Exercices : Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Correction :

Question 1 : Écrire l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev relative à $X$.

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour une variable aléatoire $X$ d'espérance $\mathbb{E}(X)$ et de variance $\mathbb{V}(X)$ s'écrit :

$$\mathbb{P}(|X - \mathbb{E}(X)| \geq x) \leq \frac{\mathbb{V}(X)}{x^2}$$

Dans cet exercice, on nous donne $\mathbb{E}(X) = 16$ et $\mathbb{V}(X) = 4$. En substituant ces valeurs dans l'inégalité générale, nous obtenons :

$$\mathbb{P}(|X - \mathbb{E}(X)| \geq x) \leq \frac{\mathbb{V}(X)}{x^2}$$

Réponse 1 : L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour $X$ est $\mathbb{P}(|X - \mathbb{E}(X)| \geq x) \leq \frac{\mathbb{V}(X)}{x^2}$.

Question 2 : Déterminer une minoration de la probabilité qu'il arrive entre 12 et 20 avions sur cet aéroport entre 14h et 15h.

Nous devons minorer la probabilité $\mathbb{P}(12 \leq X \leq 20)$. Exprimons cet événement en termes d'écart par rapport à l'espérance $\mathbb{E}(X) = 16$.

$12 \leq X \leq 20$ est équivalent à $12 - 16 \leq X - 16 \leq 20 - 16$, soit $-4 \leq X - 16 \leq 4$, ce qui est équivalent à $|X - 16| \leq 4$.

Nous allons utiliser l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour majorer la probabilité de l'événement contraire $\mathbb{P}(|X - \mathbb{E}(X)| > 4)$. Comme l'inégalité porte sur $\geq$, nous pouvons utiliser $\mathbb{P}(|X - \mathbb{E}(X)| > 4) \leq \mathbb{P}(|X - \mathbb{E}(X)| \geq 4)$.

Appliquons l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $x = 4$ :

$$\mathbb{P}(|X - \mathbb{E}(X)| \geq 4) \leq \frac{\mathbb{V}(X)}{4^2} = \frac{4}{4^2} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} = 0.25$$

Nous savons que $\mathbb{P}(|X - \mathbb{E}(X)| \leq 4) = 1 - \mathbb{P}(|X - \mathbb{E}(X)| > 4) \geq 1 - \mathbb{P}(|X - \mathbb{E}(X)| \geq 4)$.

En utilisant la majoration précédente :

$$\mathbb{P}(|X - \mathbb{E}(X)| \leq 4) \geq 1 - 0.25 = 0.75$$

Réponse 2 : La probabilité qu'il arrive entre 12 et 20 avions est minorée par $0.75$.

Correction :

Question 1 : Écrire l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev relative à $X$.

Pour une variable aléatoire $X$ d'espérance $\mathbb{E}(X) = \mu$ et d'écart-type $\sigma = \sqrt{\mathbb{V}(X)}$ (donc de variance $\mathbb{V}(X) = \sigma^2$), l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'énonce comme suit :

Pour tout $x > 0$, $$\mathbb{P}(|X - \mathbb{E}(X)| \geq x) \leq \frac{\mathbb{V}(X)}{x^2}$$

Réponse 1 : L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev relative à $X$ est $\mathbb{P}(|X - \mathbb{E}(X)| \geq x) \leq \frac{\mathbb{V}(X)}{x^2}$.

Question 2 : Déterminer les valeurs de $\sigma$ pour que nous ayons $\mathbb{P}(|X-\mu|<15) \geqslant 0,96$.

Nous voulons que la probabilité que $X$ s'écarte de son espérance de moins de 15 soit au moins 0.96.

Nous utilisons l'inégalité complémentaire : $\mathbb{P}(|X-\mathbb{E}(X)|<15) = 1 - \mathbb{P}(|X-\mathbb{E}(X)| \geq 15)$.

Donc, la condition $\mathbb{P}(|X-\mu|<15) \geqslant 0,96$ est équivalente à $1 - \mathbb{P}(|X-\mathbb{E}(X)| \geq 15) \geqslant 0,96$, ce qui se réécrit en $\mathbb{P}(|X-\mathbb{E}(X)| \geq 15) \leq 1 - 0.96 = 0.04$.

Maintenant, appliquons l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $x=15$ :

$$\mathbb{P}(|X - \mathbb{E}(X)| \geq 15) \leq \frac{\mathbb{V}(X)}{15^2} = \frac{\sigma^2}{15^2}$$

Pour satisfaire la condition $\mathbb{P}(|X-\mu| \geq 15) \leq 0.04$, il suffit d'avoir $\frac{\mathbb{V}(X)}{15^2} \leq 0.04$. Puisque $\mathbb{V}(X) = \sigma^2$, on a :

$$\frac{\sigma^2}{15^2} \leq 0.04$$

$$\sigma^2 \leq 0.04 \times 15^2 = 0.04 \times 225 = 9$$

$$\sigma \leq \sqrt{9} = 3$$

Comme l'écart-type $\sigma = \sqrt{\mathbb{V}(X)}$ doit être positif, nous avons $0 < \sigma \leq 3$.

Réponse 2 : Les valeurs de $\sigma$ pour lesquelles $\mathbb{P}(|X-\mu|<15) \geqslant 0,96$ sont $0 < \sigma \leq 3$.

Correction :

Question 1 : Justifier que $\mathbb{P}(X \geqslant 75) \leqslant \mathbb{P}(|X-50|⩾ 25)$.

Nous devons montrer que l'événement $\{X \geqslant 75\}$ est inclus dans l'événement $\{|X-50| \geqslant 25\}$.

Considérons un événement où $X \geqslant 75$. Alors, $X - 50 \geqslant 75 - 50 = 25$. Puisque $X - 50 \geqslant 25$, et que $25 > 0$, on a $|X - 50| = X - 50 \geqslant 25$.

Donc, si $X \geqslant 75$, alors $|X - 50| \geqslant 25$. Cela signifie que l'événement $\{X \geqslant 75\}$ est inclus dans l'événement $\{|X-50| \geqslant 25\}$.

Quand un événement A est inclus dans un événement B (A $\subseteq$ B), alors la probabilité de A est inférieure ou égale à la probabilité de B, i.e., $\mathbb{P}(A) \leqslant \mathbb{P}(B)$.

Réponse 1 : Si $X \geqslant 75$, alors $X-50 \geqslant 25$, donc $|X-50| \geqslant 25$. Ainsi, l'événement $\{X \geqslant 75\}$ implique $\{|X-50| \geqslant 25\}$, et par conséquent $\mathbb{P}(X \geqslant 75) \leqslant \mathbb{P}(|X-50|⩾ 25)$.

Question 2 : Majorer la probabilité que la production du mois à venir dépasse 75 objets.

Nous devons majorer $\mathbb{P}(X \geqslant 75)$. D'après la question précédente, nous savons que $\mathbb{P}(X \geqslant 75) \leqslant \mathbb{P}(|X-50| \geqslant 25)$. Nous allons utiliser l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour majorer $\mathbb{P}(|X-50| \geqslant 25)$.

On nous donne $\mathbb{E}(X) = 50$ et $\mathbb{V}(X) = 25$. Appliquons l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $x = 25$ :

$$\mathbb{P}(|X - 50| \geq 25) \leq \frac{\mathbb{V}(X)}{25^2} = \frac{25}{25^2} = \frac{1}{25} = 0.04$$

Puisque $\mathbb{P}(X \geqslant 75) \leqslant \mathbb{P}(|X-50| \geqslant 25)$, nous avons $\mathbb{P}(X \geqslant 75) \leq 0.04$.

Réponse 2 : La probabilité que la production du mois à venir dépasse 75 objets est majorée par $0.04$.

Question 3 : Minorer la probabilité que la production du mois à venir soit strictement comprise entre 40 et 60 matelas.

Nous cherchons à minorer $\mathbb{P}(40 < X < 60)$. Cet événement est équivalent à $|X - 50| < 10$.

Nous utilisons l'inégalité complémentaire : $\mathbb{P}(|X - 50| < 10) = 1 - \mathbb{P}(|X - 50| \geq 10)$.

Appliquons l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $x = 10$ :

$$\mathbb{P}(|X - 50| \geq 10) \leq \frac{\mathbb{V}(X)}{10^2} = \frac{25}{100} = 0.25$$

Donc, $\mathbb{P}(|X - 50| < 10) = 1 - \mathbb{P}(|X - 50| \geq 10) \geq 1 - 0.25 = 0.75$.

Réponse 3 : La probabilité que la production du mois à venir soit strictement comprise entre 40 et 60 matelas est minorée par $0.75$.

Correction :

Question 1 : Déterminer l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire moyenne d'un échantillon de $T$ de taille 10000.

Soit $T_1, T_2, ..., T_{10000}$ un échantillon aléatoire de taille $n=10000$ de la variable aléatoire $T$. La variable aléatoire moyenne est définie par $M_{10000} = \frac{1}{10000} \sum_{i=1}^{10000} T_i$.

On sait que l'espérance de la moyenne d'échantillon est égale à l'espérance de la variable de population : $\mathbb{E}(M_{10000}) = \mathbb{E}(T)$. Et la variance de la moyenne d'échantillon est donnée par $\mathbb{V}(M_{10000}) = \frac{\mathbb{V}(T)}{10000}$. L'écart-type est la racine carrée de la variance : $\sigma(M_{10000}) = \frac{\sqrt{\mathbb{V}(T)}}{\sqrt{10000}}$.

On nous donne $\mathbb{E}(T) = 50$ cm et $\sigma(T) = 2$ cm. Donc, $\mathbb{V}(T) = \sigma(T)^2 = 2^2 = 4$.

Calculons l'espérance et l'écart-type de $M_{10000}$ :

Espérance : $\mathbb{E}(M_{10000}) = \mathbb{E}(T) = 50$ cm.

Écart-type : $\sigma(M_{10000}) = \frac{\sqrt{\mathbb{V}(T)}}{\sqrt{10000}} = \frac{2}{\sqrt{10000}} = \frac{2}{100} = 0.02$ cm.

Réponse 1 : L'espérance de la variable aléatoire moyenne est $50$ cm et son écart-type est $0.02$ cm.

Question 2 : À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, majorez la probabilité que cette taille moyenne s'écarte de 50 cm d'au moins 0,1 cm.

Nous devons majorer la probabilité $\mathbb{P}(|M_{10000} - 50| \geq 0.1)$. Nous utilisons l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour la variable aléatoire $M_{10000}$, avec son espérance $\mathbb{E}(M_{10000}) = 50$ et sa variance $\mathbb{V}(M_{10000}) = \sigma(M_{10000})^2 = (0.02)^2 = 0.0004$. Nous appliquons l'inégalité avec $x = 0.1$ :

$$\mathbb{P}(|M_{10000} - 50| \geq 0.1) \leq \frac{\mathbb{V}(M_{10000})}{0.1^2} = \frac{0.0004}{0.1^2} = \frac{0.0004}{0.01} = 0.04$$

Réponse 2 : La probabilité que la taille moyenne s'écarte de 50 cm d'au moins 0,1 cm est majorée par $0.04$.

Correction :

Question 1 : Déterminer $\mathbb{E}(X)$ et $\mathbb{V}(X)$ puis donner l'inégalité de concentration relative à $M_n$.

La variable aléatoire $X$ suit une loi de Bernoulli car elle décrit le résultat d'un seul tirage (succès = boule rouge, échec = boule noire). La probabilité de succès (tirer une boule rouge) est $p = \frac{\text{nombre de boules rouges}}{\text{nombre total de boules}} = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5} = 0.4$. Donc $X \sim \mathcal{B}(1, 0.4)$.

Pour une loi de Bernoulli $\mathcal{B}(1, p)$, l'espérance est $\mathbb{E}(X) = p$ et la variance est $\mathbb{V}(X) = p(1-p)$.

Calculons l'espérance et la variance de $X$ :

Espérance : $\mathbb{E}(X) = p = 0.4$.

Variance : $\mathbb{V}(X) = p(1-p) = 0.4 \times (1-0.4) = 0.4 \times 0.6 = 0.24$.

La variable aléatoire moyenne $M_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ a pour espérance $\mathbb{E}(M_n) = \mathbb{E}(X) = 0.4$ et variance $\mathbb{V}(M_n) = \frac{\mathbb{V}(X)}{n} = \frac{0.24}{n}$.

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour $M_n$ s'écrit :

$$\mathbb{P}(|M_n - \mathbb{E}(M_n)| \geq x) \leq \frac{\mathbb{V}(M_n)}{x^2}$$

En substituant les valeurs de $\mathbb{E}(M_n)$ et $\mathbb{V}(M_n)$, nous obtenons :

$$\mathbb{P}(|M_n - 0.4| \geq x) \leq \frac{0.24}{n x^2}$$

Réponse 1 : $\mathbb{E}(X) = 0.4$, $\mathbb{V}(X) = 0.24$, et l'inégalité de concentration relative à $M_n$ est $\mathbb{P}(|M_n - 0.4| \geq x) \leq \frac{0.24}{n x^2}$.

Question 2 : À partir de quel nombre de tirages pouvons-nous garantir à plus de 95 % que la proportion de boules rouges obtenues restera strictement entre 0,35 et 0,45.

Nous voulons trouver le plus petit entier $n$ tel que $\mathbb{P}(0.35 < M_n < 0.45) \geq 0.95$. L'événement $0.35 < M_n < 0.45$ est équivalent à $|M_n - 0.4| < 0.05$. Donc, nous voulons $\mathbb{P}(|M_n - 0.4| < 0.05) \geq 0.95$.

En utilisant l'inégalité complémentaire, $\mathbb{P}(|M_n - 0.4| < 0.05) = 1 - \mathbb{P}(|M_n - 0.4| \geq 0.05)$. La condition devient $1 - \mathbb{P}(|M_n - 0.4| \geq 0.05) \geq 0.95$, soit $\mathbb{P}(|M_n - 0.4| \geq 0.05) \leq 0.05$.

Appliquons l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $x = 0.05$ :

$$\mathbb{P}(|M_n - 0.4| \geq 0.05) \leq \frac{\mathbb{V}(M_n)}{0.05^2} = \frac{0.24}{n \times 0.05^2}$$

Nous voulons que cette majoration soit inférieure ou égale à $0.05$, donc nous résolvons l'inéquation :

$$\frac{0.24}{n \times 0.05^2} \leq 0.05$$

$$n \times 0.05^2 \geq \frac{0.24}{0.05}$$

$$n \geq \frac{0.24}{0.05 \times 0.05^2} = \frac{0.24}{0.05^3} = \frac{0.24}{0.000125} = 1920$$

Puisque $n$ doit être un entier, le plus petit entier $n$ qui satisfait cette condition est $n = 1920$. En fait, l'inégalité est stricte dans la question, donc il faut prendre $n > 1920$. Le plus petit entier est donc $n=1921$.

Réponse 2 : À partir de 1921 tirages, nous pouvons garantir à plus de 95 % que la proportion de boules rouges obtenues restera strictement entre 0,35 et 0,45.

Correction :

Question 1 : Justifier que X suit la loi binomiale de paramètres 10 et 0,4.

Pour qu'une variable aléatoire suive une loi binomiale, plusieurs conditions doivent être réunies :

- On répète $n$ fois la même épreuve de manière indépendante.

- Chaque épreuve a seulement deux issues possibles : le succès et l'échec.

- La probabilité de succès $p$ reste constante à chaque épreuve.

Dans cet exercice :

- On effectue $n=10$ tirages de jetons avec remise, donc les tirages sont indépendants et identiques.

- Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli avec deux issues : "tirer un jeton bleu" (succès) ou "ne pas tirer un jeton bleu" (échec).

- La proportion de jetons bleus est de 40 %, donc la probabilité de tirer un jeton bleu est $p = 0.4$, et elle reste constante car les tirages sont avec remise.

La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès (jetons bleus) en 10 répétitions. Par conséquent, $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0.4$, notée $X \sim \mathcal{B}(10, 0.4)$.

Réponse 1 : X suit la loi binomiale $\mathcal{B}(10, 0.4)$ car il s'agit de la répétition de 10 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, avec une probabilité de succès de 0.4 à chaque épreuve.

Question 2 : Déterminer l'espérance de X.

Pour une variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$, l'espérance est donnée par la formule $\mathbb{E}(X) = np$.

Ici, $n=10$ et $p=0.4$, donc $\mathbb{E}(X) = 10 \times 0.4 = 4$.

Réponse 2 : L'espérance de $X$ est $4$.

Question 3 : Montrer que la variance de X est 2,4.

Pour une variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$, la variance est donnée par la formule $\mathbb{V}(X) = np(1-p)$.

Ici, $n=10$ et $p=0.4$, donc $\mathbb{V}(X) = 10 \times 0.4 \times (1-0.4) = 10 \times 0.4 \times 0.6 = 2.4$.

Réponse 3 : La variance de $X$ est bien $2,4$.

Question 4 : Montrer en utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, que $\mathbb{P}(|X-4|⩾ 2) \leqslant 0,6$.

Nous utilisons l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : $\mathbb{P}(|X - \mathbb{E}(X)| \geq x) \leq \frac{\mathbb{V}(X)}{x^2}$, avec $\mathbb{E}(X) = 4$, $\mathbb{V}(X) = 2.4$, et $x = 2$.

$$\mathbb{P}(|X - 4| \geq 2) \leq \frac{2.4}{2^2} = \frac{2.4}{4} = 0.6$$

Réponse 4 : En appliquant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on obtient bien $\mathbb{P}(|X-4|⩾ 2) \leqslant 0,6$.

Question 5 : Quel est l'événement contraire de l'événement $\\{|X-4|⩾ 2\\}$?

L'événement contraire de $|X-4| \geq 2$ est l'événement complémentaire, c'est-à-dire $|X-4| < 2$.

Réponse 5 : L'événement contraire de $\\{|X-4|⩾ 2\\}$ est $\\{|X-4|< 2\\}$.

Question 6 : Montrer que $\mathbb{P}(|X-4|<2)⩾ 0,4$.

Nous savons que pour tout événement A et son événement contraire $\bar{A}$, on a $\mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(\bar{A}) = 1$, donc $\mathbb{P}(\bar{A}) = 1 - \mathbb{P}(A)$.

Ici, l'événement contraire de $\{|X-4| \geq 2\}$ est $\{|X-4| < 2\}$. Donc, $\mathbb{P}(|X-4|<2) = 1 - \mathbb{P}(|X-4| \geq 2)$.

De la question 4, nous avons $\mathbb{P}(|X-4| \geq 2) \leq 0.6$. Par conséquent, $\mathbb{P}(|X-4|<2) = 1 - \mathbb{P}(|X-4| \geq 2) \geq 1 - 0.6 = 0.4$.

Réponse 6 : On a $\mathbb{P}(|X-4|<2) = 1 - \mathbb{P}(|X-4| \geq 2)$. Comme $\mathbb{P}(|X-4| \geq 2) \leqslant 0,6$, on en déduit que $\mathbb{P}(|X-4|<2) \geq 1 - 0.6 = 0.4$.

Correction :

Question 1 : Déterminer l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire moyenne d'un échantillon de $T$ de taille 2500.

Soit $T_1, T_2, ..., T_{2500}$ un échantillon aléatoire de taille $n=2500$ de la variable aléatoire $T$. La variable aléatoire moyenne est $M_{2500} = \frac{1}{2500} \sum_{i=1}^{2500} T_i$.

Pour la variable aléatoire moyenne $M_n$ d'un échantillon de taille $n$ d'une variable aléatoire $X$, on a : $\mathbb{E}(M_n) = \mathbb{E}(X)$ et $\sigma(M_n) = \frac{\sqrt{\mathbb{V}(X)}}{\sqrt{n}}$.

Ici, $\mathbb{E}(T) = 80$ cm et $\sigma(T) = 5$ cm, et $n = 2500$.

Espérance de $M_{2500}$: $\mathbb{E}(M_{2500}) = \mathbb{E}(T) = 80$ cm.

Écart-type de $M_{2500}$: $\sigma(M_{2500}) = \frac{\sqrt{\mathbb{V}(T)}}{\sqrt{2500}} = \frac{5}{\sqrt{2500}} = \frac{5}{50} = 0.1$ cm.

Réponse 1 : L'espérance de la variable aléatoire moyenne est $80$ cm et son écart-type est $0.1$ cm.

Question 2 : À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, majorez la probabilité que cette taille moyenne s'écarte de 80 cm d'au moins 0,5 cm.

Nous voulons majorer $\mathbb{P}(|M_{2500} - 80| \geq 0.5)$. Nous utilisons l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour $M_{2500}$, avec $\mathbb{E}(M_{2500}) = 80$, $\sigma(M_{2500}) = 0.1$, donc $\mathbb{V}(M_{2500}) = \sigma(M_{2500})^2 = (0.1)^2 = 0.01$, et $x = 0.5$.

$$\mathbb{P}(|M_{2500} - 80| \geq 0.5) \leq \frac{\mathbb{V}(M_{2500})}{0.5^2} = \frac{0.01}{0.5^2} = \frac{0.01}{0.25} = \frac{1}{25} = 0.04$$

Réponse 2 : La probabilité que cette taille moyenne s'écarte de 80 cm d'au moins 0,5 cm est majorée par $0.04$.

Correction :

Question 1 : Déterminer l'espérance et la variance de $X$.

La variable $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ où $n=400$ (nombre de pièces prélevées) et $p=0.05$ (probabilité qu'une pièce soit défectueuse).

Espérance : $\mathbb{E}(X) = np = 400 \times 0.05 = 20$.

Variance : $\mathbb{V}(X) = np(1-p) = 400 \times 0.05 \times (1-0.05) = 400 \times 0.05 \times 0.95 = 19$.

Réponse 1 : L'espérance de $X$ est 20 et sa variance est 19.

Question 2 : Utiliser l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour majorer la probabilité que le nombre de pièces défectueuses s'écarte de plus de 10 de son espérance.

Nous devons majorer $\mathbb{P}(|X - \mathbb{E}(X)| \geq 10) = \mathbb{P}(|X - 20| \geq 10)$.

En appliquant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $x=10$, $\mathbb{E}(X) = 20$ et $\mathbb{V}(X) = 19$ :

$$\mathbb{P}(|X - 20| \geq 10) \leq \frac{\mathbb{V}(X)}{10^2} = \frac{19}{100} = 0.19$$

Réponse 2 : La probabilité que le nombre de pièces défectueuses s'écarte de plus de 10 de son espérance est majorée par $0.19$.

Correction :

Nous voulons trouver la valeur minimale de $k$ telle que $\mathbb{P}(|Y - \mathbb{E}(Y)| \geq k) \leq 0.01$.

En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : $\mathbb{P}(|Y - \mathbb{E}(Y)| \geq k) \leq \frac{\mathbb{V}(Y)}{k^2}$. Ici, $\sigma = 2$, donc $\mathbb{V}(Y) = \sigma^2 = 4$. L'inégalité devient :

$$\mathbb{P}(|Y - \mathbb{E}(Y)| \geq k) \leq \frac{4}{k^2}$$

Nous voulons que cette majoration soit inférieure ou égale à 0.01, donc nous posons la condition :

$$\frac{4}{k^2} \leq 0.01$$

$$k^2 \geq \frac{4}{0.01} = 400$$

$$k \geq \sqrt{400} = 20$$

La valeur minimale de $k$ est 20.

Réponse : La valeur minimale de $k$ que l'on peut garantir en utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est $k=20$.

Correction :

Nous cherchons à minorer la probabilité $\mathbb{P}(95 \leq R \leq 105)$. Ceci est équivalent à $\mathbb{P}(|R - 100| \leq 5)$.

Nous utilisons l'inégalité complémentaire : $\mathbb{P}(|R - 100| \leq 5) = 1 - \mathbb{P}(|R - 100| > 5)$. Comme $\mathbb{P}(|R - 100| > 5) \leq \mathbb{P}(|R - 100| \geq 5)$, nous majorons $\mathbb{P}(|R - 100| \geq 5)$ avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Avec $\mathbb{E}(R) = 100$, $\sigma(R) = 1.5$, donc $\mathbb{V}(R) = \sigma(R)^2 = 2.25$, et $x = 5$ :

$$\mathbb{P}(|R - 100| \geq 5) \leq \frac{\mathbb{V}(R)}{5^2} = \frac{2.25}{25} = 0.09$$

Donc, $\mathbb{P}(|R - 100| \leq 5) = 1 - \mathbb{P}(|R - 100| \geq 5) \geq 1 - 0.09 = 0.91$.

Réponse : La probabilité minimale estimée par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev qu'une résistance ait une résistance comprise entre 95 et 105 ohms est de $0.91$.

Correction :

Pour un dé équilibré, l'espérance d'un lancer est $\mathbb{E}(X) = 3.5$ et la variance est $\mathbb{V}(X) = \frac{35}{12}$. Pour la variable aléatoire moyenne $M_n$ de $n$ lancers, $\mathbb{E}(M_n) = 3.5$ et $\mathbb{V}(M_n) = \frac{\mathbb{V}(X)}{n} = \frac{35}{12n}$.

Nous voulons trouver $n$ tel que $\mathbb{P}(|M_n - 3.5| < 0.1) \geq 0.9$. Ceci est équivalent à $\mathbb{P}(|M_n - 3.5| \geq 0.1) \leq 0.1$.

En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : $\mathbb{P}(|M_n - 3.5| \geq 0.1) \leq \frac{\mathbb{V}(M_n)}{0.1^2} = \frac{35}{12n \times 0.1^2} = \frac{35}{0.12n}$.

Nous voulons $\frac{35}{0.12n} \leq 0.1$, donc $0.12n \geq \frac{35}{0.1} = 350$, ce qui donne $n \geq \frac{350}{0.12} = \frac{35000}{12} = \frac{8750}{3} \approx 2916.67$.

Pour garantir la probabilité, il faut prendre $n$ entier supérieur ou égal à 2917.

Réponse : Une valeur de $n$ possible est $n=2917$.

Correction :

Soit $\mathbb{E}(Z)$ l'espérance de $Z$ et $\sigma(Z) = \sqrt{\mathbb{V}(Z)} = \sqrt{16} = 4$ l'écart-type de $Z$. Nous voulons estimer $\mathbb{P}(|Z - \mathbb{E}(Z)| > 5\sigma(Z))$. Comme $\mathbb{P}(|Z - \mathbb{E}(Z)| > 5\sigma(Z)) \leq \mathbb{P}(|Z - \mathbb{E}(Z)| \geq 5\sigma(Z))$, nous pouvons utiliser l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $x = 5\sigma(Z) = 5 \times 4 = 20$ (si on prend $x$ en valeur absolue, on utilise $x=5\sigma(Z)$). Ou plus directement, en utilisant $x = 5\sigma(Z)$ dans la formule générale $\mathbb{P}(|Z - \mathbb{E}(Z)| \geq x) \leq \frac{\mathbb{V}(Z)}{x^2}$.

$$\mathbb{P}(|Z - \mathbb{E}(Z)| \geq 5\sigma(Z)) \leq \frac{\mathbb{V}(Z)}{(5\sigma(Z))^2} = \frac{\mathbb{V}(Z)}{25\sigma(Z)^2} = \frac{\mathbb{V}(Z)}{25\mathbb{V}(Z)} = \frac{1}{25} = 0.04$$

Réponse : La probabilité que $Z$ s'écarte de son espérance de plus de 5 écarts-types est majorée par $0.04$.

Correction :

La variable $C$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ avec $n=100$ et $p=\frac{1}{4} = 0.25$.

Espérance : $\mathbb{E}(C) = np = 100 \times 0.25 = 25$.

Variance : $\mathbb{V}(C) = np(1-p) = 100 \times 0.25 \times (1-0.25) = 100 \times 0.25 \times 0.75 = 18.75$.

Nous voulons majorer $\mathbb{P}(C > 50)$. On remarque que si $C > 50$, alors $C - 25 > 50 - 25 = 25$. Donc, $C > 50 \Rightarrow C - 25 > 25 \Rightarrow |C - 25| > 25$. Ainsi, $\mathbb{P}(C > 50) \leq \mathbb{P}(|C - 25| > 25) \leq \mathbb{P}(|C - 25| \geq 25)$.

Appliquons l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $x = 25$ :

$$\mathbb{P}(|C - 25| \geq 25) \leq \frac{\mathbb{V}(C)}{25^2} = \frac{18.75}{625} = 0.03$$

Réponse : La probabilité que l'étudiant ait plus de 50 bonnes réponses est majorée par $0.03$.

Correction :

Soit $A$ le nombre d'accidents parmi 1000 assurés. $A$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ avec $n=1000$ et $p=0.08$.

Espérance : $\mathbb{E}(A) = np = 1000 \times 0.08 = 80$.

Variance : $\mathbb{V}(A) = np(1-p) = 1000 \times 0.08 \times (1-0.08) = 1000 \times 0.08 \times 0.92 = 73.6$.

Nous voulons majorer $\mathbb{P}(A > 100)$. Si $A > 100$, alors $A - 80 > 100 - 80 = 20$. Donc, $A > 100 \Rightarrow |A - 80| > 20 \Rightarrow |A - 80| \geq 20$. Ainsi, $\mathbb{P}(A > 100) \leq \mathbb{P}(|A - 80| \geq 20)$.

Appliquons l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $x = 20$ :

$$\mathbb{P}(|A - 80| \geq 20) \leq \frac{\mathbb{V}(A)}{20^2} = \frac{73.6}{400} = 0.184$$

Réponse : La probabilité qu'il y ait plus de 100 accidents est majorée par $0.184$.

Correction :

Nous voulons minorer $\mathbb{P}(4 \leq W \leq 16)$. Ceci est équivalent à $\mathbb{P}(|W - 10| \leq 6)$.

Nous utilisons l'inégalité complémentaire : $\mathbb{P}(|W - 10| \leq 6) = 1 - \mathbb{P}(|W - 10| > 6) \geq 1 - \mathbb{P}(|W - 10| \geq 6)$.

Appliquons l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $x = 6$, $\mathbb{E}(W) = 10$, $\mathbb{V}(W) = 9$ :

$$\mathbb{P}(|W - 10| \geq 6) \leq \frac{\mathbb{V}(W)}{6^2} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4} = 0.25$$

Donc, $\mathbb{P}(|W - 10| \leq 6) = 1 - \mathbb{P}(|W - 10| \geq 6) \geq 1 - 0.25 = 0.75$.

Réponse : La probabilité que $W$ soit comprise entre 4 et 16 est minorée par $0.75$.

Correction :

Nous cherchons à majorer $\mathbb{P}(|V - \mathbb{E}(V)| > 3\sigma)$. Comme $\mathbb{P}(|V - \mathbb{E}(V)| > 3\sigma) \leq \mathbb{P}(|V - \mathbb{E}(V)| \geq 3\sigma)$, nous utilisons l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $x = 3\sigma = 3\sqrt{\mathbb{V}(V)}$.

$$\mathbb{P}(|V - \mathbb{E}(V)| \geq 3\sigma) \leq \frac{\mathbb{V}(V)}{(3\sigma)^2} = \frac{\mathbb{V}(V)}{(3\sqrt{\mathbb{V}(V)})^2} = \frac{\mathbb{V}(V)}{9\mathbb{V}(V)} = \frac{1}{9}$$

Réponse : La borne supérieure pour la probabilité que $V$ s'écarte de son espérance de plus de $3\sigma$ est $\frac{1}{9}$.

Correction :

Soit $D$ la durée de vie d'une ampoule. $\mathbb{E}(D) = 750$ heures, $\sigma(D) = 50$ heures, donc $\mathbb{V}(D) = \sigma(D)^2 = 50^2 = 2500$. Nous voulons minorer $\mathbb{P}(650 \leq D \leq 850)$. Ceci est équivalent à $\mathbb{P}(|D - 750| \leq 100)$.

Nous utilisons l'inégalité complémentaire : $\mathbb{P}(|D - 750| \leq 100) = 1 - \mathbb{P}(|D - 750| > 100) \geq 1 - \mathbb{P}(|D - 750| \geq 100)$.

Appliquons l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $x = 100$, $\mathbb{E}(D) = 750$, $\mathbb{V}(D) = 2500$ :

$$\mathbb{P}(|D - 750| \geq 100) \leq \frac{\mathbb{V}(D)}{100^2} = \frac{2500}{10000} = \frac{1}{4} = 0.25$$

Donc, $\mathbb{P}(|D - 750| \leq 100) = 1 - \mathbb{P}(|D - 750| \geq 100) \geq 1 - 0.25 = 0.75$.

Réponse : La probabilité qu'une ampoule ait une durée de vie comprise entre 650 et 850 heures est minorée par $0.75$.