Convexité - Exercices

Correction détaillée :

1. \(f'(0)\) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de \(f\) à l'abscisse 0. Graphiquement, on peut lire que cette tangente passe par les points de coordonnées (0, 2) et (2, 0). Le coefficient directeur est donc \(\frac{0-2}{2-0} = \frac{-2}{2} = -1\). Ainsi, \(f'(0)=-1\).

2. La tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse 0 a pour coefficient directeur -1 (d'après la question 1). Son équation est de la forme \(y = -x + p\). On sait aussi que cette tangente passe par le point (0, 2) qui est l'ordonnée à l'origine, donc \(p = 2\). L'équation réduite de cette tangente est donc \(y=-x+2\).

3. Graphiquement, on observe que la fonction \(f\) est décroissante sur l'intervalle \([-5; -1]\) et sur \([2; 4]\). Donc, sur l'intervalle \([-5; -1]\), \(f'(x) \leq 0\) et sur l'intervalle \([2; 4]\), \(f'(x) \leq 0\). Comme -3 appartient à l'intervalle \([-5; -1]\) où la fonction est décroissante, on en déduit que \(f'(-3) \leq 0\).

4. En observant la courbure de la courbe, on peut dire que :
- Sur \([-5; -2]\), la fonction \(f\) semble convexe car la courbe est au-dessus de ses tangentes.
- Sur \([-2; 1]\), la fonction \(f\) semble concave car la courbe est en dessous de ses tangentes.
- Sur \([1; 2]\), la fonction \(f\) semble convexe car la courbe est au-dessus de ses tangentes.

Correction détaillée :

Voici une courbe possible, respectant les variations et les indications de convexité et de concavité :

On observe que la courbe est "tournée vers le haut" (convexe) sur \([-5; -2]\) et "tournée vers le bas" (concave) sur \([-2; 3]\). La courbe traverse sa tangente au point d'inflexion d'abscisse -2.

Correction détaillée :

1. a. On a bien \((-2)^2 = 4\) et \(3^2 = 9\), donc les points \(A(-2; 4)\) et \(B(3; 9)\) appartiennent à la courbe \(\mathcal{C}\) de la fonction \(f(x) = x^2\).

b. Le coefficient directeur de la droite \((AB)\) est \(\dfrac{9-4}{3-(-2)} = \dfrac{5}{5} = 1\). Donc l'équation de \((AB)\) est de la forme \(y = x + p\).
Comme \(A(-2; 4)\) appartient à \((AB)\), ses coordonnées vérifient l'équation : \(4 = -2 + p\), d'où \(p = 6\).
L'équation réduite de la droite \((AB)\) est donc \(y = x + 6\).

c. On étudie le signe de \(x^2 - (x+6) = x^2 - x - 6\). C'est un trinôme du second degré. Son discriminant est \(\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\).
Les racines sont donc \(x_1 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = -2\) et \(x_2 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = 3\).
Le trinôme est négatif entre les racines, donc \(x^2 - (x+6) \leqslant 0\) pour \(x \in [-2;3]\). Cela signifie que \(x^2 \leqslant x+6\) sur \([-2;3]\), donc la courbe de \(f\) est en dessous de la droite \((AB)\) sur cet intervalle.

2. a. Le coefficient directeur de la droite \((AB)\) est \(\dfrac{b^2 - a^2}{b - a} = \dfrac{(b-a)(b+a)}{b-a} = a + b\) (car \(b \neq a\)).
L'équation de \((AB)\) est de la forme \(y = (a+b)x + p\). Comme \(A(a, a^2)\) appartient à \((AB)\), on a \(a^2 = (a+b)a + p\), d'où \(p = a^2 - a(a+b) = -ab\).
Donc l'équation de \((AB)\) est \(y = (a+b)x - ab\).

b. On étudie le signe de \(x^2 - ((a+b)x - ab) = x^2 - (a+b)x + ab\). C'est un trinôme du second degré. On remarque que \(a\) et \(b\) sont les racines de ce trinôme.
En effet, \(a^2 - (a+b)a + ab = a^2 - a^2 - ab + ab = 0\) et \(b^2 - (a+b)b + ab = b^2 - ab - b^2 + ab = 0\).
Le trinôme est positif à l'extérieur des racines et négatif entre les racines. Comme \(a < b\), on a \(x^2 - ((a+b)x - ab) \leqslant 0\) pour \(x \in [a;b]\).
Cela signifie que la courbe de \(f\) est en dessous de la droite \((AB)\) sur l'intervalle \([a;b]\).
Comme \(a\) et \(b\) sont des réels quelconques tels que \(a < b\), cela montre que la fonction \(f(x) = x^2\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).

Correction détaillée :

1. Pour tout réel strictement positif \(x\), on a :

\(f(x) - (f'(a)(x-a) + f(a)) = \dfrac{1}{x} - \left(-\dfrac{1}{a^2}(x-a) + \dfrac{1}{a}\right)\)

\(= \dfrac{1}{x} + \dfrac{x}{a^2} - \dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{a}\)

\(= \dfrac{1}{x} + \dfrac{x}{a^2} - \dfrac{2}{a}\)

\(= \dfrac{a^2}{xa^2} + \dfrac{x^2}{xa^2} - \dfrac{2ax}{xa^2}\)

\(= \dfrac{a^2 - 2ax + x^2}{xa^2}\)

\(= \dfrac{(a-x)^2}{a^2x}\)

2. Puisque \(x > 0\), la quantité \(\dfrac{(a-x)^2}{a^2x}\) est positive. Donc, pour tout \(x > 0\), \(f(x) - (f'(a)(x-a) + f(a)) \geq 0\), ce qui implique que \(f(x) \geq f'(a)(x-a) + f(a)\). Cela signifie que sur \(]0;+\infty[\), la courbe de la fonction inverse est au-dessus de toutes ses tangentes. Par conséquent, cette fonction est convexe sur \(]0;+\infty[\).

Correction détaillée :

La fonction \(f:x\mapsto e^{ax+b}\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\).

Pour tout réel \(x\), \(f'(x)=ae^{ax+b}\) et \(f^{\prime\prime}(x)=a^2e^{ax+b}\).

Comme \(e^{ax+b}\) est toujours positif (exponentielle), le signe de \(f^{\prime\prime}(x)\) dépend de \(a^2\).

Si \(a \neq 0\), alors \(a^2 > 0\) et donc \(f^{\prime\prime}(x) > 0\) pour tout \(x\), ce qui implique que \(f\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).

Si \(a = 0\), alors \(f(x) = e^b\) qui est une fonction constante. Dans ce cas, \(f^{\prime\prime}(x) = 0\) pour tout \(x\), et la fonction est à la fois convexe et concave (mais on considère généralement les fonctions constantes comme convexes).

Dans tous les cas, la fonction \(f(x) = e^{ax+b}\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).

Correction détaillée :

La fonction \(\ln\) est définie et dérivable sur \(]0;+\infty[\).

Pour tout réel \(x > 0\), la dérivée première est \(\ln'(x) = \dfrac{1}{x}\).

La dérivée seconde est \(\ln''(x) = -\dfrac{1}{x^2}\).

Comme \(x^2\) est toujours positif pour \(x > 0\), \(-\dfrac{1}{x^2}\) est toujours négatif sur \(]0;+\infty[\).

Puisque la dérivée seconde est négative sur tout l'intervalle, la fonction \(\ln\) est concave sur \(]0;+\infty[\).

Correction détaillée :

Il faut bien remarquer que la courbe fournie ici est celle de la dérivée, et non de la fonction \(f\) !

1. On voit que \(f'\) semble positive sur \(]-\infty ; -1]\) puis négative sur \([-1;+\infty[\). La fonction \(f\) est donc croissante sur \(]-\infty ; -1]\) puis décroissante sur \([-1;+\infty[\).

2. On voit que \(f'\) semble décroissante sur \(]-\infty ; 0]\) puis croissante sur \([0;+\infty[\). La fonction \(f\) est donc concave sur \(]-\infty ; 0]\) puis convexe sur \([0;+\infty[\).

Correction détaillée :

1. Pour tout réel \(x\), \(f'(x)=9x^2+6x-4\) et \(f^{\prime\prime}(x)=18x+6\).

2. On a \(f^{\prime\prime}(x)\geqslant 0\) si et seulement si \(x \geqslant - \dfrac{1}{3}\). \(f\) est donc convexe sur \(\left]-\dfrac{1}{3};+\infty\right[\).

3. La convexité de \(f\) change à l’abscisse \(-\dfrac{1}{3}\). La courbe de \(f\) présente donc un point d’inflexion à cette abscisse.

Correction détaillée :

\(f\) est deux fois dérivables sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(f^{\prime\prime}(x)=12x^2+4\) qui est strictement positif.

La fonction \(f\) est convexe sur \(\mathbb{R}\). Sa convexité ne change pas, la courbe de \(f\) ne possède donc pas de point d’inflexion.

Correction détaillée :

1. La fonction \(x\mapsto 1+x^2\) est dérivable et positive sur \(\mathbb{R}\), \(f\) l’est donc également et pour tout réel \(x\), \(f'(x)=\dfrac{2x}{1+x^2}\).

2. \(f'(x)\) est du signe de \(x\).

Tableau de variations

3. Soit \(x\) un réel, \(f(x)=1 \Leftrightarrow \ln(1+x^2)=1 \Leftrightarrow 1+x^2=e \Leftrightarrow x^2=e-1 \Leftrightarrow x=\sqrt{e-1} \text{ ou }x = -\sqrt{e-1}\).

4. \(f'\) est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas. Pour tout réel \(x\),
\[f^{\prime\prime}(x)= \dfrac{2(1+x^2)-2x \times 2x}{(1+x^2)^2}=\dfrac{2-2x^2}{(1+x^2)^2}\]
Or, \(f^{\prime\prime}(x)\geqslant 0\) si et seulement si \(x \in [-1;1]\). \(f\) est donc convexe sur \([-1;1]\) et concave sur \(]-\infty;-1]\) et \([1;+\infty[\).

5. Le signe de \(f^{\prime\prime}(x)\) est déterminé par le numérateur \(2-2x^2\), car le dénominateur \((1+x^2)^2\) est toujours positif.
\(2 - 2x^2 \geq 0 \Leftrightarrow 2x^2 \leq 2 \Leftrightarrow x^2 \leq 1 \Leftrightarrow -1 \leq x \leq 1\)
Le tableau de signes de \(f^{\prime\prime}(x)\) est donc :

Donc \(f\) est convexe sur \([-1; 1]\) et concave sur \(]-\infty; -1]\) et \([1; +\infty[\).

6. La tangente à la courbe de \(f\) à l’abscisse \(-1\) a pour équation réduite :
\[y = f'(-1)(x+1)+f(-1) = -(x+1)+\ln(2)=-x-1+\ln(2)\]
La tangente à la courbe de \(f\) à l’abscisse \(1\) a pour équation réduite :
\[y = f'(1)(x-1)+f(1) = (x-1)+\ln(2) = x-1+\ln(2)\]

7. Voici le tracé de la courbe représentative de \(f\) et de ses tangentes aux points d'abscisse 1 et -1 dans un repère orthonormé :

Tableau de variations