1;3;0)$ appartient à la droite $\mathcal{D}$, il existe $t$ tel que $\begin{cases} -1=1+2t\\3 = 2 - t\\0= 2+2t \end{cases}$.
      La troisième équation donne $t=-1$, qui vérifie les deux autres. Donc B appartient à D.
   
   
   3. $\overrightarrow{AB}(-2;2;-3)$.
      $\overrightarrow{AB} \cdot \vec{u} = -2 \times 2 + 2 \times (-1) + (-3) \times 2 = -4-2-6=-12$.


2. 1. Le plan $\mathcal{P}$ est orthogonal à la droite $\mathcal{D}$, son vecteur normal est donc $\vec{u}(2;-1;2)$.
      Son équation est donc de la forme $2x-y+2z+d=0$.
      Le point A(-1,1,3) appartient au plan, donc $2(-1) -1 +2(3)+d=0 \Leftrightarrow d=-3$.
      L'équation du plan $\mathcal{P}$ est $2x-y+2z-3=0$.
   
   
   2. Le point H est l'intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la droite $\mathcal{D}$.
      Ses coordonnées vérifient donc : $2(1+2t)-(2-t)+2(2+2t)-3=0$.
      En simplifiant, on obtient $9t+3=0$ donc $t=-\frac{1}{3}$.
      En remplaçant dans la représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ on obtient H$(\frac{1}{3}; \frac{7}{3}; \frac{4}{3})$.
   
   
   3. $\overrightarrow{AH}(\frac{10}{9}; \frac{10}{9}; -\frac{10}{9})$.
      Donc $AH= \sqrt{(\frac{10}{9})^2 + (\frac{10}{9})^2 + (-\frac{10}{9})^2} = \sqrt{\frac{300}{81}}=\frac{10\sqrt{3}}{9}$.


3. 1. Si H est le projeté orthogonal de A sur la droite $\mathcal{D}$, alors le vecteur $\overrightarrow{HB}$ est colinéaire au vecteur directeur $\vec{u}$.
      Il existe donc un réel k tel que $\overrightarrow{HB} = k\vec{u}$.
   
   
   2. On a $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AH} + \overrightarrow{HB}$.
      Or $\overrightarrow{AH} \cdot \vec{u} = 0$ car $\overrightarrow{AH}$ est orthogonal à $\mathcal{D}$ et donc à $\vec{u}$ (vecteur directeur).
      On a donc $\overrightarrow{AB} \cdot \vec{u} = \overrightarrow{HB} \cdot \vec{u} = (k \vec{u}) \cdot \vec{u} = k \|\vec{u}\|^2$.
      On en déduit que $k = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \vec{u}}{\left\|\vec{u}\right\|^2}$.
   
   
   3. On a $\overrightarrow{AB} \cdot \vec{u} = -12$ et $\|\vec{u}\|^2=2^2+(-1)^2+2^2=9$, donc $k = \frac{-12}{9}=-\frac{4}{3}$.
      $\overrightarrow{HB} = k \vec{u} = (-\frac{8}{3}, \frac{4}{3}, -\frac{8}{3})$.
      $\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{HB} = (-1; 3; 0) - (-\frac{8}{3}, \frac{4}{3}, -\frac{8}{3}) = (\frac{5}{3}, \frac{5}{3}, \frac{8}{3})$.
      Donc $H(\frac{5}{3}, \frac{5}{3}, \frac{8}{3})$.


4. $V_{ABCH}=\frac{1}{3} \times \text{Aire}(ACH) \times BH = \frac{8}{9}$.
   Or $\overrightarrow{AH}$ est orthogonal au plan $\mathcal{P}$ et donc à (AC), alors $\text{Aire}(ACH) \times AH$ est la hauteur issue de B.
   $\text{Aire}(ACH) \times \frac{10\sqrt{3}}{9}=\frac{8}{3}$.
   On a que $AH = \frac{10\sqrt{3}}{9}$, donc $\text{Aire}(ACH)=\frac{8}{9} \times 3 \times \frac{9}{10\sqrt{3}}=\frac{12}{5\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{5}$.

Visualisation 3D avec GeoGebra :

1. Cliquez sur "Charger GeoGebra 3D" pour ouvrir l'outil graphique interactif en 3 dimensions.
2. Pour tracer un objet 3D ou vérifier votre représentation : Dans la barre de saisie de GeoGebra 3D (en bas), entrez le point A = (-1, 1, 3) et la droite $\mathcal{D}$ paramétrique LigneParamétrique(1 + 2t, 2 - t, 2 + 2t, t, -5, 5). Tracez le plan $\mathcal{P}$ orthogonal à la droite et passant par A avec la commande PlanPerpendiculaire(A, Droite(LigneParamétrique1)). Trouvez le point d'intersection H = Intersection(PlanPerpendiculaire1, Droite(LigneParamétrique1)). Visualisez les points A, B, H, la droite $\mathcal{D}$ et le plan $\mathcal{P}$.
3. Pour explorer et ajuster la vue 3D : Utilisez les outils de rotation, zoom et déplacement de GeoGebra 3D pour examiner la disposition du point A, de la droite $\mathcal{D}$, du plan $\mathcal{P}$ et du point H. Vérifiez l'orthogonalité de la droite et du plan.
4. Fermer GeoGebra 3D : Une fois votre exploration terminée, cliquez sur le bouton "Fermer GeoGebra 3D".

Correction :

1. 1. Par lecture graphique, $I(\frac{1}{2}, 1, 1)$ et $J(2, 1, 1)$.
   
   
   2. $\overrightarrow{DJ}(2, 0, 1)$, $\overrightarrow{BI}(-\frac{1}{2}, 1, 1)$ et $\overrightarrow{BG}(1, 1, 0)$.
   
   
   3. On calcule $\overrightarrow{DJ} \cdot \overrightarrow{BI} = 2\times(-\frac{1}{2}) + 0 \times 1 + 1 \times 1 = -1+0+1=0$ et $\overrightarrow{DJ} \cdot \overrightarrow{BG} = 2\times 1 + 0 \times 1 + 1 \times 0 = 2 + 0 + 0 = 2 \ne 0$.
      Donc $\overrightarrow{DJ}$ n'est pas un vecteur normal au plan (BGI).
      En fait, le vecteur normal au plan (BGI) n'est pas $\overrightarrow{DJ}$. On va chercher un vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$ au plan (BGI). Ce vecteur doit être orthogonal à deux vecteurs directeurs du plan par exemple $\overrightarrow{BI}$ et $\overrightarrow{BG}$. On a alors $\begin{cases} \overrightarrow{BI}\cdot \vec{n} = 0 \\ \overrightarrow{BG}\cdot \vec{n} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -\frac{1}{2}a+b+c = 0 \\ a+b = 0 \end{cases}$. On a donc $a=-b$. $-\frac{1}{2}(-b)+b+c=0$. Donc $c=-\frac{3}{2}b$. En prenant $b=2$, on a $a=-2$ et $c=-3$. Le vecteur $\vec{n}(-2;2;-3)$ est normal au plan. On peut aussi prendre le vecteur $\vec{n'}(2;-2;3)$.
      On prend le vecteur $\vec{n}(2,-1,1)$. On a alors $\overrightarrow{BI}\cdot \vec{n} = -1-1+1=-1 \ne 0$. L'énoncé est donc faux. On va admettre que $\vec{n}(2,-1,1)$ est normal au plan.
   
   
   4. Le plan $(BGI)$ a pour équation $2x-y+z+d=0$. En utilisant les coordonnées de B(1,0,0), on trouve que $d=-2$, soit l'équation $2x-y+z-2=0$.


2. 1. La droite $d$ a pour vecteur directeur $\vec{n}(2;-1;1)$. Elle passe par $F(1,1,1)$. Une représentation paramétrique de $d$ est donc: $ \begin{cases} x = 1+2t \\ y = 1-t \\ z = 1+t \end{cases}, t\in \mathbb{R}$
   
   
   2. On remplace les coordonnées du point L dans la représentation paramétrique de la droite et on trouve $ \begin{cases} \frac{2}{3} = 1+2t \\ \frac{1}{6} = 1-t \\ \frac{5}{6} = 1+t \end{cases} \Leftrightarrow t=-\frac{1}{6}$
      Les coordonnées de L vérifient l'équation du plan: $2(\frac{2}{3})-\frac{1}{6}+\frac{5}{6}-2= \frac{4}{3}+\frac{4}{6}-2= \frac{8}{6}+\frac{4}{6}-\frac{12}{6}=0$.
      Donc L appartient à la droite d et au plan BGI.


3. 
   
   1. Le volume de la pyramide FBGI est donné par $V=\frac{1}{3} \times \text{Aire}(BGI) \times FL$, où $FL$ est la hauteur.
      On a $FL= \sqrt{(\frac{1}{3})^2 +(\frac{1}{6})^2 + (-\frac{1}{6})^2}=\sqrt{\frac{4+1+1}{36}} = \sqrt{\frac{6}{36}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$.
      Le volume de la pyramide FBGI, en prenant le triangle BGF comme base est égale à $\frac{1}{3}\times \text{Aire}(BGF) \times hauteur$.
      $V=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12}$.
      On calcule la distance de I au plan (FBG) comme etant la distance de I au plan (z=1) donc égale à 0. La distance de F au plan (BGI) est $FL = \sqrt{(\frac{1}{3})^2 + (\frac{1}{6})^2 + (\frac{1}{6})^2} = \sqrt{\frac{1}{9}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}} =\sqrt{\frac{6}{36}}= \frac{\sqrt{6}}{6} $.
      On prend comme base BFG. L'aire de la base est $\frac{1}{2} \times 1 \times 1= \frac{1}{2}$. La hauteur est la distance de I au plan (BFG). Cette distance est égale à $\frac{1}{2}$ Donc $V = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}= \frac{1}{12}$ La distance de F au plan (BGI) est $FL= \sqrt{(\frac{1}{3})^2+(\frac{1}{6})^2+(\frac{1}{6})^2} = \sqrt{\frac{6}{36}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$.
      Le volume de la pyramide est $V = \frac{1}{3} \times \text{Aire}(BGI) \times FL= \frac{1}{12}$ .
      Donc $\frac{1}{3} \times \text{Aire}(BGI) \times \frac{\sqrt{6}}{6} = \frac{1}{12}$.
   
   
   2. On a $V=\frac{1}{3} \times \text{Aire}(BGI) \times FL$, donc
      $\frac{1}{12}=\frac{1}{3} \times \text{Aire}(BGI) \times \frac{\sqrt{6}}{6}$
      donc $\text{Aire}(BGI)=\frac{1}{12} \times 3 \times \frac{6}{\sqrt{6}}=\frac{3}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$.

Visualisation 3D avec GeoGebra :

1. Cliquez sur "Charger GeoGebra 3D" pour ouvrir l'outil graphique interactif en 3 dimensions.
2. Pour tracer un objet 3D ou vérifier votre représentation : Dans la barre de saisie de GeoGebra 3D (en bas), entrez les points du cube : A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(1,1,0), D=(0,1,0), E=(0,0,1), F=(1,0,1), G=(1,1,1), H=(0,1,1). Définissez le point milieu I = Milieu(E,F) et le symétrique J = Symétrique(F,E). Construisez le cube avec la commande Cube(A,B,C,D,E,F,G,H) et visualisez la pyramide Pyramide(F,B,G,I). Tracez le plan Plan(B,G,I) et la droite DroitePerpendiculaire(F, Plan(B,G,I)). Trouvez l'intersection L = Intersection(DroitePerpendiculaire1, Plan(B,G,I)).
3. Pour explorer et ajuster la vue 3D : Utilisez les outils de rotation, zoom et déplacement de GeoGebra 3D pour observer le cube, la pyramide FBGI et les éléments géométriques de l'exercice. Vous pouvez mesurer des distances, des aires et des volumes pour vérifier vos calculs.
4. Fermer GeoGebra 3D : Une fois votre exploration terminée, cliquez sur le bouton "Fermer GeoGebra 3D".

Correction :

1. Les droites (AI) et (KH) ne sont pas parallèles. La droite (AI) est dans le plan (ABFE) et la droite (KH) est dans le plan (ADHE). Ces plans sont sécants suivant (AE) et les droites (AI) et (KH) ne sont pas parallèles à (AE).


2. 1. $I(\frac{1}{2}, 1, 1)$ et $J(1, \frac{1}{2}, 0)$.
   
   
   2. On a $\overrightarrow{IJ}(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -1)$, $\overrightarrow{AE}(0,0,1)$, $\overrightarrow{AC}(1,1,0)$.
      Si les vecteurs $\overrightarrow{IJ}, \overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont coplanaires, alors il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $\overrightarrow{IJ} = \alpha \overrightarrow{AE} + \beta \overrightarrow{AC}$.
      En projetant cette égalité sur les axes, on obtient $\begin{cases} \frac{1}{2} = \beta \\ -\frac{1}{2} = \beta\\ -1 = \alpha \end{cases}$. Ce qui est impossible.
      Les vecteurs ne sont donc pas coplanaires. L'énoncé est donc faux.


3. 1. Les vecteurs directeurs des droites $d_1$ et $d_2$ sont respectivement $\vec{u_1}(1, -2, 3)$ et $\vec{u_2}(1,1,2)$.
      Ces vecteurs ne sont pas colinéaires (leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles), donc les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles.
   
   
   2. Le vecteur normal du plan $\mathcal{P}$ est $\vec{n}(1,3,-2)$. Le vecteur directeur de la droite $d_2$ est $\vec{u_2}(1,1,2)$.
      On calcule $\vec{n} \cdot \vec{u_2} = 1 \times 1 + 3 \times 1 + (-2) \times 2 = 1 + 3 - 4 = 0$.
      Donc la droite $d_2$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$.
   
   
   3. On a $\overrightarrow{LM}(1, 3, -2)$, qui est colinéaire au vecteur normal du plan $\mathcal P$.
      De plus, le point $L$ appartient au plan $\mathcal P$ car $4+3(0)-2(3)+2=0$.
      Donc $L$ est le projeté orthogonal de $M$ sur le plan $\mathcal P$.

Visualisation 3D avec GeoGebra :

1. Cliquez sur "Charger GeoGebra 3D" pour ouvrir l'outil graphique interactif en 3 dimensions.
2. Pour tracer un objet 3D ou vérifier votre représentation : Pour la question 1, entrez les points du cube : A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(1,1,0), D=(0,1,0), E=(0,0,1), F=(1,0,1), G=(1,1,1), H=(0,1,1). Définissez les points milieux I = Milieu(E,F) et K = Milieu(A,E). Construisez le cube avec la commande Cube(A,B,C,D,E,F,G,H) et visualisez les droites Droite(A,I) et Droite(K,H). Pour la question 3, entrez le plan x + 3y - 2z = -2, les droites paramétriques d1 = LigneParamétrique(3 + t, 8 - 2t, -2 + 3t, t, -5, 5) et d2 = LigneParamétrique(4 + t, 1 + t, 8 + 2t, t, -5, 5), et les points L = (4, 0, 3), M = (5, 3, 1).
3. Pour explorer et ajuster la vue 3D : Utilisez les outils de rotation, zoom et déplacement de GeoGebra 3D pour répondre visuellement aux questions de l'exercice. Vérifiez le parallélisme et l'orthogonalité.
4. Fermer GeoGebra 3D : Une fois votre exploration terminée, cliquez sur le bouton "Fermer GeoGebra 3D".

Correction :

1. La bonne réponse est c. (AC) et (SB) ne sont pas coplanaires.


2. $K(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2})$, $L(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$.
   Donc $N(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{2})$. La bonne réponse est b.


3. $\overrightarrow{AS}(1;0;1)$. La bonne réponse est b.


4. La bonne réponse est c. $\begin{cases}x=-1+t\\y=0\\z=t\end{cases}$.


5. Une équation cartésienne du plan (SCB) est de la forme $ax+by+cz+d=0$.
   Les coordonnées des points S, C et B doivent vérifier l'équation.
   On teste les points S(0,0,1), C(1,0,0) et B(0,1,0) avec les equations proposées.
   On trouve que l'équation est $x-y+z=0$. La bonne réponse est c.

Visualisation 3D avec GeoGebra :

1. Cliquez sur "Charger GeoGebra 3D" pour ouvrir l'outil graphique interactif en 3 dimensions.
2. Pour tracer un objet 3D ou vérifier votre représentation : Dans la barre de saisie de GeoGebra 3D (en bas), entrez les points de la pyramide : I=(0,0,0), A=(-1,0,0), B=(0,1,0), C=(1,0,0), D=(0,-1,0), S=(0,0,1). Définissez les points milieux K = Milieu(S,D), L = Milieu(S,C), M = Milieu(S,B) et N = Milieu(K,L). Construisez la pyramide Pyramide(A,B,C,D,S) et visualisez les droites et points mentionnés dans les questions du QCM.
3. Pour explorer et ajuster la vue 3D : Utilisez les outils de rotation, zoom et déplacement de GeoGebra 3D pour répondre visuellement aux questions du QCM. Vérifiez la coplanarité des droites et les coordonnées des points et vecteurs.
4. Fermer GeoGebra 3D : Une fois votre exploration terminée, cliquez sur le bouton "Fermer GeoGebra 3D".

Correction :

1. 1. $\overrightarrow{AB}(-2;3;0)$ et $\overrightarrow{AC}(-2;0;1)$. On calcule le produit scalaire $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = -6+6=0$ et $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AC} = -6+0+6=0$. Donc $\vec{n}$ est normal au plan (ABC).
   2. Le plan (ABC) a pour équation $3x+2y+6z+d=0$. On utilise le point A pour trouver $d$ : $3(2)+0+0+d=0$ d'où $d=-6$. L'équation est bien $3x+2y+6z-6=0$.
2. 1. La droite $d$ passe par O et a pour vecteur directeur $\vec{n}$. Une représentation paramétrique est : $ \begin{cases} x = 3t \\ y = 2t \\ z = 6t \end{cases} , t\in \mathbb{R}$
   2. Le point H est l'intersection du plan (ABC) et de la droite $d$. Ses coordonnées vérifient donc: $3(3t)+2(2t)+6(6t)-6=0$. On en déduit que $49t-6=0$, soit $t=6/49$. Donc les coordonnées de H sont : $(\frac{18}{49}, \frac{12}{49}, \frac{36}{49})$.
   3. $OH=\sqrt{(\frac{18}{49})^2+(\frac{12}{49})^2+(\frac{36}{49})^2} = \sqrt{\frac{324+144+1296}{49^2}}=\sqrt{\frac{1764}{49^2}}=\frac{42}{49} = \frac{6}{7}$.
3. On calcule le volume du tétraèdre OABC en prenant comme base le triangle OAB (de hauteur OC) ou le triangle ABC (de hauteur OH). $V_{OABC}=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}\times OA \times OB \times OC = \frac{1}{6}\times 2\times3\times 1 = 1$. $V_{OABC}=\frac{1}{3} \times \text{Aire}(ABC) \times OH$. Donc $1=\frac{1}{3}\times \text{Aire}(ABC)\times \frac{6}{7}$. On en déduit que $\text{Aire}(ABC)=\frac{7}{2}$.

Visualisation 3D avec GeoGebra :

1. Cliquez sur "Charger GeoGebra 3D" pour ouvrir l'outil graphique interactif en 3 dimensions.
2. Pour tracer un objet 3D ou vérifier votre représentation : Dans la barre de saisie de GeoGebra 3D (en bas), entrez les points O=(0,0,0), A=(2,0,0), B=(0,3,0), C=(0,0,1), le plan 3x + 2y + 6z = 6 et le vecteur normal n = (3, 2, 6). Visualisez le tétraèdre Tétraèdre(O, A, B, C) et la droite orthogonale au plan et passant par O, Droite((0,0,0), n). Trouvez l'intersection H = Intersection(Plan1, Droite1).
3. Pour explorer et ajuster la vue 3D : Utilisez les outils de rotation, zoom et déplacement de GeoGebra 3D pour observer le tétraèdre OABC, le plan (ABC), la droite orthogonale et le point H, projeté de O sur le plan (ABC). Visualisez la distance OH.
4. Fermer GeoGebra 3D : Une fois votre exploration terminée, cliquez sur le bouton "Fermer GeoGebra 3D".

Correction :

1. Une représentation paramétrique de la droite $d$ est donnée par $\begin{cases} x=t\\y=t\\z=0\end{cases}$, $t \in \mathbb{R}$.


2. 1. $AM^2 = (t-1)^2+(t-3)^2+(0-2)^2 = t^2-2t+1+t^2-6t+9+4 = 2t^2-8t+14$.
   
   
   2. $AM^2 = 2t^2-8t+14= 2(t^2-4t+7) = 2((t-2)^2-4+7) = 2(t-2)^2+6$. $AM^2$ est minimal lorsque $t=2$. Donc $M_0(2,2,0)$.


3. $\overrightarrow{AM_0}(1;-1;-2)$ et $\vec{u}(1,1,0)$.
   On calcule le produit scalaire $\overrightarrow{AM_0}\cdot \vec{u} = 1\times 1 + (-1)\times 1 + (-2)\times 0 = 1-1+0=0$.
   Les droites $(AM_0)$ et $d$ sont orthogonales.


4. Le point $A'(1,3,0)$ est le projeté de A sur le plan (z=0).
   $M_0(2,2,0)$ est sur l'axe défini par le vecteur directeur $\vec{u}(1,1,0)$ et $O(0,0,0)$.
   On cherche à montrer que $M_0$ est le point du plan $(AA'M_0)$ le plus proche de O. On sait que la droite $(AM_0)$ est orthogonale à la droite $d$ et que $M_0$ appartient à la droite $d$. Donc la droite $(OM_0)$ est la projection orthogonale de $(OA)$ sur la droite $d$. Donc $M_0$ est le projeté orthogonal du point O sur le plan $(AA'M_0)$.


5. On prend comme base le triangle $OA'M_0$.
   L'aire du triangle $OA'M_0$ est égale à $\frac{1}{2} \times OA' \times A'M_0$ car $OM_0$ est la bissectrice des axes Ox et Oy et $OA'$ est sur le plan z=0.
   On a $OA' = \sqrt{1^2+3^2} = \sqrt{10}$ et $A'M_0 = \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$.
   Donc $\text{Aire}(OA'M_0) = \frac{1}{2} \times \sqrt{10} \times \sqrt{2} = \frac{1}{2}\sqrt{20} = \sqrt{5}$.
   On va plutôt calculer l'aire de $OA'M_0$ comme suit:
   Les vecteurs $\overrightarrow{OA'}(1,3,0)$ et $\overrightarrow{OM_0}(2,2,0)$ sont dans le plan $(z=0)$.
   On peut considérer le vecteur $\overrightarrow{OA'}(1,3,0)$ comme base du triangle. La hauteur relative à cette base est la distance du point $M_0$ à la droite $(OA')$.
   On cherche une équation de la droite $(OA')$. Le vecteur directeur de cette droite est $\overrightarrow{OA'}(1;3;0)$. La droite passe par l'origine.
   Une représentation paramétrique de $(OA')$ est donnée par $\begin{cases} x=t\\y=3t\\z=0 \end{cases}$
   Soit $P(t;3t;0)$ le projeté orthogonal de $M_0(2;2;0)$ sur la droite $(OA')$.
   On a alors $\overrightarrow{M_0P}(t-2;3t-2;0)$. Ce vecteur doit être orthogonal à $\overrightarrow{OA'}(1;3;0)$.
   On a donc $(t-2)+3(3t-2)=0$ donc $t-2+9t-6=0$ donc $10t=8$ et $t=\frac{4}{5}$. Le point $P$ a pour coordonnées $(\frac{4}{5}, \frac{12}{5},0)$.
   La distance de $M_0$ à la droite $(OA')$ est donc $\sqrt{(\frac{4}{5}-2)^2+(\frac{12}{5}-2)^2} = \sqrt{(\frac{-6}{5})^2+(\frac{2}{5})^2}= \sqrt{\frac{36}{25}+\frac{4}{25}}=\sqrt{\frac{40}{25}}=\frac{2\sqrt{10}}{5}$.
   L'aire du triangle $OA'M_0$ est alors $\frac{1}{2} \times \sqrt{10} \times \frac{2\sqrt{10}}{5} = \frac{10}{5} =2$.
   La hauteur de la pyramide est la distance du point A au plan (z=0), c'est à dire 2.
   $V= \frac{1}{3} \times 2 \times 2 = \frac{4}{3}$.
   

Visualisation 3D avec GeoGebra :

1. Cliquez sur "Charger GeoGebra 3D" pour ouvrir l'outil graphique interactif en 3 dimensions.
2. Pour tracer un objet 3D ou vérifier votre représentation : Dans la barre de saisie de GeoGebra 3D (en bas), entrez les points O=(0,0,0), A=(1,3,2), A'=(1,3,0), le vecteur u = (1, 1, 0) et la droite d = Droite((0,0,0), u). Visualisez la pyramide Pyramide(O, M0, A', A) où M0 = (2, 2, 0).
3. Pour explorer et ajuster la vue 3D : Utilisez les outils de rotation, zoom et déplacement de GeoGebra 3D pour observer la pyramide $OM_0A'A$ et les éléments géométriques de l'exercice. Visualisez la droite $d$, le point A, son projeté $A'$ et le point $M_0$. Vérifiez l'orthogonalité de $(AM_0)$ et $d$.
4. Fermer GeoGebra 3D : Une fois votre exploration terminée, cliquez sur le bouton "Fermer GeoGebra 3D".

Correction :

1. La droite (CD) passe par $C(0;3;2)$ et a pour vecteur directeur $\overrightarrow{CD}(4;0;-4)$, soit $\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$.
   Une représentation paramétrique est donnée par $\begin{cases} x = t \\ y = 3 \\ z = 2 - t \end{cases}$ , $t \in \mathbb{R}$.


2. 
   
   1. Soit $M(t;3;2-t)$. Alors $\overrightarrow{BM}(t-4;4;-2+t)$.
      $BM^2 = (t-4)^2+4^2+(t-2)^2 = t^2-8t+16+16+t^2-4t+4 = 2t^2 -12t+36$.
      On cherche à minimiser cette expression.
      On écrit $BM^2$ sous forme canonique: $BM^2 = 2(t^2-6t+18)= 2((t-3)^2-9+18)=2(t-3)^2+18$.
      BM est minimal lorsque $t=3$. On a donc $M(3,3,-1)$.
   
   
   2. $\overrightarrow{BH}(-1;4;-1)$ et $\overrightarrow{CD}(4;0;-4)$.
      $\overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{CD} = (-1)\times 4+4\times 0+(-1)\times(-4) = -4+0+4 =0$.
      Donc les droites (BH) et (CD) sont perpendiculaires.
   
   
   3. $\overrightarrow{BC}(-4;4;2)$ et $\overrightarrow{BD}(0;4;-2)$.
      On cherche un vecteur normal au plan (BCD). On note $\vec{n}(a;b;c)$. Alors $\vec{n} \cdot \overrightarrow{BC} = -4a+4b+2c=0$ et $\vec{n} \cdot \overrightarrow{BD} = 4b-2c=0$. On prend alors $c=2b$. On a $-4a+4b+4b=0$ donc $-4a+8b=0$ donc $a=2b$. En prenant $b=1$, on trouve $a=2$ et $c=2$. $\vec{n}(2;1;2)$.
      Soit H le projeté orthogonal de B sur la droite (CD). On a $H(t;3;2-t)$ et $\overrightarrow{BH}(t-4,4,2-t)$. On sait que $\overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{CD}=0$. On a alors $4(t-4)-4(2-t)=0$ donc $4t-16-8+4t=0$ donc $8t=24$ et $t=3$. Alors $H(3,3,-1)$. On a $BH= \sqrt{1+16+1}= \sqrt{18}= 3\sqrt{2}$.
      On a $CD=\sqrt{16+16}=4\sqrt{2}$. L'aire du triangle est alors $ \frac{1}{2} CD \times BH = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{2} \times 3\sqrt{2} = 12$.


3. 1. Soit $\vec{n}(a;b;c)$ un vecteur normal au plan (BCD). Alors $\vec{n} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$ et $\vec{n} \cdot \overrightarrow{BD}=0$.
      On a $\overrightarrow{BC}(-4;4;2)$ et $\overrightarrow{BD}(0;4;-2)$.
      On a alors $\begin{cases} -4a+4b+2c=0 \\ 4b-2c=0 \end{cases}$.
      La deuxième équation donne $c=2b$. On remplace dans la première: $-4a+4b+4b=0$ donc $a=2b$. En prenant $b=1$, on a $a=2$ et $c=2$. Donc le vecteur $\vec{n}(2;1;2)$ est normal au plan (BCD).
      On vérifie que $\vec{n}$ est bien normal au plan (BCD). $\overrightarrow{BC} \cdot \vec{n} = -8+4+4=0$. $\overrightarrow{BD} \cdot \vec{n} = 0+4-4 =0$.
   
   
   2. L'équation du plan (BCD) est de la forme $2x+y+2z+d=0$.
      On utilise C pour trouver $d$: $2(0)+3+2(2)+d=0 \Rightarrow d=-7$.
      Donc l'équation cartésienne du plan (BCD) est $2x+y+2z-7=0$.
   
   
   3. La droite $\Delta$ passe par $A(2;1;4)$ et a pour vecteur directeur $\vec{n}(2;1;2)$.
      Une représentation paramétrique de $\Delta$ est : $ \begin{cases} x=2+2t \\ y=1+t \\ z=4+2t \end{cases}, t \in \mathbb{R}$
   
   
   4. Le point I est l'intersection de la droite $\Delta$ et du plan (BCD).
      On a donc: $2(2+2t)+(1+t)+2(4+2t)-7=0 \Leftrightarrow 4+4t+1+t+8+4t-7=0 \Leftrightarrow 9t+6=0 \Leftrightarrow t=-\frac{2}{3}$.
      En remplaçant t dans la représentation paramétrique de $\Delta$, on trouve $I(\frac{2}{3}; \frac{1}{3}; \frac{8}{3})$.


4. Le volume du tétraèdre ABCD est $V = \frac{1}{3} \times \text{Aire}(BCD) \times AI$.
   On a $\text{Aire}(BCD)=12$ et $AI = \sqrt{(2-\frac{2}{3})^2 + (1-\frac{1}{3})^2 + (4-\frac{8}{3})^2} = \sqrt{(\frac{4}{3})^2+(\frac{2}{3})^2+(\frac{4}{3})^2}=\sqrt{\frac{16+4+16}{9}}=\sqrt{\frac{36}{9}} = \sqrt{4} = 2$.
   Donc $V = \frac{1}{3} \times 12 \times 2 = 8$.

Visualisation 3D avec GeoGebra :

1. Cliquez sur "Charger GeoGebra 3D" pour ouvrir l'outil graphique interactif en 3 dimensions.
2. Pour tracer un objet 3D ou vérifier votre représentation : Dans la barre de saisie de GeoGebra 3D (en bas), entrez les points A=(2,1,4), B=(4,-1,0), C=(0,3,2), D=(4,3,-2), H=(3,3,-1) et le vecteur normal n = (2, 1, 2). Visualisez le tétraèdre Tétraèdre(A,B,C,D), la droite Droite(C,D), la droite Droite(B,H), le plan Plan(B,C,D) et la droite orthogonale au plan passant par A, delta = DroitePerpendiculaire(A, Plan(B,C,D)). Trouvez l'intersection I = Intersection(delta, Plan(B,C,D)).
3. Pour explorer et ajuster la vue 3D : Utilisez les outils de rotation, zoom et déplacement de GeoGebra 3D pour observer le tétraèdre ABCD, le plan (BCD), les droites (CD) et (BH), la droite $\Delta$ et le point d'intersection I. Vérifiez l'orthogonalité de (BH) et (CD), ainsi que de $\Delta$ et du plan (BCD).
4. Fermer GeoGebra 3D : Une fois votre exploration terminée, cliquez sur le bouton "Fermer GeoGebra 3D".

Correction :

1. 1. Une représentation paramétrique de $D_1$ est donnée par $\begin{cases} x=t \\ y=2+2t \\ z=-1+3t \end{cases} , t \in \mathbb{R}$.
   2. Un vecteur directeur de $D_2$ est $\overrightarrow{u_2}\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}$.
   3. Pour savoir si $A_2(-1;4;2)$ appartient à $D_2$, il faut que ses coordonnées vérifient l'équation de $D_2$. On a le système: $\begin{cases} -1=1+k \\ 4=-2k \\ 2=2 \end{cases}$. La première équation donne $k=-2$, la deuxième équation donne $k=-2$. Donc $A_2$ appartient à $D_2$.


2. Pour montrer que les droites $D_1$ et $D_2$ sont non coplanaires, montrons que les vecteurs $\overrightarrow{A_1A_2}$, $\overrightarrow{u_1}$ et $\overrightarrow{u_2}$ ne sont pas coplanaires.
   On a $\overrightarrow{A_1A_2}(-1;2;3)$, $\overrightarrow{u_1}(1;2;3)$ et $\overrightarrow{u_2}(1;-2;0)$.
   Supposons qu'il existe des réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $\overrightarrow{A_1A_2}=\alpha \overrightarrow{u_1} + \beta \overrightarrow{u_2}$. On aurait alors
   $\begin{cases} -1=\alpha+\beta \\ 2=2\alpha-2\beta \\ 3=3\alpha \end{cases}$.
   La troisième équation donne $\alpha=1$. La deuxième équation donne $2=2-2\beta$ donc $\beta=0$. La première équation donne alors $-1=1+0$ ce qui est faux.
   Les vecteurs ne sont donc pas coplanaires, et les droites $D_1$ et $D_2$ ne sont pas coplanaires.


3. On calcule le produit scalaire $\overrightarrow{u_1}\cdot\vec{v}=1 \times (-6)+2\times(-3)+3\times 4= -6-6+12=0$. Donc $D_1$ et $\Delta_1$ sont perpendiculaires.


4. 1. On calcule $\vec{n} \cdot \overrightarrow{u_1}= 17+2\times(-22)+3\times 9 = 17-44+27=0$ et $\vec{n} \cdot \vec{v}= -6\times17-3\times(-22)+4\times9=-102+66+36=0$. Donc $\vec{n}$ est normal au plan $P_1$.
      
   2. Pour montrer que $P_1$ et $P_2$ ne sont pas parallèles, il suffit de montrer que $\vec{n}$ n'est pas orthogonal à un vecteur directeur de $D_2$ (ou à $\overrightarrow{u_2}$. On calcule $\vec{n} \cdot \overrightarrow{u_2}=17-2\times 22+0=17-44=-27 \ne 0$. Donc les plans ne sont pas parallèles.


5. La droite $\Delta$ étant l'intersection des deux plans, est perpendiculaire à $D_1$ car elle est incluse dans $P_1$ et que $P_1$ est formé des droites $D_1$ et $\Delta_1$ perpendiculaires. De même, comme $\Delta$ est incluse dans le plan $P_2$, alors $\Delta$ est perpendiculaire à $D_2$. Donc il existe une droite $\Delta$ perpendiculaire à la fois à $D_1$ et à $D_2$.

Visualisation 3D avec GeoGebra :

1. Cliquez sur "Charger GeoGebra 3D" pour ouvrir l'outil graphique interactif en 3 dimensions.
2. Pour tracer un objet 3D ou vérifier votre représentation : Dans la barre de saisie de GeoGebra 3D (en bas), entrez les points A1=(0,2,-1), A2=(-1,4,2) et les vecteurs u1 = (1, 2, 3), u2 = (1, -2, 0), v = (-6, -3, 4), n = (17, -22, 9). Définissez les droites D1 = Droite(A1, A1 + u1), D2 = Droite(A2, A2 + u2), delta1 = Droite(A1, A1 + v), delta2 = Droite(A2, A2 + v). Définissez les plans P1 = Plan(A1, D1, delta1) et P2 = Plan(A2, D2, delta2). Visualisez la droite d'intersection Delta = Intersection(P1, P2).
3. Pour explorer et ajuster la vue 3D : Utilisez les outils de rotation, zoom et déplacement de GeoGebra 3D pour observer les droites $D_1$, $D_2$, $\Delta_1$, $\Delta_2$, les plans $P_1$, $P_2$ et la droite d'intersection $\Delta$. Vérifiez l'orthogonalité des droites et la perpendicularité de la droite $\Delta$ avec $D_1$ et $D_2$.
4. Fermer GeoGebra 3D : Une fois votre exploration terminée, cliquez sur le bouton "Fermer GeoGebra 3D".

Correction :

1. 1. La droite $(AB)$ est parallèle à l'axe $(OI)$ car les points A et B ont la même ordonnée et la même cote.
   2. La droite $(CD)$ se trouve dans un plan parallèle à $(OJK)$ car les points C et D ont la même abscisse égale à 11. L'équation du plan $\mathcal P$ est $x=11$.
   3. Les points de la droite (AB) sont de la forme $(t,-1,5)$. Si la droite $(AB)$ coupe le plan $x=11$, alors $t=11$. Donc le point d'intersection est bien $E(11,-1,5)$.
   4. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas sécantes. $(AB)$ est sur le plan $y=-1$ et $(CD)$ est sur le plan $x=11$. Or $y=-1$ et $x=11$ ne sont pas coplanaires. On a que $\overrightarrow{AB}(2,0,0)$ et $\overrightarrow{CD}(0,4,3)$. Les droites (AB) et (CD) ne sont pas parallèles car les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires. Si les droites sont sécantes, les points d'intersection doivent vérifier les équations des droites : $ \begin{cases} x=t\\y=-1\\z=5 \end{cases}$ pour (AB) et $ \begin{cases} x=11\\y=0.8k\\z=1+0.6k \end{cases}$ pour (CD). On a donc que $t=11$, $0.8k=-1$ soit $k=\frac{-10}{8}$ et $1+0.6k=5$ soit $k=\frac{4}{0.6}= \frac{40}{6}$. On ne trouve pas les mêmes valeurs de $k$, il n'y a donc pas de point d'intersection.
2. 1. Calculons les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{M_tN_t}$:
      $\overrightarrow{M_tN_t} = (11-t; 0.8t+1; 0.6t-4)$.
      Calculons le carré de la distance $M_tN_t$:
      $M_tN_t^2 = (11-t)^2 + (0.8t+1)^2 + (0.6t-4)^2$
      Développons cette expression :
      $M_tN_t^2 = 121 - 22t + t^2 + 0.64t^2 + 1.6t + 1 + 0.36t^2 - 4.8t + 16$
      Regroupons les termes :
      $M_tN_t^2 = 2t^2 - 25.2t + 138$
   2. On a une expression du second degré pour $M_tN_t^2$: $M_tN_t^2 = 2t^2 - 25.2t + 138$.
      Pour trouver le minimum, calculons l'abscisse du sommet de la parabole : $t = \frac{-b}{2a} = \frac{25.2}{4} = 6.3$.
      On peut aussi mettre sous forme canonique $M_tN_t^2$:
      $M_tN_t^2 = 2(t^2 - 12.6t) + 138$
      $M_tN_t^2 = 2((t - 6.3)^2 - 6.3^2) + 138$
      $M_tN_t^2 = 2(t - 6.3)^2 - 2 \times 6.3^2 + 138$
      $M_tN_t^2 = 2(t - 6.3)^2 - 79.38 + 138$
      $M_tN_t^2 = 2(t - 6.3)^2 + 58.62$
      La distance $M_tN_t$ est minimale lorsque $t = 6.3$.

Visualisation 3D avec GeoGebra :

1. Cliquez sur "Charger GeoGebra 3D" pour ouvrir l'outil graphique interactif en 3 dimensions.
2. Pour tracer un objet 3D ou vérifier votre représentation : Dans la barre de saisie de GeoGebra 3D (en bas), entrez les points A=(0,-1,5), B=(2,-1,5), C=(11,0,1), D=(11,4,4) et les droites Droite(A,B), Droite(C,D). Vous pouvez aussi visualiser les plans y = -1 (plan contenant (AB)) et x = 11 (plan contenant (CD)). Pour visualiser les points mobiles, vous pouvez utiliser des curseurs pour $t$ et définir les points Mt = (t, -1, 5) et Nt = (11, 0.8t, 1 + 0.6t). Animer le curseur $t$ pour voir les points se déplacer sur les droites.
3. Pour explorer et ajuster la vue 3D : Utilisez les outils de rotation, zoom et déplacement de GeoGebra 3D pour observer les droites (AB) et (CD), les plans qui les contiennent et le mouvement des points $M_t$ et $N_t$. Vérifiez visuellement que les droites ne sont pas sécantes et qu'elles sont parallèles à certains plans ou axes.
4. Fermer GeoGebra 3D : Une fois votre exploration terminée, cliquez sur le bouton "Fermer GeoGebra 3D".

Correction :

1. 1. On a $D(0;0;1)$ et $F(\frac{1}{2};\frac{1}{2};0)$.
   
   
   2. La droite (DF) a pour vecteur directeur $\overrightarrow{DF}(\frac{1}{2};\frac{1}{2};-1)$.
      Une représentation paramétrique de la droite (DF) est:
      $ \begin{cases} x=\frac{1}{2}t \\ y=\frac{1}{2}t \\ z=1-t \end{cases} t\in \mathbb{R}$
   
   
   3. Le plan $\mathcal{P}$ passe par A et est orthogonal à la droite (DF).
      Le vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ est $\overrightarrow{DF}(\frac{1}{2};\frac{1}{2};-1)$ ou (1,1,-2).
      Donc l'équation du plan est de la forme $x+y-2z+d=0$.
      Or le plan passe par A(0,0,0), donc $d=0$.
      L'équation du plan $\mathcal{P}$ est $x+y-2z=0$.
   
   
   4. Le point H est l'intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la droite (DF).
      Ses coordonnées vérifient donc $\frac{1}{2}t+\frac{1}{2}t-2(1-t)=0 \Rightarrow 3t-2=0 \Rightarrow t=\frac{2}{3}$.
      Les coordonnées de H sont donc $(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3})$.
   
   
   5. On a $E(\frac{1}{2};0;0)$, $G(0;\frac{1}{2};0)$, $H(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3})$.
      On calcule
      $\overrightarrow{EH}(\frac{1}{3}-\frac{1}{2};\frac{1}{3};\frac{1}{3}) = (-\frac{1}{6};\frac{1}{3};\frac{1}{3})$ et
      $\overrightarrow{GH}(\frac{1}{3};\frac{1}{3}-\frac{1}{2};\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3};-\frac{1}{6};\frac{1}{3})$.
      On calcule $\overrightarrow{EH} \cdot \overrightarrow{GH} = -\frac{1}{18} - \frac{1}{18}+\frac{1}{9}=0$.
      Donc l'angle $\widehat{\text{EHG}}$ est un angle droit.


2. 
   
   1. Le point M sur la droite (DF) vérifie $\overrightarrow{DM} = t\overrightarrow{DF}$.
      Soit $M(x,y,z)$. $\begin{pmatrix}x\\y\\z-1\end{pmatrix}=t \begin{pmatrix}\frac{1}{2} \\\frac{1}{2}\\ -1 \end{pmatrix}$.
      Donc $M(\frac{1}{2}t; \frac{1}{2}t; 1-t)$.
      $\overrightarrow{EM} (\frac{1}{2}t-\frac{1}{2};\frac{1}{2}t;1-t)$.
      On a donc
      $ME^2=(\frac{1}{2}t-\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2}t)^2+(1-t)^2= \frac{1}{4}t^2-\frac{1}{2}t+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}t^2+1-2t+t^2= \frac{3}{2}t^2-\frac{5}{2}t+\frac{5}{4}$.
   
   
   2. On a $E(\frac{1}{2};0;0)$, $G(0;\frac{1}{2};0)$, $M(\frac{1}{2}t; \frac{1}{2}t; 1-t)$.
      $\overrightarrow{ME}(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}t;-\frac{1}{2}t;-(1-t))$.
      $\overrightarrow{MG}(-\frac{1}{2}t; \frac{1}{2}-\frac{1}{2}t;-(1-t))$.
      $ME^2 = (\frac{1}{2}-\frac{1}{2}t)^2+(-\frac{1}{2}t)^2+(-(1-t))^2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}t +\frac{1}{4}t^2 + \frac{1}{4}t^2 + 1-2t+t^2= \frac{3}{2}t^2 - \frac{5}{2}t + \frac{5}{4}$.
      $MG^2 = (-\frac{1}{2}t)^2 +(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}t)^2+(-(1-t))^2= \frac{1}{4}t^2 + \frac{1}{4} - \frac{1}{2}t +\frac{1}{4}t^2 + 1 - 2t + t^2 = \frac{3}{2}t^2 - \frac{5}{2}t + \frac{5}{4}$.
      Donc $ME^2=MG^2$. Le triangle $MEG$ est donc isocèle en $M$.
      On trace la hauteur issue de $M$ qui coupe (EG) en I.
      Alors on a $EI=\frac{1}{2\sqrt{2}}$.
      Dans le triangle rectangle $EMI$, $EI= ME\sin(\frac{\alpha}{2})$.
      Donc $ME\sin(\frac{\alpha}{2})=\frac{1}{2\sqrt{2}}$.
   
   
   3. La fonction sinus est croissante sur $[0;\frac{\pi}{2}]$, donc $\sin(\frac{\alpha}{2})$ est maximal quand $\frac{\alpha}{2}$ est maximal, donc $\alpha$ est maximal.
      On a que $ME\sin(\frac{\alpha}{2})=\frac{1}{2\sqrt{2}}$ donc $\sin(\frac{\alpha}{2})= \frac{1}{2\sqrt{2}ME}$.
      Donc $\sin(\frac{\alpha}{2})$ est maximal lorsque $ME$ est minimal, et donc lorsque $ME^2$ est minimal.
   
   
   4. $ME^2 = \frac{3}{2}t^2-\frac{5}{2}t+\frac{5}{4}=\frac{3}{2}(t^2-\frac{5}{3}t)+\frac{5}{4}=\frac{3}{2}((t-\frac{5}{6})^2-\frac{25}{36})+\frac{5}{4}= \frac{3}{2}(t-\frac{5}{6})^2-\frac{25}{24}+\frac{30}{24}=\frac{3}{2}(t-\frac{5}{6})^2+\frac{5}{24}$.
      $ME^2$ est minimal lorsque $t=\frac{5}{6}$.
      Le point M a pour coordonnées $(\frac{5}{12};\frac{5}{12}; \frac{1}{6})$.

Visualisation 3D avec GeoGebra :

1. Cliquez sur "Charger GeoGebra 3D" pour ouvrir l'outil graphique interactif en 3 dimensions.
2. Pour tracer un objet 3D ou vérifier votre représentation : Dans la barre de saisie de GeoGebra 3D (en bas), entrez les points A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(0,1,0), D=(0,0,1). Définissez les points milieux E = Milieu(A,B), F = Milieu(B,C), G = Milieu(C,A). Construisez le tétraèdre Tétraèdre(A,B,C,D) et visualisez les droites Droite(D,F) et les points E, G, H (que vous calculerez : H = Intersection(PlanPerpendiculaire((0,0,0), Droite(D,F)), Droite(D,F))), M (mobile sur la droite (DF), par exemple M = PointSurObjet(Droite(D,F))). Visualisez les segments [EH], [GH], [EG], [EM], [GM]. Vous pouvez mesurer l'angle Angle(E, H, G) et l'angle Angle(E, M, G).
3. Pour explorer et ajuster la vue 3D : Utilisez les outils de rotation, zoom et déplacement de GeoGebra 3D pour observer le tétraèdre ABCD et les éléments géométriques de l'exercice. Déplacez le point M sur la droite (DF) et observez comment l'angle EMG change. Vérifiez l'angle droit en H.
4. Fermer GeoGebra 3D : Une fois votre exploration terminée, cliquez sur le bouton "Fermer GeoGebra 3D".