Dénombrement

Correction :

1. Définir les ensembles :

Soit $C$ l'ensemble des adhérents qui pratiquent la course à pied. $|C| = 55$

Soit $N$ l'ensemble des adhérents qui pratiquent la natation. $|N| = 33$

Soit $U$ l'ensemble de tous les adhérents. $|U| = 80$

Soit $A$ l'ensemble des personnes ne pratiquant aucun sport $|A| = 16$

2. Diagramme de Venn :

On dessine deux cercles qui se chevauchent, l'un représentant $C$ et l'autre $N$. L'intersection des deux cercles représente les adhérents qui pratiquent les deux sports ($C \cap N$).

3. Trouver le nombre d'adhérents qui pratiquent au moins un sport :

Puisque 16 adhérents ne pratiquent aucun sport, alors $80 - 16 = 64$ adhérents pratiquent au moins un sport. Donc, $|C \cup N| = 64$.

4. Utiliser le principe d'inclusion-exclusion :

$|C \cup N| = |C| + |N| - |C \cap N|$

$64 = 55 + 33 - |C \cap N|$

$|C \cap N| = 55 + 33 - 64 = 24$

5. Trouver le nombre d'adhérents qui pratiquent la natation mais pas la course à pied :

Il s'agit des adhérents qui sont dans $N$ mais pas dans $C$. On le trouve en soustrayant le nombre d'adhérents qui pratiquent les deux sports ($|C \cap N|$) du nombre total d'adhérents qui pratiquent la natation ($|N|$).

$|N \setminus C| = |N| - |C \cap N| = 33 - 24 = 9$

Réponse : 9 adhérents pratiquent la natation mais pas la course à pied.

Correction :

1. Définir les ensembles :

Soit $B$ l'ensemble des jetons bleus. $|B| = 70$

Soit $R$ l'ensemble des jetons ronds. $|R| = 40$

Soit $B \cap R$ l'ensemble des jetons bleus et ronds. $|B \cap R| = 15$

Soit $U$ l'ensemble de tous les jetons. $|U| = 100$

2. Diagramme de Venn :

On dessine deux cercles qui se chevauchent, l'un représentant $B$ et l'autre $R$.

3. Jetons bleus mais pas ronds :

$|B \setminus R| = |B| - |B \cap R| = 70 - 15 = 55$

4. Jetons ronds mais pas bleus :

$|R \setminus B| = |R| - |B \cap R| = 40 - 15 = 25$

5. Jetons ni ronds ni bleus :

$|B \cup R| = |B| + |R| - |B \cap R| = 70 + 40 - 15 = 95$

$|U \setminus (B \cup R)| = |U| - |B \cup R| = 100 - 95 = 5$

Réponses :

1. Il y a 55 jetons bleus mais pas ronds.

2. Il y a 25 jetons ronds mais pas bleus.

3. Il y a 5 jetons ni ronds ni bleus.

Correction :

1. Définir les ensembles :

$A$ : Allemand ($|A| = 20$)

$An$ : Anglais ($|An| = 31$)

$E$ : Espagnol ($|E| = 16$)

$|An \cap A| = 18$

$|An \cap A \cap E| = 1$

$|E \setminus (An \cup A)| = 6$ (élèves qui n'étudient que l'espagnol)

2. Diagramme de Venn (à trois ensembles) :

3. Compléter le diagramme :

$|An \cap A| = 18$, et parmi eux, 1 étudie aussi l'espagnol. Donc, $18 - 1 = 17$ étudient l'anglais et l'allemand mais pas l'espagnol.

Aucun élève n'étudie l'allemand et l'espagnol sans étudier l'anglais, donc la zone "$A \cap E$" en dehors de "$An$" est vide.

On sait que 6 élèves n'étudient que l'espagnol.

On peut maintenant déduire les autres valeurs en utilisant le principe d'inclusion-exclusion pour les intersections deux à deux et pour l'intersection des trois ensembles.

$|An \cap E| = x$

$|A \cap E| = 1$

$31 = 17 + 1 + x + (31 - 17 - 1 - x) = 31$, donc $|An \cap E| - |An \cap A \cap E| = x - 1$

$20 = y + 17 + 1 + 0 = y + 18$, donc $y = 2$

$16 = 6 + x + 1$, donc $x = 16 - 7 = 9$, donc $|An \cap E| - |An \cap A \cap E| = 9 - 1 = 8$

$|A| = 20 = 2 + 17 + 1 = 20$, donc $A$ inter $E$ en dehors de $An = 0$

$|E| = 16 = 6 + 1 + 8 + 1 = 16$

Calculons le nombre d'élèves qui étudient au moins une langue : $2 + 17 + 5 + 0 + 1 + 8 + 6 = 39$

Il y a donc $40 - 39 = 1$ élève qui n'étudie aucune des trois langues.

4. Répondre aux questions de probabilité :

a. Probabilité d'étudier exactement 2 langues :

Les élèves qui étudient exactement deux langues sont ceux dans les intersections deux à deux, mais pas dans l'intersection des trois.

Nombre d'élèves = $17 + 0 + 8 = 25$

Probabilité = $25 / 40 = 5/8$

b. Probabilité de n'étudier ni allemand, ni anglais, ni espagnol :

Nombre d'élèves = $1$

Probabilité = $1 / 40$

Réponses :

1. Voir le diagramme de Venn complété ci-dessus.

2. a. La probabilité qu'un élève étudie exactement 2 langues est $5/8$.

b. La probabilité qu'un élève n'étudie aucune des trois langues est $1/40$.

Correction :

1. Définir les ensembles et les variables :

Soit $N$ l'ensemble des élèves qui font de la natation.

Soit $T$ l'ensemble des élèves qui font du tennis.

Soit $x$ le nombre total d'élèves dans le collège.

2. Traduire les données en équations :

$|N| = (3/5)x$

$|T| = (1/3)x$

$|N \cap T| = 42$

$|U \setminus (N \cup T)| = (1/5)x$ (où $U$ est l'ensemble de tous les élèves)

3. Utiliser le principe d'inclusion-exclusion :

$|N \cup T| = |N| + |T| - |N \cap T|$

$|N \cup T| = (3/5)x + (1/3)x - 42$

4. Trouver le nombre d'élèves qui font au moins un sport :

Le nombre d'élèves qui ne font ni tennis ni natation est $(1/5)x$. Donc, le nombre d'élèves qui font au moins un sport est $x - (1/5)x = (4/5)x$.

Donc, $|N \cup T| = (4/5)x$

5. Résoudre l'équation :

$(4/5)x = (3/5)x + (1/3)x - 42$

$(4/5)x - (3/5)x - (1/3)x = -42$

$(12/15)x - (9/15)x - (5/15)x = -42$

$(-2/15)x = -42$

$x = (-42) \times (-15/2)$

$x = 315$

Réponse : Il y a 315 élèves dans ce collège.

Correction :

1. Choix d'Alban :

Alban a 4 choix d'entrées.

Alban a 3 choix de plats.

Il choisit soit une entrée, soit un plat.

Nombre de choix = $4 + 3 = 7$

2. Choix de Rose :

Rose a 4 choix d'entrées.

Pour chaque entrée, elle a 3 choix de plats.

Pour chaque combinaison entrée-plat, elle a 5 choix de desserts.

Nombre de choix = $4 \times 3 \times 5 = 60$

Réponses :

1. Alban a 7 choix possibles.

2. Rose a 60 choix possibles.

Correction :

1. Nombre de plateaux repas différents :

3 choix d'entrées

2 choix de plats chauds

4 choix de desserts

Nombre de plateaux = $3 \times 2 \times 4 = 24$

2. Probabilité que le choix convienne (1 seul plateau préféré) :

Il y a 24 plateaux possibles.

1 seul plateau vous convient.

Probabilité = $1/24$

3. Probabilité que le choix convienne (tout sauf un dessert) :

Vous aimez 3 desserts sur 4.

Nombre de plateaux acceptables = $3 \times 2 \times 3 = 18$

Probabilité = $18/24 = 3/4$

4. Plat supplémentaire :

Ajouter une entrée : $(3+1) \times 2 \times 4 = 32$ plateaux

Ajouter un plat chaud : $3 \times (2+1) \times 4 = 36$ plateaux

Ajouter un dessert : $3 \times 2 \times (4+1) = 30$ plateaux

Il faut ajouter un plat chaud pour maximiser le nombre de choix.

Réponses :

1. On peut constituer 24 plateaux repas différents.

2. La probabilité que le choix vous convienne est $1/24$.

3. La probabilité que le choix vous convienne est $3/4$.

4. Il faut ajouter un plat chaud pour maximiser le nombre de choix.

Correction :

1. Nombre de choix pour chaque position :

Première lettre : 23 choix (26 lettres - 3 exclues)

Deuxième lettre : 23 choix

Premier chiffre : 10 choix (0 à 9)

Deuxième chiffre : 10 choix

Troisième chiffre : 10 choix

Troisième lettre : 23 choix

Quatrième lettre : 23 choix

2. Application du principe multiplicatif :

Nombre de plaques = $23 \times 23 \times 10 \times 10 \times 10 \times 23 \times 23 = 23^4 \times 10^3 = 279 841 000$

Réponse : Il y a 279 841 000 plaques d'immatriculation différentes possibles.

Correction :

1. Nombre de codes possibles :

Choix de la lettre : 3

Choix du premier chiffre : 10

Choix du deuxième chiffre : 10

Choix du troisième chiffre : 10

Nombre de codes = $3 \times 10 \times 10 \times 10 = 3000$

2. Nombre de codes possibles (lettre connue) :

Lettre fixée : 1 choix

Choix du premier chiffre : 10

Choix du deuxième chiffre : 10

Choix du troisième chiffre : 10

Nombre de codes = $1 \times 10 \times 10 \times 10 = 1000$

3. Probabilité de trouver le bon code (lettre et chiffres connus) :

Les trois chiffres sont 6, 2 et 9. Il faut trouver leur ordre.

Il y a $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ permutations possibles de ces trois chiffres.

Une seule de ces permutations est la bonne.

Probabilité = $1/6$

Réponses :

1. Rose doit faire son choix parmi 3000 codes différents.

2. Si Rose se souvient de la lettre, elle doit choisir parmi 1000 codes.

3. La probabilité que Rose trouve le bon code dès le premier essai est $1/6$.

Correction :

Type de dénombrement : Il s'agit d'un arrangement de 3 chiffres parmi 9, car l'ordre des chiffres compte (123 est différent de 321) et les chiffres doivent être distincts (sans répétition).

Raisonnement :

Pour le chiffre des centaines, nous avons 9 choix (1 à 9).

Pour le chiffre des dizaines, il nous reste 8 choix (puisqu'il doit être différent du chiffre des centaines).

Pour le chiffre des unités, il nous reste 7 choix (puisqu'il doit être différent des deux chiffres précédents).

Application du principe multiplicatif :

Nombre de nombres à 3 chiffres distincts = $9 \times 8 \times 7 = 504$

On peut également utiliser la formule des arrangements : $A(9, 3) = \dfrac{9!}{(9-3)!} = \dfrac{9!}{6!} = 9 \times 8 \times 7 = 504$.

Réponse : On peut former 504 nombres de 3 chiffres distincts avec les chiffres 1 à 9.

Correction :

Type de dénombrement : Il s'agit d'un k-uplet (ou 8-uplet) car l'ordre des caractères compte (un mot de passe "abc123de" est différent de "de123abc") et la répétition est autorisée.

Raisonnement :

Pour chaque position dans le mot de passe (il y en a 8), nous pouvons choisir parmi les 26 lettres minuscules et les 10 chiffres, ce qui fait un total de $26 + 10 = 36$ caractères possibles.

Comme la répétition est autorisée, le choix pour chaque position est indépendant des autres.

Application du principe multiplicatif :

Nombre de mots de passe possibles = $36 \times 36 \times 36 \times 36 \times 36 \times 36 \times 36 \times 36 = 36^8$

Calcul : $36^8 = 2 821 109 907 456$

Réponse : On peut former $36^8 = 2 821 109 907 456$ mots de passe différents.

Correction :

Type de dénombrement : Il s'agit d'un k-uplet (ou 8-uplet pour la partie numérique) car l'ordre des chiffres compte et la répétition est autorisée pour les chiffres.

Raisonnement :

Il y a 2 choix pour les deux premiers chiffres : 06 ou 07.

Pour les 8 chiffres suivants, chaque position peut être occupée par n'importe quel chiffre de 0 à 9, soit 10 choix par position.

Application du principe multiplicatif :

Nombre de numéros commençant par 06 = $10^8$

Nombre de numéros commençant par 07 = $10^8$

Nombre total de numéros = (Nombre commençant par 06) + (Nombre commençant par 07) = $10^8 + 10^8 = 2 \times 10^8$

Calcul : $2 \times 10^8 = 200 000 000$

Réponse : On peut former 200 000 000 numéros de téléphone portable différents.

Correction :

Type de dénombrement : Il s'agit d'un k-uplet (ou 4-uplet) car l'ordre des chiffres compte (1234 est différent de 4321) et la répétition est autorisée.

Raisonnement :

Un code PIN est composé de 4 chiffres. Pour chaque position, nous pouvons choisir n'importe quel chiffre de 0 à 9, ce qui donne 10 choix possibles.

Comme la répétition est autorisée et le choix de chaque chiffre est indépendant des autres.

Application du principe multiplicatif :

Nombre de codes PIN possibles = $10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4$

Calcul : $10^4 = 10 000$

Réponse : Il existe 10 000 codes PIN différents.

Correction :

Type de dénombrement : Il s'agit d'un k-uplet (ou 3-uplet) car l'ordre des résultats compte (obtenir 1, 2, 3 est différent de 3, 2, 1) et la répétition est autorisée (on peut obtenir plusieurs fois le même numéro).

Raisonnement :

Pour chaque lancer, il y a 6 résultats possibles (les faces du dé, numérotées de 1 à 6).

Comme il y a 3 lancers et les résultats de chaque lancer sont indépendants.

Application du principe multiplicatif :

Nombre de séquences de résultats = $6 \times 6 \times 6 = 6^3$

Calcul : $6^3 = 216$

Réponse : On peut obtenir 216 séquences de résultats différentes.

Correction :

Type de dénombrement : Il s'agit d'un arrangement de 3 couleurs parmi 5, car l'ordre des couleurs compte (bleu-blanc-rouge est différent de rouge-blanc-bleu pour un drapeau) et les couleurs doivent être différentes (sans répétition).

Raisonnement :

Pour la première bande (à gauche), nous avons 5 choix de couleurs.

Pour la deuxième bande (au milieu), il nous reste 4 choix de couleurs (car elle doit être différente de la première).

Pour la troisième bande (à droite), il nous reste 3 choix de couleurs (car elle doit être différente des deux précédentes).

Application du principe multiplicatif :

Nombre de drapeaux différents = $5 \times 4 \times 3 = 60$

On peut également utiliser la formule des arrangements : $A(5, 3) = \dfrac{5!}{(5-3)!} = \dfrac{5!}{2!} = 5 \times 4 \times 3 = 60$.

Réponse : On peut créer 60 drapeaux différents.

Correction :

Type de dénombrement : Il s'agit d'une permutation des 10 personnes sur les 10 sièges, car l'ordre compte et chaque siège ne peut être occupé que par une seule personne (sans répétition).

Raisonnement :

Pour le premier siège, il y a 10 choix possibles (n'importe laquelle des 10 personnes).

Pour le deuxième siège, il ne reste plus que 9 choix possibles (car une personne est déjà assise).

Pour le troisième siège, il ne reste plus que 8 choix possibles, et ainsi de suite jusqu'au dernier siège pour lequel il ne reste qu'un seul choix.

Application de la formule des permutations :

Nombre de façons de s'asseoir = $10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 10!$

Calcul : $10! = 3 628 800$

Réponse : Il y a 3 628 800 façons différentes pour les 10 personnes de s'asseoir.

Correction :

Type de dénombrement : Il s'agit d'une permutation des 5 lettres du mot "MATHS" car l'ordre des lettres compte et toutes les lettres doivent être utilisées (sans répétition des positions).

Raisonnement :

Le mot "MATHS" est composé de 5 lettres distinctes. Pour former un anagramme, il faut réarranger ces 5 lettres.

Pour la première position, nous avons 5 choix (M, A, T, H, S).

Pour la deuxième position, il nous reste 4 choix, et ainsi de suite.

Application de la formule des permutations :

Nombre d'anagrammes = $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

Réponse : On peut former 120 anagrammes différents du mot "MATHS".

Correction :

Type de dénombrement : Il s'agit d'une permutation des 7 artistes car l'ordre de passage compte et chaque artiste ne peut passer qu'une seule fois (sans répétition).

Raisonnement :

Pour la première place, il y a 7 choix d'artistes.

Pour la deuxième place, il reste 6 choix d'artistes, et ainsi de suite.

Application de la formule des permutations :

Nombre d'ordres de passage = $7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$

Réponse : Il y a 5040 ordres de passage différents possibles.

Correction :

Type de dénombrement : Il s'agit d'une permutation des 4 livres car l'ordre de rangement compte et chaque position sur l'étagère ne peut être occupée que par un seul livre (sans répétition).

Raisonnement :

Pour la première position sur l'étagère, il y a 4 choix de livres.

Pour la deuxième position, il reste 3 choix de livres, et ainsi de suite.

Application de la formule des permutations :

Nombre de manières de ranger les livres = $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

Réponse : Il y a 24 manières différentes de ranger 4 livres sur une étagère.

Correction :

Type de dénombrement : Combinaison du principe multiplicatif et de permutations.

Raisonnement :

Le mot "CHIEN" contient une seule voyelle : I. Pour que l'anagramme commence par une voyelle, la première lettre doit être I.

La première position est donc fixée (1 choix : I).

Il reste 4 lettres (C, H, E, N) à permuter pour les 4 positions restantes.

Application du principe multiplicatif et des permutations :

Nombre d'anagrammes commençant par une voyelle = (Choix pour la 1ère lettre) $\times$ (Permutations des lettres restantes) = $1 \times 4!$

Calcul : $1 \times 4! = 1 \times (4 \times 3 \times 2 \times 1) = 24$

Réponse : Il y a 24 anagrammes du mot "CHIEN" qui commencent par une voyelle.

Correction :

Type de dénombrement : Permutation circulaire. Dans un arrangement circulaire, seule la position relative des éléments compte, et non leur position absolue.

Raisonnement :

Pour un arrangement linéaire de 5 personnes, il y aurait $5!$ possibilités.

Pour une table ronde, les arrangements qui se déduisent les uns des autres par rotation sont considérés comme identiques. Pour fixer les idées, on peut considérer qu'une personne est fixe, et on permute les autres autour d'elle.

Pour $n$ objets disposés circulairement, le nombre de permutations circulaires distinctes est $(n-1)!$.

Application de la formule des permutations circulaires :

Nombre de manières d'asseoir 5 personnes autour d'une table ronde = $(5-1)! = 4!$

Calcul : $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

Réponse : Il y a 24 manières différentes d'asseoir 5 personnes autour d'une table ronde.

Correction :

Type de dénombrement : Il s'agit d'un arrangement de 3 chevaux parmi 20, car l'ordre d'arrivée compte (1er, 2ème, 3ème) et il n'y a pas de répétition (un cheval ne peut pas être à deux places à la fois).

Raisonnement :

Pour la première place (1er du tiercé), il y a 20 choix possibles (n'importe lequel des 20 chevaux).

Pour la deuxième place (2ème du tiercé), il ne reste plus que 19 choix possibles (car un cheval est déjà arrivé premier).

Pour la troisième place (3ème du tiercé), il ne reste plus que 18 choix possibles (car deux chevaux sont déjà arrivés aux deux premières places).

Application de la formule des arrangements :

Nombre de tiercés possibles = $A(20, 3) = \dfrac{20!}{(20-3)!} = \dfrac{20!}{17!} = 20 \times 19 \times 18 = 6840$

Réponse : Il y a 6840 tiercés différents possibles.

Correction :

Type de dénombrement : Il s'agit d'un arrangement de 3 personnes parmi 30, car les postes (président, secrétaire, trésorier) sont différents (l'ordre compte) et une personne ne peut pas occuper plusieurs postes à la fois (sans répétition).

Raisonnement :

Pour le poste de président, il y a 30 choix possibles (n'importe quel membre de l'association).

Pour le poste de secrétaire, il ne reste plus que 29 choix possibles (car une personne est déjà élue président).

Pour le poste de trésorier, il ne reste plus que 28 choix possibles (car deux personnes sont déjà élues président et secrétaire).

Application de la formule des arrangements :

Nombre de bureaux différents = $A(30, 3) = \dfrac{30!}{(30-3)!} = \dfrac{30!}{27!} = 30 \times 29 \times 28 = 24 360$

Réponse : On peut former 24 360 bureaux différents.

Correction :

Type de dénombrement : Il s'agit d'un arrangement de 4 chiffres parmi 10, car l'ordre des chiffres compte (1234 est différent de 4321) et les chiffres doivent être différents (sans répétition).

Raisonnement :

Pour le premier chiffre du code, il y a 10 choix possibles (0 à 9).

Pour le deuxième chiffre, il ne reste plus que 9 choix possibles (car il doit être différent du premier).

Pour le troisième chiffre, il ne reste plus que 8 choix possibles (car il doit être différent des deux premiers).

Pour le quatrième chiffre, il ne reste plus que 7 choix possibles (car il doit être différent des trois premiers).

Application du principe multiplicatif :

Nombre de codes différents = $10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$

On peut également utiliser la formule des arrangements : $A(10, 4) = \dfrac{10!}{(10-4)!} = \dfrac{10!}{6!} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$.

Réponse : On peut former 5040 codes différents avec 4 chiffres distincts.

Correction :

Type de dénombrement : Il s'agit d'un arrangement de 5 pilotes parmi 20, car l'ordre d'arrivée compte (1er, 2ème, 3ème, 4ème, 5ème) et il n'y a pas de répétition (un pilote ne peut pas être à deux places à la fois).

Raisonnement :

Pour la première place, il y a 20 choix possibles (n'importe lequel des 20 pilotes).

Pour la deuxième place, il ne reste plus que 19 choix possibles.

...

Pour la cinquième place, il ne reste plus que 16 choix possibles (car 4 pilotes sont déjà classés).

Application de la formule des arrangements :

Nombre de classements possibles = $A(20, 5) = \dfrac{20!}{(20-5)!} = \dfrac{20!}{15!} = 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 = 1 860 480$

Réponse : Il y a 1 860 480 classements différents possibles pour les 5 premières places.

Correction :

Type de dénombrement : Il s'agit d'un arrangement de 3 cartes parmi 32, car l'ordre du tirage compte (tirer As-Roi-Dame est différent de Dame-Roi-As) et le tirage se fait sans remise (sans répétition).

Raisonnement :

Pour la première carte tirée, il y a 32 choix possibles.

Pour la deuxième carte tirée, il ne reste plus que 31 choix possibles (car une carte a déjà été tirée).

Pour la troisième carte tirée, il ne reste plus que 30 choix possibles (car deux cartes ont déjà été tirées).

Application du principe multiplicatif :

Nombre de tirages différents = $32 \times 31 \times 30 = 29 760$

On peut également utiliser la formule des arrangements : $A(32, 3) = \dfrac{32!}{(32-3)!} = \dfrac{32!}{29!} = 32 \times 31 \times 30 = 29 760$.

Réponse : On peut obtenir 29 760 tirages différents.

Correction :

Type de dénombrement : Il s'agit d'une combinaison de 5 cartes parmi 52, car l'ordre des cartes dans une main n'a pas d'importance et on tire les cartes sans remise (sans répétition).

Raisonnement :

L'ordre dans lequel les cartes sont tirées pour former une main de poker n'est pas pertinent. Seules les 5 cartes qui composent la main comptent.

On doit donc choisir 5 cartes parmi les 52 disponibles, sans tenir compte de l'ordre.

Application de la formule des combinaisons :

Nombre de mains différentes = $C(52, 5) = \binom{52}{5} = \dfrac{52!}{5!(52-5)!} = \dfrac{52!}{5!47!} = 2 598 960$

Calcul : $C(52, 5) = \dfrac{52 \times 51 \times 50 \times 49 \times 48}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2 598 960$

Réponse : On peut former 2 598 960 mains de poker différentes.

Correction :

Type de dénombrement : Il s'agit d'une combinaison de 2 élèves parmi 35, car l'ordre des délégués n'a pas d'importance (délégué A et délégué B est la même paire que délégué B et délégué A) et on ne peut pas être délégué deux fois (sans répétition).

Raisonnement :

L'ordre dans lequel les délégués sont élus n'a pas d'importance. Seule la paire de délégués compte.

On doit donc choisir 2 élèves parmi les 35, sans tenir compte de l'ordre.

Application de la formule des combinaisons :

Nombre de paires de délégués = $C(35, 2) = \binom{35}{2} = \dfrac{35!}{2!(35-2)!} = \dfrac{35!}{2!33!} = 595$

Calcul : $C(35, 2) = \dfrac{35 \times 34}{2 \times 1} = 595$

Réponse : On peut former 595 paires de délégués différentes.

Correction :

Type de dénombrement : Il s'agit d'une combinaison de 11 joueurs parmi 25, car l'ordre des joueurs dans l'équipe n'a pas d'importance et un joueur ne peut être sélectionné qu'une seule fois (sans répétition).

Raisonnement :

L'ordre dans lequel les joueurs sont choisis pour former l'équipe n'a pas d'importance. Seuls les 11 joueurs qui composent l'équipe comptent.

On doit donc choisir 11 joueurs parmi les 25 disponibles, sans tenir compte de l'ordre.

Application de la formule des combinaisons :

Nombre d'équipes différentes = $C(25, 11) = \binom{25}{11} = \dfrac{25!}{11!(25-11)!} = \dfrac{25!}{11!14!} = 4 457 400$

Calcul : $C(25, 11) = \dfrac{25 \times 24 \times \cdots \times 15}{11 \times 10 \times \cdots \times 1} = 4 457 400$

Réponse : On peut former 4 457 400 équipes de football différentes.

Correction :

Type de dénombrement : Il s'agit d'une combinaison de 6 numéros parmi 49, car l'ordre des numéros choisis n'a pas d'importance et on ne peut pas choisir deux fois le même numéro (sans répétition).

Raisonnement :

L'ordre dans lequel les numéros sont cochés sur une grille de Loto n'a pas d'importance. Seuls les 6 numéros sélectionnés comptent.

On doit donc choisir 6 numéros parmi les 49 disponibles, sans tenir compte de l'ordre.

Application de la formule des combinaisons :

Nombre de grilles différentes = $C(49, 6) = \binom{49}{6} = \dfrac{49!}{6!(49-6)!} = \dfrac{49!}{6!43!} = 13 983 816$

Calcul : $C(49, 6) = \dfrac{49 \times 48 \times 47 \times 46 \times 45 \times 44}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 13 983 816$

Réponse : On peut remplir 13 983 816 grilles de Loto différentes.

Correction :

1. Nombre total de délégations différentes :

Type de dénombrement : Combinaison, car l'ordre des personnes dans la délégation n'a pas d'importance.

On choisit 4 personnes parmi 80, sans tenir compte de l'ordre.

Nombre de délégations = $C(80, 4) = \binom{80}{4} = \dfrac{80!}{4!(80-4)!} = \dfrac{80!}{4!76!} = 1 581 580$

2. Délégations composées uniquement de femmes :

Type de dénombrement : Combinaison, on choisit des femmes parmi les femmes.

On choisit 4 femmes parmi les 50 femmes disponibles.

Nombre de délégations de femmes = $C(50, 4) = \binom{50}{4} = \dfrac{50!}{4!(50-4)!} = \dfrac{50!}{4!46!} = 230 300$

3. Délégations composées d'au moins un homme :

Méthode : On utilise le complémentaire. Le contraire de "au moins un homme" est "aucune homme", c'est-à-dire "uniquement des femmes".

Nombre de délégations avec au moins un homme = (Nombre total de délégations) - (Nombre de délégations uniquement de femmes) = $C(80, 4) - C(50, 4) = 1 581 580 - 230 300 = 1 351 280$

4. Délégations paritaires :

Type de dénombrement : Combinaison et principe multiplicatif. Une délégation paritaire de 4 personnes est composée de 2 femmes et 2 hommes.

On choisit 2 femmes parmi 50 : $C(50, 2)$ choix.

On choisit 2 hommes parmi 30 : $C(30, 2)$ choix.

Nombre de délégations paritaires = $C(50, 2) \times C(30, 2) = \dfrac{50!}{2!48!} \times \dfrac{30!}{2!28!} = 1225 \times 435 = 533 625$

Réponses :

1. 1 581 580 délégations différentes au total.

2. 230 300 délégations composées uniquement de femmes.

3. 1 351 280 délégations composées d'au moins un homme.

4. 533 625 délégations paritaires.

Correction :

1. Nombre total d'anagrammes différents :

Type de dénombrement : Permutations avec répétitions, car le mot "STATISTIQUE" contient des lettres répétées (S, T, I, U, E apparaissent plusieurs fois).

Le mot "STATISTIQUE" a 11 lettres, avec les répétitions suivantes : S (3 fois), T (3 fois), I (2 fois), U (1 fois), Q (1 fois), E (1 fois), A (1 fois).

Nombre d'anagrammes = $\dfrac{10!}{3!3!2!} = \dfrac{10*9*8*7*6*5*4*3*2*1}{6*6*2} = 10*9*8*7*5*4 = 50400$

2. Anagrammes commençant par la lettre "S" :

Type de dénombrement : Permutations avec répétitions, on fixe la première lettre et on permute les lettres restantes.

Si l'anagramme commence par "S", il reste 9 lettres à permuter, avec les répétitions : S (2 fois), T (3 fois), I (2 fois).

Nombre d'anagrammes commençant par "S" = $\dfrac{9!}{2!3!2!} = \dfrac{9*8*7*6*5*4*3*2*1}{2*6*2} = 9*8*7*5*3*2 = 15 120$

3. Anagrammes commençant par la lettre "S" et terminant par la lettre "E" :

Type de dénombrement : Permutations avec répétitions, on fixe la première et la dernière lettre et on permute les lettres restantes.

Si l'anagramme commence par "S" et termine par "E", il reste 8 lettres à permuter, avec les répétitions : S (2 fois), T (3 fois), I (2 fois), , Q (1 fois), A (1 fois).

Nombre d'anagrammes commençant par "S" et terminant par "E" = $\dfrac{8!}{2!3!2!} = \dfrac{8*7*6*5*4*3*2*1}{2*6*2} = 8*7*5*3*2 = 1680$

4. Anagrammes contenant les lettres "S", "T", "A" côte à côte dans cet ordre :

Méthode : On considère le bloc "STA" comme une seule lettre. On doit permuter ce bloc avec les lettres restantes.

On considère "STA" comme un bloc unique. On a donc à permuter le bloc "STA" et les lettres "T", "T", "I", "S", "I", "Q", "U", "E", soit 8 éléments en tout, avec les répétitions : T (2 fois), I (2 fois), S (1 fois).

Nombre d'anagrammes contenant "STA" = $\dfrac{8!}{2!2!} = \dfrac{8*7*6*5*4*3*2*1}{2*2} = 8*7*6*5*3*2 = 10080$

Réponses :

1. 50400 anagrammes différents au total.

2. 15 120 anagrammes commencent par la lettre "S".

3. 1680 anagrammes commencent par "S" et terminent par "E".

4. 10080 anagrammes contiennent les lettres "STA" côte à côte dans cet ordre.

Correction :

1. Nombre de mains de 5 cartes différentes :

Type de dénombrement : Combinaison, car l'ordre des cartes dans la main n'a pas d'importance.

On choisit 5 cartes parmi 32, sans tenir compte de l'ordre.

Nombre de mains = $C(32, 5) = \binom{32}{5} = \dfrac{32!}{5!(32-5)!} = \dfrac{32!}{5!27!} = 201 376$

2. Mains contenant exactement un roi :

Type de dénombrement : Combinaison et principe multiplicatif. On choisit 1 roi parmi 4 et 4 autres cartes parmi les cartes non-rois.

Choisir 1 roi parmi 4 : $C(4, 1)$ choix.

Choisir 4 autres cartes parmi les 28 cartes qui ne sont pas des rois (32 - 4 = 28) : $C(28, 4)$ choix.

Nombre de mains avec exactement un roi = $C(4, 1) \times C(28, 4) = 4 \times 20 475 = 81 900$

3. Mains contenant au moins un roi :

Méthode : On utilise le complémentaire. Le contraire de "au moins un roi" est "aucun roi".

Nombre de mains avec au moins un roi = (Nombre total de mains) - (Nombre de mains sans roi) = $C(32, 5) - C(28, 5) = 201 376 - 98 280 = 103 096$

4. Mains contenant au plus une dame :

Méthode : On divise en cas :

Cas 1 : Exactement 0 dame : $C(4, 0) \times C(28, 5) = 1 \times 98 280 = 98 280$

Cas 2 : Exactement 1 dame : $C(4, 1) \times C(28, 4) = 4 \times 20 475 = 81 900$

On additionne les résultats de chaque cas : $98 280 + 81 900 = 180 180$.

Réponses :

1. 201 376 mains de 5 cartes différentes.

2. 81 900 mains contiennent exactement un roi.

3. 103 096 mains contiennent au moins un roi.

4. 180 180 mains contiennent au plus une dame.

Correction :

1. Nombre total de tirages différents :

Type de dénombrement : Arrangement, car l'ordre du tirage compte et on tire sans remise.

On tire 3 boules parmi 10 successivement et sans remise.

Nombre de tirages = $A(10, 3) = \dfrac{10!}{(10-3)!} = \dfrac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$

2. Tirages contenant exactement 2 boules rouges :

Type de dénombrement : Arrangement et principe multiplicatif. On choisit les positions des boules rouges et on choisit les boules pour chaque position.

On doit avoir 2 boules rouges et 1 boule noire.

On choisit les positions des 2 boules rouges parmi les 3 positions : $C(3, 2)$ choix.

Pour les positions des boules rouges, on choisit 2 boules rouges parmi 4 en tenant compte de l'ordre : $A(4, 2)$ choix.

Pour la position restante (boule noire), on choisit 1 boule noire parmi 6 : $C(6, 1) = A(6, 1)$ choix (car une seule position).

Nombre de tirages avec exactement 2 boules rouges = $C(3, 2) \times A(4, 2) \times A(6, 1) = 3 \times 12 \times 6 = 216$

3. Tirages contenant au plus 2 boules rouges :

Méthode : On divise en cas : 0 rouge, 1 rouge, 2 rouges.

Cas 1 : 0 boule rouge (3 noires) : $A(6, 3) = 6 \times 5 \times 4 = 120$

Cas 2 : 1 boule rouge et 2 noires : $C(3, 1) \times A(4, 1) \times A(6, 2) = 3 \times 4 \times 30 = 360$

Cas 3 : 2 boules rouges et 1 noire : $216$ (calculé à la question 2)

Nombre de tirages avec au plus 2 boules rouges = $120 + 360 + 216 = 696$

4. Tirages contenant au moins 2 boules rouges :

Méthode : On divise en cas : 2 rouges, 3 rouges.

Cas 1 : 2 boules rouges et 1 noire : $216$ (calculé à la question 2)

Cas 2 : 3 boules rouges : $A(4, 3) = 4 \times 3 \times 2 = 24$

Nombre de tirages avec au moins 2 boules rouges = $216 + 24 = 240$

Réponses :

1. 720 tirages différents au total.

2. 216 tirages contiennent exactement 2 boules rouges.

3. 696 tirages contiennent au plus 2 boules rouges.

4. 240 tirages contiennent au moins 2 boules rouges.

Correction :

1. Nombre de grilles simples différentes :

Type de dénombrement : Combinaison, car l'ordre des numéros tirés n'a pas d'importance.

On choisit 6 numéros parmi 49, sans tenir compte de l'ordre.

Nombre de grilles = $C(49, 6) = \binom{49}{6} = 13 983 816$ (calculé précédemment)

2. Probabilité de gagner le gros lot :

Pour gagner le gros lot, il faut avoir les 6 bons numéros parmi les 6 tirés. Il n'y a qu'une seule combinaison gagnante parmi toutes les combinaisons possibles.

Probabilité (gros lot) = $\dfrac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre de cas possibles}} = \dfrac{1}{C(49, 6)} = \dfrac{1}{13 983 816} \approx 7,15 \times 10^{-8}$

3. Probabilité d'avoir exactement 5 bons numéros :

Pour avoir exactement 5 bons numéros, il faut :

Choisir 5 numéros parmi les 6 numéros gagnants : $C(6, 5)$ choix.

Choisir 1 numéro parmi les 43 numéros perdants (49 - 6 = 43) : $C(43, 1)$ choix.

Nombre de grilles avec exactement 5 bons numéros = $C(6, 5) \times C(43, 1) = 6 \times 43 = 258$

Probabilité (5 bons numéros) = $\dfrac{C(6, 5) \times C(43, 1)}{C(49, 6)} = \dfrac{258}{13 983 816} \approx 1,84 \times 10^{-5}$

4. Probabilité d'avoir au moins 4 bons numéros :

Méthode : On divise en cas : exactement 4 bons numéros, exactement 5 bons numéros, exactement 6 bons numéros.

Cas 1 : Exactement 4 bons numéros : $C(6, 4) \times C(43, 2) = 15 \times 903 = 13 545$

Cas 2 : Exactement 5 bons numéros : $258$ (calculé à la question 3)

Cas 3 : Exactement 6 bons numéros : $1$ (gros lot)

Nombre de grilles avec au moins 4 bons numéros = $13 545 + 258 + 1 = 13 804$

Probabilité (au moins 4 bons numéros) = $\dfrac{13 804}{13 983 816} \approx 9,87 \times 10^{-4}$

Réponses :

1. 13 983 816 grilles simples différentes.

2. Probabilité de gagner le gros lot : $\approx 7,15 \times 10^{-8}$.

3. Probabilité d'avoir exactement 5 bons numéros : $\approx 1,84 \times 10^{-5}$.

4. Probabilité d'avoir au moins 4 bons numéros : $\approx 9,87 \times 10^{-4}$.

Correction :

1. Nombre total de jurys différents :

Type de dénombrement : Combinaison, car l'ordre dans lequel les membres du jury sont choisis n'a pas d'importance.

On doit choisir 5 personnes parmi 13 (7 femmes + 6 hommes) sans tenir compte de l'ordre.

Nombre de jurys différents = $C(13, 5) = \binom{13}{5} = \dfrac{13!}{5!(13-5)!} = \dfrac{13!}{5!8!} = 1287$

2. Jurys composés uniquement de femmes :

Type de dénombrement : Combinaison, on choisit des femmes parmi les femmes disponibles.

On choisit 5 femmes parmi 7.

Nombre de jurys composés uniquement de femmes = $C(7, 5) = \binom{7}{5} = \dfrac{7!}{5!(7-5)!} = \dfrac{7!}{5!2!} = 21$

3. Jurys composés d'au moins 3 hommes :

Méthode : On divise en cas selon le nombre d'hommes (3, 4, ou 5 hommes) et on utilise le principe multiplicatif pour chaque cas.

Cas 1 : 3 hommes et 2 femmes : $C(6, 3) \times C(7, 2) = \dfrac{6!}{3!3!} \times \dfrac{7!}{2!5!} = 20 \times 21 = 420$

Cas 2 : 4 hommes et 1 femme : $C(6, 4) \times C(7, 1) = \dfrac{6!}{4!2!} \times 7 = 15 \times 7 = 105$

Cas 3 : 5 hommes et 0 femme : $C(6, 5) \times C(7, 0) = \dfrac{6!}{5!1!} \times 1 = 6 \times 1 = 6$

Nombre de jurys avec au moins 3 hommes = $420 + 105 + 6 = 531$

4. Jurys composés au plus de 2 femmes :

Méthode : On divise en cas selon le nombre de femmes (0, 1, ou 2 femmes) et on utilise le principe multiplicatif pour chaque cas.

Cas 1 : 0 femme et 5 hommes : $C(7, 0) \times C(6, 5) = 1 \times 6 = 6$

Cas 2 : 1 femme et 4 hommes : $C(7, 1) \times C(6, 4) = 7 \times 15 = 105$

Cas 3 : 2 femmes et 3 hommes : $C(7, 2) \times C(6, 3) = 21 \times 20 = 420$

Nombre de jurys avec au plus 2 femmes = $6 + 105 + 420 = 531$

Réponses :

1. 1287 jurys différents.

2. 21 jurys composés uniquement de femmes.

3. 531 jurys composés d'au moins 3 hommes.

4. 531 jurys composés d'au plus 2 femmes.

Correction :

1. Nombre total de permutations distinctes :

Type de dénombrement : Permutation, car on réordonne tous les chiffres sans répétition.

Nombre de permutations = $9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 362 880$

2. Permutations commençant par le chiffre 1 :

Type de dénombrement : Permutation, on fixe le premier chiffre et on permute les autres.

Si la permutation commence par 1, il reste 8 chiffres à permuter.

Nombre de permutations commençant par 1 = $8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40 320$

3. Permutations commençant par un chiffre impair :

Type de dénombrement : Principe multiplicatif et permutation. On choisit le premier chiffre (impair) puis on permute les autres.

Il y a 5 chiffres impairs parmi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 : 1, 3, 5, 7, 9.

Nombre de choix pour le premier chiffre (impair) = 5.

Nombre de permutations des 8 chiffres restants = $8!$.

Nombre de permutations commençant par un chiffre impair = $5 \times 8! = 5 \times 40 320 = 201 600$

4. Permutations ayant les chiffres 1, 2, 3 dans cet ordre et côte à côte :

Méthode : On considère le bloc "123" comme un seul élément. On doit permuter ce bloc avec les autres chiffres.

On considère "123" comme un bloc unique. On a donc à permuter le bloc "123" et les chiffres 4, 5, 6, 7, 8, 9, soit 7 éléments en tout.

Nombre de permutations contenant "123" dans cet ordre = $7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$

Réponses :

1. 362 880 permutations distinctes.

2. 40 320 permutations commencent par le chiffre 1.

3. 201 600 permutations commencent par un chiffre impair.

4. 5040 permutations ont les chiffres 1, 2, 3 dans cet ordre et côte à côte.

Correction :

1. Nombre de codes différents avec répétition autorisée :

Type de dénombrement : k-uplet (ou 5-uplet), car l'ordre des chiffres compte et la répétition est autorisée.

Pour chaque position, on a 10 choix (0 à 9).

Nombre de codes = $10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^5 = 100 000$

2. Nombre de codes différents avec chiffres distincts :

Type de dénombrement : Arrangement, car l'ordre des chiffres compte et ils doivent être distincts (sans répétition).

Nombre de codes = $A(10, 5) = \dfrac{10!}{(10-5)!} = \dfrac{10!}{5!} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 30 240$

3. Codes commençant par un chiffre pair et se terminant par un chiffre impair :

Type de dénombrement : Principe multiplicatif.

Chiffres pairs : 0, 2, 4, 6, 8 (5 choix)

Chiffres impairs : 1, 3, 5, 7, 9 (5 choix)

Nombre de codes = (Choix 1er chiffre pair) $\times$ (Choix 2ème chiffre) $\times$ (Choix 3ème chiffre) $\times$ (Choix 4ème chiffre) $\times$ (Choix 5ème chiffre impair) = $5 \times 10 \times 10 \times 10 \times 5 = 25 000$

4. Codes contenant au moins un chiffre 7 :

Méthode : On utilise le complémentaire. Le contraire de "au moins un 7" est "aucun 7".

Nombre de codes sans aucun 7 = $9^5$ (9 choix pour chaque position, car on exclut le 7)

Nombre de codes avec au moins un 7 = (Nombre total de codes avec répétition) - (Nombre de codes sans aucun 7) = $10^5 - 9^5 = 100 000 - 59 049 = 40 951$

Réponses :

1. 100 000 codes différents avec répétition autorisée.

2. 30 240 codes différents avec chiffres distincts.

3. 25 000 codes commencent par un chiffre pair et se terminent par un chiffre impair.

4. 40 951 codes contiennent au moins un chiffre 7.

Correction :

1. Nombre total de résultats différents :

Type de dénombrement : k-uplet, car l'ordre des résultats compte et la répétition est autorisée.

Pour chaque lancer, il y a 6 résultats possibles.

Nombre de résultats = $6 \times 6 \times 6 \times 6 = 6^4 = 1296$

2. Résultats contenant au moins un 6 :

Méthode : On utilise le complémentaire. Le contraire de "au moins un 6" est "aucun 6".

Nombre de résultats sans aucun 6 = $5^4$ (5 choix pour chaque lancer, car on exclut le 6)

Nombre de résultats avec au moins un 6 = (Nombre total de résultats) - (Nombre de résultats sans aucun 6) = $6^4 - 5^4 = 1296 - 625 = 671$

3. Résultats contenant exactement trois fois le chiffre 1 :

Type de dénombrement : Combinaison et principe multiplicatif. On choisit les positions des 1 et le chiffre des autres positions.

On choisit les 3 positions du chiffre 1 parmi les 4 lancers : $C(4, 3) = 4$ choix.

Pour la position restante, on choisit un chiffre différent de 1 : 5 choix possibles.

Nombre de résultats avec exactement trois 1 = $C(4, 3) \times 5 = 4 \times 5 = 20$

4. Résultats qui sont des suites de chiffres consécutifs dans l'ordre croissant :

Analyse : Les seules suites possibles sont 1, 2, 3, 4 ; 2, 3, 4, 5 et 3, 4, 5, 6.

Réponse : Il y a 3 suites possibles : 1234, 2345 et 3456.

Réponses :

1. 1296 résultats différents au total.

2. 671 résultats contiennent au moins un 6.

3. 20 résultats contiennent exactement trois fois le chiffre 1.

4. 3 résultats sont des suites de chiffres consécutifs dans l'ordre croissant.

Correction :

1. Nombre total d'arrangements de 5 lettres distinctes :

Type de dénombrement : Arrangement, car l'ordre des lettres compte et les lettres doivent être distinctes (sans répétition).

Nombre d'arrangements = $A(9, 5) = \dfrac{9!}{(9-5)!} = \dfrac{9!}{4!} = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 15 120$

2. Arrangements commençant par la lettre "A" :

Type de dénombrement : Arrangement, car on fixe la première lettre et on arrange les autres.

Si la première lettre est "A", il reste 4 lettres à choisir parmi les 8 restantes.

Nombre d'arrangements commençant par "A" = $A(8, 4) = \dfrac{8!}{(8-4)!} = \dfrac{8!}{4!} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 1680$

3. Arrangements commençant par une voyelle :

Type de dénombrement : Principe multiplicatif et arrangement. On choisit la première lettre (voyelle) puis on arrange les autres.

Il y a 3 voyelles parmi les 9 premières lettres de l'alphabet : A, E, I.

Nombre de choix pour la première lettre (voyelle) = 3.

Nombre d'arrangements des 4 lettres restantes parmi les 8 restantes = $A(8, 4) = 1680$ (calculé en 2).

Nombre d'arrangements commençant par une voyelle = $3 \times A(8, 4) = 3 \times 1680 = 5040$

4. Arrangements contenant la lettre "B" :

Méthode : On utilise le complémentaire. Le contraire de "contenant la lettre B" est "ne contenant pas la lettre B".

Nombre d'arrangements sans la lettre "B" = $A(8, 5) = \dfrac{8!}{(8-5)!} = \dfrac{8!}{3!} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 6720$

Nombre d'arrangements avec la lettre "B" = (Nombre total d'arrangements) - (Nombre d'arrangements sans "B") = $A(9, 5) - A(8, 5) = 15 120 - 6720 = 8400$

Réponses :

1. 15 120 arrangements de 5 lettres distinctes.

2. 1680 arrangements commencent par la lettre "A".

3. 5040 arrangements commencent par une voyelle.

4. 8400 arrangements contiennent la lettre "B".

Correction :

1. Nombre total de tirages différents :

Type de dénombrement : Combinaison, car l'ordre des boules tirées n'a pas d'importance et le tirage est simultané (sans remise).

On choisit 5 boules parmi 18 (8 rouges + 6 vertes + 4 bleues) sans tenir compte de l'ordre.

Nombre de tirages = $C(18, 5) = \binom{18}{5} = \dfrac{18!}{5!(18-5)!} = \dfrac{18!}{5!13!} = 8568$

2. Tirages contenant exactement 2 boules rouges :

Type de dénombrement : Combinaison et principe multiplicatif. On choisit 2 rouges parmi 8, puis 3 autres boules parmi les non-rouges.

Choisir 2 boules rouges parmi 8 : $C(8, 2)$ choix.

Choisir 3 boules parmi les 10 non-rouges (6 vertes + 4 bleues) : $C(10, 3)$ choix.

Nombre de tirages avec exactement 2 rouges = $C(8, 2) \times C(10, 3) = 28 \times 120 = 3360$

3. Tirages contenant au moins 3 boules vertes :

Méthode : On divise en cas : 3 vertes, 4 vertes, 5 vertes.

Cas 1 : 3 vertes et 2 non-vertes : $C(6, 3) \times C(12, 2) = 20 \times 66 = 1320$

Cas 2 : 4 vertes et 1 non-verte : $C(6, 4) \times C(12, 1) = 15 \times 12 = 180$

Cas 3 : 5 vertes et 0 non-verte : $C(6, 5) \times C(12, 0) = 6 \times 1 = 6$

Nombre de tirages avec au moins 3 vertes = $1320 + 180 + 6 = 1506$

4. Tirages contenant au plus 1 boule bleue :

Méthode : On divise en cas : 0 bleue, 1 bleue.

Cas 1 : 0 boule bleue et 5 non-bleues : $C(4, 0) \times C(14, 5) = 1 \times 2002 = 2002$

Cas 2 : 1 boule bleue et 4 non-bleues : $C(4, 1) \times C(14, 4) = 4 \times 1001 = 4004$

Nombre de tirages avec au plus 1 boule bleue = $2002 + 4004 = 6006$

Réponses :

1. 8568 tirages différents au total.

2. 3360 tirages contiennent exactement 2 boules rouges.

3. 1506 tirages contiennent au moins 3 boules vertes.

4. 6006 tirages contiennent au plus 1 boule bleue.

Correction :

1. Nombre total de codes PIN différents :

Type de dénombrement : 4-uplet (ou arrangement avec répétition), car l'ordre des chiffres compte et la répétition est autorisée.

Pour chaque position, on a 10 choix (0 à 9).

Nombre de codes PIN = $10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4 = 10 000$

2. Codes PIN commençant par un chiffre impair :

Type de dénombrement : Principe multiplicatif.

Il y a 5 chiffres impairs : 1, 3, 5, 7, 9.

Pour la première position, on a 5 choix. Pour les trois autres positions, on a toujours 10 choix.

Nombre de codes commençant par un chiffre impair = $5 \times 10 \times 10 \times 10 = 5000$

3. Codes PIN ne contenant que des chiffres pairs :

Type de dénombrement : 4-uplet, car l'ordre compte et la répétition est autorisée.

Il y a 5 chiffres pairs : 0, 2, 4, 6, 8.

Pour chaque position, on a 5 choix.

Nombre de codes avec uniquement des chiffres pairs = $5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^4 = 625$

4. Codes PIN contenant au moins un chiffre 7 :

Méthode : On utilise le complémentaire. Le contraire de "au moins un 7" est "aucun 7".

Nombre de codes sans aucun 7 = $9 \times 9 \times 9 \times 9 = 9^4 = 6561$ (car on a 9 choix pour chaque position, le 7 étant exclu).

Nombre de codes avec au moins un 7 = (Nombre total de codes) - (Nombre de codes sans aucun 7) = $10^4 - 9^4 = 10 000 - 6561 = 3439$

Réponses :

1. 10 000 codes PIN différents au total.

2. 5000 codes PIN commencent par un chiffre impair.

3. 625 codes PIN ne contiennent que des chiffres pairs.

4. 3439 codes PIN contiennent au moins un chiffre 7.

Correction :

1. Nombre total de mots de passe différents :

Type de dénombrement : 6-uplet, car l'ordre compte et la répétition est autorisée.

Il y a $26 + 10 = 36$ caractères possibles (26 lettres majuscules et 10 chiffres).

Nombre de mots de passe = $36^6 = 2 176 782 336$

2. Mots de passe contenant au moins une lettre :

Méthode : On utilise le complémentaire. Le contraire de "au moins une lettre" est "aucune lettre", c'est-à-dire uniquement des chiffres.

Nombre de mots de passe avec uniquement des chiffres = $10^6 = 1 000 000$

Nombre de mots de passe avec au moins une lettre = (Nombre total de mots de passe) - (Nombre de mots de passe avec uniquement des chiffres) = $36^6 - 10^6 = 2 176 782 336 - 1 000 000 = 2 175 782 336$

3. Mots de passe commençant par une lettre et se terminant par un chiffre :

Type de dénombrement : Principe multiplicatif.

Pour la première position, il y a 26 choix (une lettre).

Pour la dernière position, il y a 10 choix (un chiffre).

Pour les 4 positions intermédiaires, il y a 36 choix pour chacune (lettre ou chiffre).

Nombre de mots de passe commençant par une lettre et se terminant par un chiffre = $26 \times 36^4 \times 10 = 26 \times 1 679 616 \times 10 = 436 700 160$

4. Mots de passe contenant exactement 3 chiffres :

Type de dénombrement : Combinaison et principe multiplicatif.

On choisit les positions des 3 chiffres parmi les 6 positions : $C(6, 3)$ choix.

Pour les 3 positions des chiffres, on a 10 choix pour chaque position : $10^3$ possibilités.

Pour les 3 positions restantes (lettres), on a 26 choix pour chaque position : $26^3$ possibilités.

Nombre de mots de passe avec exactement 3 chiffres = $C(6, 3) \times 10^3 \times 26^3 = \dfrac{6!}{3!3!} \times 1000 \times 17576 = 20 \times 1000 \times 17576 = 351 520 000$

Réponses :

1. 2 176 782 336 mots de passe différents.

2. 2 175 782 336 mots de passe contiennent au moins une lettre.

3. 436 700 160 mots de passe commencent par une lettre et se terminent par un chiffre.

4. 351 520 000 mots de passe contiennent exactement 3 chiffres.

Correction :

1. Nombre total d'anagrammes :

Type de dénombrement : Permutations avec répétitions.

Le mot "MISSISSIPPI" a 11 lettres, avec les répétitions suivantes : M (1 fois), I (4 fois), S (4 fois), P (2 fois).

Nombre d'anagrammes = $\dfrac{11!}{1!4!4!2!} = \dfrac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{1 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = 34 650$

2. Anagrammes commençant et terminant par "I" :

Type de dénombrement : Permutations avec répétitions. On fixe les lettres aux extrémités et on permute les autres.

On fixe un "I" au début et un "I" à la fin. Il reste 9 lettres à permuter, avec les répétitions : M (1 fois), I (2 fois), S (4 fois), P (2 fois).

Nombre d'anagrammes commençant et terminant par "I" = $\dfrac{9!}{1!2!4!2!} = \dfrac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{1 \times 2 \times 1 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = 3780$

3. Anagrammes avec les 4 "S" consécutifs :

Méthode : On considère le bloc "SSSS" comme une seule lettre.

On a donc à permuter le bloc "SSSS" et les lettres M, I, I, I, I, P, P, soit 8 éléments avec les répétitions : I (4 fois), P (2 fois).

Nombre d'anagrammes avec les 4 "S" consécutifs = $\dfrac{8!}{4!2!} = \dfrac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = 840$

Réponses :

1. 34 650 anagrammes différents au total.

2. 3780 anagrammes commencent et terminent par la lettre "I".

3. 840 anagrammes ont les 4 lettres "S" consécutives.

Correction :

1. Nombre total de mots de passe différents :

Type de dénombrement : 8-uplet, car l'ordre compte et la répétition est autorisée.

Il y a 36 caractères possibles (26 lettres + 10 chiffres) pour chaque position.

Nombre de mots de passe = $36^8 = 2 821 109 907 456$

2. Mots de passe commençant par une lettre et se terminant par un chiffre :

Type de dénombrement : Principe multiplicatif.

Pour la première position, il y a 26 choix (une lettre).

Pour la dernière position, il y a 10 choix (un chiffre).

Pour les 6 positions intermédiaires, il y a 36 choix pour chacune (lettre ou chiffre).

Nombre de mots de passe commençant par une lettre et se terminant par un chiffre = $26 \times 36^6 \times 10 = 26 \times 2 176 782 336 \times 10 = 565 963 407 360$

3. Mots de passe contenant au moins une lettre et au moins un chiffre :

Méthode : On utilise le complémentaire. Le contraire de "au moins une lettre et au moins un chiffre" est "que des lettres" ou "que des chiffres".

Nombre de mots de passe avec uniquement des lettres = $26^8$

Nombre de mots de passe avec uniquement des chiffres = $10^8$

Nombre de mots de passe avec au moins une lettre et au moins un chiffre = (Nombre total de mots de passe) - (Nombre de mots de passe avec uniquement des lettres) - (Nombre de mots de passe avec uniquement des chiffres) = $36^8 - 26^8 - 10^8 = 2 821 109 907 456 - 208 827 064 576 - 100 000 000 = 2 612 182 842 880$

4. Mots de passe ne contenant que des voyelles ou des chiffres pairs :

Type de dénombrement : 8-uplet, car l'ordre compte et la répétition est autorisée.

Il y a 6 voyelles (A, E, I, O, U, Y) et 5 chiffres pairs (0, 2, 4, 6, 8). On a donc 11 caractères possibles pour chaque position.

Nombre de mots de passe = $11^8 = 214 358 881$

Réponses :

1. 2 821 109 907 456 mots de passe différents au total.

2. 565 963 407 360 mots de passe commencent par une lettre et se terminent par un chiffre.

3. 2 612 182 842 880 mots de passe contiennent au moins une lettre et au moins un chiffre.

4. 214 358 881 mots de passe ne contiennent que des voyelles ou des chiffres pairs.